Physik für Ingenieure - Bachelor Basics - Europa-Lehrmittel
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Physik für Ingenieure Bachelor Basics von Bernd Baumann unter Mitarbeit von Ulrich Stein, Thorsten Struckmann und Marcus Wolff 3., überarbeitete Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 58577
Der Autor Prof. Dr. rer. nat. Bernd Baumann Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg Fakultät Technik und Informatik Heinrich-Blasius-Institut für Physikalische Technologien 3., überarbeitete Auflage 2016, unveränderter Nachdruck 2020 Druck 5 4 3 2 ISBN 978-3-8085-5857-7 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. © 2016 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Bisherige Auflagen: J. Schlembach Fachverlag Satz: Satzherstellung Dr. Naake, 09618 Brand-Erbisdorf Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald Druck: UAB BALTO print, 08217 Vilnius (LT)
Vorwort
Durch die flächendeckende Einführung von Bachelor-Studiengängen an Hochschulen im
deutschen Sprachraum sind, im Vergleich zu den früheren Diplom-Studiengängen, für viele
Fächer gekürzte Stundenzahlen festgeschrieben worden. Häufig ist zu beobachten, dass
die Inhalte der ursprünglichen Lehrveranstaltungen ohne substantielle Kürzungen in die
Curricula der Bachelor-Studiengänge übernommen werden. Auch die in der Physikausbildung
in Ingenieurstudiengängen tätigen Hochschullehrer tun sich oft schwer damit, Inhalte zu
opfern. Es führt aber kein Weg daran vorbei! So interessant z. B. das Standardmodell der
Elementarteilchen auch ist – dieses Thema kann in einer auf wenige Stunden beschränkten
Grundlagenvorlesung zur Physik für Studierende der Ingenieurwissenschaften nicht annähernd
seriös behandelt werden. Dennoch findet man entsprechende Kapitel in vielen Lehrbüchern, die
für Ingenieurstudiengänge gedacht sind. Physik für Ingenieure – Bachelor Basics stellt einen
Gegenentwurf zu diesen Büchern dar. Der Leser erhält mit vergleichsweise wenig Aufwand
einen guten Einblick in die wichtigsten physikalischen Phänomene.
Da die Physikvorlesungen üblicherweise in den ersten Semestern angesiedelt sind, stellt der
fehlende Vorlauf in Mathematik häufig ein Problem dar. Natürlich lässt sich dieses Problem
nicht vermeiden – um es wenigstens zu entschärfen, wird die benötigte Mathematik im
Anhang sehr kompakt skizziert. Dort findet der Leser auch eine einführende Darstellung
der Fehlerrechnung. Der Arbeitsplan zur Ermittlung von Messergebnissen sollte bei der
Ausarbeitung von Laborprotokollen hilfreich sein.
Den Lösungsweg ausgewählter Aufgaben finden Sie auf www.BerndBaumann.de und www.
europa-lehrmittel.de/58577.html. Vorgegebenen Lösungswegen zu folgen reicht allerdings
nicht aus. Um zu einem Verständnis zu gelangen, ist es notwendig, dass sich der Leser um das
selbstständige Erzielen der Lösungen ernsthaft bemüht.
Fehlerhinweise, Anregungen und Kommentare sind stets willkommen.
Hamburg, im Sommer 2016 Bernd Baumann
info@BerndBaumann.deFragen, Kommentare und Anregungen an: Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Str. 23 42781 Haan-Gruiten lektorat@europa-lehrmittel.de http://www.europa-lehrmittel.de
Inhaltsverzeichnis
1 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Bewegung entlang einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Bewegung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Dynamik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Kräfte – ein Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Fundamentale Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Nichtfundamentale Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3 Scheinkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Impuls und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Elektrizität und Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.4 Spannung und Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.5 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Stationäre elektrische Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Kraftwirkung von Magnetfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Elektromagnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Inhaltsverzeichnis
3.4.2 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.3 Wechselstromgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Freie harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Freie gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Wellenausbreitung entlang einer Linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Wellenausbreitung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Wellentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Pegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Signalausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.7 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.8 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6 Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1 Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.1 Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.2 Lichtbrechung und Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.3 Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.1 Kohärentes Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.2 Interferenz an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.3 Optische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.4 Polarisiertes Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3 Quantenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.1 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.2 Fotoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3.3 Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.4 Abschirmung von Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.5 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1 Aufbau der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Atomhülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.1 Stationäre Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.2 Periodensystem der Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.3 Atomanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.4 LASER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2.5 Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.3 Atomkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3.1 Aufbau der Atomkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3.2 Kernprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Inhaltsverzeichnis 7
7.4 Moleküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4.1 Molekülbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4.2 Molekülanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8 Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.1 Aufbau von Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.1.1 Ionenkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.1.2 Valenzkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.1.3 Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.1.4 Kristalline und amorphe Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2 Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2.1 Metalle und Nichtleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2.2 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3 Elektronische Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.1 Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.2 Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Anhang 165
A Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B Mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.1 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.2 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.3 Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.4 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
B.5 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.6 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C Maßeinheiten und Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C.1 Internationales Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C.2 Physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
D Messen und Auswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
D.1 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
D.2 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911 Mechanik
1.1 Kinematik Offenbar ist x eine Funktion der Zeit:
1.1.1 Bewegung entlang einer x = f (t),
Geraden in Kurzform schreibt man x(t).
Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitinter-
Die Kinematik hat die mathematische Be- vall ∆t := t − t ist definiert durch
2 1
schreibung der Bewegung materieller Körper
im Raum zum Inhalt. In der Kinematik werden ∆x
v̄ := .
keine Aussagen über das Zustandekommen ∆t
von Bewegungen gemacht. Dies ist Gegen- Die im Zeitintervall ∆t zurückgelegte Weg-
stand der Dynamik (vgl. Abschnitt 1.2). strecke ∆x := x(t2 )− x(t1 ) heißt Verschiebung
Häufig ist es gerechtfertigt, die Ausdehnung (Abb. 1.2).
der Körper zu vernachlässigen (Modellvorstel-
x
lung des Massenpunkts)1) . Vorteil: Rotation
und Verformung der Körper brauchen nicht x(t2)
berücksichtigt zu werden.
Erfolgt die Bewegung entlang einer Geraden
x(t1)
im Raum, so genügt es, zu jedem Zeitpunkt
t die jeweilige Ortskoordinate x anzugeben.
Trägt man x über t auf, erhält man das Weg- t1 t2 t
Zeit-Diagramm der Bewegung (Abb. 1.1).
Abb. 1.2: Zeitintervall und Verschiebung. Man
x beachte, dass die Verschiebung für x(t2 ) < x(t1 )
negativ ist.
Da sich die Geschwindigkeit eines Körpers
f(t) i. Allg. ständig ändert, führt man die Momen-
tangeschwindigkeit ein2) :
dx
v := = x(t).
Û
dt
t
Erläuterung: Hohe Geschwindigkeit bedeu-
Abb. 1.1: Weg-Zeit-Diagramm tet anschaulich, dass sich der Aufenthaltsort
1) Modelle sind in der Physik von zentraler Bedeutung. Was man in der Physik unter einem Modell versteht, ist in
Anhang A erläutert.
2) Ein Punkt über dem Formelzeichen bedeutet ‚Ableitung nach der Zeit‘. Der Begriff ‚Ableitung‘ wird in Anhang
B.3 kurz erläutert.10 1 Mechanik
(die Koordinate) schnell ändert. Im Weg-Zeit- Bekanntlich ist die Umkehrung der Differen-
Diagramm ist das dort der Fall, wo die Funk- ziation die unbestimmte Integration1) . Daher
tion steil ansteigt. Der Anstieg ist durch dieerhält man v(t) aus a(t), indem man die Be-
Ableitung von x nach der Zeit t gegeben. schleunigung über die Zeit integriert:
Wenn v(t) = v0 = const, spricht man von einer
∫
v(t) = a(t)dt.
gleichförmigen Bewegung, andernfalls von
einer ungleichförmigen Bewegung.
Ebenso erhält man x(t) durch Integration über
Genauso wie die Koordinate, kann man v(t), also
die Geschwindigkeit über der Zeit auf- ∫
tragen (Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, x(t) = v(t)dt.
Abb. 1.3).
Symbolisch kann man schreiben
v(t)
v
x(t) a(t).
Dabei steht * für die Ableitung nach der Zeit
und ) für die Integration über die Zeit. Bei
jeder unbestimmten Integration tritt eine Inte-
grationskonstante auf. Diese muss aus einer
Anfangsbedingung bestimmt werden.
Bewegungen mit a(t) = a0 = const heißen
t
gleichförmig beschleunigt, alle anderen un-
Abb. 1.3: Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gleichförmig beschleunigt. Beispielsweise
fallen in der Nähe der Erdoberfläche alle Ge-
Insbesondere in der Dynamik zeigt sich, dass genstände mit der konstanten Beschleunigung
die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit g = 9,81 m/s2 (Erdbeschleunigung), sofern
von großer Wichtigkeit ist. Analog zur mittle- die Wirkung des Luftwiderstands vernachläs-
ren Geschwindigkeit wird daher die mittlere sigt werden kann.
Beschleunigung Für gleichförmig beschleunigte Bewegungen
erhält man durch integrieren und unter Aus-
∆v
ā := nutzung der Anfangsbedingungen v(t0 ) = v0
∆t (Anfangsgeschwindigkeit) und x(t0 ) = x0 (Teil-
(∆v := v(t2 ) − v(t1 )) und zur Momentan- chenkoordinate zur Anfangszeit t0 )
geschwindigkeit die Momentanbeschleuni- v(t) = a0 (t − t0 ) + v0,
gung eingeführt: 1
x(t) = a0 (t − t0 )2 + v0 (t − t0 ) + x0 .
dv 2
a := = vÛ (t).
dt
Aufgaben
Wegen v(t) = giltdx
dt
1.1.1-1 Das Weg-Zeit-Diagramm einer Bewe-
d2 x
d dx gung habe die Form eines Trapezes. Zeichnen
a= = 2 = x.Ü Sie das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm!
