Herausfordernde Mathematikaufgaben in digitalen Lernmanagementsystemen am Beispiel Moodle
←
→
Transkription von Seiteninhalten
Wenn Ihr Browser die Seite nicht korrekt rendert, bitte, lesen Sie den Inhalt der Seite unten
24 Digitales Lehren und Lernen GDM-Mitteilungen 110 · 2021
Herausfordernde Mathematikaufgaben
in digitalen Lernmanagementsystemen am Beispiel Moodle
Sebastian Linden
In diesem Aufsatz formuliere ich Ziele des Einsat- mit denen nicht nur die Aufgabenstellung trans-
zes von digitalen Lernmanagementsystemen (LMS) portiert, sondern auch die Aufgabe bearbeitet, die
für die Aufgabenkultur in der Mathematikausbil- Antwort übermittelt, Feedback ausgegeben und auf
dung an Hochschulen für Angewandte Wissen- Lernressourcen verwiesen wird. Digitale Medien
schaften und diskutiere am Beispiel Moodle die sind kein Neuland mehr und es ist nicht erforder-
Möglichkeiten des LMS, herausfordernde, offene lich, den grundsätzlichen Bedarf am Einsatz von
Mathematikaufgaben und einen diskursiven Um- digitalen Medien in der Lehre, ob an Schule oder
gang mit Fehlern zur Aufgabenkultur beizutragen. Hochschule, zu motivieren – dies gilt noch mehr in
Zeiten der Covid19-Pandemie. Wenn Digitales aber
kein Selbstzweck sein soll, so ist zu fragen, wie der
1 Einleitung
Einsatz von digitalen Lernmanagementsystemen
Studien verweisen auf die Bedeutung der Aufgaben- (LMS1 ) zu einer solchen vielfältigen Aufgabenkul-
kultur im Fach Mathematik. Die COACTIV-Studie tur in der Mathematikausbildung beitragen kann.
(Jordan et al., 2008; Kunter et al., 2011) etwa ver- Die Mathematikausbildung ist an Hochschulen für
weist auf einen generell hohen Anteil an techni- Angewandte Wissenschaften Stoff der ersten Semes-
schen Aufgaben im Mathematikunterricht, die mit- ter und erfahrungsgemäß eine der größten Hürden
tels bekannter mathematischer Prozeduren gelöst zu Studienbeginn. Daher besteht eine besondere
werden können, und damit auf eine tendenziell ein- Herausforderung beim Einsatz digitaler Tools an
seitige Aufgabenkultur. Klieme et al. weisen darauf dieser Stelle darin, dass die meisten Lernenden ihre
hin, dass „herausfordernde, offene Aufgaben in der Selbstlern-Kompetenz erst entwickeln und darin
Mathematik und generell ein diskursiver Umgang besonders unterstützt werden müssen (z. B. Bisitz
mit Fehlern“ (Klieme et al., 2006, S. 131) kognitiv und Jensen, 2012). Dies verweist erneut auf die
aktivierend wirken können. Eine kognitive Akti- Notwendigkeit, dass ein digitales Tool in der Ma-
vierung von Lernenden gilt als Qualitätsmerkmal thematikausbildung die Fähigkeiten der Lernenden
von Lerngelegenheiten (Weber & Lindmeier, 2020). zur Selbstregulation fördern sollte.
Während sich am Übergang zu einem Mathematik- Im Folgenden formuliere ich in Abschnitt 2 Zie-
studium die Lernziele der Mathematikausbildung le des Einsatzes von LMS für die Aufgabenkultur
zum Beweisen als Lerngegenstand hin verschieben, in der Mathematikausbildung. In Abschnitt 3 dis-
fokussiert die Mathematikausbildung an Hochschu- kutiere ich die Möglichkeiten des LMS Moodle,
len für Angewandte Wissenschaften noch stärker herausfordernde, offene Mathematikaufgaben und
auf die Anwendbarkeit und Anwendung der mathe- einen diskursiven Umgang auch mit Fehlern zur
matischen Inhalte. Eine zugehörige Aufgabenkul- Aufgabenkultur beizutragen.
tur muss im genannten Sinne Fehlvorstellungen der
Lernenden zulassen, aufnehmen und gezieltes Feed-
back zu einzelnen Lösungsansätzen und -schritten 2 Ziele des Einsatzes von
bereitstellen. Des Weiteren ist die Fähigkeit der Ler- Lernmanagementsystemen in der
nenden zur Selbstregulation wesentlich für das er- Mathematikausbildung
folgreiche Bearbeiten von Aufgaben, hier werden
unter anderem Autonomie- und Kompetenzerle- Die Ziele des Einsatzes von LMS für die Aufgaben-
ben als wichtige Erfolgsfaktoren angeführt (ebd.). kultur in der Mathematikausbildung an Hochschu-
Eine zugehörige Aufgabenkultur sollte daher den len teile ich in zwei Klassen ein:
Lernenden auf Augenhöhe begegnen und ihnen
eine aktive Rolle im Lerngeschehen zugestehen. didaktische Ziele,
Eine wesentliche Rolle für die Ausgestaltung ei- pragmatische Ziele (verfügbare Ressourcen effi-
ner attraktiven Aufgabenkultur spielen die Medien, zient nutzen).
