Mathematik in der Kartographie - Projektionen von der Kugel auf die Ebene - Projektionen von der Kugel ...
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Mathematik in der Kartographie -
Projektionen von der Kugel auf die Ebene
Diplomarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades einer Magistra
der Naturwissenschaften an der
Karl-Franzens-Universität Graz
vorgelegt von
Iris WOLKERSTORFER
am Institut für: Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Begutachter: Univ.-Prof. Dr.phil. Bernd Thaller
Graz, 2020
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis iv
Tabellenverzeichnis vi
1 Einleitung 2
2 Theorie und Methoden 4
2.1 Didaktische Begründung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Lehrplanbezug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Bildungs- und Lehraufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Aspekte der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Bildungsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5 Didaktische Grundsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.6 Mathematische Kompetenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Fachdidaktische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Frontalunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Partnerarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Stationenbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.5 Computer und Medieneinsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Projektionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
2.3.1 Sphärische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Azimutalprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.4 Zylinderprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.5 Kegelprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.6 Unechte Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.7 Tissotsche Indikatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.8 Projektionsarten im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Resultat 52
3.1 Unterrichtsplanung 1. Unterrichtseinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Station 1: Zylinderprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2 Station 2: Flächentreue und Winkeltreue im Vergleich . . . . . . . . . 56
3.1.3 Station 3: Koordinaten und das Gradnetz der Erde . . . . . . . . . . 58
3.1.4 Station 4: Eigene Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Unterrichtsplanung 2. Unterrichtseinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Aufgabe 1 : Streckenberechnung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Aufgabe 2 : Streckenberechnung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.3 Aufgabe 3: Orthogonalprojektion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.4 Aufgabe 4: Orthogonalprojektion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.5 Aufgabe 5: Orthogonalprojektion 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.6 Aufgabe 6: Abbilden in eine Koordinatenebene mithilfe der Abbil-
dungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.7 Aufgabe 7: Parallelprojektion: Stereographische Projektion in der Ebene 70
4 Diskussion 73
4.1 Analyse 1. Unterrichtseinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Aufgabe 1 - Experiment: Meine Zylinderprojektion . . . . . . . . . . 74
ii
4.1.2 Aufgabe 2 - Flächentreue und Winkeltreue im Vergleich . . . . . . . . 74
4.1.3 Aufgabe 3a - Koordinaten und das Gradnetz der Erde . . . . . . . . . 75
4.1.4 Aufgabe 3b - Koordinatenbestimmung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.5 Aufgabe 3c - Koordinatenbestimmung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.6 Aufgabe 4 - Experiment: Eigene Projektion . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Analyse 2. Unterrichtseinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Aufgabe 1 - Streckenberechnung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Aufgabe 2 - Streckenberechnung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 Aufgabe 3 - Orthogonalprojektion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.4 Aufgabe 4 - Orthogonalprojektion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.5 Aufgabe 5: Orthogonalprojektion 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.6 Aufgabe 6 Abbilden in eine Koordinatenebene mithilfe der Abbil-
dungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.7 Aufgabe 7 - Parallelprojektion: Stereographische Projektion in der Ebene 83
5 Zusammenfassung 85
Literaturverzeichnis 86
iii
Abbildungsverzeichnis
2.1 Darstellung der mathematischen Kompetenzen im dreidimensionalen Koordi-
natensystem. Eigene Darstellung nach Bifie (2009). . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Die 7 Phasen des Experiments. Eigene Darstellung nach Reich (2008). . . . . 17
2.3 Darstellung eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem. . . . . . . . . 27
2.4 Darstellung der Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Darstellung des Kreises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Darstellung von Groß- und Kleinkreisen auf der Kugel. . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Darstellung des Nullmeridianes und der Antipoden auf der Erde. . . . . . . . 32
2.8 Darstellung einer Orthdrome auf der Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9 Darstellung einer Kugelkoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Darstellungen von einer Kurve im R3 als Schraubkurve und in R2 als Kreis. . 35
2.11 Dreidimensionale Darstellung der Beleuchtungsmöglichkeiten einer Kugel von
oben im Koordinatensystem auf die xy-Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.12 Verzerrung der Stereographischen Projektion. Eigene Darstellung nach Meyer
(1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.13 Darstellung der Kreistreue (Sosna 2008, S. 38). . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.14 Darstellung der Kurswinkel für Loxodrome. Eigene Darstellung nach Graf
(1938). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.15 Unterschiedliche Darstellungen von Loxodromen auf der Kugel. Anmerkung:
Für den 3D Effekt der Abb. 2.15b wird eine rot-blaue 3D Brille benötigt. . . 41
iv
2.16 Darstellung einer Zylinderkoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.17 Unterschiedliche dreidimensionale Zylinderdarstellungen um die Kugel. An-
merkung: Für die Betrachtung der Abb. 3.1.1 ist eine rot-blaue 3D Brille
erforderlich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.18 Abbildung des Gradnetzes als Rechtecknetz. Eigene Darstellung nach Graf
(1938). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.19 Gradnetzdarstellung der Mercator Projektion (Sosna 2008, S. 47). . . . . . . 44
2.20 Darstellung der Mercator Projektion (Krämer 2016, S. 5). . . . . . . . . . . . 45
2.21 Darstellung der Peters Projektion (Krämer 2016, S. 5). . . . . . . . . . . . . 46
2.22 Darstellung der Kegelprojektion (Havlicek 2008, S. 8). . . . . . . . . . . . . . 47
2.23 Darstellung des Stab/Wernerschen Entwurfes (Schröder 1988, S. 134). . . . . 48
2.24 Darstellung der Mercator/Sanson Planisphäre (Schröder 1988, S. 142). . . . 49
2.25 Tissot Darstellung. Aus Jung (2020). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.26 Vergleich von flächentreuer und winkeltreuer Projektion. . . . . . . . . . . . 50
3.1 Vergleich von Mercator Projektion und Peters Projektion aus Krämer (2016). 53
3.2 Material für die annähernde Zylinderprojektion. . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Versuchsablauf der eigenen Zylinderprojektion“. . . . . . . . . . . . . . . . 55
”
3.4 Tissot Darstellung. Aus Jung (2020). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Vergleich von flächentreuer und winkeltreuer Projektion. Aus Jung (2020). . 57
3.6 QR Code für Lernvideo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Material für die eigene Projektion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Eigene Projektionsmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Skizze der Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
v
Tabellenverzeichnis
2.1 Eigenschaften der Projektionsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
vi
Abstract
Diese Arbeit liefert die mathematischen und didaktischen Grundlagen für fächerübergreifen-
des Unterrichten von Mathematik in der Kartographie. Es gibt verschiedene Methoden die
Erdoberfläche auf eine zweidimensionale Fläche, eine Karte, zu projizieren. Der Typ der
Projektion ist von wesentlicher Bedeutung für die Erscheinung und Aussage einer Kar-
te, welche hauptsächlich von den mathematischen Eigenschaften der gewählten Projekti-
on bestimmt werden. Das erarbeitete Unterrichtskonzept vermittelt den Schülerinnen und
Schülern die mathematischen und geographischen Eigenschaften von Karten und deren Pro-
jektionen durch Experimente und anwendungsorientierte Aufgaben. Dadurch wird es ihnen
ermöglicht, Karten fachkundig zu interpretieren.
This thesis provides mathematical and didactical basics for interdisciplinary teaching of
mathematics and cartography. There are many different methods how to project a sphere on
a plane and each of them has certain mathematical properties. Maps of the earth display for
example the continents in hugely different sizes and shapes depending on the projection. The
developed teaching concept is aimed to demonstrate both mathematical and geographical
aspects of maps through experiments and application-oriented assignments. Pupils should
then be able to read and interpret maps proficiently.
vii
Danksagung
Ich möchte mich bei Herrn Univ.-Prof. Dr.phil. Bernd Thaller für die engagierte Betreuung
trotz dieser schwierigen Zeit sehr bedanken.
