Spiralkörper - Vergleich zwischen Theorie und Realität durch Modellierung mittels CAD-Software
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Spiralkörper – Vergleich zwischen Theorie und Realität
durch Modellierung mittels CAD-Software
Dominik Lehmert (Universität Salzburg und HTL Hallein)
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
E-Mail: dominik.lehmert@htl-hallein.at
Thema der Diskussion im vorliegenden Beitrag ist Der erste Teil des Beitrags beschäftigt sich mit
die Frage, ob sich die Theorie über diverse Spiral- den Grundlagen und Eigenschaften des Goldenen
typen auf in der Natur vorkommende Spiralkörper Schnittes. Dabei orientiert sich der Aufbau an Al-
anwenden lässt. Im Speziellen werden Planspiralen bert Beutelspacher und Bernhard Petri (1996).
anhand von Ammonitenfossilien untersucht. Ba- Dann wird eine Brücke zwischen Goldenem Schnitt
sierend auf den mathematischen Grundlagen zum und der berühmten Folge von Fibonacci geschla-
Goldenen Schnitt und zu Fibonaccizahlen werden gen, um schlussendlich aufbauend auf diese Vor-
verschiedene Spiralkörper erstellt und fossile Ex- arbeit einige Spiraltypen und deren Eigenschaften
ponate mit verschiedenen Computer Aided Design vorzustellen. Die theoretischen Grundlagen zu
(CAD) Techniken modelliert, um die Spiralung der Fibonaccifolgen orientieren sich hauptsächlich an
Fossilien zu untersuchen und eine Verbindung zwi- den Ausführungen von Huberta Lausch (2009) und
schen Theorie und Realität herzustellen. Es stellt Laurence Sigler (2002). Besonders interessant ist
sich heraus, dass im Reich der Mollusca überwie- die Formel von Jacques Binet, die es erlaubt jede
gend die logarithmische Spirale formgebend für Fibonaccizahl explizit anzugeben, ohne ihre Vor-
die Schalen ist. Die Parameter der Spiralform ver- gänger kennen zu müssen.
ändern sich im Lebensverlauf der untersuchten Das Thema Spiralen ist sehr umfangreich, deshalb
Exponate. Daher eignet sich eine Approximation wurde eine Auswahl der wichtigsten Grundformen
zusammengesetzt aus mehreren logarithmischen der Planspiralen getroffen. Explizit werden die ar-
Spiralen besser als die Approximation der Form chimedische und logarithmische Spirale in ihren
durch nur eine Spirale. Diese Ergebnisse decken jeweiligen Polarkoordinatenformen behandelt. Die
sich mit der einschlägigen Fachliteratur in der Pa- Theorie zu Spiralen folgt Dörte Haftendorn (2017)
läontologie. und Claus Ortlieb et al. (2009). Der zweite Teil des
Beitrags widmet sich zuerst kurz Spiralen in der
Einleitung Natur. Es werden Spiralen in der Pflanzenwelt und
Spiralen gehören zu den bekanntesten Kurven Tierwelt angesprochen. Im Speziellen wird auf den
überhaupt. Begegnet man ihnen doch in vielen Stamm der Mollusca bzw. im engeren Sinne die
Lebensbereichen wie Kunst, Technik, Natur und Klasse der Ammonoidea eingegangen und Modelle
Mystik. Spiralen wurden mathematisch erstmals zur Beschreibung der Schalen von diesen vorge-
von René Descartes (1596-1650) im 17. Jahrhun- stellt. Pionierarbeit bei der Beschreibung der Ge-
dert beschrieben. Jakob Bernoulli (1654-1705) häuseformen leistete David Raup (1966, 1967) mit
war so sehr von den Spiralen beeindruckt, dass seinem logarithmischen Modell. Angelehnt an die-
er verfügte, auf seinem Grabstein die Worte ses wird das Gehäuse von Coroniceras rotiforme
„Eadem mutata resurgo“ (was so viel bedeutet (SOWERBY, 1824) konstruiert. Es werden mit Hilfe
wie „Trotz Veränderung bleibt es dasselbe“) einzu- des CAD-Programms MicroStation einige Fossilien
meißeln. Mit diesen Worten bezog er sich auf die rekonstruiert und diese Modelle auf Basis der er-
Eigenschaft der logarithmischen Spirale, unter ge- arbeiteten Theorie über Spiralen und den Gol-
eigneter Drehstreckung in sich selbst überführbar denen Schnitt hin untersucht. Dabei ist vor allem
zu sein. interessant, ob das Wachstum von Ammonoidea
Auch der Goldene Schnitt zählt zu den faszinie- gewissen Mustern folgt, und ob auch hier der Gol-
rendsten Begriffen der Mathematik. Kaum jemand dene Schnitt zum Vorschein kommt.
