Allgemeine Relativitätstheorie Ausarbeitung - Von Jan Kaprolat

Allgemeine Relativitätstheorie
       Ausarbeitung

          Von Jan Kaprolat

Grundlegende Motivation zur ART

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ist die Erweiterung der speziellen Relativitätstheorie (SRT). Sie
bezieht die Gravitation mit ein und beantwortet die Frage, was in beschleunigten Bezugssystemen passiert.
Die Raumzeit, die bereits in der SRT eingeführt wurde, wird nun noch durch die Eigenschaft erweitert, dass
sie durch schwere Massen gekrümmt werden kann.
Dies liefert eine neue Interpretation des Kraftbegriffes, da dieser in der klassischen Physik mit Hilfe von
Feldern, die die Kraftwechselwirkung übermitteln, beschrieben wurden.
Aus diesen Überlegungen leitete Einstein die Feldgleichungen der ART her.

Grundlegende Fragestellungen der ART

Äquivalenzprinzip

Ein wesentlicher Ausgangspunkt für die ART ist das sogenannte Äquivalenzprinzip.
Hiermit kann u.a. die Frage beantwortet werden, wie sich beschleunigte Bezugssysteme zueinander
verhalten.
Das Verhalten, das später durch Albert Einstein zu einem universellen Prinzip erhoben wurde, war bereits aus
der klassischen Mechanik bekannt, jedoch noch nicht erklärbar. Es wurde festgestellt, dass schwere und
Träge Masse prinzipiell äquivalent seien.
Somit ist es einem Beobachter innerhalb eines geschlossenen Kastens nicht möglich eine Messung
vorzunehmen, die ihm Auskunft darüber liefert, ob er sich beschleunigt nach "oben" bewegt, oder ob er sich
innerhalb seines Kastens stillstehend auf einem massiven Objekt befindet.
Als Beispiel kann hierfür die Gravitationsbeschleunigung g der Erde dienen. Beschleunigt der Kasten fernab
von allen Massen mit g, fühlt der Beobachter innerhalb dieses Kastens genau sein Gewicht und kann daher
nicht feststellen, ob er sich beschleunigt bewegt, oder sich auf einem massiven Objekt, in diesem Fall die
Erde, befindet. Somit entspricht die Gravitation einer Beschleunigung.

Zunächst ist das sogenannte schwache Äquivalenzprinzip, deren Auswirkungen wie bereits erwähnt schon in
der klassischen Physik bekannt waren, aufgestellt. Es besagt die Äquivalenz von träger und schwerer
(gravitativer) Masse voraus. Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dass mit Hilfe unterschiedlicher
Massen, die man frei fallen lässt, nicht festgestellt werden kann, ob man sich in einem beschleunigten
Bezugssystem befindet, oder ob das Fallen der Masse daher rührt, dass man in einem Gravitationsfeld mit
gleichem Beschleunigungsbetrag ist.
Das schwache Äquivalenzprinzip bezieht in einem frei fallenden Bezugssystem alle Kräfte mit ein,
abgesehen von der Gravitation.
Da die Bewegungsgleichungen keine Masse beinhalten, also jede Masse gleich schnell fällt, führt dies zu der
Annahme, dass die schwere Masse nur ein Scheinkonzept ist.

Albert Einstein erweiterte das schwache Äquivalenzprinzip hin zum sogenannten Einsteinschen
Äquivalenzprinzip. Dieses besagt, dass es überhaupt keine Möglichkeit gibt, auch nicht durch
nichtmechanische Messungen, den oben diskutierten Unterschied zwischen einem beschleunigten
Bezugssystem bzw. einem Bezugssystem innerhalb eines Gravitationsfelds festzustellen.

Innerhalb eines frei fallenden Systems, also keiner Beschleunigung ausgesetzt, müssen die Messungen von
Konstanten, wie z.B. der Feinstrukturkonstante immer den gleichen Wert ergeben. Es dürfen aufgrund der
Geschwindigkeit des Bezugssystems keine Unterschiede zum System in Ruhe ersichtlich werden.
Albert Einstein formulierte außerdem, dass lokal die Gesetzmäßigkeiten der speziellen Relativitätstheorie
gelten. Dies gilt für Systeme, bei denen auf kleine Raumskalen keine merkbare Änderung des
Gravitationsfelds auftritt.

Die Formulierung, die am allgemeinsten die Problematik des Äquivalenzprinzips auffasst, ist das starke
Äquivalenzprinzip. Dieses berücksichtigt nicht nur die Gravitation, sondern auch alle anderen physikalischen
Kräfte. Das starke Äquivalenzprinzip berücksichtigt die Tatsache, dass die Energie eines Gravitationsfelds
ebenfalls wieder einen gravitativen Effekt (aufgrund von E=mc2) hervorruft.