1 Mit der Abkürzung LMS sind in der Folge ausschließlich digitale Lernmanagementsysteme gemeint.
GDM-Mitteilungen 110 · 2021 Digitales Lehren und Lernen 25
Abbildung 1. Pragmatisches Ziel: In großen Lerngruppen individuellen Bedürfnissen gerecht werden. (Abb. nach einer Idee von
M. Kallweit)
Aus gutem Grund mag eingewendet werden, dass Als weiteres pragmatisches Ziel sei genannt, Lern-
didaktische Ziele immer auch pragmatische Ziele gelegenheiten zu schaffen, die sich in eine mobile
seien. Daher ist hier präzisiert, dass bei den prag- Lebensart und die über online-Netzwerke struktu-
matischen Zielen die möglichst effiziente Nutzung rierte Lebensrealität der Lernenden einfügen.
der vorhandenen Ressourcen im Vordergrund steht.
Die pragmatischen Ziele des Einsatzes von LMS
2.1 Didaktische Ziele
möchte ich im Folgenden nur skizzieren, obwohl
Im Folgenden diskutiere ich zwei sich überschnei-
sie erfahrungsgemäß meist die ausschlaggebende
dende didaktische Ziele des Einsatzes von LMS
Rolle bei der Entscheidung für den Einsatz digita-
in der Mathematikausbildung an Hochschulen für
ler Unterstützung spielen. Mehr Raum möchte ich
Angewandte Wissenschaften:
anschließend der Formulierung didaktischer Ziele
einräumen. Förderung prozessbezogener Kompetenzen,
Ein oftmals als ideal angesehenes, enges und Aktivierung durch dialogisches Lernen.
diskursives Lehrer:in–Schüler:in-Verhältnis ist ange-
sichts der Größe der Lerngruppen nur noch in Aus-
nahmesituationen realisierbar. Obwohl es in großen Förderung prozessbezogener Kompetenzen. Leh-
Lerngruppen unmöglich ist, individuell mit allen rende an Technischen Universitäten und Hochschu-
Lernenden zu interagieren, bleibt es dennoch not- len für Angewandte Wissenschaften erwarten heute
wendig, die individuellen Bedürfnisse der Lernen- zu Studienbeginn von Lernenden über die unver-
den zu berücksichtigen, vgl. Abb. 1. Hier sind un- zichtbaren inhaltlichen Kenntnisse hinaus gute bis
ter anderem individuelle Lernstände und Lernstile sehr gute Kenntnisse in einem ganzen Katalog von
sowie ein Bedarf an spezifischem Feedback, Auf- prozessbezogenen Kompetenzen aus – um nur eini-
munterung und Kritik zu nennen. Auf Seiten der ge zu nennen – den Bereichen Kommunizieren, Dar-
Lehrenden existiert erfahrungsgemäß der Wunsch stellen und Problemlösen (Neumann et al., 2017).
nach Rückmeldungen zu den angebotenen Mate- Gerade im Kompetenzbereich Problemlösen erge-
rialien und nach Informationen über deren Ver- ben sich Einsatzmöglichkeiten digitaler Tools in der
wendung. Hier versprechen digitale Tools einer- Mathematikausbildung. In diesem Kompetenzbe-
seits Abhilfe in Form von automatisiertem Feed- reich werden etwa das Verstehen und präzise Wie-
back und Bewertung, idealerweise auch mit auf dergeben von Problemstellungen, das Entwickeln
die individuellen Bedürfnisse ausgelegten Lern- von Problemlösungsstrategien und die sichere An-
pfaden; andererseits in Form von Learning Ana- wendung heuristischer Prinzipien wie zum Beispiel
lytics (Nutzungsstatistiken). Sehr bewertungseffizi- systematisches Probieren und in Teilprobleme zerle-
ent sind Multiple-Choice-Aufgaben. Jedoch können gen erwartet (ebd.). Im Kompetenzbereich Kommu-
bei Multiple-Choice-Aufgaben richtige Lösungen nikation werden etwa eine sichere Verwendung ma-
auch durch Raten und per Ausschlussverfahren ge- thematischer Formulierungen, zielgerichtetes Dis-
funden werden, zudem können keine Aufgaben kutieren mit Lehrenden und anderen Lernenden
gestellt werden, die konstruktive Lösungssuche ver- und die Fähigkeit vorausgesetzt, mathematische
langen (Blum & Büchter, 2020). Wünschenswert ist Ideen und Zusammenhänge unter Verwendung der
ein digitales Tool, das die Bewertungseffizienz von Fachsprache mündlich und schriftlich darstellen
Multiple-Choice-Aufgaben mit der Möglichkeit ver- zu können (ebd.). Auch hier können digitale Tools
knüpft, offene und komplexe Aufgaben zu stellen. punktuell unterstützen.
26 Digitales Lehren und Lernen GDM-Mitteilungen 110 · 2021
Erfahrungen an der Ostfalia Hochschule für an- de Feedbackmaterial bereithalten, das spezifisch
gewandte Wissenschaften mit gezielten Mathemati- auf vorgesehene Eingaben hin ausgespielt wird.
kangeboten für Studienanfänger:innen mit ungüns- Mithilfe interaktiv ausgeführter Aufgaben und
tigen Voraussetzungen2 zeigen, dass gerade die För- guten Feedbacks entsteht eine Form von Dia-
derung prozessbezogener Kompetenzen im metho- log und eine individualisierte Lernerfahrung.
dischen Rahmen lernendenzentrierter und aktivie- Die Konstruktion eines solchen Kurses ist top-
render Lehre die Wahrscheinlichkeit auf späteren down. Ihm liegt eine vorhergesehene Abfolge
erfolgreichen Erwerb inhaltsbezogener Kompeten- von Inhalten/Wegpunkten zugrunde, die ihren
zen erhöht (Bennecke & Wagner, 2017). Der Einsatz Ursprung meist im linearen Ausgangsmaterial
eines LMS in der Mathematikausbildung sollte da- der Kurserstellung hat und gewissermaßen ei-
her zu Aufbau und Training dieser Kompetenzen ne inhärente Arroganz des tradierten Lehrer:in–
beitragen. Schüler:in-Verhältnisses ausdrückt.