kann behaupten, ihm noch nie begegnet zu sein,
hält er doch Einzug in die verschiedensten Gebie- Der Goldene Schnitt
te. Neben der Mathematik findet man den Golde- Der Goldene Schnitt lässt sich auf verschiedene
nen Schnitt häufig in der Architektur, Fotografie, Arten erklären. Die wohl bekannteste Art der De-
Kunst, Kultur, Flora, Fauna, Musik und selbst in finition geht auf den griechischen Mathematiker
der menschlichen Anatomie. Scott Olsen (2006) Euklid (365-300 v.Chr.) zurück. In seinem zweiten
gibt dazu einen fundierten Überblick. Wenngleich Buch der Elemente ist Folgendes zu lesen:
dieses Verhältnis von zumeist zwei Strecken nicht „Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das
immer exakt auftritt, scheint es jedoch allgegen- Rechteck aus der ganzen Strecke und einem Ab-
wärtig zu sein und wird als besonders elegant und schnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt
schön angesehen. So ist es auch nicht verwunder- gleich ist“ (Thaer, 1980, S. 41).
lich, dass der Goldene Schnitt auch in der Theorie
Zeitgemäßere Definitionen (Beutelspacher & Petri,
zu Spiralen eine wichtige Rolle spielt.
1996; Lausch, 2009) lauten wie folgt.
IBDG 35
Definition 1. Sei eine Strecke. Ein Punkt S auf gibt den numerischen Wert mit Φ ≈-0,618 an.
der Strecke teilt im Goldenen Schnitt, wenn Konstruktion
gilt, dass sich die größere Teilstrecke zur kleine-
ren so verhält wie die Gesamtstrecke zur größeren Über die Jahre wurde der Goldene Schnitt auf ver-
Teilstrecke. schiedenste Arten erfolgreich mittels Konstruk-
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
tionen geometrisch zugänglich gemacht. Sowohl
Beutelspacher und Petri (1996) als auch Lausch
(2009) stellen mehrere dieser Konstruktionsmög-
lichkeiten vor, von denen zwei nachfolgend genau-
er betrachtet werden. Die Konstruktionen werden
in zwei Typen unterschieden: Bei Typ I ist eine
Strecke gegeben. Gesucht ist ein Teilungspunkt
S, sodass die Strecke im Goldenen Schnitt ge-
Abb. 1: Geometrische Definition des Goldenen Schnitts (nach
teilt wird. Bei Typ II ist eine Strecke gegeben.
Beutelspacher & Petri, 1996, S. 15)
Gesucht ist ein Punkt B, sodass der Punkt S die
Strecke im Goldenen Schnitt teilt.
Offensichtlich gibt es zwei Punkte, die diese De-
finition erfüllen. Ohne Beschränkung der Allge-
meinheit nehmen wir an, dass der Teilungspunkt S Konstruktion 1 (Konstruktion zum Typ I). Die-
„näher“ beim Punkt B liegt, wie es in Abbildung 1 se Konstruktion veranschaulicht eine Möglichkeit,
dargestellt ist. Diese Konvention erlaubt es, Defi- um aus einer gegebenen Strecke einen Teilungs-
nition 1 wie folgt zu formulieren: punkt zu ermitteln, sodass die Strecke im Golde-
nen Schnitt geteilt wird.
Definition 2 (Der Goldene Schnitt). Der Punkt S
teilt im Goldenen Schnitt genau dann, wenn: Gegeben ist eine Strecke . Das Lot mit der
Länge /2 wird über B errichtet. Der Kreis
(1) mit Mittelpunkt C und Radius schneidet die
Strecke in einem Punkt D. Schlussendlich schnei-
det der Kreis mit Mittelpunkt A und Radius die
Des Weiteren werden folgende Bezeichnungen Strecke im Punkt S (Abbildung 2).
festgelegt:
Die Länge der größeren Teilstrecke wird mit M
bezeichnet und heißt Major, die Länge der kürze-
ren Teilstrecke wird mit m bezeichnet und heißt
Minor.