Aus diesem starken Äquivalenzprinzip kann darauf geschlossen werden, dass die Raumzeit in der Nähe von
Massen gekrümmt wird und dass daher der Effekt der Gravitation entsteht, wobei das starke
Äquivalenzprinzip nicht nur die Gravitation mit in die Betrachtung einbezieht, sondern ebenfalls noch alle
anderen physikalischen Kräfte.

Alle oben genannten Äquivalenzprinzipien setzen voraus, dass es sich um lokale, also kleine Bezugssysteme
handelt, da sich die Effekte der Gravitation für sehr große Bezugssysteme merkbar ändert, falls dieses auf
große Raumskalen betrachtet wird.

 (Abb. 1.1.: Darstellung der unterschiedlichen Situationen a) im Gravitationsfeld der Erde, b) Mit g nach oben beschleunigt, c) im
Gravitationsfeld der Erde fallend, d) fernab von allen Massen (schwerelos). Deutlich werden die gleichen Effekte bei a und b, sowie
c und d, wie oben beschrieben.)

Eine wesentliche Konsequenz aus dem Äquivalenzprinzip ist die Krümmung des Raumes durch Massen. Da
zwischen einem beschleunigten Bezugssystem und einem, in einem gravitativen Feld befindlichen
Bezugssystem kein Unterschied feststellbar ist, wirken in beiden Fällen die gleichen Beschleunigungen somit
lässt sich der Raum geometrisch auch als eine Krümmung der Raumzeit auffassen. Hier findet ebenfalls für
Teilchen eine Beschleunigung statt, die mittels der Raumzeitkrümmung erklärt werden kann (siehe
Feldgleichungen)
Es ergeben sich Effekte, wie z.B. Laufzeitverzögerungen von Lichtstrahlen in der Nähe von großen Massen.
Ein Beispiel für eine derartige Laufzeitverzögerung ist die Echoverzögerung eines Radarsignals das zur
Venus geschickt wird und dessen Zeit für den Hin- und Rückweg gemessen wird. Aufgrund der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit ergibt sich eine Laufzeitdifferenz, die am größten ist, wenn die Venus sich direkt am
Rand der Sonne (von der Erde aus betrachtet) dahinter befindet.

Um diese Betrachtung auch mathematisch konsistent auszuführen, wird hierfür der Begriff der Geodätischen
Linie eingeführt. Die Geodätengleichung (vergleiche Gleichung (3)) beschreibt die Bewegung eines
Teilchens innerhalb des Raumes. Die Geodäte gibt den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten A und B an.
In einem nichtgekrümmten Raum, verschwinden die Christoffelsymbole (siehe Feldgleichungen) und es
entsteht eine Geradengleichung, womit der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten in dem nichtgekrümmten
Raum, wie aus der Mathematik bekannt, eine Gerade ist.
Der Wegabschnitt zwischen zwei Punkten muss minimiert werden, was einer Geraden in einem
nichtgekrümmten Raum entspricht, wobei hingegen bei einer gekrümmten Metrik der metrische Tensor in
die Betrachtung mit einfließen muss. Dies geschieht mit Hilfe der Bedingung für eine geodätischen Linie:

Wobei Gleichung (1) minimal werden muss.

Die Allgemeine Relativitätstheorie liefert daher nicht nur eine Beschreibung der Vorgänge, die in
beschleunigten Bezugssystemen ablaufen, sie formuliert zudem auch noch eine völlig neue Definition des
Kraftbegriffes. Dieser wird seitdem nicht mehr als Feldwirkung aufgefasst, sondern entspricht einer
Krümmung der Raumzeit.

Einsteinsche Feldgleichungen

Die Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben die oben genannten Phänomene.
Diese Gleichung muss gewisse Forderungen erfüllen. Diese Forderungen lauten folgendermaßen:

    1) Die Feldgleichungen müssen kovariant sein, was bedeutet, dass sie unter allgemeinen
       Koordinatentransformationen wieder zur selben Form führen, somit also forminvariant sind.
       Die Feldgleichungen können zwar nicht aus dem Kovarianzprinzip abgeleitet werden (im lokalen
       Innertialsystem gibt es keine Feldgleichung, deren kovariante Verallgemeinerung zu finden wäre).
       Dennoch müssen diese Gleichung dem Kovarianzprinzip entsprechen
    2) Der Newtonsche Grenzfall, der sich durch die Poisson-Gleichung ergibt, muss in der Lösung der
       Feldgleichungen enthalten sein. Somit ist es notwendig, diesen aus den Feldgleichungen herleiten zu
       können (siehe unten)
    3) Die Einstensche Feldgleichung besteht aus 16 Gleichungen, wovon 6 Gleichungen aus
       Symmetriegründen identisch mit anderen sind (Dies rührt daher, dass die Gleichungen pro Tensor
       jeweils 2 Indizes beinhalten, also jeweils einer 4 x 4 -Matrix entsprechen) Es bleiben effektiv 10
       Gleichungen über, die durch die verkürzte Schreibweise in tensorieller Form übersichtlicher wird.