Weiters möchte ich mich bei meinem Freund Alexander bedanken, der während der Entste-
hung dieser Arbeit immer eine große Stütze für mich war.
Ganz besonders möchte ich mich bei meiner Schwester und meinen Eltern bedanken. Sie
haben immer an mich geglaubt, mich seit Beginn emotional wie finanziell unterstützt, und
mir damit meinen Lebenstraum, Lehrerin zu sein, ermöglicht.
1
Kapitel 1
Einleitung
Mathematik ist eine Schlüsseltechnologie in der Kartographie. Somit stellt die Kartographie
die ideale Schnittstelle zwischen den Disziplinen Mathematik und Geographie (und Wirt-
schaftskunde) dar. Weil unser Planet (annähernd) eine Kugel ist, sind verschiedene Projek-
tionsarten notwendig, um die Kugeloberfläche auf ein zweidimensionales Papier zu bringen.
Diese können ausschließlich mathematisch durchgeführt werden, und es steht eine große An-
zahl an verschiedenen Projektionsarten mit unterschiedlichen Eigenschaften zur Verfügung.
Diese sind zum Beispiel winkel-, flächen- oder längentreu, aber keine Kombination aller. Die
Projektionsart einer Karte repräsentiert sozusagen das Antlitz unseres Planeten, weil nur
die allerwenigsten Menschen jemals die Erde vom Weltraum als Ganzes zu sehen bekommen.
Daher ist die Projektion von besonderer Bedeutung und muss wohl ausgesucht sein, um den
Zweck der Karte optimal zu erfüllen.
Karten stellen in der Geographie eine grundlegende Ressource dar, auf der eine große Anzahl
an Methoden aufbaut. Grundlegende Projektionen der Erdoberfläche werden auf den meis-
ten Karten mit zusätzlichen Ebenen ergänzt, während die Wahl der Projektion auch schon
wichtige Information liefert. Der Amazonas Regenwald wird bei bestimmten Darstellungen
beispielsweise scheinbar vergrößert“ oder Afrika auch verkleinert“. Wie schon erwähnt,
” ”
2stellt die Wahl der Projektion ein wichtiges Element bei der Erstellung einer Karte dar und
muss den Zweck und die Aussage der Karte unterstützen. Daher sollen nicht nur Geographin-
nen und Geographen, sondern auch Schülerinnen und Schüler (SuS) mit Projektionen und
deren Eigenschaften vertraut sein, um eine Karte optimal erstellen, lesen und interpretieren
zu können. Die Kugel kann auf verschiedene Weisen auf eine Fläche projiziert werden. Jeder
Projektionstyp bringt unterschiedliche Vor- und Nachteile mit sich, welche in den nachfol-
genden Kapiteln näher beschrieben werden.
Diese Arbeit behandelt die Frage, wie sich Kartenprojektionen im Unterricht vermitteln
lassen und welche Methoden dafür geeignet sind. Das Resultat ist eine zweistündige Unter-
richtsplanung, in der die vorgestellten mathematischen Konzepte für SuS vereinfacht und
aufbereitet werden. Die Einheiten werden mithilfe von didaktischen Methoden aufbereitet
und deren Anwendung in der Geographie beschrieben.
Sage es mir - Ich werde es vergessen
Erkläre es mir - Ich werde mich erinnern
Lass es mich selber tun - Ich werde verstehen.
Konfuzius
3Kapitel 2
Theorie und Methoden
2.1 Didaktische Begründung
Mathematik bildet den Grundstein zur Berechnung von Koordinaten in der Ebene und im
Raum und ist der Schlüssel zu grundlegenden Karten. Während in der Schule Kartographie
hauptsächlich im Fach Geographie und Wirtschaftskunde behandelt wird, hat dieses Thema
auch im Unterrichtsfach Mathematik seine Berechtigung wie im Nachfolgenden gezeigt wird.
2.1.1 Lehrplanbezug
Projektionen sind ein sehr breit gefächertes Gebiet, welches viele Anwendungsbereiche in der
Mathematik zulässt. Die Unterstufenmathematik legt die Grundsteine für ein geometrisches
Verständnis, welches in der Oberstufe mit Vektorrechung erweitert und vertieft wird. Durch
die Abstraktion des Lehrstoffes verlieren SuS meist den Bezug zu Alltagsbeispielen, welche
mithilfe von Projektionsaufgaben wieder Platz im Mathematikunterricht finden können. Der
Lehrplan bietet für dieses Thema zahlreiche Anknüpfungspunkte und Möglichkeiten, welche
für eine konkrete Aufnahme in den Unterricht sprechen.
In der Unterstufe finden geometrische Figuren, Berechnungen und Netzanfertigungen be-
reits in der ersten Klasse Platz im Lehrplan (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für
4Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Kernbereich):
• Rechnen, Arbeiten mit Maßen und Umwandlungen zur Bearbeitung von Sachaufgaben
und geometrischen Berechnungen
• ausgehend von Objekten der Umwelt durch Idealisierung und Abstraktion geometrische
Figuren und Körper sowie ihre Eigenschaften erkennen und beschreiben können
• Skizzen von Kreisen, Kreisteilen und ihren Netzen anfertigen können
• Maßstabszeichnungen anfertigen und Längen daraus ermitteln können
• einfache symmetrische Figuren erkennen und herstellen können
Die korrekte Projektionsabbildung ist der grundlegende Baustein für Maßstabsberechnun-
gen. Die SuS berechnen mit dem angegebenen Maßstab Längen, aber wissen oft gar nicht
warum sie das dürfen und welche Voraussetzungen dafür gelten. Deswegen ist es sinnvoll,
grundlegende Eigenschaften wie Winkel-, Längen- oder Flächentreue im Unterricht zu be-
handeln. Eine ideale Möglichkeit ergibt sich hier in der Unterstufe, um neue Fachbegrif-
fe spielend einzuführen, welche auch laut Lehrplan in geometrischen Bereichen erwünscht
sind (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtge-
genstände, Mathematik, Kernbereich):
• Formeln in Sachsituationen und in der Geometrie aufstellen können
• Aufgaben aus Anwendungsbereichen und aus der Geometrie durch Umformungen von
Formeln oder Termen lösen können
• Aufgaben variieren und graphische Darstellungen nutzen können
Weiters bietet das Kapitel Arbeiten mit Figuren und Körpern“ in der vierten Klasse Un-
”
terstufe folgende Möglichkeiten, das Thema Eigenschaften der Kugel und ihre Projektions-
”
arten“ zu behandeln (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster Teil,
A Pflichtgegenstände, Mathematik, Kernbereich):
Formeln für die Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Drehzylindern und
”
5Drehkegeln sowie für die Kugel erarbeiten und nutzen können.“
Zwei häufig verwendete Projektionstypen in der Kartographie sind die Zylinder- und Kegel-
projektion. Das Unterrichten der Projektion der Kugel mittels Zylinder oder Kegel auf eine
Ebene würde hier eine ideale Verbindung der verschiedenen Figuren und Vektorrechnung bie-
ten. Im Unterricht werden alle Körper separat betrachtet, beispielsweise Volumina berechnet,
aber kein Konnex geschaffen. Mithilfe der Projektionstypen und deren Eigenschaften wird
genau das ermöglicht und weist einen roten Faden in die Oberstufe, wo Ebenen mithilfe des
kartesischen Koordinatensystems ausgedrückt werden. Die Frage: Warum lernen wir Ku-
”
gel, Kegel und Zylinder in der Unterstufe kennen?“ wäre innermathematisch beantwortet,
da diese Figuren mithilfe von geeigneten Projektionsvektoren in zwei- und dreidimensionale
Räume abgebildet werden können, was Gegenstand der Oberstufenmathematik ist.