Nun lässt sich Gleichung (1) wie folgt umschrei-
ben:
(2)
Beutelspacher und Petri (1996) merken an, dass
sich Gleichung (6) leicht zum mathematisch äqui-
valenten Ausdruck zu Euklids Aufgabe aus dem
Buch der Elemente umformen lässt: Abb. 2: Konstruktion Typ I für den Goldenen Schnitt (nach Beu-
telspacher & Petri, 1996, S. 21)
(3)
Durch das Lösen dieser quadratischen Gleichung Nun wird behauptet, dass der Punkt S die Strecke
mittels pq-Formel (Lösungsformel für eine quadra- im Goldenen Schnitt teilt. Der Beweis für die
tische Gleichung in der Normalform ) Korrektheit der Konstruktion findet sich bei
erhalten wir für den Goldenen Schnitt folgende Lö- Beutelspacher und Petri (1996).
sungen:
(4)
Da es sich bei M und m um Streckenlängen han-
delt, folgt daraus, dass beide nur positive Werte
annehmen können. Für das Verhältnis M/m kommt
nur die Lösung (1+√5)/2≈1,618 für den numeri-
schen Wert des Goldenen Schnitts in Frage. Die
Lösung enthält die irrationale Zahl √5, weshalb
auch der numerische Wert des Goldenen Schnitts
eine irrationale Zahl ist. In der Literatur wird der
Goldene Schnitt üblicherweise mit dem griechi-
schen Buchstaben Φ bezeichnet. Georg Glaeser Abb. 3: Konstruktion nach Odom und Van De Craats (nach Odom
(2014a) benennt die negative Lösung mit Φ und & van de Craats, 1986, S. 572)
36 IBDG
Konstruktion 2 (Konstruktion zum Typ II). Gege- Zahlenfolge. Später formulierte Leonhard Euler
ben ist ein gleichseitiges Dreieck ∆XYZ und dessen (Glaeser, 2014a) eine rekursive Darstellung für die
Umkreis. Die Punkte A und S seien die Mittelpunk- Kaninchenanzahl, welche in Definition 3 beschrie-
te der Dreiecksseiten und . Eine Gerade durch ben wird. Dies ermöglicht mit einer entsprechen-
die Punkte A und S schneidet den Umkreis in den den Folgenvorschrift die Berechnung eines jeden
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Punkten B und C. Dann teilt der Punkt S die Stre- Folgengliedes, sofern die beiden vorangehenden
cke im Goldenen Schnitt (Abbildung 3). bekannt sind, was eine gewisse Unhandlichkeit
Diese Konstruktion geht auf das Problem „E3007“ darstellt. Erst Edouard Lucas studierte im 19.
und die Lösung von George Odom und Jan van de Jahrhundert ihre Eigenschaften, verallgemeinert
Craats (1986) zurück, welches von Beutelspacher diese und benannte die ursprüngliche Folge nach
und Petri (1996) sowie Lausch (2009) detailliert Fibonacci (Lausch, 2009).
erörtert und bewiesen wird. Rekursionsformel und Formel von Binet
Weil der Punkt S der Mittelpunkt der Dreiecksseite In diesem Kapitel betrachten wir zwei Möglichkei-
ist, liefert der Strahlensatz (Glaeser, 2014a, ten, wie die Fibonaccifolge definiert werden kann
S. 8), dass die Strecke .. Außerdem und wie mit diesen Definitionen die einzelnen Fi-
gilt . Nun wenden wir den Sehnensatz bonaccizahlen berechnet werden können (Lausch,
(Agricola & Friedrich, 2015, S. 31-32) an, welcher 2009).
besagt, dass die Produkte der Sehnenabschnitte Definition 3. Die Fibonaccifolge ist eine rekursiv
zweier sich schneidender Kreissehnen gleich sind. definierte Folge in den natürlichen Zahlen mit
(5) der Vorschrift
Damit folgt aufgrund der Eigenschaften des Gol-
denen Schnitts (Beutelspacher & Petri, 1996, S. und den Startwerten f1=1 und f 2=1.
18-20)
Anmerkung 1. Oft wird die Rekursionsvorschrift
(6) auch in der Form
Und damit folgt weiter, dass der Punkt S die Stre-
cke im Goldenen Schnitt teilt. angegeben. Alternativ können für die Fibonacci-
Fibonaccifolgen folge auch die Startwerte f0 =0 und f1=1 gewählt
werden. In diesem Fall wird die Zahl 0 zur Menge
Erstmals wurde die Folge von Leonardo Pisano ‒
der natürlichen Zahlen hinzugenommen (Lausch,
besser bekannt als Fibonacci ‒ in seinem Werk
2009).