Die Feldgleichungen, die diese aufgestellten Forderungen erfüllen, lauten:

Wird nun die Poissongleichung aus der klassischen Mechanik betrachtet, die folgendermaßen definiert ist:

Muss sich aus den Einsteinschen Feldgleichungen diese Form für den nichtrelativistischen Grenzfall
ergeben.
Wir betrachten die g00 Komponente des metrischen Tensors. Diese ist eine sehr wichtige Komponente und

beinhaltet das klassische Potential. Folgendermaßen sieht diese Komponente aus:

Der Energie-Impuls-Tensor ist unter Annahme des nichtrelativistischen Grenzfalls gegeben durch:

Wobei ρ die klassische Massendichte der Massenverteilung ist und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

Alle anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors lassen sich entsprechend:

Dahingehend wegdiskutieren, als, dass ihre Anteile viel geringer sind als die T00 – Komponente.

Daher folgt der Newtonsche Grenzfall entsprechend der Form:

Hier wurde angenommen, dass aufgrund von

genähert werden kann.
Somit beinhalten die Einsteinschen Feldgleichungen den klassischen newtonschen Grenzfall, was der o.g.
Forderung entspricht.

Die Feldgleichungen (Gleichung (2)) beinhalten auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens die
Quellterme, die über den Energie-Impuls-Tensor definiert werden. Auf der linken Seite stehen die
geometrischen Auswirkungen der Quellen auf den Raum (vergleichbar der Poisson-Gleichung aus der
klassischen Mechanik (siehe Gleichung (4)).
Alle Formen der Energie fließen in den Energie-Impuls-Tensor mit ein. Dies beinhaltet sowohl Massen, wie
auch elektromagnetische Strahlung und andere Formen von Energie.
Die Begründung hierfür liefert die, aus der SRT stammende Äquivalenz zwischen Energie und Masse.

In den Metrischen Tensor gμν geht die Metrik des betrachteten Raums mit ein.
Die Komponenten des metrischen Tensors können mit Hilfe des Wegelements ds abgelesen werden. Wobei
wir hier ein einfaches Beispiel betrachten wollen.
Angenommen, wir transformieren von kartesischen Koordinaten auf Zylinderkoordinaten. Dann lautet das
quadrierte Wegelement:

Hieraus wird ersichtlich, dass sich der metrische Tensor entsprechend der folgenden Definition aufschreiben
lässt:

Die Komponenten des metrischen Tensors lassen sich in diesem Fall recht einfach ablesen. Es ist (gμν) =
diag(1, -1, -ρ2,-1)
Diese Größen folgen durch die Transformation (partielle Ableitungen) der einzelnen Komponenten. Der
Minkowski-Tensor (ηαβ = diag(1, -1, -1, -1)) ist bereits aus der speziellen Relativitätstheorie bekannt.
Es gelten folgende Aussagen.

Für den Euklidischen Raum ist das Wegelement:

Für den Minkowski-Raum ist das Wegelement:

Für den Riemanschen Raum wird ein Beispiel für das Wegelement weiter unten in der Schwarzschildmetrik
geliefert.

Die Sogenannten Christoffelsymbole sind folgendermaßen definiert:

bzw.

Es ist ersichtlich, dass in die Christoffelsymbole die betrachtete Metrik mit eingeht. Die Christoffelsymbole
beschreiben allgemein die Änderung einer Größe aufgrund der Änderung der Raumzeit. Eine kleine Affine
Verschiebung eines Vektors (Parallelverschiebung) ändert diesen in einem gekrümmten Raum. Die
Christoffelsymbole berücksichtigen dies und sind in den Geodätengleichungen integriert (Vergleiche
Gleichung (3)) von denen es 4 Gleichungen gibt, die in tensorieller Schreibweise die Bewegungsgleichung
repräsentieren.