Der AHS Lehrplan der fünften Klasse enthält zwei große Kapitel Trigonometrie“ und Vek-
” ”
toren und analytische Geometrie in R2“, wo das Thema Projektionen von Vektoren in R2
eine große Rolle spielt. Die Werkzeuge wie trigonometrische Funktionen und Polarkoodina-
ten der Kugel sind Lehrstoff, aber finden im Lehrplan keine Anwendungsbereiche. Mithilfe
von Eigenschaften der Vektorrechnung (Abstände ermitteln, Skalarpodukt berechnen) bie-
ten einfache Projektionen in R2 ideale Anwendungsbeispiele für den Unterricht, indem alle
bisher erlernten Komponenten verbunden werden können.
In der sechsten Klasse wird das Wissen der Vektorrechnung um den R3 erweitert (BMBWF
2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathe-
matik, Aufbauender Charakter – Sicherung der Nachhaltigkeit):
• Die aus der zweidimensionalen analytischen Geometrie bekannten Begriffe und Metho-
den auf den dreidimensionalen Fall übertragen können
• Normalvektoren ermitteln können; Ebenen durch Parameterdarstellungen bzw. Glei-
6chungen (Normalvektordarstellungen) beschreiben können
• Lineare Gleichungssysteme in drei Variablen lösen können
Die Anwendungsbeispiele der fünften Klasse können um eine Dimension erweitert und im R3
berechnet werden. Punkte von Figuren (Kugel, Kegel, Zylinder, Pyramide) können mithilfe
von geeigneten Projektionsvektoren in beliebige Ebenen des R3 projiziert werden, und das
wäre somit der nächste Schritt für kartographische Projektionen auf eine zweidimensionale
Ebene.
Der finale Baustein für Projektionen vom R3 in den R2 wird in der siebten Klasse gelie-
fert, wo der Lehrplan Kegelschnitte und ebene Kurven im Raum vorsieht (BMBWF 2020,
Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik,
Aufbauender Charakter – Sicherung der Nachhaltigkeit).
• Kreise, Kugeln und Kegelschnittslinien durch Gleichungen beschreiben können
• Die gegenseitige Lage von Kegelschnitt und Gerade bestimmen und allenfalls vorhan-
dene Schnittpunkte berechnen können; eine Gleichung der Tangente in einem Punkt
eines Kegelschnitts ermitteln können
• Ebene Kurven (allenfalls auch Kurven im Raum) durch Parameterdarstellungen be-
schreiben können
Mithilfe der erlernten Kurvendarstellungen können Großkreise und Kleinkreise auf der Ku-
gel beschrieben werden. Besondere Kurven der Kugel, Loxodrome genannt, werden mittels
der Mercator Projektion als Gerade auf den R2 abgebildet. Mit diesem Wissen wird der Zu-
sammenhang zwischen Kurven und dem Anwendungsbeispiel der Mercator Projektion her-
gestellt. Die Motivation für SuS den Lehrstoff zu verstehen wächst stark, wenn sie konkrete
Beispiele berechnen können, welche mit ihrem Alltag in Verbindung stehen. Die Verknüpfung
von Kartographie und Mathematik lässt sich in der Unter- und Oberstufe mittels Lehrplan
argumentieren und bietet damit zahlreiche Möglichkeiten abstrakte Vektorrechnung anhand
7von Anwendungsbeispielen den SuS näher zu bringen.
2.1.2 Bildungs- und Lehraufgabe
Die Bildungs- und Lehraufgabe ist im Lehrplan in Unter- und Oberstufe gegliedert. Im
folgenden sind die relevanten Argumente beider Formen herausgenommen und für diese
Arbeit begründet.
Die Bildungs- und Lehraufgabe wird wie folgt definiert (BMBWF 2020, Gesamte Rechts-
vorschrift für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Bildungs- und
Lehraufgabe):
Die Schülerinnen und Schüler sollen in den verschiedenen Bereichen des Mathema-
”
tikunterrichts Handlungen und Begriffe nach Möglichkeit mit vielfältigen Vorstellungen
verbinden und somit Mathematik als beziehungsreichen Tätigkeitsbereich erleben“
In dieser Arbeit wird Mathematik in Beziehung mit anderen Schulfächern gesetzt. Der Be-
reich der Kartographie ist die ideale Schnittstelle von Geographie und angewandter Mathe-
matik. Theoretische mathematische Ansätze können in praxisnahen Beispielen erprobt und
ausgearbeitet werden. Mathematik und Geographie können in diesem Bereich fächerübergreifend
unterrichtet werden. Beide Gegenstände profitieren von dem fachlichen Wissen beider Lehr-
personen und die SuS beleuchten dieses Thema von mehreren Seiten. Die Mathematik in
der Kartographie ist auch das Arbeitsgebiet der Navigation und Geodäsie. Der ursprüngliche
Gedanke Karten zu erstellen, kommt aus der Seefahrt, wo Karten das wichtigste Instrument
für die Navigation waren. Heute sind digitale Karten in jedem Navigationsgerät oder Mo-
biltelefon eingebaut, und ein täglicher Begleiter geworden.
Ein weiterer Aspekt lautet (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster
Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Bildungs- und Lehraufgabe):
durch das Benutzen entsprechender Arbeitstechniken, Lernstrategien und heuristischer
”
8Methoden Lösungswege und -schritte bei Aufgaben und Problemstellungen planen und
in der Durchführung erproben“
Der Stationenbetrieb und das Experiment sind zwei wichtige Arbeitstechniken, die SuS auf
verschiedene Weise lehren, Aufgaben richtig zu planen und durchzuführen. Jede Person ist
für die passende Zeiteinteilung und Reihenfolge der Stationen selbst verantwortlich. Das ist
wichtig, sodass es in der Bearbeitungsphase zu keiner Verwirrung der bereits vollendeten
Stationen kommt. Das Experiment ist eine ganz andere Methode, bei der gute Planung
und Vorbereitung das Ergebnis bestimmen. Die Planung eines Experiments ist deswegen so
wichtig, da es meist nur einen Versuch gibt, dieses durchzuführen. Wenn die Vorbereitung
lückenhaft ist, so wird das Experiment möglicherweise nicht funktionieren oder ein falsches
Ergebnis liefern. Die Durchführung muss wohl überlegt und durchdacht sein, bevor der ei-
gentliche Versuch starten kann. In dem abschließenden Unterrichtskonzept wird beispielswei-
se eine Möglichkeit gesucht, die Orangenschale so abzuschälen, dass eine zweidimensionale
Fläche der Orangenhaut entsteht (siehe Kapitel 3.1.4).
Ein weiterer Bereich ist (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster
Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Bildungs- und Lehraufgabe):
verschiedene Technologien (zB Computer) einsetzen können“
”
Die Darstellung von Karten mittels Computer eignet sich deswegen so gut, weil sie die
Visualisierung und Interpretation erleichtert. Virtuelle Karten sind aus der heutigen Zeit
nicht mehr wegzudenken, wie auch beispielsweise ein Navigationssystem in den meisten
Autos integriert ist. Google Maps ist beinahe auf jedem Smartphone installiert, und ein
stetiger Begleiter der SuS außerhalb der Schule. Deswegen bietet diese Technologie einen
besonders alltagsbezogenen Einstieg in das mathematische Thema Projektionen und deren
”
Eigenschaften“ an dem Beispiel der Erde.