„Liber abaci“ beschrieben, wo er sie zur Berech-
nung der Nachkommenanzahl eines Kaninchen- Da eine rein rekursive Definition für die schnelle
paares im Laufe eines Jahres formulierte (Siegler, Berechnung einzelner Fibonaccizahlen ungeeignet
2002). Fibonacci bemerkte an dieser Stelle, dass ist, wäre es wünschenswert, wenn man mittels ei-
man hierfür lediglich jeweils für das aktuelle Monat ner Formel schnell beliebige Folgenglieder der Fi-
die Anzahl der Kaninchenpärchen der beiden vor- bonaccifolge berechnen kann. Diese findet sich in
angegangenen Monate addieren muss und damit der Formel von Binet, welche sich leicht wie folgt
diese Folge unendlich fortgesetzt werden könne. verständlich machen lässt (Beutelspacher & Petri,
1996; Lausch, 2009)
Die von Fibonacci implizit angenommenen Voraus-
setzungen werden in der Literatur (Lausch, 2009; Um eine explizite Darstellung zur Berechnung
Spilker, 2003) oft wie folgt formuliert. Dabei sei al- der einzelnen Folgenglieder zu erhalten, wird das
lerdings vorausgeschickt, dass sich die Fibonacci- Wachstumsverhalten der Folgenglieder betrach-
folge natürlich nicht als realistisches Wachstums- tet. Da die Fibonaccifolge sehr stark anwächst,
modell verwenden lässt, wie gleich klar werden liegt die Vermutung nahe, dass es sich um ein
wird. exponentielles Wachstum handeln könnte. Daher
folgt als Ansatz
• Anfangs existiert ein fortpflanzungsfähiges
(7)
Kaninchenpaar.
• Monatlich setzt jedes fortpflanzungsfähige Ka- Dieser Ansatz wird in die Rekursionsgleichung aus
ninchenpaar ein weiteres fortpflanzungsfähi- Anmerkung 1 eingesetzt und man erhält
ges Kaninchenpaar in die Welt. (8)
• Jedes neugeborene Kaninchenpaar ist im dar- Dies führt zu folgender charakteristischer Glei-
auffolgenden Monat geschlechtsreif. chung
• Kaninchen sind unsterblich, kein Kaninchen (9)
kann die Familie verlassen und kein fremdes welche folgende beiden vertrauten Lösungen
Kaninchen wird adoptiert. besitzt
Fibonacci beschäftigte sich nicht weiter mit dieser (10)
IBDG 37
Es gilt für zwei Folgen an und bn, welche die Re- werden ebene Polarkoordinaten zur Darstellung
kursionsgleichung erfüllen, dass auch die Folge von Spiralen verwendet, wobei r den Radius be-
cn:=r∙an+s∙bn zeichnet und θ den zugehörigen Winkel.
die Rekursionsgleichung für beliebige komplexe Archimedische Spirale
Zahlen r und s erfüllt.
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
Die einfachste aller Spiralen ist die archimedische
Mit gegebenen Anfangswerten f0 und f1 lassen sich Spirale (Abbildung 4 links). Sie besitzt einen linea-
die Koeffizienten r und s wie folgt berechnen ren Verlauf, das heißt der Abstand zwischen den
Spiralwindungen ist konstant (Haftendorn, 2017).
Zum Beispiel entsteht eine archimedische Spira-
le beim Zusammenrollen eines Gartenschlauchs.
Im Fall der Fibonaccifolge erhält man Folgende Definition nach Ortlieb et al. (2009) be-
schreibt die archimedische Spirale mathematisch.
Definition 4. Eine Kurve mit der Darstellung
heißt archimedische Spirale.
Somit folgt aus der ersten Gleichung s=-r und
durch Einsetzen in die zweite Gleichung Haftendorn (2017) beschreibt die archimedische
Spirale derart, dass man sich einen Punkt vor-
stelle, der sich auf einem Ursprungsstrahl mit
konstanter Geschwindigkeit vom Pol wegbewegt,
Mit diesen Überlegungen und dem Goldenen während der Ursprungsstrahl sich mit konstanter
Schnitt lässt sich nun die Formel von Binet als Satz Winkelgeschwindigkeit dreht.
wie folgt formulieren (Lausch, 2009).
