Gefangenendilemma Naturwissenschaft für Querdenker 2021 Ein Vortrag von: Josephine Selig, Erik Schulze, Lorenz Heinemann

Gefangenendilemma
             Naturwissenschaft für Querdenker 2021
Ein Vortrag von: Josephine Selig, Erik Schulze, Lorenz Heinemann

Mehr Straßen =
 weniger Stau?
 Leider nicht
    ganz.

Lösung?
                           Es wird über den Bau
                            neuer und breiterer
                           Verbindungsstraßen
     Problem                   nachgedacht
                              (Mittlerer Ring)
Der Innenstadtring ist
seit 10 Jahren überfüllt
 und ein Engpass für
       viele Autos

Lösung?
                           Es wird über den Bau
                            neuer und breiterer
                           Verbindungsstraßen
     Problem                   nachgedacht          Ist das eine gute Idee?
                              (Mittlerer Ring)
Der Innenstadtring ist                            Im ersten Moment scheint
seit 10 Jahren überfüllt
 und ein Engpass für                                 es eventuell helfen zu
       viele Autos                                         können…

Gliederung

    01                 02             03
                       Braess-     Beispiele und
   Theorie
                      Paradoxon     Anwendung
     Problem           Erklärung      Wirtschaft
Nash-Gleichgewicht     Analogien       Politik
   Spielweisen          Beispiel
    Strategien

01
     Theorie
Was ist eigentlich das Gefangenendilemma?

       Warum ist es ein Dilemma?

Was ist das Gefangendilemma?
                 Mathematische Spieltheorie
 Problem:
 Zwei Bankräuber werden gefasst, es kann Ihnen aber nur
 eine kleine Straftat nachgewiesen werden. Die Polizei
 verhört beide getrennt, dabei bietet die Staatsanwaltschaft
 eine Kronzeugenregelung an.

    Spieler 1 / 2       schweigen         gestehen

    schweigen           -3, -3            -10, 0

    gestehen            0, -10            -8, -8

Nash-Gleichgewicht
           auch Nash-Equilibrium

●   = Strategiepaar, bei dem kein Spieler Anreiz für
    einseitiges Abweichen besitzt. Es sind gegenseitig die
    besten Antworten.
●   stabil

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

Nash-Gleichgewicht
auch Nash-Equilibrium

                                 Nash-
                             Gleichgewicht
                  Keinem Spieler ist es möglich, sich durch
                      Wahl einer anderen Strategie zu
                                verbessern

Strategiearten
●   dominante Strategie: Strategie, die unabhängig von
    anderen Akteuren, am vorteilhaftesten ist

●   reine Strategie: bestimmte Spielerentscheidung

●   gemischte Strategie: eine zufällige Entscheidung wird mit
    bestimmter Wahrscheinlichkeit gefällt

Diskussion

Vertrauen                Schuld
   ???                     ???

Spielweisen
●   einmaliges Spiel:
     ○   in Experimenten kooperierten viele auch bei einmaligem Spiel
●   mehrmaliges Spiel:
     ○   Möglichkeit der Vergeltung
     ○   ist beiden Spielern die Anzahl der Runden bekannt, so ist ständiger Verrat die
         beste Strategie/Nash-Gleichgewicht (Backwards Induction)
●   unendliches Spiel:
     ○   unbekannte Anzahl an Runden
     ○   Belohnung von Kooperation oder Vergeltung -> Tit for tat (kalkulatives
         Vertrauen)

Spielweisen
●   mehr als 2 Akteure:
     ○   andere Auszahlungen, ACooperation= 2x, ADefektion= 3x+3 mit x = Anzahl
         kooperierender Spieler
     ○   AD immer noch dominante Strategie, da höhere Auszahlung

                   0     1      2    3      …          98        99
             C     2     4      6    8      …          198       200
             D     3     6      9    12     …          297       300

Strategien
●   Tit for Tat: Kooperation in Runde 1, danach letzten Zug des
    Spielpartners
●   Mistrust: Verrat in Runde 1, danach Kopie des letzten Spielzug des
    Partners
●   Spite: Kooperation bis zum Vertrauensbruch, danach nur Verrat
●   Pavlov: Kooperation in Runde 1, verrät, wenn der vorherige Zug anders
    als der eigene war