Weiters wird definiert (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster
9Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Bildungs- und Lehraufgabe (5. bis 8. Klasse)):
Die mathematische Beschreibung von Strukturen und Prozessen der uns umgebenden
”
Welt, die daraus resultierende vertiefte Einsicht in Zusammenhänge und das Lösen von
Problemen durch mathematische Verfahren und Techniken sind zentrale Anliegen des
Mathematikunterrichts.“
Mathematik bildet das Grundgerüst von Kartographie und deren Projektionen. Die Metho-
den der Kartenerstellungen können durch die vereinfachte Projektionsweise einzelner Punkte
mittles Vektorrechnung SuS näher gebracht werden.
2.1.3 Aspekte der Mathematik
Die sechs Aspekte der Mathematik geben Auskunft, welchen Stellenwert die Mathematik für
SuS haben soll, wovon diese Arbeit drei für das Thema Mathematik in der Kartographie“
”
relevanten näher beschreibt. Die Aspekte sind aus (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift
für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Aspekte der Mathematik)
entnommen.
Der Schöpferisch kreative Aspekt“ soll das Denken und die Phantasie schulen. In dem aus-
”
gearbeiteten Unterrichtskonzept der ersten Einheit müssen die SuS Kreativität beweisen,
um eine Möglichkeit für beispielsweise eine eigene Schälweise der Orange für eine zweidi-
mensionale Darstellung zu finden (siehe Kapitel 3.1.4). Ohne mathematische Vorkenntnis
entstehen sicher viele Lösungsansätze der SuS, welche durch Probieren entwickelt werden.
Der Pragmatisch-anwendungsorientierte Aspekt“ ist ein sehr wichtiger Aspekt für SuS,
”
denn er gibt Auskunft über die oft gestellte Frage in der Mathematikstunde Wofür brauche
”
ich das später?“. Projektionen sind ein Teilgebiet der Linearen Algebra, welche für beinahe
jedes Studium an einer Technischen Universität gefordert sind. Maschinenbau, Elektrotech-
nik, Physik, Informatik und andere Studien haben eine Grundausbildung in Mathematik,
um die notwendigen mathematischen Werkzeuge zu vermitteln. Besonders interessant ist
10dieses Thema beispielsweise für das Studium Navigation und Geodäsie auf der Technischen
Universität Graz. In der Navigation gibt es ständig Weiterentwicklungen, Karten noch kon-
kreter und genauer darstellen zu können. Weiters ist das Thema der Projektionen ein großer
Bereich der Studien Mathematik und Geographie und Wirtschaftskunde (Bachelorstudium
oder Lehramt) an der Karl-Franzens-Universität Graz.
Der kulturell-historische Aspekt“ ist insbesondere für die Mathematik in der Kartographie
”
von großer Bedeutung. Seit Beginn der Menschheit ist der Drang die Welt zu erkunden sehr
groß, was zuverlässige Karten notwendig macht. Beispielsweise sind Seekarten ein unverzicht-
bares Hilfsmittel für die Navigation auf See, welches die Grundlage von Handelsbeziehungen
und Reisetätigkeit für viele Jahrhunderte war. Daher ging die Mercator Projektion als die
bedeutendste Kartendarstellung der Erde in die Geschichte ein, da sie als einzige die See-
routen, Loxodrome genannt, als Geraden abbildet, und die Wege deshalb einfach steuerbar
waren (siehe Kapitel 2.3.4).
2.1.4 Bildungsbereiche
Die Bildungsbereiche nach (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechs-
ter Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Beiträge zu den Bildungsbereichen) lassen sich
in fünf Kategorien einteilen, wobei das Ziel der Unterrichtsplanung ist, möglichst viele davon
anzusprechen. In dieser Arbeit werden drei Teilbereiche ausgearbeitet und in der Unterrichts-
planung umgesetzt.
Der erste Bereich ist Mensch und Gesellschaft“, in dem lebensnahe Aspekte mithilfe von
”
Mathematik thematisiert werden. Das Thema Kartenerstellung und Kartenvisualisierung
spielt eine große Rolle für Auto-, Flug- und Seenavigation. Für alle Verkehrsmittel gibt es
geeignete Karten, welche täglich zum Einsatz kommen und unverzichtbar geworden sind.
Der zweite angesprochene Bereich ist Natur und Technik“, in dem Naturereignisse mithil-
”
fe von Mathematik aufbereitet werden. Speziell in der Kartendarstellung ist Mathematik
11das wichtigste Werkzeug, da alle Projektionen von 3D auf 2D mathematisch beschreibbare
Abbildungen sind. Die Unmöglichkeit der gleichzeitigen Winkel-, Längen- und Flächentreue
ist durch mathematische Beweise sicher. Aus diesem Grund müssen für verschiedene Eigen-
schaften unterschiedliche Netzentwürfe existieren.
Der dritte Bereich, Kreativität und Gestaltung“ soll Raum zum Experimentieren und für
”
kreative Lösungsansätze geben. Die erste Einheit im ausgearbeiteten Unterrichtskonzept
bietet SuS in einem Stationenbetrieb mehrmals die Möglichkeit mithilfe der Methode Expe-
riment einen Lerninhalt zu bearbeiten. Diese Methode soll hohes Interesse für dieses Thema
wecken, da die SuS eine neue Aufgabe auf explorativem Weg erarbeiten (siehe Kapitel 3.1.1
und 3.1.4).
2.1.5 Didaktische Grundsätze
Im Folgenden wird auf die didaktischen Grundsätze der Oberstufe näher eingegangen, weil
das Unterrichtskonzept für diese konzipiert ist. Die didaktischen Grundsätze der 5. bis 8.
Klasse stellen das ideale Lernen in den Vordergrund, indem SuS individuell, aktiv und
verständnisvoll lernen. Dabei werden verschiedene Methoden für die Umsetzung in der Schul-
stunde präsentiert, welche als Leitfaden für den Unterricht dienen. In dieser Arbeit werden
speziell die Realisierungen herausgegriffen, welche für das Unterrichtskonzept ausgearbeitet
sind (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtge-
genstände, Mathematik, Didaktische Grundsätze (5. bis 8. Klasse)):
Lernen in anwendungsorientierten Kontexten“ heißt vielfältiges Lernen und fächerübergreifender
”
Unterricht. Genau dieser Grundsatz lässt sich für Mathematik in der Kartographie sehr gut
einsetzen, da Geographie und Mathematik für das ausgearbeitete Konzept fächerübergreifend
unterrichtet werden sollen. In der ersten Einheit wird der Bezug zwischen den beiden Diszi-
plinen im Stationenbetrieb hergestellt (siehe Kapitel 3.1.2 und 3.1.3).
Lernen in Phasen“ bedeutet aufbauendes Lernen, SuS sollen erst intuitiv Lerninhalte ent-
”
decken und später mit präzisen mathematischen Begriffen arbeiten. In dem Unterrichts-
12konzept wird das Thema interaktiv durch einen Stationenbetrieb eingeleitet, und später in
einem fragend-entwickelten Unterricht vertieft. SuS sollen dabei zuerst Grundkenntnisse zu
dem Thema Mathematik in der Kartographie erlernen, welche anschließend mathematisch
vertieft werden.
Lernen im sozialen Umfeld“ besteht darin, die Sozialformen zu wechseln, und der Grup-
”
pendynamik der SuS anzupassen. Das ausgearbeitete Unterrichtskonzept bietet zahlreiche
Sozialformen, welche SuS auf unterschiedlichen Ebenen das Lernen anbietet. Die Umsetzung
für die Praxis erfolgt durch die Einschätzung der Lehrperson und sollte klassenabhängig
entschieden werden. Die Stationen bilden ein Gesamtkonzept, können aber auch einzeln
unterrichtet werden. Die anschließenden mathematischen Beispiele sind für den fragend-
entwickelten Unterricht gestaltet, welche von der Lehrperson individuell schwerer oder leich-
ter umformuliert werden können (siehe Kapitel 3.2.3 und 3.2.4).