Dialog mit der Maschine. Dieses Modell setzt
Aktivierung durch dialogisches Lernen. Unter
eine ‚intelligente‘ Maschine im Sinne von Künst-
dialogischem Lernen verstehe ich eine (inter)aktive
licher Intelligenz oder adaptiver Techniken vor-
Auseinandersetzung der Lernenden mit dem Lern-
aus. Die Grundlage für einen direkten Dialog
gegenstand, die einem Austausch auf Augenhö-
mit der Maschine müssen Inhalte sein, die der
he mit Lehrenden oder anderen Lernenden gleich-
Maschine zugeführt wurden, und auf deren
kommt. Eines der Ziele dialogischen Lernens ist das
Grundlage sie die Inhalte erlernen konnte. Bei
Erleben von Kompetenz und Autonomie als Ein-
einer vollständig selbstlernenden Maschine müs-
flussfaktoren der Motivation und letztlich, durch
sen ihr dazu allein die Quellen zugänglich ge-
den dadurch geförderten Erwerb prozessbezogener
macht werden. Eine zunächst realistischere Si-
Kompetenzen, des Lernerfolgs. In ihrer einfachs-
tuation ist, dass die Lehrperson der Maschine
ten Form besteht eine digitale Aufgabensammlung
den Umfang und die an den Lernzielen orien-
aus einer Abfolge von Aufgaben, die nacheinander
tierte Struktur der Inhalte vermittelt. Der Dialog
bearbeitet werden. Eine zugehörige einfache Form
mit den Lernenden bleibt dann der Maschine
automatisierten Feedbacks besteht in der Rückmel-
überlassen. Hierzu muss die Maschine selbst
dung an die Lernenden, ob ihre jeweilige Eingabe
über die notwendigen Problemlösungskompe-
korrekt oder falsch ist. In einem solchen, nicht un-
tenzen verfügen – in unserem Fall muss sie al-
typischen Setup haben die Lernenden keine Mög-
so ‚Mathe können‘. So kann die Maschine das
lichkeit, den Fortgang des Kurses mitzugestalten,
Eingabeverhalten der Lernenden problemspezi-
bei Falschantworten nach der Fehlerursache zu fra-
fisch analysieren und typische Fehler und fach-
gen, gezielt Inhalte zu wiederholen oder auch Frus-
liche Unsicherheiten erkennen. Mit je mehr Ler-
tration auszudrücken. Ein Autonomieerleben als
nenden die Maschine interagiert, desto siche-
Einflussgröße für Motivation ist nicht vorhanden.
rer erkennt sie typische Schwierigkeiten beim
Zumindest für formatives Assessment erwartet man
Erreichen des Lernziels. Auf diese Erfahrung
jedoch von einem Lernmittel im obigen Sinne, dass
aufbauend, ermittelt die Maschine individuell
es die Lernenden aktiviert, sie in die Lernerfahrung
an jedem Wegpunkt die Materialien, Heraus-
einbezieht und ein dialogisches Lernen entstehen
forderungen oder Hilfen, die der Erreichung
lässt. Ich sehe grundsätzlich zwei Möglichkeiten,
des Lernziels im nächsten Schritt am zuträg-
wie im Lernen mit digitalen Medien ein Dialog
lichsten sind. Darüberhinaus bietet die Maschi-
entstehen kann:
ne jederzeit die Möglichkeit, nachzufragen. Die
Dialog durch die Maschine hindurch. Dies ist Struktur eines solchen Kurses ist gewisserma-
das aktuell zumeist verfolgte Modell. Die Leh- ßen biologisch, da sein Verhalten das beobachtete
renden treten durch das Medium hindurch mehr Verhalten von biologischen Systemen imitiert: Es
oder minder direkt in Erscheinung. So wie ich gibt viele Wege zum Lernziel. Durch die adapti-
gerade mit Ihnen kommuniziere, tragen Leh- ve Kurskonstruktion erleben die Lernenden ein
rende ihre Inhalte in das LMS ein, die von den gesteigertes Maß an Autonomie. Wird die Ma-
Lernenden auf vorgegebenem Wege bearbeitet schine dieserart zur Tutorin und befindet sich
werden. Die Lernenden folgen der Lehrperson mit den Lernenden in einem Dialog auf Augen-
auf deren Weg durch das Wissensgebiet hin zum höhe, schließt sich der Kreis zu den pragma-
Lernziel. An den Wegpunkten können Lehren- tischen Zielen des Einsatzes eines LMS. Wenn
2 Unter Lernenden mit ungünstigen Voraussetzungen werden hier Lernende verstanden, die in einem Einstiegstest unbefriedigende
mathematische Leistungen erbracht haben.
GDM-Mitteilungen 110 · 2021 Digitales Lehren und Lernen 27
Abbildung 2. Beispiele für die Aufgabentypen Numerisch (a), Einfach berechnet (b) und Berechnet (c)
die oftmals als ideal empfundene Eins-zu-Eins- passbarkeit des LMS an die Bedürfnisse der ver-
Lehrsituation aus Gründen der personellen und wendenden Institution. Moodle-Entwickler:innen
zeitlichen Ressourcen nicht hergestellt werden und -Anwender:innen kommen regelmäßig in na-
kann, so erscheint der Eins-zu-Eins-Dialog mit tionalen und internationalen Konferenzen zusam-
der Maschine als eine grundsätzlich aussichts- men. Die deutschsprachige Moodle-Gemeinschaft
reiche Alternative. tauscht sich im Forum der Moodle-Installation der
HU Berlin aus (HU Berlin, n. d.). Die dynamische
2.2 Weitere Ziele Entwicklung von Moodle, der rege Austausch unter
Als mögliche dritte Klasse von Zielen des Einsatzes den Entwickler:innen und Anwender:innen und die
von LMS (nicht nur in der Mathematikausbildung) Anpassbarkeit des LMS sind Gründe für die zuneh-
möchte ich hinzufügen, dass ein zentrales LMS an mende Verwendung von Moodle als zentrales LMS
einer Hochschule in einem Umfeld von hoher Mobi- an Hochschulen. Auch an Sekundarschulen wird
lität und Individualität einen gemeinsamen Raum Moodle eingesetzt (Moodle, n. d.).