dt dt dt
1) vgl. Abschnitt B.3 im Anhang1.1 Kinematik 11
1.1.1-2 Für einen fallenden Gegenstand gilt 1.1.2 Bewegung im Raum
näherungsweise x(t) = bt 2 mit b = 5 m/s2 .
a) Bestimmen Sie seinen Ort für t = 1 s, 2 s, 5 s
Zur eindeutigen Bestimmung der Lage eines
und die Momentangeschwindigkeit zur Zeit
Massenpunkts im Raum sind statt einer Koor-
t = 5 s.
dinate drei anzugeben. Diese fasst man zweck-
b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit
mäßigerweise in einem Vektor1) zusammen
in den ersten fünf Sekunden?
(Ortsvektor). Bewegt sich der Massenpunkt
c) Berechnen Sie die momentane Beschleuni-
durch den Raum, so lässt sich seine Bahnkurve
gung zur Zeit t = 5 s.
beschreiben, indem man zu jedem Zeitpunkt
Lösung: v = 50 m/s, v̄ = 25 m/s, a = ā = t den Ortsvektor r®(t) angibt. Die Bahnkurve
10 m/s 2 (Trajektorie), zunächst für die Bewegung in
der Ebene, hat also die Form
1.1.1-3 Ein Teilchen befindet sich zur Zeit t =:
t0 = 2 s am Ort x(t0 ) = 0,1 m. Es bewegt sich
!
x(t)
mit v(t) = v0 cos(ωt), v0 = 2 m/s, ω = 4 s−1 . r®(t) := .
y(t)
Gesucht: a(t) und x(t) für t =: t1 = 10 s.
Lösung: −5,96 m/s2 , −2,21 cm
1.1.1-4 Leiten Sie den allgemeinen Ausdruck →
r(t2)
für v(t) und x(t) bei der gleichförmig beschleu- →
nigten Bewegung her! r(t1)
1.1.1-5 Ein Auto bremst mit einer Verzöge-
rung von 6,5 m/s2 und legt bis zum Stillstand
45 m zurück. Wie groß sind Bremszeit und
Anfangsgeschwindigkeit?
Lösung: 3,72 s, 24,2 m/s
Abb. 1.4: Spiralförmige Bewegung. Die Bahnkur-
1.1.1-6 Eine Rakete beschleunige in der Start- !
sin(ωt)
phase gemäß a = ct mit c = 3 m/s . Geben Sie ve kann z. B. in der Form r®(t) = at
3
mit
cos(ωt)
ihre Geschwindigkeit und die zurückgelegte
a, ω = const angegeben werden.
Wegstrecke 5 s nach dem Start an.
Lösung: 37,5 m/s, 62,5 m Die Geschwindigkeit ist ebenfalls durch einen
Vektor zu beschreiben, den Vektor der Mo-
1.1.1-7 Die Geschwindigkeit eines Körpers,
mentangeschwindigkeit:
der durch ein viskoses Medium fällt, ist
v(t) = v L (1 − e−Pt ). Welche Strecke legt eine !
d®
r xÛ
Stahlkugel in Glycerin in der Zeit t = 1/P zu- v® := Û
= r® = .
rück, wenn sie anfänglich ruhte (v L = 7 cm/s, dt yÛ
P = 140 1/s)?
Dieser Vektor liegt zu jedem Zeitpunkt tan-
Lösung: 0,184 mm gential an der Bahnkurve (vgl. Abb. 1.5).
1) vgl. Abschnitt B.1 im Anhang12 1 Mechanik
kann, entsprechen Wurf- und Geschossbahnen
→ einer gleichförmig beschleunigten Bewegung
→ v mit
r !
0
a®0 = ,
O −g
Abb. 1.5: Vektor der Momentangeschwindigkeit wenn ein Koordinatensystem mit nach oben
weisender y-Achse gewählt wird.
Analog zur geradlinigen Bewegung definiert Geschwindigkeitsvektor und Bahnkurve der
man den Vektor der Momentanbeschleuni- gleichförmig beschleunigten Bewegung wer-
gung: den durch
!
d®v vÛx v®(t) = a®0 (t − t0 ) + v®0,
a® := = v®Û = .
dt vÛ y 1
r®(t) = a®0 (t − t0 )2 + v®0 (t − t0 ) + r®0
Für den Beschleunigungsvektor erweist sich 2
die folgende Zerlegung in Komponenten als beschrieben.
zweckmäßig (Abb. 1.6): Eine weitere wichtige Bewegungsform ist die
a® = a® k + a®⊥ . Kreisbewegung. In Abbildung 1.7 sind zwei
Punkte P1 und P2 auf einer rotierenden Schei-
Dabei heißt a® k Tangential- oder Bahnbe- be dargestellt.
schleunigung und a®⊥ heißt Zentripetal- oder
Normalbeschleunigung. y
→
a||
→ P2
→ v
a → P1
a⊥ s2
s1
ϕ
Abb. 1.6: Zerlegung des Beschleunigungsvek- x
tors in Komponenten parallel und senkrecht zum
Geschwindigkeitsvektor
Geschwindigkeitsänderungen (d. h. Beschleu-
nigungen) setzen sich aus zwei Anteilen zu-
sammen: Änderung des Betrages von v® (dem
entspricht a® k ) und Änderung der Richtung von
Abb. 1.7: Kreisbewegung
v® (dem entspricht a®⊥ ).