Lernen unter vielfältigen Aspekten“ heißt, unterschiedliche Perspektiven und Querver-
”
bindungen von Lerninhalten für SuS schaffen. Der Schulstoff der Unterstufe (Figuren und
Körper) kann mithilfe von Projektionen in der Oberstufe unterrichtet werden und eröffnet
ganz neue Möglichkeiten. Das bedeutet weiters, eine innermathematische Motivation für die
SuS Inhalte nachhaltig zu lernen. Da dieses Thema mit dem Unterrichtsfach Geographie
und Wirtschaftskunde fächerübergreifend unterrichtet werden soll, werden Querverbindun-
gen zu diesem Schulfach generiert, welche üblicherweise nur separat betrachtet werden (siehe
Aufgaben im Kapitel 3.2.1 und 3.2.2).
Lernen mit instruktionaler Unterstützung“ bedeutet, SuS gezielte Hilfestellungen anbieten
”
und differenziert unterrichten. Besonders in Mathematik ist eine gut strukturierte Anleitung
für viele SuS wichtig, um Inhalte zu verstehen. Aus diesem Grund gibt es für jede Station
in der geplanten Unterrichtsstunde eine genaue Anweisung, wie die SuS vorgehen sollen.
132.1.6 Mathematische Kompetenzen
Die folgenden mathematischen Kompetenzen setzen sich laut dem Bundesinstitut für Bil-
dungsforschung, Innovation und Entwicklung des österreichischen Schulwesens (Bifie) aus
den allgemeinen Kompetenzen und den mathematischen Inhalten zusammen. In dem Kapi-
tel 4 werden alle Aufgabe der Unterrichtsplanung genau betrachtet, und die dazugehörigen
Kompetenzen dem jeweiligen Beispiel zugeordnet. Im Unterricht ist es wichtig, unterschied-
liche Kompetenzen zu fördern, und deswegen wird in diesem Kapitel darauf näher eingegan-
gen. Die mathematischen Kompetenzen werden in drei Gruppen gegliedert und jede einzelne
Dimension weiter in Leistungsgrade unterteilt (Bifie 2009):
1. Handlungsdimensionen (H1, H2, H3, H4)
2. Inhaltsdimensionen (I1, I2, I3, I4)
3. Komplexitätsdimensionen (K1, K2, K3)
Abbildung 2.1: Darstellung der mathematischen Kompetenzen im dreidimensionalen Koor-
dinatensystem. Eigene Darstellung nach Bifie (2009).
Die vier Handlungsdimensionen umfassen folgende Differenzierungen (BMBWF 2020, Ge-
14samte Rechtsvorschrift für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Ma-
thematische Kompetenzen):
• Darstellen und Modellieren (H1)
• Operieren (H2)
• Zusammenhänge erkennen und interpretieren (H3)
• Kritisch hinterfragen und argumentieren (H4)
Die Inhaltsdimensionen gliedern sich in (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehr-
pläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Mathematische Kompetenzen):
• Algebra und Geometrie (I1)
• Funktionale Abhängigkeiten (I2)
• Analysis (I3)
• Wahrscheinlichkeit und Statistik (I4)
Die Komplexitätsdimensionen sind unterteilt in (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift
für Lehrpläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Mathematische Kompeten-
zen):
• Wiedergabe von Grundwissen (K1)
• Mathematische Inhalte verbinden (K2)
• Eigenständiges Problemlösen (K3)
2.2 Fachdidaktische Methoden
Das in dieser Arbeit vorgestellte Unterrichtskonzept beinhaltet verschiedene Methoden, den
SuS Lerninhalte näher zu bringen. Da im Unterricht möglichst viele Lerntypen angesprochen
werden sollen, bietet diese Arbeit fünf verschiedene Methoden, welche im folgenden näher
erläutert werden. Bei der Auswahl handelt es sich um Sozialformen, welche gut kombinierbar
sind und in vielen Unterrichtssituationen eingesetzt werden können.
152.2.1 Experiment
Beschreibung der Methode
Das Experiment ist eine Untersuchungsmethode für naturwissenschaftliche Prozesse und
wird daher in der Schule auch in diesen Unterrichtsfächern als Sozialform verwendet (Reich
2008). Es gibt Aussage über die Richtigkeit einer Hypothese, und kann diese verifizieren oder
falsifizieren. Das Experiment bietet als Methode im Unterricht zahlreiche Lernmöglichkeiten
für SuS, wie beispielsweise Förderung von Selbstständigkeit oder das Erkennen von Zu-
sammenhängen. Das eigenständige Untersuchen von Prozessen liefert eine starke Auseinan-
dersetzung mit dem Problem, weil Eigeninitiative und selbstständiges Nachdenken gefragt
sind. Das Schulexperiment wird durch Grundregeln und einer Fragestellung vorstrukturiert,
und anschließend von den Lernenden durch Probieren nach Lösungsansätzen gesucht (Reich
2008). Diese Methode zielt auf das Erkennen und Entdecken von neuen Zusammenhängen
mit den bereits gesammelten Erfahrungen ab, ohne das Ergebnis zu kennen. Die wichtigste
Frage in diesem Prozess ist ’Warum?’ (Reich 2008).
Das ’Warum?’ ist in dem forschenden Prozess der Schlüssel für neue Erkenntnisse. SuS
müssen eigenständige Überlegungen anstellen, warum ein gewisser Schritt notwendig oder
nicht notwendig ist. Durch die Frage ’Warum?’ stoßen die SuS auf neue Argumente in ihrer
Diskussion, um den Prozess zu optimieren und in dieser Forscherrolle wird das Lernen von
Inhalten nachhaltig gefestigt. Mögliche Fragen für diese Forscherrolle können sein:
1. Warum ist die eine Überlegung besser als die andere?
2. Warum benötigen wir beispielsweise drei Zwischenschritte, wenn zwei Schritte ausrei-
chen?
16Phasen eines Experiments
Reich (2008) listet folgende Phasen
in einem Experiment
1. Erkennen des Problems
2. Aufstellen einer Hypothese
3. Strukturierung des Experi-
ments
4. Durchführung des Experiments
5. Dokumentation des Experi-
ments
6. Verifizieren oder Falsifizieren
der Hypothese
7. Resultate prüfen Abbildung 2.2: Die 7 Phasen des Expe-
riments. Eigene Darstellung nach Reich
(2008).
Diese Phasen werden in einem Experiment nacheinander bearbeitet. Im sechsten Schritt,
Verifizieren oder Falsifizieren der Hypothese, gibt es zwei unterschiedliche Verfahren für den
weiteren Ablauf. Bei der Verifikation einer Hypothese wird diese dadurch unterstützt. Bei
einer Falsifikation muss die Hypothse überdacht oder neu formuliert werden.
Alle Phasen zusammen bilden das Experiment. In der Schule ist es möglich einzelne Phasen
zu überspringen, wenn darin kein Lernerfolg gesehen wird. Es besteht die Annahme, dass der
generelle Lernerfolg größer ist, je mehr Phasen die SuS selbst am Experiment durchführen
können. Aus zeitlichen oder organisatorischen Gründen ist es meist üblich, die Phasen zu-
sammenzufassen oder einzelne zu kürzen. Je nach Aufgabenstellung ist ein Schulexperiment
zur Überprüfung einer Hypothese oder als explorativer Zugang möglich. Je nachdem können
die Experimente unterschiedlich von der Lehrperson geplant und aufgebaut werden.