Logarithmische Spirale
Satz 1. Für die Fibonaccizahl fn gilt
Olsen (2006) beschreibt die logarithmische Spira-
le als die wohl interessanteste der verschiedenen
Spiralhaupttypen. Sie vergrößert den Abstand der
Den Beweis dieser Formel führt Lausch (2009) Spiralwindungen mit wachsendem Radius. Außer-
mittels vollständiger Induktion nach n. dem erscheint eine logarithmische Spirale gleich,
egal ob sie aus großer Nähe oder großer Entfer-
Beutelspacher und Petri (1996) erwähnen noch
nung betrachtet wird.
eine erstaunliche Eigenschaft der Formel von Bi-
net. Für jedes n ∈ heben sich die beiden irratio-
nalen Terme so auf, dass das Ergebnis stets einem
ganzzahligen Wert entspricht.
Eine weitere interessante Eigenschaft im Zusam-
menspiel zwischen Fibonaccizahlen und dem Gol-
denen Schnitt wird in Satz 2 beschrieben.
Satz 2. Die Folge qn der Quotienten aufeinander-
folgender Fibonaccizahlen ist wie folgt definiert
Die Folge qn ist konvergent und ihr Grenzwert
ist Φ.
Der ausführliche Beweis dieser Behauptung fin-
det sich ebenfalls bei Lausch (2009). Rund um
die Fibonaccizahlen gibt es noch weitere Folgen
mit ähnlichen Eigenschaften, wie die Padovanfol-
ge (Stewart, 1996) oder die Verallgemeinerung in
Form der Lucasfolgen (Lausch, 2009; Ribenboim,
2011).
Spiraltypen
Dieses Kapitel beleuchtet unterschiedliche Vari-
anten, eine Spirale zu definieren und streicht die
Eigenschaften der verschiedenen Spiralen hervor,
um entscheiden zu können, welche Ansätze für
die Konstruktion eines Ammoniten in Kapitel CAD-
Konstruktionen in Frage kommen. Im Folgenden Abb. 4: Oben die archimedische Spirale und unten die logarith-
mische Spirale (nach Ortlieb et al., 2009, S. 43)
38 IBDG
Eine weitere Besonderheit ist, dass alle vom Ur- Goldenen Rechtecken auch mit Quadraten, deren
sprung ausgehenden Strahlen die Spirale unter Seitenlängen Fibonaccizahlen sind, nach demsel-
demselben Winkel ψ schneiden, weshalb sie auch ben Prinzip aufgebaut werden. Es wird mit zwei
gleichwinkelige Spirale genannt wird. In Abbildung Quadraten begonnen, die die Seitenlänge 1 haben
4 rechts ist eine logarithmische Spirale in einem und dann wird ein Quadrat mit Seitenlänge 2 er-
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
Polarkoordinatensystem dargestellt. Nachfolgend gänzt, dann mit Seitenlänge 3 und so weiter. In
die Definition der logarithmischen Spirale nach diese Quadrate werden dann für die Spirale eben-
Glaeser (2014b) und Ortlieb et al. (2009). falls wieder Viertelkreise eingeschrieben, um die
Spirale zu approximieren.
Definition 5. Eine Kurve mit der Darstellung
Spiralen in der Natur
Generell werden Spiralen in der Pflanzenwelt unter
heißt logarithmische Spirale. dem von Charles Bonnet in etwa um 1754 gepräg-
Die Konstante k heißt Steigung der logarithmi- ten Begriff Phyllotaxis subsumiert. Oft genannte
schen Spirale und Beispiele für Spiralen in der Pflanzenwelt sind die
sogenannten Parastichen. Dabei handelt es sich
um deutlich erkennbare Spiralarme in den Blüten
ist der konstante Kurswinkel zwischen einem Ur- der Sonnenblumen. In der Regel sind zwei Serien
sprungsstrahl und der Kurve. von gegenläufigen Parastichen erkennbar. Dabei
Anmerkung 2. Für den Fall k=0 ergibt sich ein handelt es sich bei der Anzahl der Spiralarme pro
Kreis, weshalb der Kreis einen Spezialfall der log- Richtung nicht um beliebige Zahlen, sondern im-
arithmischen Spirale darstellt. mer um zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizah-
Goldene Spirale len. Generell gilt, dass viele Pflanzen ihre Blätter
spiralförmig rund um den Stängel in einem Ab-
Die Goldene Spirale zählt zu den logarithmischen stand von 137,5°, welcher der Literatur als golde-
Spiralen und wird wie folgt in Polarkoordinaten de- ner Winkel Ψ definiert wird, anordnen, um für die
finiert (Beutelspacher & Petri, 1996). Photosynthese die größtmögliche Frischluft und
Definition 6. Die Kurve mit der Darstellung Lichtausbeute zu erhalten. Dadurch überlappen
sich übereinanderliegende Blätter minimalst. Wei-
ters finden sich Spiralformen in den Anordnungen
heißt Goldene Spirale und die Steigung entspricht der Samen von Tannen- und Kiefernzapfen, sowie
auf der Ananas und der Artischocke. Historisch ge-
. sehen wurden viele Versuche unternommen, an-
Punkte auf einer Goldenen Spirale lassen sich sehr hand von Messreihen an diversen Pflanzen, den
einfach mit Goldenen Rechtecken (Beutelspacher Goldenen Schnitt als Naturgesetz zu verankern.