darstellen kann, in dem auch jenseits von Präsenz-
veranstaltungen eine gemeinschaftliche Lernerfah- 3.1 Moodle-eigene Aufgabentypen für Mathematik
rung erzeugt und sozialer Zusammenhalt geschaf- Moodle enthält in seiner Standardinstallation drei
fen oder gefestigt werden kann. Dieser Raum kann Aufgabentypen, mit denen sich grundsätzliche ma-
mithilfe einer Vielzahl von Tools und Aktivitäten thematische Aufgaben abbilden lassen: 1. „Nume-
belebt werden, beispielhaft seien Foren, kollektiv risch“, 2. „Einfach berechnet“, 3. „Berechnet“ (auch
bearbeitbare Dokumente und Videokonferenzen ge- als Multiple Choice).
nannt. Die Leser:innen mögen für sich entscheiden, Der Aufgabentyp Numerisch ermöglicht die Ein-
ob dies als didaktisches, als pragmatisches oder als gabe von numerischen Antworten innerhalb eines
übergeordnetes Ziel einzuordnen ist. vorgegebenen Fehlerintervalls. Es kann die Eingabe
einer Einheit verlangt werden. Die Abb. 2(a) zeigt
ein Beispiel für die Lernendenansicht einer solchen
3 Möglichkeiten des LMS
Aufgabe. Aufgrund des Mangels an Randomisier-
In diesem Abschnitt diskutiere ich die Möglichkei- barkeit, an Berechnungen mithilfe mathematischer
ten, die formulierten didaktischen Ziele mit digita- Funktionen und an mathematischen Auswertungen
len Lernmanagementsystemen an Hochschulen zu der Nutzereingaben ist dieser Aufgabentyp nicht
erreichen, anhand des Beispiels des LMS Moodle. geeignet, die formulierten Ziele zu erreichen.
Moodle ist ein unter der GNU-GPLv3+ verfügba- Der Aufgabentyp Einfach berechnet stellt zusätz-
res freies LMS mit hohem Verbreitungsgrad und lich zum Aufgabentyp Numerisch randomisierbare
einer aktiven, internationalen Entwickler:innen- Zahlenwerte und mathematische Funktionen zur
und Anwender:innengemeinschaft. Im Januar 2021 Berechnung bereit. Die Mathematik-Routine berech-
vermeldete Moodle 209 000 aktive Installationen net das Ergebnis und typische (durch typische Fehl-
mit 249 Millionen Anwender:innen in 251 Län- vorstellungen und falsche Ansätze erzeugte) Fehler-
dern (Moodle, n. d.). Zahlreiche verfügbare Plug- bilder mithilfe von Formeln, die die Lehrperson hin-
ins und Designs erlauben ein hohes Maß an An- terlegt. Für alle Antwortmöglichkeiten kann ein per-
28 Digitales Lehren und Lernen GDM-Mitteilungen 110 · 2021
sonalisiertes Feedback und eine Punktbewertung deutschsprachige Hochschulen bieten frei verfügba-
eingestellt werden. Die Abb. 2(b) zeigt ein Beispiel res Material zur Einführung in den Aufgabentyp an,
für die Lernendenansicht einer solchen Aufgabe. siehe zum Beispiel Kallweit (n. d.) und TU Clausthal
Der Aufgabentyp Berechnet ermöglicht zusätz- (2020, 14. Okt.). Erwähnt sei das Projekt optes, in
lich zum Aufgabentyp Einfach berechnet die Synchro- dem im Rahmen des Qualitätspakts Lehre Angebo-
nisierung von Datensätzen innerhalb eines Tests. te für die Optimierung des Selbststudiums während
So können aufeinander aufbauende Fragen mit der Studieneingangsphase konzipiert und entwi-
demselben Zahlensatz operieren. Es wird damit ckelt werden. Dort wurde ein Mathematik-Vorkurs
zum einen möglich, in mehreren Aufgaben mehre- mithilfe des Aufgabentyps Stack umgesetzt (Weigel
re Aspekte desselben Problems zu behandeln, zum et al., 2019). Im Folgenden sollen exemplarisch eini-
anderen bietet dieses Feature die Möglichkeit zur ge Features dieses Aufgabentyps in Hinblick auf die
kleinschrittigen Bearbeitung komplexer Aufgaben. formulierten didaktischen Ziele vorgestellt werden.