17Ziele und Einsatz
Mit Sicht auf die Bildungs- und Lehraufgaben des Lehrplans eignen sich ausgewählte Expe-
rimente für den Mathematikunterricht (BMBWF 2020, Gesamte Rechtsvorschrift für Lehr-
pläne, Sechster Teil, A Pflichtgegenstände, Mathematik, Bildungs- und Lehraufgabe):
Die Schülerinnen und Schüler sollen durch das Benutzen entsprechender Arbeitstechni-
”
ken, Lernstrategien und heuristischer Methoden Lösungswege und -schritte bei Aufgaben
und Problemstellungen planen und in der Durchführung erproben.“
SuS können durch Experimentieren eigenständige Lösungsansätze für die Problemstellung
finden. Dabei erproben sie erlernte Techniken, wie beispielsweise eine Skizze anfertigen, um
die Aufgabe zu bewerkstelligen. Das gefundene Ergebnis wird am Schluss mit der Hypothese
verglichen und diskutiert.
Vor- und Nachteile
Das Experiment kann SuS zu kreativen Lösungsansätzen anleiten, und bringt positive wie
negative Aspekte mit sich. Auf der einen Seite bringen Experimente eine Auflockerung in
das Unterrichtsgeschehen und sorgen für Methodenvielfalt. Das explorative Arbeiten spricht
unterschiedliche Lerntypen an, und fördert die Zusammenarbeit unter den SuS in der Klasse.
Die SuS werden aufgefordert, eigenständig Lösungsstrategien zu entwickeln und umzusetzen.
Auf der anderen Seite ist das Experiment ein großer zeitlicher Aufwand und führt oftmals zu
wenig brauchbaren Resultaten. Ein einzelnes Experiment kann eine ganze Unterichtseinheit
dauern, da SuS unterschiedlich schnell arbeiten, und daher der geplante zeitliche Rahmen
nicht eingehalten werden kann. Es ist im Vorfeld schwierig einzuschätzen, wie die SuS im
Team zusammenarbeiten, und ob alle SuS bei dem Prozess des Experiments mitwirken.
Für den Lernerfolg aller SuS sollte jeder SuS für einen einen Teilbereich oder Teilschritt im
Experiment verantwortlich sein.
18Positive Aspekte Negative Aspekte
• Auflockerung des Unterrichts • Großer zeitlicher Aufwand
• Methodenvielfalt • Viele falsche Lösungsansätze
• Ansprechen von unterschiedlichen • Abgabe der Eigenverantwortung in
Lerntypen Teamarbeit
• Teamarbeit fördern
• Eigenständigkeit fördern
2.2.2 Frontalunterricht
Beschreibung der Methode
Der Frontalunterricht oder auch fragend-entwickelnder Unterricht ist die weit verbreitetste
Lehrmethode in Schulen. Dabei ist die Bezeichnung Frontalunterricht durch die räumliche
Situation bestimmt, und es handelt sich mehr um einen fragend-entwickelnden Unterricht,
wo eine Interaktion zwischen der Lehrperson und den Lernenden besteht (Mattes 2004).
Die Aufgabe der Lehrperson ist es, die SuS zum Fragen und Denken mithilfe von Impulsen,
Darstellungen, Erklärungen oder Visualisierungen anzuregen (Mattes 2004). Die Leitung
der Einheit unterliegt die gesamte Zeit der Lehrperson, welche eine gute Balance zwischen
Erarbeitung und Sicherung von neuen Inhalten finden muss (Mattes 2004).
Ziele und Einsatz
Der Frontalunterricht bildet ein wichtiges Grundgerüst im Unterricht und schafft die Basis
für offene Lernformen (Mattes 2004). Dieser eignet sich besonders für Anfangsphasen und
Erarbeitung eines neuen Stoffgebietes. Dabei ist es notwendig, dass der Frontalunterricht
nicht die gesamte Unterrichtseinheit dominiert, sondern schülerzentriert abgehalten wird.
Die 50-Prozent-Regel eignet sich dabei gut, den Frontalunterricht zeitlich abzuschätzen. Sie
besagt, dass in einer Woche nur 50 Prozent der Unterrichtszeit Frontalunterricht sein darf,
bzw. dass nur die Hälfte einer Unterrichtsstunde aus Frontalunterricht bestehen sollte (Mat-
19tes 2004). Hier ist es wichtig, ein gutes Mittelmaß zu finden und die Methode zu beenden,
wenn eine merkliche Konzentrations- und Aufmerksamkeitsschwäche bei den SuS auftritt.
Bei der Methode des Frontalunterrichts schlüpft die Lehrperson in die Rolle der Expertin/des
Experten und erarbeitet in Kooperation mit den SuS exemplarisch die zentralen Baustei-
ne des neuen Fachgebietes. Sie leitet die SuS an, Fragen zu stellen und diese im Plenum
zu klären. Diese Methode eignet sich gut, wenn mehrere SuS die gleichen Lernschwierig-
keiten aufweisen und es einer Klärung dieser bedarf (Mattes 2004). Sie bietet weiters eine
Möglichkeit für die Lehrperson, zentrale Inhalte kompakt vor Schularbeiten oder Tests zu
wiederholen und zusammenzufassen.
Vor- und Nachteile
Frontalunterricht ist bei vielen SuS unbeliebt, jedoch gibt es gute Gründe, diese Methode im
Unterricht einzusetzen. Sie ist ein schnelles Verfahren Lehrstoff strukturiert und kompakt zu
vermitteln. Ein schönes Tafelbild kann im Vorhinein ausgearbeitet werden, welches die SuS in
ihr Heft übertragen können, um eine gute Lernvorlage zu haben. Jedoch ist Frontalunterricht
stark lehrpersonzentriert, sodass SuS leicht die Aufmerksamkeit verlieren können, da sie nicht
proaktiv im Unterricht arbeiten, sondern Lerninhalte präsentiert bekommen (Mattes 2004).
Für diese Methode ist es wichtig, eine gute Balance zwischen Frontalunterricht und offenen
Lernphasen zu finden (Mattes 2004).
20Positive Aspekte Negative Aspekte
• Strukturierter Unterricht • Führt schnell zu Aufmerksam-
• Führung der Einheit liegt bei Lehr- keitsschäche
person • SuS sind passiv
• Grundbaustein für offene Lernfor- • Hat einen schlechten Ruf
men • Ruhige SuS werden oft missachtet
• Anschauliches Tafelbild • Keine individuelle Lernförderung
• Kompaktes Zusammenfassen von
Lerninhalten
2.2.3 Partnerarbeit
Beschreibung der Methode
Bei der Methode Partnerarbeit erarbeiten jeweils zwei SuS zusammen eine Aufgabe. Diese
Sozialform findet meist in Kooperation mit der Sitznachbarin/dem Sitznachbarn statt, kann
aber auch von der Lehrperson bewusst nach Leistung oder Interessen eingeteilt werden
(Mattes 2004).
Ziele und Einsatz
Partnerarbeit wird häufig angewandt, weil sie einfach zu organisieren ist und die Zusam-
menarbeit fördert. Diese Sozialform dient als Vorstufe für die Gruppenarbeit und bietet
die Möglichkeit produktives Arbeiten in Kleingruppen zu üben. Die Partnerarbeit ist eine
gute Methode für das Festigen von erlernten Inhalten im Unterricht, und folgt im Allge-
meinen auf eine Frontalphase (Mattes 2004). Durch Wiederholen und Erklären mit einer
Partnerin/einem Partner werden die Lerninhalte nachhaltig gefestigt und sie ist in allen
Unterrichtsfächern einsetzbar (Mattes 2004).