& Petri, 1996, S. 47) konstruieren. Es bleibt festzuhalten, dass der Goldene Schnitt
zwar sehr oft in der Natur auftritt und sich als
ideales Verhältnis geradezu aufdrängt, jedoch
nicht alle Regelmäßigkeiten der Pflanzenwelt die-
sem Verhältnis exakt gehorchen. Dennoch stellt
er in Kombination mit den Fibonaccizahlen ein
solides Modell dar, um diverse Simulationen ein-
fach zu realisieren (Beutelspacher & Petri, 1996;
Gardner, 1969; Olsen, 2006; Ortlieb et al., 2009;
Thompson, 1983).
Wie in der Pflanzenwelt finden sich Spiralen auch
in vielen Bereichen der Tierwelt. Angefangen vom
aufgerollten Rüssel eines Elefanten, über den ein-
Abb. 5: Die Goldene Spirale r(θ)=Φ^(2θ/π) und die zugehörigen gerollten Schwanz eines Chamäleons bis hin zu
Goldenen Rechtecke. Die Goldene Spirale schneidet die Sei- den Behausungen der Schnecken. Im Zusammen-
ten der Goldenen Rechtecke zweimal in kleinem Winkel (nach hang mit Spiralen drängt sich vor allem ein Ver-
Lausch, 2009, S. 137)
treter einer sehr alten, längst ausgestorbenen
Spezies auf. Die Ammonoidea bzw. ihre fossilen
Wie in Abbildung 5 dargestellt, passt sich die Gol- Überreste faszinierten bereits in der Antike die
dene Spirale nicht exakt in die Goldenen Recht- Menschheit. Ihnen wurden ursprünglich magische
ecke ein, sondern schneidet die Seiten der Golde- und heilende Kräfte zugeschrieben. Bis heute ha-
nen Rechtecke zweimal in kleinen Winkeln (Lausch, ben sich einige dieser mythischen Eigenschaften
2009). Durch Einzeichnen von Viertelkreisen in die symbolisch gehalten. Auch die Faszination, welche
Goldenen Rechtecke kann eine sehr gute Appro- sich im Wesentlichen auf die scheinbar regelmä-
ximation der Goldenen Spirale erreicht werden. ßige Spiralaufrollung und die über 350 Millionen
Alternativ kann die Goldene Spirale anstatt mit Jahre währende Entwicklung begründet, die die
IBDG 39
Ammonoidea sowohl auf Laien als auch Wissen- zu den Bauchfüßern (Gastropoden) zählen. Keupp
schaftlerinnen und Wissenschaftler im gleiche (2000) streicht hervor, dass bereits im Aufbau be-
Maße ausüben, ist bis heute ungebrochen. Helmut ziehungsweise der Nutzung der Gehäuse Unter-
Keupp (2000) beleuchtet diese einstigen „Herr- schiede zu erkennen sind. Schneckengehäuse
scher der Weltmeere“ und versucht, ihre wesentli- bilden sich überwiegend als Raumspiralen aus.