Die Abb. 2(c, d) zeigen beispielhaft für die Lernen- Die Beispiele beschränken sich auf vergleichswei-
denansicht zweier solcher Aufgaben, die auf densel- se einfache Mathematik und sind als Schaufenster
ben Datensatz zugreifen. Dieser Aufgabentyp liegt einer größeren, dahinter liegenden Aufgabenwerk-
auch als Variante Berechnet (Multiple Choice) vor, statt anzusehen.
die dieselbe mathematische Funktionalität bietet,
jedoch Antwortoptionen vorgibt. Alle Antwortop-
Freie Eingabe. In Stack werden Eingaben frei
tionen können dabei Text und berechnete Größen
in der AsciiMath-Syntax eingegeben. Eine LATEX-
enthalten.
gerenderte Vorschau ermöglicht den Lernenden
Mit dem Aufgabentyp (Einfach) Berechnet kön-
während ihrer Eingabe (on the fly) die Prüfung
nen gute Mathematikaufgaben gestellt werden,
ihrer Eingabe auf syntaktische Korrektheit. Abb. 3
wenn nicht mehr gefordert wird als die Anwendung
illustriert dies: Syntaktisch falsche Ausdrücke wer-
von Grundrechenarten und elementarer Funktio-
den vom System während der Eingabe als ungültig
nen. Die Eingaben sind beschränkt auf numerische
zurückgewiesen [Abb. 3(a)]. Bei syntaktisch korrek-
Eingaben und ggf. eine vorgesehene Maßeinheit.
ten Eingaben können Lernende in der Vorschau
Für den Einsatz in der Lehre höherer Mathema-
überprüfen, ob ihre Eingabe dem intendierten ma-
tik fehlen zahlreiche Möglichkeiten wie etwa das
thematischen Ausdruck entspricht. So wurde etwa
Arbeiten mit Mengen, Matrizen, Gleichungssyste-
in Abb. 3(b) eine Klammer vergessen, sodass der
men, Grenzwerten, Reihen, Ableitungen, Integralen,
potenzierte geklammerte Ausdruck nicht wie ge-
Funktionen mehrerer Variablen usw.
wünscht im Nenner steht. Ergibt die Vorschau ein
I Mit den Aufgabentypen Numerisch, Einfach
syntaktisch korrektes und intendiertes Ergebnis,
berechnet und Berechnet können die formulierten
kann die Eingabe durch Klicken auf Prüfen abge-
didaktischen Ziele nicht oder nur eingeschränkt
sendet werden [Abb. 3(c)]. Die Eingabe wird dann
erreicht werden.
auf Übereinstimmung mit zuvor hinterlegten ma-
thematischen Eigenschaften geprüft und es wird
3.2 Der Aufgabentyp Stack
ein dem Ergebnis dieser Prüfung entsprechendes
Der Aufgabentyp Stack ist als Plug-in für Moodle
Feedback ausgegeben [Abb. 3(d)].
verfügbar und verwendet das Computeralgebrasys-
I Die freie Eingabe von mathematischen Aus-
tem (CAS) Maxima, um mathematische Operatio-
drücken erzeugt eine ausgeprägte Interaktivität
nen auszuführen. Maxima wurde in den 1960er-
des Tools. Das sofortige syntaktische und geren-
Jahren entwickelt, ist seit 1998 unter einer GNU-
derte Feedback zur Eingabe erzeugt eine positive
GPL-Lizenz (aktuell v3) verfügbar und wird von
Nutzer:innenerfahrung, verringert Frustration und
einem Entwickler:innenteam gepflegt. Die Verwen-
stellt, gerade im Vergleich zum vorgegebenen Ant-
dung des CAS bedeutet eine technische Hürde
wortraster von Multiple-Choice-Aufgaben, ein ers-
bei der Installation des Plug-ins, da zusätzlich zu
tes Autonomieerleben dar. Die freie Eingabe mit
Moodle ein Maxima-Server betrieben werden muss.
sofortigem Feedback stellt zugleich, als Interaktion
Inhaltlich eröffnet die Verwendung des CAS jedoch
mit dem Lerngegenstand Mathematik hinsichtlicher
ein weites Feld an Möglichkeiten, gute Mathema-
ihrer Syntax und Notationen, ein erstes Element
tikaufgaben zu stellen und in bestehende Moodle-
dialogischen Lernens dar.
Kurse mit all ihren Features zu integrieren.
Die englischsprachige Dokumentation des Plug-
ins auf den Seiten des Entwicklers ist ausführlich Eingabespezifisches Feedback/Potential Response
und umfassend (The University of Edinburgh, 2018, Tree. Durch die Verknüpfung mit dem CAS kann
26. Nov.). Zahlreiche Use-Cases werden von Spor- das Eingabefeld neben Zahlen und Variablen auch
ring und Sangwin (2019) dargestellt. Das Plug-in Mengen, Listen, Matrizen, Gleichungen, logische
selbst liegt in deutscher Übersetzung vor. Einige Aussagen usw. aufnehmen und auf mathematische
GDM-Mitteilungen 110 · 2021 Digitales Lehren und Lernen 29 Abbildung 3. AsciiMath-Eingabe mit Vorschau: (a) Malzeichen vergessen; (b) Nicht genügend Klammern gesetzt; (c) intendierte Eingabe; (d) fehlerspezifisches Feedback Eigenschaften prüfen. Im Fall der in Abb. 3 gezeig- gaben geprüft werden. So möchte man vielleicht ten Aufgabe kann geprüft werden, ob die Einga- bei der abgebildeten Aufgabe bei der Eingabe von be zur richtigen Lösung algebraisch äquivalent ist. 5/(54*x^2-72*x+24) darauf hinweisen, dass nicht Dies erfolgt nicht durch Vergleich zweier Zeichen- ausmultipliziert werden muss, ohne gleich Punk- ketten, sondern mithilfe des CAS durch Vergleich te abzuziehen. Typischerweise wird man also die zweier algebraischer Ausdrücke. (So werden