21Vor- und Nachteile
Die Partnerarbeit fördert die Teamfähigkeit, Interaktion und Kommunikation zwischen den
SuS und fordert gleichzeitig soziale Kompetenzen der SuS. Das richtige Formulieren und
Erklären von Inhalten ist vor allem in Mathematik eine wichtige Komponente. Die mathe-
matische Sprache ist sehr konkret und genau, und muss wie jede Fremdsprache geübt werden.
Die Partnerarbeit bietet speziell für diese Kompetenz eine geeignete Übungsmöglichkeit im
Unterricht. Größter Nachteil ist, dass die Lehrperson nicht alle Paarkonstellationen gleich-
zeitig im Auge behalten kann, wodurch Unruhe oder Störungen in der Klasse entstehen
können. Es gibt SuS, die aus persönlichen Gründen nicht gerne zusammenarbeiten, und
daher in Einzelarbeit zurückfallen, anstatt zu kooperieren. Paare mit großem internen Leis-
tungsunterschied werden meist von einer Partei geleitet, die die Aufgabe erarbeitet, wodurch
die andere nicht viel partizipiert. Als Lehrperson ist es wichtig, im Vorhinein eine gute Aus-
wahl der Paarkonstellationen zu finden, um eine erfolgreiche Partnerarbeit durchführen zu
können.
Positive Aspekte Negative Aspekte
• Förderung der Teamfähigkeit • Kann zu Unruhe führen
• Interaktion zwischen den SuS • Wenig Interaktion bei persönlichen
• Mathematische Sprache wird geübt Differenzen
• Leicht einsetzbare Methode • Leistungsniveau muss im Paar ab-
• Vorstufe zur Gruppenarbeit gestimmt sein
2.2.4 Stationenbetrieb
Beschreibung der Methode
Der Stationenbetrieb ist eine offene Lernform bei der SuS unter Anleitung der Lehrperson
Aufträge in Kleingruppen bearbeiten. Dabei kann die Kleingruppe aus zwei oder mehr SuS
bestehen und beinhaltet die Sozialformen wie Partner- oder Gruppenarbeit (Mattes 2004).
SuS sind an ihrem Lernerfolg proaktiv beteiligt und werden zu selbstständigem Arbeiten von
22der Lehrperson geleitet. Die Stationen werden im Vorfeld von der Lehrperson vorbereitet
und können örtlich voneinander getrennt sein, sodass ein Austausch unter den Kleingrup-
pen der jeweiligen Station möglich ist. Dabei ist zwischen Wahl- und Pflichtstationen zu
unterscheiden, welche von den SuS in beliebiger Reihenfolge durchzuführen sind (Mattes
2004). Ein weiteres Merkmal dieser Sozialform ist, dass die einzelnen Stationen unterschied-
liche Lerntypen ansprechen und so einen differenzierten Unterricht bieten (Mattes 2004).
Die Lehrperson steht ihm Hintergrund des Geschehen und kann individuell SuS bei Fragen
unterstützen.
Ziele und Einsatz
Der Stationenbetrieb ist ein Allrounder“ der didaktischen Methoden und kann in allen Pha-
”
sen des Unterrichts eingesetzt werden. Er eignet sich für die Erarbeitungsphase von neuen
Inhalten, sowie als Übemöglichkeit oder Festigung von Unterrichtsstoff. Entscheidend da-
bei sind Stationen vorzubereiten, welche über den Einsatz und den Lernerfolg bestimmen.
Eine Grundlage für Stationen können das Schulbuch, selbst erstellte Übungsblätter oder
Kleinexperimente sein. Hier ist die Kreativität der Lehrperson gefragt, wie sie diese gestal-
ten möchte, und aus diesem Grund ist der Stationenbetrieb als offene Lernform für alle
Unterrichtsgegenstände eine Bereicherung. Die SuS können innerhalb eines Gesamtrahmens
nach eigener Vorliebe die Reihenfolge der Stationen, sowie ihr individuelles Arbeitstem-
po festlegen. Gefördert werden neben den fachlichen Lerninhalten auch Kommunikation,
Teamfähigkeit und Zeitmanagement, welche als Grundprinzipien im Unterricht stattfinden
sollen (Mattes 2004).
Vor- und Nachteile
Diese offene Lernform bietet zahlreichen Vorteile, wie individuelle Förderung, Arbeiten im
Team oder selbstständiges Arbeiten. SuS werden in dieser Sozialform aufgefordert proaktiv
im Unterricht zu arbeiten und entscheiden selbst über den Lerninhalt, die Reihenfolge des
23Abarbeitens und mit wem sie in der Gruppe agieren möchten (Mattes 2004). Es kann sein,
dass SuS bei der Durchführung mit der großen Freiheit überfordert sind und nicht wissen,
wo sie beginnen sollen. Sodass kein Chaos im Unterricht entsteht, sollte im Vorhinein eine
genaue Erklärung des Ablaufs im Stationenbetrieb diskutiert und besprochen werden. Es
soll den SuS klar gemacht werden, dass sie sich bei Fragen stets an die Lehrperson wen-
den können, wenn sie nicht weiter wissen. Die Vorbereitung der Stationen kann einen sehr
großen Zeitaufwand für die Lehrperson bedeuten, wenn das Material nicht aus dem Schul-
buch verwendet wird. Dabei sollte daran gedacht werden, dass der Stationenbetrieb bei
hohem Interesse der SuS einen Lernerfolg sowie Abwechslung zum Frontalunterricht leistet,
und auch in anderen Klassen eingesetzt werden kann (Mattes 2004).
Positive Aspekte Negative Aspekte
• Förderung der Teamfähigkeit • Freiheiten können SuS überfordern
• Interaktion zwischen den SuS • Kann zu Chaos führen
• Differenzierung im Unterricht • Großer Zeitaufwand in der Vorbe-
• Lehrperson kann individuell SuS reitung
fördern
• Abwechslung zum Frontalunterricht
2.2.5 Computer und Medieneinsatz
Beschreibung der Methode
Der Einsatz von Medien bietet zahlreiche Einsatzgebiete und Möglichkeiten im Unterricht.
Sei es eine Arbeit mit Computer im EDV-Raum, der Einsatz des Smartphones im Unter-
richt oder ein Visualisieren einer Grafik auf der Leinwand. Heutzutage ist der Einsatz von
Technologie nicht mehr weg zu denken. Durch die großflächigen Einsatzmöglichkeiten erge-
ben sich eine Vielzahl an Methoden für den Unterricht, wie Informationsbeschaffung durch
ausgewählte Quellen, Übemöglichkeiten mithilfe von Lernpfaden oder freies Recherchieren
im Internet. Wichtig für den Gebrauch von Medieneinsatz im Unterricht sind klare Regeln
24und Strukturen für die SuS, da durch das Überangebot an Informationen schnell Chaos ent-
stehen kann (Mattes 2004). Eine ausführliche Abhandlung dazu kann in Rosenberg et al.
(2002) nachgelesen werden.
Vor- und Nachteile
Der Einsatz von technischen Hilfsmitteln ist in den heutigen Unterricht stark integriert. SuS
wachsen mit digitalen Medien auf, und sollen in der Schule einen richtigen Umgang mit ihnen
lernen. Dabei ist es wichtig, dass die Lehrperson beispielsweise Smartphones nicht verbie-
tet, sondern gezielt nach Einsatzmöglichkeiten dafür im Unterricht sucht. SuS arbeiten sehr
gerne mit ihren Mobiltelefonen oder dem Computer und deswegen soll dies als Motivation
für Lerninhalte gesehen werden. Darüber hinaus bieten Medien Chancen für Differenzieren
im Unterricht, da mit zahlreichen Übungen unterschiedliche Lernniveaus bedient werden
können. Weiters kann der Umgang mit Medien und das richtige Suchen nach Informationen
im Internet geschult werden. Oftmals liefert dieses Überangebot auch viel Falschinformation
für die SuS, welche im Klassenplenum diskutiert werden sollten. Dabei ist es für die Lehrper-
son oft schwierig den Überblick zu behalten, wer konzentriert arbeitet oder nur im Internet
surft, da einige SuS lieber Spiele im Internet spielen, als Lernpfade zu bestreiten. Deshalb
sollte das Aufgabenpensum so gestaltet werden, dass SuS nicht über- oder unterfordert sind.