Der Ricci-Krümmungstensor Rµν beschreibt die Abweichung der gravitativen Beschleunigung bzw. gibt an,
wie der Raum explizit gekrümmt ist. Aus dem metrischen Tensor ist diese Krümmung nicht unmittelbar
ersichtlich, falls es sich z.B. um komplizierte Metriken handelt. Er ergibt sich durch eine Kontraktion
(Übersummierung über gleiche Indizes mittels des metrischen Tensors) des Riemannschen
Krümmungstensors, der ein 4-fach-indizierter Tensor ist.

Der Krümmungsskalar R ist über den folgenden Zusammenhang definiert:

Ein Skalar ergibt sich in dem Fall, wenn λ = κ ist.
Er ist somit wiederum eine Kontraktion des Riemanschen Tensors mit Hilfe des kontravarianten metrischen
Tensors. Hierbei handelt es sich um einen Skalar, der für jede Metrik einen bestimmten Wert ergibt.

Die Größen uµ Vierergeschwindigkeit, sowie τ die Eigenzeit sind bereits aus der SRT bekannt und werden
hier nicht weiter erörtert.

Schwarzschildmetrik

Eine besonders einfache Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ergibt sich aus der Forderung, dass
eine Vakuumlösung vorliegt. Dies bedeutet Tμν = 0. Es wird eine kugelsymmetrische Vakuumlösung
angenommen die, außer an einem Punkt, an dem sich eine Masse M befindet, von der o.g.
Forderung ausgeht, dass der Energie-Impuls-Tensor 0 ist. Grundannahmen über diese Masse sind
die folgenden:
Die Masse soll in Form einer homogenen, nichtgeladenen und nicht rotierenden Kugel vorliegen.
Dass es sich um eine statische Lösung handelt, folgt aus der Definition der Metrik. Sie ist keinen
zeitlichen Veränderungen unterworfen.
Unter diesen Voraussetzungen leitete der Physiker Karl Schwarzschild 1916 eine einfache Metrik
ab.
Hierfür gibt es sogar 2 mögliche Lösungen, da die Metrik an einem ausgezeichneten Punkt
divergiert. Dieser Abstand vom Zentrum wird als Schwarzschildradius Rs bezeichnet.
Es existiert somit eine innere und eine äußere Lösung.
Die Schwarzschildmetrik beschreibt in diesem Fall ein schwarzes Loch mit dem Ereignishorizont
Rs.

Die äußere Lösung (r > Rs):

Offensichtlich wird, dass bei Gleichung (17) für den Fall, dass für den Radius gilt:

divergiert, wobei die Zeitkomponente (erster Summand) 0 wird und die dr-Komponente divergiert.
Dies ist jedoch nur eine Divergenz, die davon abhängt, welche Koordinaten gewählt werden.
Mit Hilfe eines anderen Bezugssystems divergiert die Gleichung nur für den Fall, dass r -> 0
Bei r = 0 befindet sich somit die tatsächliche Singularität.
Gleichung (18) wird auch als Schwarzschildradius (Ereignishorizont) des schwarzen Lochs
bezeichnet.

Die innere Lösung (r

Masse M = 2*1030 kg beträgt ca. 3 km.
Abschließend werden einige grundlengenden Tensorberechnungen und allgemeine Informationen angegeben:

Kovariante Ableitung:
Hier wird die partielle Ableitung eines tensoriellen Feldes Aik mit Hilfe eines senkrechten Striches vor dem
Index geschrieben, der abgeleitet werden soll:

Mit dieser Definition und mit Hilfe der Christoffelsymbole kann die kovariante Ableitung aufgestellt werden.
Diese dient dazu, ein Tensorfeld im riemanschen Raum ableiten zu können und als Ergebnis dennoch ein
Tensorfeld zu erhalten. Dies ist eine verallgemeinerung der partiellen Ableitung im Minkowskiraum:

Die Bestimmung der Eigenzeit geschieht mit Hilfe des folgenden Zusammenhanges:

ɤ ist bereits aus der SRT bekannt.
Relativistische Verallgemeinerung der Geschwindigkeit ist die Vierergeschwindigkeit:

Das Skalarprodukt ist definiert über die Kontraktion der Komponenten mit gleichen Indizes
Hierfür gilt die Einsteinsche Summenkonvention:

Hier wird über k summiert.
Die Einsteinsche Summenkonvention sieht dann folgendermaßen aus:

Skalarprodukt:

Ai * Bi = C      (26)

C ist hier ein Skalar, A und B sind Tensoren 1-er Stufe, also Vektoren.

Quellen:
Fließbach Band 5 – Allgemeine Relativitätstheorie
Sean M. Carroll – An Introduction to General Relativity