bei- Eingabe auf mehrere mathematische Eigenschaften spielsweise die beiden Eingaben 5/(6*(3*x-2)^2) prüfen wollen. Diese Prüfungen werden im Potential und 5/6*(3*x-2)^(-2) als gleichwertig erkannt.) Response Tree organisiert. Ist die Eingabe nicht zur richtigen Lösung äquiva- Im Potential Response Tree (PRT) werden die lent, so beginnt die Suche nach möglichen Fehler- Prüfungen P1 , P2 , P3 , . . . der Eingabe auf mathema- ursachen. Ein typischer Fehler bei der abgebildeten tische Eigenschaften strukturiert, siehe Abb. 4. An Aufgabe wäre, dass die Integrationskonstante ver- den Knoten des PRT findet jeweils eine solche Prü- gessen wurde. Hierauf kann mithilfe des CAS ge- fung statt, die das Ergebnis „wahr“ (w) oder das prüft werden, vgl. das Feedback in Abb. 3(d). Weite- Ergebnis „falsch“ (f) haben kann. Jedes der beiden re typische Fehler wären, dass die äußere Funktion möglichen Ergebnisse dieser Prüfung kann entwe- abgeleitet statt integriert wurde, oder algebraische der auf einen weiteren Knoten verweisen oder die Fehler bei der Rücksubstitution. Nicht nur auf wirk- Antwortüberprüfung beenden. Jedem Prüfungser- liche Fehler, auch auf ihre Form hin können Ein- gebnis kann ggf. ein Punktwert (±, =) zugeord- Abbildung 4. Skizze eines Potential Response Trees (PRT). An den Knoten finden Prüfungen auf mathematische Eigenschaften der Eingabe statt. Je nach Ausgang der Prüfung [wahr (w) oder falsch (f)] wird auf weitere Knoten verwiesen. An jedem Wegsegment können Punkte gegeben (+) oder abgezogen (−) werden. Am Ende eines Weges durch den PRT wird ein Output (o) ausgegeben, der spezifisches Feedback für den durch den PRT genommenen Weg sowie ggf. die Gesamtpunktzahl enthalten kann.
30 Digitales Lehren und Lernen GDM-Mitteilungen 110 · 2021
Abbildung 5. Zwei Beispiele für eingabespezifisches Feedback und für anschließende Handlungsoptionen. Links: Hyperlink zur
Lernressource folgen oder nochmal versuchen. Rechts: Abhilfe ist im Feedback enthalten, die Handlungsoption ist nochmal versuchen.
net werden und zu jedem Prüfungsergebnis kann Weges aufmerksam macht, Abhilfen zur Fehlerkor-
ein Feedback hinterlegt werden. Die entlang eines rektur bereithält und Handlungsoptionen anbietet
Weges ‚eingesammelten‘ Feedbacks und ggf. Punk- (Lernressource konsultieren, nochmal versuchen).
te werden am Ende des Weges als Output (o) aus-
gegeben. Mithilfe von Nutzungsstatistiken können Zwischenschritte. In einer Stack-Aufgabe können
Lehrende die Häufigkeit der im PRT genommenen mehrere Eingabefelder platziert werden. So kön-
Wege nachvollziehen. Zwei Beispiele: nen Zwischenschritte abgefragt werden; etwa in
einem ersten Schritt die richtige mathematische
Abb. 5(links) zeigt eine digitale Umsetzung ei-
Modellierung einer Textaufgabe, bevor im zweiten
ner Aufgabe aus dem Mathematik-Brückenkurs
Schritt die Lösung des Problems abgefragt wird.
der Ostfalia. Die Eingabe entsteht aufgrund fol-
Abb. 6(links) zeigt eine in zwei Schritte zerlegte
genden Fehlers:
Bestimmung der notwendigen Bedingung für die
9
Extremwertstellen eines gegebenen kubischen Po-
· 16
3 169 1
6 1 lynoms. Die Überprüfungen der Eingaben können
18 4
= = =
3 · 2 · 16
218
2 · 16 4 2 4
2 · 16 3 4 · 4096 innerhalb des PRT miteinander verknüpft werden,
1 um Folgefehler zu berücksichtigen. Abb. 6(links)
=
16384 zeigt die Berücksichtigung eines solchen Folgefeh-
lers, der aus einem Fehlverständnis der Aufgaben-
Das Feedback weist auf den Fehler hin und lie-
stellung entsteht. Das Feedback weist auf den Feh-
fert einen Ansatz zur Fehlerbehebung. Zudem
ler hin und bietet per Hyperlink Zugang zu einer
bietet es per Hyperlink Zugang zu einer Abhilfe
Abhilfe versprechenden Ressource. (Bei dieser Auf-
versprechenden Lernressource.
gabe könnte zum Beispiel bei Eingabe der richtigen
Abb. 5(rechts) zeigt ein eingabespezifisches
Bedingungsgleichung, aber einer falschen Lösung
Feedback auf eine falsche Antwort auf die be-
derselben, eine Lernressource zum Lösen quadrati-
reits in Abb. 3 dargestellte Integrationsaufga-
scher Gleichungen angeboten werden.) Es können
be. Es wurde richtig substituiert (z = 3x − 2,
auch Variablenwerte an folgende oder spätere Auf-
dz = 3dx), aber der Potenzausdruck 1/z3 wur-
gaben weitergereicht werden.
de differenziert statt integriert. Das Feedback
I Die Möglichkeit der freien Eingabe von Zwi-
weist auf den Fehler hin und bietet per Hyper-
schenschritten ermöglicht Aufgaben mit konstrukti-
link Zugang zu einer Abhilfe versprechenden
ver Lösungssuche. Die vorgegebene Zerlegung in
Lernressource. Da es sich um eine Übungsauf-
Teilprobleme ist das Gerüst einer zu entwickelnden
gabe handelt, wird zudem angeboten, diese Auf-
und zu reflektierenden Problemlösungsstrategie.
gabe nochmal zu versuchen.