Für den Computerraum ist es weiters wichtig Verhaltensregeln aufzustellen, da sonst Essen
und Getränke die Arbeitsplätze verunreinigen oder beschädigen könnten.
25Positive Aspekte Negative Aspekte
• Förderung Computer- und Medien- • Überangebot führt zu
kompetenz Überforderung
• Differenziertes Unterrichten • Filtern von Falschinformation
möglich • Überblick über Klasse schwierig
• Abwechselnder und vielseitige Me-
thode
• Motivation für SuS
2.3 Projektionen und ihre Eigenschaften
Die mathematischen Konzepte liefern die Basis für das ausgearbeitete Unterrichtskonzept.
Zuerst werden grundlegende Begriffe für das Verständnis von Projektionen definiert, und
anschließend die verschiedenen Projektionstypen vertieft behandelt. In dieser Arbeit wird
die Erde zur Vereinfachung als kugelförmig angenommen.
2.3.1 Sphärische Geometrie
Die folgenden Ausführungen dienen als mathematische Einführung in das Thema der sphä-
rischen Geometrie für die Projektionsarten von einer Kugel auf eine Ebene.
Vektorkoordinaten
Das kartesische Koordinatensystem besteht aus drei Achsen: x, y, und z, die im rechten
Winkel (normal) aufeinander stehen (Abb. 2.3). Die Darstellung eines Punktes P im Raum
ist immer eindeutig durch die Koordinaten x,y,z gegeben und wird wie folgt angeschrieben:
P = (x y z).
26Abbildung 2.3: Darstellung eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem.
Definition Abstand Der euklidische (geometrische) Abstand beschreibt die kürzeste
Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum und wird mit d“
”
für distance“ beschrieben. Dieser ist im Allgemeinen eine Länge
”
der Geraden, die beide Punkte verbindet. In R2 und im R3 wird
die Länge zwischen zwei Punkten A und B durch den Betrag
des Differenzvektors der Ortsvektoren bestimmt. Das Prinzip der
Vorgangsweise für die Bestimmung des Abstandes unterscheidet
sich bei R2 und R3 um eine Dimension, wie in 2.1 und 2.2 dar-
gestellt ist.
a1 b1
A= B=
a2 b2
−→ a1 − b 1 p
d(A, B) = AB = = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 (2.1)
a2 − b 2
27
a1 b1
A=
a2
B=
b2
a3 b3
a1 − b 1
−→ p
= (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + (a3 − b3 )2
d(A, B) = AB =
a2 − b 2 (2.2)
a3 − b 3
Definition Kugel Alle Punkte im R3 , die den selben Abstand (Radius r) zu ei-
nem fest gewählten Punkt M (Mittelpunkt) besitzen, bilden eine
Kugel im dreidimensionalen Raum (Abb. 2.4). Der Abstand (r)
zwischen den Punkten (P ) und dem Mittelpunkt (M ) wird in
2.3 mit (d) beschrieben.
K(M, r) = {P ∈ R3 d(P, M ) = r} (2.3)
Allgemeine Daten
Durchmesser
d = 2r (2.4)
Oberfläche
O = 4r2 π (2.5)
Umfang am Äquator
U = 2rπ (2.6)
Abbildung 2.4: Darstellung der Kugel. Volumen
4
V = r3 π (2.7)
3
28Jeder Schnitt einer Ebene im R3 mit der Kugel, der mehr als einen Punkt enthält, ist ein
Kreis auf der Kugel.
Definition Kreis Alle Punkte (X) in der Ebene mit dem gleichen Abstand ρ (Ra-
dius) zu dem Mittelpunkt (M’) bilden einen Kreis, auch Kreisli-
nie genannt. d beschreibt den Abstand (ρ) zwischen Mittelpunkt
(M’) und einem Punkt (X).
K(M 0 ; ρ) = {X ∈ R2 | d(X, M 0 ) = ρ} (2.8)
Allgemeine Daten
Durchmesser
d = 2ρ (2.9)
Fläche
A = ρ2 π (2.10)
Umfang
U = 2ρπ (2.11)
Abbildung 2.5: Darstellung des Kreises.
29Definition Groß- Zwei Punkte einer Kugel und der Mittelpunkt der Kugel definie-
kreis und Klein- ren eine Ebene. Wird diese Ebene mit der Oberfläche der Kugel
kreis geschnitten, so entsteht ein Großkreis. Großkreise auf einer Kugel
haben immer den gleichen Durchmesser wie die Kugel selbst. Das
heißt, beispielsweise alle Längenkreise auf der Erde sind Groß-
kreise, denn sie verlaufen durch den geographischen Nord- und
Südpol. Die geographischen Meridiane (Längenhalbkreise) sind
halbe Großkreise, die vom Nordpol zum Südpol verlaufen. Groß-
kreise können im Allgemeinen auch durch andere Punkte als den
Nord- und Südpol definiert werden. Auf der Erde wird die Dreh-
achse durch den Nord- und Südpol definiert, daher verlaufen die
geographisch interessanten Großkreise (Längenkreise) durch ge-
nau diese zwei Punkte. Kleinkreise (und Breitenkreise) sind im
Allgemeinen keine Großkreise. Jeder Schnitt einer Ebene im R3
mit der Kugeloberfläche, der mehr als einen Punkt der Kugel
enthält, ist ein Kleinkreis.
Kleinkreise müssen nicht parallel zur Äquatorebene stehen, son-
dern können auch schräg auf der Kugel liegen. Die Äquatorebene
ist die Großkreisebene, welche senkrecht auf die Nord-Süd-
Großkreisebene steht, und die Kreislinie davon heißt Äquator.
Für die geographische Angabe von Orten sind die Kleinkreise in-
teressant, die parallel zum Äquator verlaufen. Diese werden Brei-
tenkreise genannt. Der einzige Breitenkreis auf der Erde, der ein
Großkreis ist, ist der Äquator. Alle übrigen Breitenkreise auf der
Erde sind Beispiele für Kleinkreise.
30Abbildung 2.6: Darstellung von Groß- und Kleinkreisen auf der Kugel.
Definition Antipo- Im Allgemeinen wird eine Gerade durch den Kugelmittelpunkt
de und Nullmeri- gelegt, und die zwei Durchstoßpunkte liegen einander exakt ge-
dian genüber und werden Antipoden genannt. Verläuft eine Gerade
durch einen Punkt auf der Kugeloberfläche und dem Mittel-
punkt der Kugel, so durchstößt diese Gerade die Kugel auf der
gegenüberliegenden Seite von dem Punkt und dieser Durchstoß-
punkt ist die Antipode. Das bedeutet geographisch besitzt je-
der Punkt auf der Erde genau einen exakt gegenüberliegenden
Punkt. Die Antipode von beispielsweise dem Nordpol (N) ist so-
mit der Südpol (S). In der Abb. 2.7 sind der Nordpol (N) und
der Südpol (S) als gegenüberliegende Antipoden eingezeichnet.
Der Meridian (Längenhalbkreis) der durch den Nordpol, Südpol
und den Ort Greenwich verläuft, wird Nullmeridian genannt. Der
Nullmeridian ist der geographisch erste“ Meridian, von dem
”
nach links (geographischer Osten) und rechts (geographischer
Westen) auf der Kugel weitere Meridiane nummeriert werden
(Abb. 2.7).
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