Eine wichtige spezielle Bewegungsform in Offenbar legen sie in gleichen Zeiten verschie-
der Ebene ist die gleichförmig beschleunigte dene Strecken zurück. Der je Zeiteinheit über-
Bewegung, definiert durch a® = a®0 = const. So- strichene Winkel ϕ (Drehwinkel) ist aber für
lange man Luftwiderstand, Tragflächeneffekte beide Punkte gleich. Wählt man ein Koordi-
(dynamischer Auftrieb) etc. vernachlässigen natensystem, dessen Ursprung im Zentrum1.1 Kinematik 13
der Drehung liegt, so hat der Betrag des Orts- eingeführt wurden. Der erste Term in der For-
vektors eines beliebig ausgewählten Punktes mel für a® entspricht der Tangentialbeschleuni-
r | =: R = const1) . Die
einen konstanten Wert: |® gung, der zweite demzufolge der Zentripetal-
Bahnkurve hat die Form
! beschleunigung.
R cos ϕ(t) Die mittlere Winkelgeschwindigkeit im Zei-
r® = .
R sin ϕ(t) tintervall ∆t := t2 − t1
Ableiten nach der Zeit ergibt die Geschwin- ∆ϕ
digkeit ω̄ := ,
∆t
v® = Rω e®v® . und die mittlere Winkelbeschleunigung
Hierbei wurde die momentane Winkelge-
∆ω
schwindigkeit ᾱ :=
∆t
ω(t) := ϕ(t)
Û
sind in gewohnter Weise definiert.
und der Einheitsvektor2) in Richtung von v®
! Bei der gleichförmigen Kreisbewegung
− sin ϕ (ω =: ω0 = const) ist der Zusammenhang zwi-
e®v® :=
cos ϕ schen Zeit und Drehwinkel durch
eingeführt. ω gibt an, welchen Winkel der ϕ(t) = ω0 (t − t0 ) + ϕ0
Ortsvektor pro Zeiteinheit überstreicht.
gegeben. Die Anzahl der Umläufe pro Zeitein-
Man überzeugt sich leicht, dass die Bahn- heit heißt Drehzahl oder Drehfrequenz. Für
geschwindigkeit, das ist der Betrag des Ge- sie gilt
schwindigkeitsvektors, mit ω gemäß
1 ω0
v(t) = Rω(t) f := =
T 2π
zusammenhängt. Das heißt: je weiter der be-
trachtete Punkt von der Drehachse entfernt ist, ([ f ] = s =: Hertz (Hz)). Dabei ist T die Pe-
−1
umso schneller bewegt er sich. riode der Kreisbewegung, d. h. die Zeitdauer
für einen vollständigen Umlauf.
Differenzieren des Geschwindigkeitsvektors
nach der Zeit liefert den Beschleunigungsvek- Auch für die gleichförmig beschleunigte
tor Kreisbewegung gelten Formeln analog zu
a® = Rα e®v® − Rω e®r®,
2 denen der geradlinigen Bewegung. Die Ma-
thematik ist in beiden Fällen die gleiche – nur
wobei die momentane Winkelbeschleuni- die Formelsymbole und deren physikalische
gung Bedeutung sind unterschiedlich:
α(t) := ω(t)
Û
ω(t) = α0 (t − t0 ) + ω0
und der radial nach außen weisende Einheits- 1
vektor ϕ(t) = α0 (t − t0 )2 + ω0 (t − t0 ) + ϕ0 .
! 2
cos ϕ Erfolgt die Bewegung nicht in einer Ebene,
e®r® :=
sin ϕ sondern im Raum, so ist die Hinzunahme einer
1) R und ϕ heißen Polarkoordinaten (vgl. Abschnitt B.5 im Anhang)
2) vgl. Abschnitt B.1 im Anhang14 1 Mechanik
weiteren Koordinate notwendig. Die Bahnkur- Konsequenterweise beschreibt man auch die
ve (Trajektorie) hat die Form: Winkelbeschleunigung durch einen Vektor.
Dieser ist durch
x(t)
d ω®
r®(t) := y(t) ®® . α
© ª
® :=
dt
« z(t) ¬
definiert (Vektor der Winkelbeschleuni-
gung).
z
Aufgaben
1.1.2-1 Ein Teilchen! bewegt sich mit der Be-
4
schleunigung m/s2 . Es befindet sich zur
3
Zeit t = t0 = 0 am Ort x = 4 m und y = 3 m.
→
r(t1) Seine Geschwindigkeit! ist im gleichen Zeit-
y 2
punkt durch m/s gegeben. Berechnen
−9
Sie
a) seine Geschwindigkeit zur Zeit t = 2 s!
x b) seinen Ort zur Zeit t = 4 s,
! !