Strategien
●   gradual: Kooperiert grundsätzlich, bestraft jeden Verrat aber
    unversöhnlicher
●   Master and Servant/Southampton-Strategie: in den ersten 5 bis 10
    Runden codiertes Verhalten zum Erkennen ob Gegenstrategie auch
    Master & Servant, falls ja so wird einer “Master” und der andere
    “Servant”, sonst kompletter Verrat zum Schädigen des Mitspielers
●   Tit for Two Tats: wie Tit for Tat nur bei Verrat wird mit gleicher
    Wahrscheinlichkeit verraten oder kooperiert (Zyklusunterbrechungen)

Turniere
●   Computerturnier von Axelrod
     ○   Computer mit verschiedenen Strategien treten gegeneinander an

●   Evolutionsdynamische Turniere
     ○   Auch Axelrod
     ○   Mehrere Runden = mehrere Generationen
     ○   Durchgang: jeder gegen jeden
     ○   Erfolgreichere Strategien ersetzen die erfolgloseren Strategien im nächsten Durchgang

Turniere
●   Computerturnier von Axelrod
     ○   Computer mit verschiedenen Strategien treten gegeneinander an
                                                                 Tit-for-Tat
●   Evolutionsdynamische Turniere
     ○   Auch Axelrod
     ○   Mehrere Runden = mehrere Generationen
     ○   Durchgang: jeder gegen jeden
     ○   Erfolgreichere Strategien ersetzen die erfolgloseren Strategien im nächsten Durchgang

Turniere
●   Computerturnier von Axelrod
     ○   Computer mit verschiedenen Strategien treten gegeneinander an
                                                                 Tit-for-Tat
●   Evolutionsdynamische Turniere
     ○   Auch Axelrod
     ○   Mehrere Runden = mehrere Generationen
     ○   Durchgang: jeder gegen jeden
     ○   Erfolgreichere Strategien ersetzen die erfolgloseren Strategien im nächsten Durchgang
                                                      Tit-for-Tat, Master and Servant

02
Braess-Paradoxon
        Was ist eigentlich das Braess-Paradoxon?

  Was hat es mit dem Straßenverkehr am Leipziger Ring
                        zu tun?

Braess-Paradoxon
= nie wieder Stau?
     …nicht ganz.

“           Das Braess-Paradoxon der
     Spieltheorie veranschaulicht, dass
 eine zusätzliche Handlungsoption bei
einer rationalen Entscheidung zu einer
    Verschlechterung der Situation für
                      alle führen kann.

              https://mathematikalpha.de/braess-paradoxon

Das Paradoxe
       Bei der Erweiterung eines
  Straßennetzes um eine zusätzliche
   Straße wird die durchschnittliche
Fahrzeit der Verkehrsteilnehmer länger

Verkehrsproblem - Erklärung
                 A2

               Autobahn

          L1    Stadt B              L3   Stadt D
Stadt A                   Stadt C

                          Autobahn
                             A4

Verkehrsproblem - Erklärung
                 A2                                 Fahrzeiten
                                                    Autobahnen:
               Autobahn                             t(A2) = t(A4) = 50 + j min

                                                    Landstraßen:
                                                    t(L1) = t(L3) = 0 + 10j min
          L1    Stadt B              L3   Stadt D
                                                    j = Verkehrsfluss
Stadt A                   Stadt C                   (in 1000 Fahrzeuge)
                                                    [bei 3000 Fahrzeuge
                                                    also j = 3]
                          Autobahn
                                                    Gesamtanzahl
                             A4                     Fahrzeuge = 6000

Verkehrsproblem - Erklärung
                     Fahrzeiten
                     Autobahnen:
    3                t(A2) = t(A4) = 50 + 3min

                     Landstraßen:
                     t(L1) = t(L3) = 0 + 10*3 min
3            3
                     Gesamtstrecke = 83min

         3

Verkehrsproblem - Erklärung
                     Fahrzeiten
                     Autobahnen:
    ?                t(A2) = t(A4) = 50 + 3min

        ?            Landstraßen:
                     t(L1) = t(L3) = 0 + 10*3 min
?               ?
                     Brücke:
                     t(BC) = 10 + j min

            ?

