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Mathematik Erweiterungskurs Jg. 8

Name: _______________________ Klasse: ________________

INHALT
 • Das solltest du schon können (Wiederholungsaufgaben) 2
 • Laplace-Experimente 8
 • Statistische Wahrscheinlichkeiten 8
 • Summenregel 9
 • Statistische Erhebungen nutzen und darstellen 11
 • Das solltest du können (Schneckchenplan) 12
 • Übungsaufgaben mit Selbstkontrolle 12

 1

Das solltest du schon können (Wiederholungsaufgaben)

 1. Prozentschreibweise
 Prozente können als Brüche, Dezimalzahlen oder in Prozentschreibweise
 dargestellt werden. Du bist in der Lage die einzelnen Darstellungsformen
 ineinander umzuwandeln.

 Beispiel:
 1 50
 = = 50 ∶ 100 = 0,5 = 50%
 2 100

 Zunächst wird der Bruch auf den Nenner 100 (sprich: „Hundertstel“)
 erweitert, nun wird der Bruch durch Division in die Dezimalschreibweise
 umgewandelt. Multiplziert man nun die Dezimalzahl mit dem Faktor 100
 erhält man die Prozentzahl.
 1 = 1 · 100 à 100%
 0,67 = 0,67 · 100 à 67%

 Achtung!
 0,5 = 0,5 · 100 à 50%
 0,05 = 0,05 · 100 à 5%

 Das Erweitern auf den Nenner 100 kann man auch weglassen und gleich
 durch Division die Dezimalzahl notieren:

 1
 = 1 ∶ 2 = 0,5 → 50%
 2
 Übung:
 Buch S. 68 Nr. 1

 2

2. Bruchrechnung Addition und Subtraktion
 Du solltest in der Lage sein Brüche miteinander zu addieren und
 voneinander zu subtrahieren. Vorsicht, wenn du nicht den
 Taschenrechner benutzt, musst du die Brüche zuvor immer erst
 gleichnamig machen, also durch erweitern bzw. kürzen dafür sorgen,
 dass die Nenner aller Brüche der Rechnung denselben Nenner haben.

 Beispiel:

 1 2 3 4 3+4 7 1
 + = + = = = 1
 2 3 6 6 6 6 6

 Übung:
 Buch S. 68 Nr. 3

3. Bruchrechnung Multiplikation
 Du solltest in der Lage sein Brüche mit natürlichen Zahlen zu
 multiplizieren. Hierbei wird zunächst die natürliche Zahl in einen Bruch
 umgewandelt, anschließend werden jeweils die beiden Zähler und die
 beiden Nenner miteinander multipliziert und das Ergebnis so weit wie
 möglich gekürzt.

 Beispiel
 3 3 12 3 ∗ 12 36
 ∗ 12 = ∗ = = = 9
 4 4 1 4∗1 4

 Übung: S. 68 Nr. 4

 3

4. Brüche miteinander vergleichen und in eine chronologische
 Reihenfolge bringen.
 Brüche kann man miteinander vergleichen indem man sie entweder
 gleichnamig macht (durch erweitern bzw. kürzen auf denselben Nenner
 bringt) und die Zähler miteinander vergleicht, oder indem man sie in
 Dezimalzahlen umwandelt und anschließend miteinander vergleicht.

 Übung: S. 68 Nr. 2

5. Relative und absolute Häufigkeiten ermitteln
Um den Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit besser zu
verstehen, erklären wir dies anhand eines Beispiels: Stell dir vor, du hast
zwei unterschiedlich große Bonbontüten vor dir liegen. In beiden Tüten
befinden sich gelbe, grüne und rote Bonbons. Dir schmecken vor allem die
grünen Bonbons sehr gut und du möchtest wissen, wie viele grüne Bonbons
jeweils in der großen und der kleinen Tüte sind. Um das herauszufinden,
kannst du die grünen Bonbons einfach zählen.

 Du erhältst die absolute Häufigkeit durch einfaches Zählen - du musst
 nicht rechnen. Die absolute Häufigkeit wird in den meisten Fällen in
 ganzen Zahlen (auch absolute Zahlen genannt) angegeben.

 4

Die absolute Häufigkeit beschreibt die Anzahl von Elementen oder
 Objekten mit einem bestimmten Merkmal. Sie wird durch Zählen ermittelt
 und in der Regel mit einer ganzen Zahl angegeben.
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 Der Unterschied der relativen zur absoluten Häufigkeit steckt schon im
 Namen: relativ bedeutet so viel wie "verhältnismäßig" oder "von
 bestimmten Bedingungen abhängig".