Das gezielte Feedback zu einzelnen Modellierungs-
I Die Eingaben der Lernenden folgen je nach ih- und Rechnungsschritten, insbesondere auch zu ei-
ren Eigenschaften einem individuellen Pfad durch nem fehlerhaften Verstehen der Problemstellung
den PRT. Mithilfe der an den Knoten des PRT hin- und zu typischen Fehlvorstellungen, ermöglicht
terlegten Teilfeedbacks kann als Output ein ein- im Zusammenhang mit den Handlungsoptionen
gabespezifisches Feedback generiert werden, das ‚Lernressource konsultieren‘ und ‚nochmal versu-
auf mögliche Fehler entlang der Berechnung des chen‘ (und dem abermaligen detaillierten Feed-
GDM-Mitteilungen 110 · 2021 Digitales Lehren und Lernen 31
Abbildung 6. Links: Beispiel für Feedback zu Zwischenschritten und Berücksichtigung von Folgefehlern. Rechts: Beispiel für eine
offene Aufgabenstellung mit Feedback zu Eigenschaften der Antwort und grafischem Feedback. Aus Platzgründen wurde hier die
Syntaxprüfung des Eingabefelds ausgespart.
back) ein systematisches Probieren und stellt eine gischen Lernens dar.
Form zielgerichteten Diskutierens und damit dialo-
gischen Lernens dar.
4 Zusammenfassung
Herausfordernde, offene Aufgaben. Die eben dis- Ich habe in Abschnitt 3.2 anhand von Beispielen
kutierte Aufgabe der Abb. 6 (links), die Bestim- gezeigt, wie Elemente der in Abschnitt 2.1 formu-
mung der Extremwertstellen eines gegebenen kubi- lierten didaktischen Ziele mithilfe des Aufgaben-
schen Polynoms, kann ‚umgedreht‘ werden, indem typs Stack im Lernmanagementsystem Moodle er-
nach einem kubischen Polynom mit vorgegebenen reicht werden können. Die in den Beispielen er-
Eigenschaften gefragt wird, siehe Abb. 6(rechts). In reichten Ziele sind jeweils im letzten Absatz des
einem sorgfältig angelegten PRT kann die Eingabe Abschnitts 3.2 zusammengefasst. Dabei ist deut-
der Lernenden nach und nach auf alle geforder- lich geworden, dass die grundsätzliche Struktur
ten Eigenschaften abgeklopft werden: 1. Wurde ein einer Stack-Aufgabe top-down und nicht biologisch
kubisches Polynom eingegeben? 2. Ist die Ablei- ist (vgl. Abschnitt 2.1), sodass die Möglichkeiten
tung an den gegebenen Extremwertstellen gleich zum dialogischen Handeln beschränkt sind auf hin-
Null? 3. Ist die zweite Ableitung an der Wende- terlegtes Feedback inklusive Handlungsoptionen.
stelle gleich Null? Zu jeder dieser Prüfungen kann Durch kluge Formulierung und Strukturierung der
Feedback ausgegeben werden. Das Feedback kann Aufgabenstellung und des PRT gelingt mit dem
zudem einen Funktionsplot enthalten, um die Dar- Aufgabentyp Stack jedoch eine sehr zielgerichte-
stellung der Eigenschaften der eingegeben Funkti- te Formulierung von Feedback und Handlungs-
on um die grafische Visualierungsebene zu ergän- optionen. Eine Besonderheit des Aufgabentyps ist
zen. die freie Eingabe mit sofortigem Feedback, die als
I Wird die Aufgabe solchermaßen ‚umgedreht‘, Interaktion mit dem Lerngegenstand Mathematik
so wird aus einer Aufgabe, die mittels bekannter hinsichtlich ihrer Syntax und Notationen ein zu-
mathematischer Prozeduren gelöst werden kann sätzliches Element dialogischen Lernens darstellt.
(Kurvendiskussion), eine herausfordernde, offene Das Ensemble aus freier Eingabe, zielgerichtetem
Aufgabe, die ein mathematisches Verständnis der Feedback und den Handlungsoptionen ‚Lernres-
Problemstellung und das Entwickeln eigener Pro- source konsultieren‘ und ‚nochmal versuchen‘ (und
blemlösungsstrategien erfordert. Das gezielte Feed- dem abermaligen detaillierten Feedback) stellt eine
back zu den Eigenschaften der Eingabe ermöglicht Form dialogischen Lernens dar.
im Zusammenhang mit den Handlungsoptionen Als Defizite sind zu nennen: 1. Das Feedback
eine Art diskursiven Umgang mit Fehlern, regt und die Handlungsoptionen sind beschränkt auf
zu systematischem Probieren an und stellt eine die Vorausschau der Lehrperson beim Schreiben
Form zielgerichteten Diskutierens und damit dialo- der Aufgabe. Die Maschine selbst lernt nicht, dass
32 Digitales Lehren und Lernen GDM-Mitteilungen 110 · 2021
Lernende ggf. andere Hilfen benötigen. Als Abhilfe Colchester, K., Hagras, H., Alghazzawi, D. & Aldabbagh,
erstellt die Maschine Nutzungsstatistiken, aus de- G. (2017). A Survey of Artificial Intelligence Techni-
nen die Lehrperson Schlüsse über zum Beispiel die ques Employed for Adaptive Educational Systems
Notwendigkeit weiterer Knoten im PRT, einer an- within E-Learning Platforms. Journal of Artificial Intel-
deren Art von Feedback oder der Bereitstellung an- ligence and Soft Computing Research, 7(1), 47–64.