Verkehrsproblem - Erklärung
                     Fahrzeiten
                     Autobahnen:
    2                t(A2) = t(A4) = 50 + 3min
        2            Landstraßen:
                     t(L1) = t(L3) = 0 + 10*3 min
4               4
                     Brücke:
                     t(BC) = 10 + j min

                     t(ACD) = t(ABD) =
            2        50 + 2 + 10 x 4 = 92 min

                     t(ABCD) =
                     2 x 10 x 4 + 10 + 2 = 92 min

Verkehrsproblem - Erklärung
                     Fahrzeiten
                     Autobahnen:
    2                t(A2) = t(A4) = 50 + 3min
        2            Landstraßen:
                     t(L1) = t(L3) = 0 + 10*3 min
4               4   Wie kommen die Fahrer
                    aus dem Dilemma raus?
                     Brücke:
                     t(BC) = 10 + j min

                     t(ACD) = t(ABD) =
            2        50 + 2 + 10 x 4 = 92 min

                     t(ABCD) =
                     2 x 10 x 4 + 10 + 2 = 92 min

Verkehrsproblem - Erklärung
                        Nur durch das Ignorieren
      2                 der zusätzlichen
          1             Verbindungsbrücke kann
                        die Fahrzeit wieder
3+1               2+1   gesenkt werden!

                        Auch das abwechselnde
                        Benutzen der Brücke bringt
                        nichts, da der Mittelwert
                        noch immer über dem
              3         Ausgangswert (ohne
                        Brücke) liegen würde.

Wo ist der Zusammenhang
zum Gefangenendilemma?

Braess-Paradoxon =
         Gefangenendilemma?
●   Situation nach dem Brückenbau = Mehr-Personen-
    Gefangenendilemma
●   Man kann vermuten, dass durch eine andere
    Routenwahl von einigen Fahrern eine bessere Situation
    entstünde
     ○ Dem ist nicht so
     ○ Entscheidet sich ein Fahrer am nächsten Tag anders zu
       fahren, so verlängert er die Fahrzeit für sich und die
       anderen Teilnehmer auf seiner neuen Strecke
     → Nash-Gleichgewicht

Mechanische Analogie

              Ein Gewicht hängt an
              mehreren Federn
              • Federstäbe (sehr stark)
              • Springfedern (sehr schwach)
              • Federstäbe miteinander
                 verbunden

Mechanische Analogie

        Was passiert? Geht das
         Gewicht nach oben
          oder nach unten?

Mechanische Analogie

Mechanische Analogie

        Lösen der Verbindung

Mechanische Analogie
               Physikalische Beschreibung der
A              Federn
               • Stark:    l(F) = 10cm + 8cm/N * F
B              • Schwach: l(F) = 50cm + 1cm/N * F

C               Ist es wirklich ein Paradoxon?
                • Gewichtskraft teilt sich
                    gleichmäßig auf alle Federn auf
D               • Beispiel: Für jede Feder gilt F = 3N

     6N

Mechanische Analogie
               Physikalische Beschreibung der
A              Federn
               • Stark:    l(F) = 10cm + 8cm/N * F
B              • Schwach: l(F) = 50cm + 1cm/N * F

C               Ist es wirklich ein Paradoxon?
                • Beispiel: Für jede Feder gilt F = 3N
                          lAB (3N) = 34cm
D                         lBD (3N) = 53cm
                          lAC (3N) = 53cm
     6N                   lCD (3N) = 34cm
                → Gesamt: 87cm

Mechanische Analogie
               Physikalische Beschreibung der
A              Federn
               • Stark:    l(F) = 10cm + 8cm/N * F
               • Schwach: l(F) = 50cm + 1cm/N * F
B
C               Ist es wirklich ein Paradoxon?
                • Beispiel: Kraft liegt nur auf den
                    starken Federn (6N). Schwache
D                   Federn nehmen keine Last ab
                          lAB (6N) = 58cm
                          lCD (6N) = 58cm
    6N          → Gesamt: 116cm

Mechanische Analogie

•   Links: Gesamtes Gewicht
    lastet auf beiden Federn

•   Rechts: Gewichtskraft
    teilt sich gleichmäßig auf
    beide Pfade auf und die
    Federn müssen nur die
    Hälfte der Last tragen