 Betrachten wir erneut unser Beispiel mit den grünen Bonbons. Wir haben
 bereits festgestellt, dass in der kleinen Tüte weniger Bonbons sind. Da
 wir zwei unterschiedlich große Bonbontüten untersucht haben, ist es für
 uns natürlich auch noch wichtig zu wissen, wie viele grüne Bonbons
 jeweils im Verhältnis zum Inhalt der ganzen Tüte enthalten sind. Um das
 herauszufinden, müssen wir zunächst die Gesamtzahl der Bonbons in den
 beiden Tüten ermitteln.

 Wir kennen jetzt die Anzahl der grünen Bonbons (absolute Häufigkeit)
 und die Gesamtanzahl der Bonbons pro Tüte. Nun können wir ohne
 Probleme die relative Häufigkeit der grünen Bonbons errechnen:

 ("#$%&'() +ä',-./)-()
 relative Häufigkeit = 1)$"2("34"5&

 6
 große Tüte: = 0,25 à 25%
 78

 8
 kleine Tüte: = 0,5 à 50%
 9:

 5

Die relative Häufigkeit setzt die absolute Anzahl eines Ereignisses in ein
 Verhältnis zum Ganzen. Sie wird in Prozent angegeben und hat somit in
 der Dezimalschreibweise einen Wert zwischen 0 und 1.
 Die relative Häufigkeit ist also nichts anderes als das, was du vielleicht
 schon unter dem Begriff des relativen Anteils kennst. Wenn wir uns nun
 noch einmal unsere Ergebnisse angucken, erkennen wir, dass die absolute
 Häufigkeit der grünen Bonbons in der großen Tüte zwar größer ist, die
 relative Häufigkeit dort jedoch kleiner ist. Es lohnt sich also eher viele
 kleine Tüten zu kaufen als wenige große.

 Übung:

 Buch S. 68 Nr. 5

6. Durchschnitte berechnen
 Der Durchschnitt (auch: Mittelwert) einer Erhebung wird berechnet,
 indem man alle Einzelergebnisse addiert und durch die Anzahl der
 erhobenen Werte dividiert.

 Beispiel:

 Der Trainer einer Basketball-Mannschaft misst die Körpergrößen seiner
 Spieler. Berechne die durchschnittliche Körpergröße aller Basketball-
 Spieler.

 Den Mittelwert berechnest du, indem du die Körpergrößen aller Spieler
 addierst und die Summe dann durch die Anzahl der Spieler dividierst:

 179 + 171 + 177 + 183 + 180 = 890

 890 : 5 = 178

 Die durchschnittliche Körpergröße aller Basketball-Spieler beträgt
 178cm

 Übung

 Buch S. 68 Nr. 6

 6

7. Zentralwert bestimmen
 Für die Bestimmung des Zentralwertes (also den Wertes genau in der
 Mitte der Reihe) musst du zunächst alle erhobenen Werte von klein nach
 groß auflisten. Doppelte Werte müssen hier auch doppelt
 aufgeschrieben werden. Anschließend nimmst du den Wert der genau in
 der Mitte steht (bei ungerader Anzahl von Werten) bzw. bildest den
 Mittelwert der beiden mittleren Werte in der Reihe.

 Beispiel 1 (ungerade Anzahl von Werten)

 Eine Familie hat 5 Kinder

 1; 3; 5; 8; 12 Jahre alt
 Zentralwert

 Beispiel 2 (gerade Anzahl von Werten)

 Eine Familie hat 6 Kinder

 1; 3; 5;7;12;15 Jahre alt
 (5+7) : 2 = 6 (Mittelwert bestimmen)
 Zentralwert

 Übung:

 Buch S. 68 Nr. 7

 7

Laplace-Experimente

Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit eintreten, nennt man Laplace-Experimente.

Die Wahrscheinlichkeit (P) für das Eintreten eines Ergebnisses (e) ist:
 1
 ( ) =
 ℎ ö ℎ 

Beispiele für Laplace-Experimente sind

 • Das Werfen einer Münze
 • Das würfeln mit einem Spielwürfel

Übung

Buch S. 71 Nr. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Buch S. 72 Nr. 14

Statistische Wahrscheinlichkeiten

Kann man nicht davon ausgehen, dass bei einem Zufallsexperiment alle
Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, so muss experimentiert werden, um die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ergebnisses bestimmen zu können.

Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses lässt sich wie folgt berechnen:

 ℎ 
 ( ) =
 ℎ 

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ergebnisses liegt immer
zwischen 0 und 1.

Dabei bedeutet der Wert 0, dass das Ergebnis nie, also mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0% eintrifft (unmögliches Ergebnis).
Der Wert 1 bedeutet, dass das Ergebnis immer, also mit einer
Wahrscheinlichkeit von 100% eintrifft (sicheres Ergebnis).

 8

Beispiel s. Buch S. 70 (Heftzwecken-Experiment)

Übung

Buch S. 71 Nr. 8, 9,
Buch S. 72 Nr. 11, 12, 13, 15

Summenregel

Bei Zufallsexperimenten gilt bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die
Summenregel. Setzt sich ein Ereignis aus mehreren Ergebnissen zusammen, so
berechnet man die Wahrscheinlichkeit (P) dieses Ereignisses, indem man die
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse miteinander addiert.

Beispiel 1 Buch S. 74

Die Summenregel gilt auch, wenn Ereignisse die sich nicht überschneiden
zusammengefasst werden. In diesem Fall werden die Wahrscheinlichkeiten der
Ereignisse addiert.
Da bei Lapace-Experimenten die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse gleich
groß sind, gilt für ein Ereignis E:
 ℎ ü 
 ( ) =
 ℎ ö ℎ 

Beispiel 2 Buch S. 74

Wenn sich Ereignisse überschneiden, darf die Summenregel nicht angewendet
werden

Beispiel 3 Buch S. 74

 9

Achtung!

Ergebnis ist nicht dasselbe wie Ereignis!
Ein Ereignis besteht aus mehreren Ergebnissen

Beispiel:

Beim Würfeln mit einem Spielwürfel gibt es sechs
mögliche Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt
 1
 ( ü ) = = 0,16 … = 16,67%
 6
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl“, also die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 2, 4 oder 6 gewürfelt wird, beträgt
 1 3 1
 ( ℎ ) = 3 ∗ = = = 0,5 = 50%
 6 6 2
Übung

Buch S. 75 Nr. 1, 2, 3, 4, 5
Buch S. 76 Nr. 7, 9, 10, 11, 12

 10

Statistische Erhebungen nutzen und darstellen

Um Chancen und Risiken in unterschiedlichen Bereichen beurteilen zu können,
bedient man sich der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Wichtig hierbei ist es, die angegebenen Wahrscheinlichkeiten richtig zu deuten.

Wahrscheinlichkeiten werden auch genutzt, um Häufigkeiten zu schätzen.

Wahrscheinlichkeitsaussagen beruhen auf einer großen Anzahl statistischer
Erhebungen bzw. durchgeführter Versuche. Sie stellen somit
Durchschnittswerte dar. Für die Vorhersage von Einzelergebnissen sind sie also
nur bedingt geeignet!

Beispiele siehe Buch S. 78

Zur Übung:

Buch S. 78 Nr. 1, 2
Buch S. 79 Nr. 4, 5, 6, 7,

 11

Das solltest du können (Schneckchenplan)

 Für den Test am 01.04.2020 musst du
 folgende Inhalte können:

 • Erklären was ein Laplace-Experiment ist, wie man es erkennt
 und von anderen Zufallsexperimenten unterscheidet
 • Die relative Häufigkeit für ein Ergebnis mit Hilfe eines
 Zufallsexperiments bestimmen
 • Anwendung der Summenregel
 • Erkennen wann man die Summenregel nicht anwenden darf
 und wie man trotzdem zu einem Ergebnis kommt

Wiederholung

 • Daten in verschiedenen Diagrammen darstellen
 • Durchschnitte und Zentralwerte bestimmen

Übungsaufgaben mit Selbstkontrolle

 Die folgenden Übungen kannst du in einer individuellen
 Reihenfolge bearbeiten. Die Lösungen zu allen Aufgaben sind
 ebenfalls vorhanden. Nutze die Lösungen erst, wenn du eine
 Aufgabe beendet hast oder gar nicht mehr weiter kommst.
 Notiere dir nach der Selbstkontrolle wo deine Fehler lagen,
 damit du sie beim nächsten Mal nicht wiederholst.

 Übung
 Buch S. 85 (Lösungen S. 186)
 Buch S. 187 (Lösungen S. 197)