10 44
Abb. 1.8: Spiralförmige Bewegung. Bahnkurve: Lösung: m/s, m
R cos(ωt) −3 −9
r®(t) = R sin(ωt) ®® mit R, b, ω = const. Die ersten
© ª
1.1.2-2 Die Fallgeschwindigkeit mittelgroßer
« bt ¬ Regentropfen beträgt bei Windstille ca. 8 m/s.
beiden Komponenten entsprechen einer gleichför- Welche Geschwindigkeit hat ein Zug, an des-
migen Kreisbewegung. sen Wagenfenstern die Tropfen Spuren hin-
terlassen, die um 70◦ von der Senkrechten
Auch v® und a® müssen um eine Komponente abweichen?
erweitert werden.
Lösung: 79 km/h
Kreisbewegungen können im Raum um unter-
schiedliche Achsen erfolgen. Daher beschreibt 1.1.2-3 Vom Dach eines 12 m hohen Hau-
man die Winkelgeschwindigkeit durch einem ses wird ein Stein steil nach oben geworfen.
Vektor, dessen Betrag mit ϕ(t)
Û und dessen Dieser fällt 6,4 s nach dem Abwurf in 32 m
Richtung mit der Richtung der Drehachse Entfernung auf den Erdboden. Mit welcher
übereinstimmt. Aus dem Ortsvektor r® und Anfangsgeschwindigkeit und unter welchem
dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω® Winkel wurde er abgeschleudert?
lässt sich der Geschwindigkeitsvektor mithilfe Lösung: 29,94 m/s, 80,4◦
des Kreuzprodukts1) berechnen:
1.1.2-4 Ein Körper wird mit der Anfangsge-
v® = ω® × r®. schwindigkeit 35 m/s unter einem Winkel von
1) vgl. Abschnitt B.1 im Anhang1.2 Dynamik 15
60◦ abgeschleudert. Bestimmen Sie die Wurf- bewegt zur Zeit t1 = 10 s (A = 10 cm, ω = 2 s−1
weite, Wurfhöhe und Flugdauer! und b = 0,01 m/s3 ).
!
Lösung: 108,1 m, 46,8 m, 6,18 s −0,3652
Lösung: m/s2
1.1.2-5 Mit welcher Geschwindigkeit bewegt 0,6000
sich ein Punkt auf der Erdoberfläche
a) am Äquator 1.2 Dynamik
b) in Hamburg
relativ zum Sternenhimmel? (Erdumfang 1.2.1 Newtonsche Axiome
ca. 40 000 km, Hamburg liegt auf ca. 54◦
nördliche Breite, Bahnbewegung der Erde etc. Wie bereits erwähnt, befasst sich die Kinema-
vernachlässigen) tik mit der mathematischen Beschreibung von
Bewegungsvorgängen. Die Dynamik ist die
Lösung: ca. 1667 km/h, 980 km/h
Lehre vom Zusammenhang zwischen Bewe-
1.1.2-6 Bei einer Fluggeschwindigkeit von gung und deren Ursache, der Kraft. Zu den
420 km/h legt die Nabe der Luftschraube wäh- zentralen Begriffen Teilchenort, Geschwindig-
rend jeder Umdrehung die Strecke 3,6 m zu- keit und Beschleunigung kommen die Begriffe
rück. Welche Drehzahl hat die Luftschraube? Kraft und Masse hinzu.
Lösung: 32,4 Hz Den Widerstand eines Körpers gegen Bewe-
gungsänderung (d. h. gegen Beschleunigung)
1.1.2-7 Ein Elektromotor mit der Drehzahl nennt man Trägheit. Das Maß für die Trägheit
4000 min−1 läuft innerhalb von 8 s bis zum heißt Masse. Eine experimentelle Anordnung
Stillstand aus. Wie viele Umdrehungen führt zur Bestimmung der Masse ist in Abb. 1.9 dar-
er dabei aus? gestellt. Auszumessende und Referenzmasse
Lösung: 266,7 werden durch eine Feder beschleunigt.
Je träger ein Körper ist, umso mehr wird er ver-
1.1.2-8 Ein Teilchen bewege sich auf ei-
suchen, seine Anfangsgeschwindigkeit v = 0
ner Kreisbahn gemäß ϕ = at + bt (a =
2
beizubehalten. Die Masse eines Körpers ergibt
3 rad/s , b = 2 rad/s). Berechnen Sie die Win-
2
sich aus
kelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleu-
nigung zur Zeit t = 4 s! v0
m := m0 .
v
Lösung: 26 rad/s, 6 rad/s2
Dabei ist m0 eine Referenzmasse (Kilogramm-
1.1.2-9 Ein Elektromotor führt innerhalb der prototyp) und v0 deren Geschwindigkeit. v
ersten 10 s nach dem Anlassen 280 Umdrehun- ist die Geschwindigkeit des Körpers, dessen
gen aus, wobei die Drehbewegung 5 s gleich- Masse bestimmt werden soll. (Einem Körper,
förmig beschleunigt und danach gleichförmig der mit großer Geschwindigkeit weg gestoßen
ist. Welche Drehzahl hat der Motor erreicht? wird, wird nach der obigen Formel offenbar
eine kleine Masse zugeschrieben.)