HU Berlin. (n. d.). Moodle-Forum der Hochschulen im
derer Lernressourcen ziehen kann. 2. Zwar nimmt
deutschsprachigen Raum. Verfügbar 11. Januar 2021 un-
innerhalb einer Aufgabe die Eingabe der Lernenden
ter https://moodle.hu-berlin.de/course/view.php?
einen individuellen Weg durch den PRT. Die Abfol- id=37191
ge der Aufgaben selbst, und damit der Weg zum Jordan, A., Krauss, S., Löwen, K., Blum, W., Neubrand,
letztendlichen Lernziel, ist jedoch weiterhin von M., Brunner, M., Kunter, M. & Baumert, J. (2008).
der Lehrperson vorgegeben und nicht an die spezi- Aufgaben im COACTIV-Projekt: Zeugnisse des ko-
fischen Leistungen und Fehlleistungen der Lernen- gnitiven Aktivierungspotentials im deutschen Mathe-
den innerhalb der einzelnen Aufgaben angepasst. matikunterricht. Journal für Mathematik-Didaktik, 29(2),
3. Es fehlt die Möglichkeit für Lernende, gezielt 83–107.
nachzufragen. Da die Maschine dies nicht leisten Kallweit, M. (n. d.). Stack in der Lehre. Verfügbar 11. Januar
kann, kann hierzu auf andere Features des LMS 2021 unter https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/m/
course/view.php?id=13674
wie Chats, Foren und Videokonferenzräume, oder
Klieme, E., Lipowsky, F., Rakoczy, K. & Ratzka, N. (2006).
auf feste Termine wie Seminare und Tutorien zu-
Qualitätsdimensionen und Wirksamkeit von Mathe-
rückgegriffen werden. Dies wiederum kollidiert in matikunterricht. Theoretische Grundlagen und aus-
der Praxis oft mit der Ressourcenknappheit auf gewählte Ergebnisse des Projekts „Pythagoras“. In
Lehrendenseite. M. Prenzel & L. Allolio-Näcke (Hrsg.), Untersuchun-
Abhilfe bei den Defiziten 1 und 2, womöglich gen zur Bildungsqualität von Schule. Abschlussbericht des
auch bei Defizit 3, verspricht der Einsatz Künstli- DFG-Schwerpunktprogramms (S. 127–146). Waxmann.
cher Intelligenz (KI) und adaptiver Technologien. Kunter, M., Baumert, J., Blum, W., Klusmann, U., Krauss,
Einen Überblick über die KI-basierten Techniken S. & Neubrand, M. (2011). Professionelle Kompetenz
zum Einsatz in e-Learning-Plattformen findet man von Lehrkräften: Ergebnisse des Forschungsprogramms
bei Colchester et al. (2017). Eine Untersuchung die- COACTIV. Waxmann Verlag.
Moodle. (n. d.). Statistics. Verfügbar 11. Januar 2021 unter
ser Techniken hinsichtlicher ihres Potentials zur
https://stats.moodle.org
digitalen Bereicherung der Aufgabenkultur in der
Neumann, I., Pigge, C. & Heinze, A. (2017). Welche mathe-
Mathematikausbildung an Hochschulen erscheint matischen Lernvoraussetzungen erwarten Hochschulleh-
eine lohnenswerte Aufgabe. rende für ein MINT-Studium? IPN Kiel.
Sporring, M. & Sangwin, C. (2019). STACK Online As-
Ich danke N. Jensen und U. Priss für Hinweise zum sessment. A collection of case studies. The University of
Manuskript. Diese Arbeit wurde aus Mitteln des Bun- Edinburgh.
desministeriums für Bildung und Forschung unter dem The University of Edinburgh. (2018, 26. Nov.). Stack. https:
Förderkennzeichen 01PL16066H gefördert. Die Verant- //www.ed.ac.uk/maths/stack
wortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung liegt beim TU Clausthal. (2020, 14. Okt.). RZ-Dokumentationen:
Autor. 6. Stack (Maxima). https://doku.tu-clausthal.de/doku.
php?id=multimedia:moodle:stack%5C_maxima
Weber, B.-J. & Lindmeier, A. (2020). Viel Beweisen,
kaum Rechnen? Gestaltungsmerkmale mathemati-
Literatur scher Übungsaufgaben im Studium. Mathematische
Bennecke, I. & Wagner, G. Engagierte Studierende – eine Semesterberichte, 67, 1432–1815.
Frage der Lehrmethode? [DiNa-Sonderausgabe]. In: Weigel, M., Derr, K. & Hübl, R. Optimising Self-study
Tagungsband zum 3. Symposium zur Hochschullehre in with STACK. In: STACK Online Assessment. A collecti-
den MINT-Fächern. DiNa-Sonderausgabe. Nürnberg, on of case studies. The University of Edinburgh, 2019,
2017, 257–262. 35–40.
Bisitz, S. & Jensen, N. (2012). Aktivierende Online-Lehre
in der Mathematik mit Moodle, Clicker und LON- Sebastian Linden, Ostfalia Hochschule
CAPA. In J. Desel, J. M. Haake & C. Spannagel (Hrsg.), für angewandte Wissenschaften
DeLFI 2012: Die 10. e-Learning Fachtagung Informatik der E-Mail: Sebastian.Linden@SundL.online
Gesellschaft für Informatik e.V. (S. 219–224). Gesellschaft
für Informatik e.V.
Blum, S. & Büchter, A. (2020). Blended Learning in der
Studieneingangsphase Mathematik mit digitalen Auf-
gaben zu Themen der Linearen Algebra. In A. Frank,
S. Krauss & K. Binder (Hrsg.), Beiträge zum Mathema-
tikunterricht 2019: 53. Jahrestagung der Gesellschaft für
Didaktik der Mathematik (S. 141–144). WTM-Verlag.
Sie können auch lesen