Zusammenhang Verkehrsproblem und
      Mechanische Federn

Zusammenhang Verkehrsproblem und
      Mechanische Federn

    •   Höhe der Federn: Kann
        als „Fahrzeit“ im
        Verkehrsproblem
        angesehen werden.
    •   Wir versuchen dies zu
        minimieren

Zusammenhang Verkehrsproblem und
      Mechanische Federn

    •   Gewicht: Anzahl an
        Fahrzeugen im gesamten
        Straßennetz
    •   Eine Erhöhung führt zur
        insgesamten
        Verlängerung der
        Federn/Fahrzeit

Zusammenhang Verkehrsproblem und
      Mechanische Federn

    •   Verbindung der beiden
        Federn: Brücke, die den
        Fahrern Fahrzeit
        ersparen soll (Problem:
        Alle nutzen dann die
        selbe Route → Alle Kraft
        läuft über die selben zwei
        Federn)

“           Das Braess-Paradoxon der
     Spieltheorie veranschaulicht, dass
 eine zusätzliche Handlungsoption bei
einer rationalen Entscheidung zu einer
    Verschlechterung der Situation für
                      alle führen kann.

              https://mathematikalpha.de/braess-paradoxon

03
Beispiele
 Wo kommt es im Alltag vor?

 Kommt es überhaupt vor?

Beispiele – Braess Paradoxon
 Ausbau des Leipziger Rings
        ➔ Würde wahrscheinlich Verkehr nicht verbessern

Beispiele – Braess Paradoxon
Umwandlung des Times Square in New York

Beispiele – Braess Paradoxon
Big Dig in Boston

Beispiele – Braess Paradoxon
Öffentliche Verkehrsmittel in London

Beispiele – Braess Paradoxon
 Qual der Wahl beim Einkauf

Beispiele – Gefangenendilemma

 •   Krieg / Frieden
 •   Beide Staaten haben die Möglichkeit, sich friedlich zu verhalten,
     oder Krieg zu erklären

     DE / RU              Frieden              Krieg

     Frieden              0, 0                 -10, 0

     Krieg                0, -10               -5, -5

Beispiele – Gefangenendilemma

 •   Kalter Krieg
 •   Beide Staaten können entweder Auf- oder Abrüsten

     USA / RU           Abrüsten           Aufrüsten

     Abrüsten           2, 2               0, 3

     Aufrüsten          3, 0               1, 1

Beispiele – Gefangenendilemma
 •   Ölförderung / Produktion
 •   Ölfördende Staaten / Firmen können entweder Viel oder Wenig
     Öl fördern / produzieren
 •   Je weniger gefördert /produziert wird, desto höher der Preis

     Staat 1 / Staat 2     Wenig              Viel

     Wenig                 7, 7               1, 10

     Viel                  10, 1              3, 3

Beispiele – Gefangenendilemma
 •   Omertà in der Maffia
 •   Grundbeispiel des Gefangenendilemmas
 •   Wenn einzelner Informant wird erhält er Schutz, wenn mehrere
     Informanten werden, volle Strafe

     P1/P2                Schweigen          Reden

     Schweigen            0, 0               -7, 0

     Reden                0, -7              -3,-3

Beispiele – Nash-Gleichgewicht
•   Erinnern des Lehrers
•   Wenn einzelner erinnert, wird für alle kontrolliert

    SmH / SoH             Schweigen             Erinnern

    Schweigen             0, 0                  0, -3

    Erinnern              0, -3                 0,-3

                                    Außeneinflüsse, wie z.B. Position in der Klasse
                                 (Mitschüler nicht begeistert vom Verrat) können dies
                                     auch zu einem Gefangendilemma verändern

Danke für die
Aufmerksamkeit
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Quellen
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Leipziger-Promenadenring-280103 letzter Zugriff: 23.06. 19:30
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Quellen
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https://de.wikipedia.org/wiki/Nash-Gleichgewicht letzter Zugriff: 18.06. 13:20
https://studyflix.de/wirtschaft/nash-gleichgewicht-in-reinen-strategien-103 letzter Zugriff: 18.06. 13:20
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https://www.businessinsider.com/london-underground-better-than-nyc-subway-2017-8
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https://www.google.de/ letzter Zugriff: 23.06. 17:45
https://press.aboutamazon.com/images-videos/ letzter Zugriff: 23.06. 17:45