Lösung: 37,3 Hz
Diese etwas ungewöhnliche Art, die Masse
1.1.2-10 Bestimmen Sie den Beschleunigungs- einzuführen, hat den Vorteil, dass der Zusam-
vektor eines Teilchens,
! das sich auf der durch menhang mit der Trägheit sehr deutlich wird
A sin(ωt)
r®(t) = beschriebenen Bahnkurve und außerdem nur Größen verwendet werden,
bt 3 die vorher definiert worden sind.16 1 Mechanik
v0 v
Referenz-
masse
Abb. 1.9: Zur Definition der trägen Masse. Eine Feder wird zwischen einem Referenzkörper und dem
Körper, dessen Masse zu bestimmen ist, gestaucht. Beide Körper werden gleichzeitig losgelassen. Dies
kann so eingerichtet werden, dass sie sich in genau entgegengesetzte Richtungen auseinander bewegen.
Reibungseffekte müssen vernachlässigbar klein sein.
Körper gleicher Masse nehmen bei unter- 2. Newtonsches Axiom (Dynamisches
schiedlicher stofflicher Zusammensetzung ver- Grundgesetz, Aktionsgesetz) Das Dynami-
schiedene Volumina ein. Um diesen Sachver- sche Grundgesetz
halt quantitativ zu erfassen, führt man die
Dichte ein. Im einfachsten Fall der homogen1) F®res = ma® (**)
aufgebauten Körper ist die Dichte das Verhält-
nis aus Masse und Volumen kann als Definitionsgleichung für die physi-
kalische Größe Kraft aufgefasst werden. m
m und a® sind zuvor definiert worden. Somit lässt
ρ := .
V sich über die Messung der Beschleunigung
schließen, welche resultierende Kraft auf einen
Newton2) hatte die Vorstellung, dass sich alle ® = kg2m =: Newton (N)).
Körper wirkt ([F] s
Erscheinungen der Mechanik (zumindest im
Prinzip) aus wenigen Axiomen3) ableiten las- Viel bedeutender ist das Dynamische
sen sollten. Die drei Newtonschen Axiome Grundgesetz in einer anderen Funktion
lauten: (Hauptaufgabe der Mechanik): Beachtet
man, dass die Beschleunigung als erste Ab-
1. Axiom (Trägheitsgesetz4) ) Jeder Körper leitung des Geschwindigkeitsvektors nach der
verharrt in einem Zustand der Ruhe oder Zeit definiert ist, so ist klar, dass (**) als Dif-
gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn ferenzialgleichung6) aufgefasst werden kann.
er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen Wenn die auf einen Körper wirkende Kraft
wird, seinen Zustand zu ändern. als Funktion von r®, v®, t und evtl. weiterer Va-
riablen gegeben ist und Anfangsbedingungen
Bis Galilei glaubte man, dass alle Gegenstän- der Art r®(t0 ) = r®0 , v®(t0 ) = v®0 vorliegen, so lie-
de zur Ruhe kommen, wenn keine äußeren fert die Lösung der Differenzialgleichung v®(t)
Kräfte wirken5) . Durch Galilei verändert sich und r®(t), d. h. die Bahnkurve des Körpers. Die
der Standpunkt grundsätzlich: bewegte Kör- Bewegung von Körpern lässt sich also mit
per kommen aufgrund der immer vorhandenen mathematischen Mitteln aus den wirkenden
Reibungskräfte zur Ruhe. Kräften bestimmen! Im Zusammenhang mit
1) homogen: überall gleich beschaffen
2) Sir Isaac Newton, 1643-1727
3) Axiom: Grundsatz, der ohne Beweis als wahr angenommen wird.
4) geht auf Galileo Galilei,1564 - 1642, zurück
5) Aristoteles, 384 – 322 v. Chr.
6) vgl. Anhang B.41.2 Dynamik 17
diesem Problemkreis wird (**) auch Bewe- 1.2.1-2 Eine Person trägt ein 10 kg schwe-
gungsgleichung genannt. res Postpaket an einer Schnur (Reißfestigkeit
150 N) und betritt einen Aufzug. Welche Be-
(Hinweis: (**) lässt sich umstellen zu a® = F/m.
®
schleunigung darf beim Anfahren des Aufzugs
Gemäß dem im Abschnitt Kinematik Gesag-
nicht überschritten werden, damit die Schnur
ten erhält man r®(t) durch zweifaches Integrie-
nicht reißt?
ren. Wozu braucht man also das Dynamische
Grundgesetz? Das Verfahren mit der Integrati- Lösung: 5,19 m/s2
on funktioniert nur, wenn die Beschleunigung
als Funktion der Zeit bekannt ist. Dies ist aber 1.2.1-3 Auf einen Körper wirke eine konstante
häufig nicht der Fall.) Kraft F®0 . Geben Sie die allgemeine Lösung der
zugehörigen Bewegungsgleichung an (nicht
Das Dynamische Grundgesetz ist die wichtigs- rechnen, nachdenken!).
te Formel der Physik!
1.2.1-4 Die resultierende Kraft auf einen Kör-
Newton hat das Dynamische Grundgesetz in per der Masse m sei F = F0 −kt (F0, k Konstan-
einer allgemeiner gültigen Form angegeben: ten, t Zeit). Geben Sie die Teilchenposition als
d p® Funktion der Zeit an!
F®res =
dt F0 2 k 3
Lösung: x(t) = t − t + v0 t + x0
mit 2m 6m
1.2.1-5 Auf einen geöffneten Fallschirm, der
p® := m®v (Impuls).
mit der Geschwindigkeit v fällt, wirkt eine
Diese Formel ist auch dann gültig, wenn sich Kraft cv 2 entgegen der Bewegungsrichtung.
die Masse im Laufe der Bewegung ändert, z. B. Wie groß ist die konstante Endgeschwindigkeit
beim Start einer Rakete (Treibstoffausstoß). eines Fallschirmspringers?
p
3. Axiom (Wechselwirkungsgesetz) Übt ein Lösung: mg/c
Körper 1 auf einen anderen Körper 2 eine
Kraft F®12 aus, so wirkt eine gleich große, aber 1.2.1-6 Ein Auto (m = 1000 kg) fährt mit kon-
entgegen gerichtete Kraft von Körper 2 auf stanter Geschwindigkeit (v0 = 120 km/h) auf
Körper 1, also einer ebenen Straße. Welche Strecke legt es in-
nerhalb von 20 s zurück, wenn der Motor plötz-
F®12 = −F®21 . lich ausgekuppelt wird? Welche Geschwindig-
keit hat es 20 s nach dem Auskuppeln?
(Man nehme an, dass der Luftwiderstand und
Aufgaben alle Reibungskräfte näherungsweise durch den
Ansatz FR = −cv 2 mit c = 0,8 kg/m beschreib-
Hinweis: Auf Körper in der Nähe der Erd- bar seien!).
oberfläche wirkt die Gewichtskraft mg, die
senkrecht nach unten in Richtung Erdmittel- Lösung: 21,7 m/s, 534 m
punkt wirkt (vgl. Abschnitt 1.3.2).
1.2.1-7 Ein Mann (Masse 75 kg) und ein Kind
1.2.1-1 Welche Kraft wirkt im Halteseil eines (Masse 25 kg) befinden sich auf einem zuge-
Aufzugs von 1500 kg Masse beim Anfahren frorenen See. Sie ziehen an den Enden eines
nach oben/unten, wenn die Beschleunigung in Seils. In welchem Verhältnis stehen die Be-
beiden Fällen 1,5 m/s2 beträgt? schleunigungen von Mann und Kind?
Lösung: ca. 17,0 kN, 12,5 kN Lösung: 1 : 318 1 Mechanik
1.2.2 Dynamik starrer Körper oder vektoriell
® := r® × F.
M ®
Häufig können ausgedehnte Körper näherungs-
weise als starr (d. h. nicht verformbar) ange- Im Folgenden wird ein Massenpunkt betrach-
sehen werden (Modellvorstellung des star- tet, der sich unter der Wirkung einer Kraft auf
ren Körpers). Die Bewegung starrer Körper einer Kreisbahn vom Radius r bewegt. Die
lässt sich als Überlagerung einer Translati- Kraft F® wird analog zur Beschleunigung in
onsbewegung (der Körper nimmt zu allen zwei Komponenten zerlegt (vgl. Abb. 1.11).
Zeiten zur Anfangslage parallele Lagen ein) →
des Schwerpunktes1) und einer Rotationsbe- →
v
F⊥ →
wegung um den Schwerpunkt auffassen. Bei F||
der Behandlung der Bewegungsgesetze spie- →
len Kreisbewegungen eine wichtige Rolle, da F
alle Bestandteile eines rotierenden Körpers →
r
auf Kreisbahnen umlaufen. Das Dynamische
Grundgesetz kann in eine Form gebracht wer-
den, die zur Behandlung von Kreisbewegun-
gen besonders geeignet ist.
Versucht man einen drehbar gelagerten Körper
in Rotation zu versetzen, so stellt man fest, dass Abb. 1.11: Kraftzerlegung bei der Kreisbewe-
die erzielte Wirkung (die Winkelbeschleuni- gung
gung) nicht nur von der aufgewändeten Kraft,
Die Zentripetalkraft F®⊥ wirkt zum Drehzen-
sondern genauso stark vom Abstand Drehach-
trum hin und ist für die Richtungsänderung
se – Wirkungslinie (dem Hebelarm) der Kraft
des Geschwindigkeitsvektors v® verantwortlich.
abhängt (Abb. 1.10).
Offenbar gilt (vgl. Kinematik der Kreisbewe-
Drehachse gung):
F~
F⊥ = ma⊥ = −mrω2 .
~A
r A
Ebenso
A
b Fk = ma k = mrα
Wirkungslinie und daher
M = r Fk = mr 2 α.
Abb. 1.10: Drehmoment einer Kraft F® mit An- Dieser Formel ist zu entnehmen, dass die Win-
griffspunkt A kelbeschleunigung umso kleiner ausfällt, je
weiter die Masse von der Drehachse entfernt
Das Produkt aus diesen beiden Einflussfakto- ist. Die Trägheit eines Körpers hängt bei Dreh-
ren nennt man Drehmoment bewegungen also nicht nur von der Masse,
sondern auch von deren Abstand zur Drehach-
M = bF se ab.
1) Der Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt eines Körpers lässt sich experimentell ermitteln, indem man den
Körper nacheinander an mindestens zwei verschiedenen Punkten an einem Faden aufhängt. Denkt man sich den
Faden jeweils nach unten verlängert, so ergibt der Schnittpunkt der Verlängerungslinien die Lage des Schwerpunkts.1.2 Dynamik 19
Betrachtet man einen starren Körper, der wobei J Massenträgheitsmoment genannt
aus mehreren näherungsweise punktförmigen wird und durch
Massen zusammengesetzt ist (vgl. Abb. 1.12), Õ
so gilt die obige Überlegung für jede der Mas- J := mi ri2
sen. alle Teilchen
gegeben ist.
mj Bei kontinuierlichen Massenverteilungen tritt
→
rj in der obigen Formel anstelle der Summe ein
Integral (vgl. Abb. 1.13):
∫
→
ri mi J := r 2 dm.
Volumen
Wichtig ist, dass das Massenträgheitsmoment
Abb. 1.12: Starrer Körper, der aus punktförmigen
Massen zusammengesetzt ist keine feste Eigenschaft des rotierenden Kör-
pers ist, sondern immer nur in Bezug auf eine
Da diese alle mit der selben Winkelgeschwin- bestimmte Drehachse angegeben werden kann.
digkeit ω rotieren, gilt Für einfache Körper sind Trägheitsmomente
bezüglich verschiedener Achsen tabelliert (vgl.
Mres = Jα, Tabelle 1.1).
Tabelle 1.1: Massenträgheitsmomente bezüglich einiger Symmetrieachsen einfacher Körper. Die For-
meln für Vollzylinder und Vollkugel sind als Spezialfälle enthalten. Auch das Trägheitsmoment eines
langen, dünnen Stabes bezüglich einer Schwerpunktachse senkrecht zur Stabachse lässt sich leicht
ablesen.
Quader Hohlzylinder Hohlkugel
1 1 2 R5 − r 5
m(a2 + b2 ) m(R2 + r 2 ) für A1 m
12 2 5 R3 − r 3
1 1
m(R2 + r 2 + l 2 ) für A2
4 3
b A1
a
r R
A2
r
l
R20 1 Mechanik
A
a
S
→
r
dm
Abb. 1.14: Zwei zueinander parallele Rotationsa-
chen im Abstand a. Eine der beiden Achsen geht
durch den Schwerpunkt des Körpers.
Betrachtet man Tabelle 1.2, so stellt man fest,
dass zu jedem Ausdruck in der linken Spalte
Abb. 1.13: Starrer Körper bei kontinuierlicher
Massenverteilung ein ähnlicher Ausdruck in der rechten Spalte
gehört – die Formeln für translatorische Bewe-
gungen und für Rotationsbewegungen weisen
Für andere Achsen kann das Trägheitsmoment
eine große formale Ähnlichkeit auf.
häufig mithilfe des Steinerschen Satzes be-
rechnet werden: Das Trägheitsmoment eines Zum Beispiel lautet das Dynamische Grund-
Körpers der Masse m bezüglich einer Achse gesetz der Drehbewegung in vektorieller Form
A sei JA . Das Trägheitsmoment des Körpers
bezüglich der Achse, die durch den Körper- ® res := J α
M ®.
schwerpunkt S und parallel zu A verläuft, sei
JS (vgl. Abb. 1.14). Haben die beiden Achsen Als Gegenstück zum Impuls wird der Drehim-
den Abstand a voneinander, so gilt puls eingeführt:
JA = JS + ma2 . L® := J ω®
Tabelle 1.2: Translations- und Rotationsgrößen. Der Punkt bedeutet wie üblich die Ableitung nach der
Zeit.
Translationsgröße Rotationsgröße
Ortskoordinate x Drehwinkel ϕ
Geschwindigkeit v = xÛ Winkelgeschwindigkeit ω = ϕÛ
Beschleunigung a = vÛ Winkelbeschleunigung α = ωÛ
Masse m Massenträgheitsmoment J
Impuls p = mv Drehimpuls L = Jω
Kraft F = ma = pÛ Drehmoment M = Jα = LÛ
Arbeit dW = Fdx Arbeit dW = M dϕ
1 1
kinetische Energie Ekin = mv 2 Rotationsenergie Erot = Jω2
2 2
Leistung P = Fv Leistung P = MωSie können auch lesen