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
chen Merkmale und stammesgeschichtlichen Ent- Dabei wird das gesamte Gehäuse als Wohnkam-
wicklungen in puzzleartiger Kleinarbeit anhand der mer genutzt. Die Gehäuse der Ammonoidea treten
fossilen Überreste zu rekonstruieren. überwiegend in der Form von Planspiralen auf, in
Hierbei speziell für die Mathematik interessant ist denen immer nur der vorderste Teil des Gehäuses
die Spiralformung. Dabei gilt es zu klären, ob ein als Wohnkammer genutzt wird.
allgemeingültiger Bauplan existiert und ob Modelle Das Gehäuse der Ammonoidea wird in zwei Teile
zur Simulation möglicher Gehäuseformen aus den eingeteilt. Nämlich die vordere Wohnkammer und
fossilen Überresten abgeleitet werden können. den Phragmokon, welcher den gekammerten Teil
Ammonoidea bezeichnet. Diese Kammern werden durch soge-
nannte Septen getrennt und stehen durch einen
Die moderne Taxonomie fußt auf dem von Carl
Gewebestrang (Sipho) untereinander bis zur Em-
von Linné (1758) publizierten Werk „Systema Na-
bryonalkammer (Protoconch) in Verbindung. Beim
turae“. Dabei wird für die grundlegende Beschrei-
Wachstum wird die Wohnkammer verlängert. Das
bung ein Set aus sieben Kategorien angegeben.
Tier löst die Muskulatur von der Schale und wan-
Diese werden als „Kategorien erster Ordnung“ be-
dert ein Stück nach vorne. Hinter dem Tier bildet
zeichnet. Für die moderne Biologie wurden noch
sich eine Flüssigkeitsansammlung, die regelmäßig
„Kategorien zweiter Ordnung“ hinzugefügt, welche
durch ein Septum abgegrenzt wird und eine neue
für die Beschreibung optional sind. Grundsätzlich
Kammer des Phragmokons bildet. Die Schale an
gilt, dass jede Kategorie immer größer als die da-
sich besteht aus zwei dünnen Lagen und variiert
runterliegende ist und kleiner als die darüberlie-
von Art zu Art zwischen 0,20 mm und 2,20 mm
gende. Die sieben Kategorien erster Ordnung lau-
Wandstärke. Ein weiteres interessantes Detail ist
ten in absteigender Reihenfolge wie folgt: Reich,
die Lobenlinie (Sutur). Sie ist der äußere Rand der
Stamm, Klasse, Ordnung, Familie, Gattung und
Septen, entlang derer diese mit der Gehäusewand
Art (Müller, 1992).
verwachsen sind und ist charakteristisch für die
Für die Nomenklatur der Ammonoidea gelten seit unterschiedlichen Arten. Die Grundstruktur der
1855 die „Internationalen Regeln der zoologischen Lobenlinie ist im Allgemeinen wellig. Zur Mündung
Nomenklatur“ verpflichtend. Jede Art wird mit zwei hin gekrümmte Abschnitte werden als Sättel, von
Worten bezeichnet. Das erste beschreibt die Gat- der Mündung weg gekrümmte als Loben bezeich-
tung und das zweite benennt die Art. Dabei muss net. Unterschieden wird dabei in Prosutur, die Lo-
der Gattungsname ein lateinisches oder latinisier- benlinie der Embryonalkammer, Primärsutur, die
tes Hauptwort sein. Der Artname beginnt immer erste typische Lobenlinie, und Sekundärsutur,
mit einem Kleinbuchstaben. Hinter dem Artnamen welche durch Vermehrung der Loben aus der Pri-
findet sich der erstbeschreibende Autor und das märsutur entsteht (Birkelund, 1981; Müller, 1994).
Jahr der Erstbeschreibung. Sollte der Autor die
Logarithmisches Modell von Raup
Gattung nicht korrekt erkannt haben, wird er in
Klammern angeführt. Ist der Artname unbekannt, Um die Gehäuse der Conchifera (Zusammenfas-
wird stattdessen das Kürzel „sp.“, welches als Ab- sung der Weichtiere mit einheitlicher oder zweige-
kürzung für „species“ steht, an den Gattungsna- teilter Kalkschale (Lehmann, 1996)) zu beschrei-
men angehängt (Müller, 1992). ben, war man bestrebt mathematische Modelle
zu finden, die mit möglichst wenigen Parametern
Bei der Unterklasse der Ammonoidea handelt es
allgemeingültige Formen erzeugen. D’Arcy Went-
sich um
worth Thompson (1983) zieht für die Beschreibung
„Überwiegend planspiral aufgewundene, au- der Spiralen in der Natur hauptsächlich die log-
ßenschalige Cephalopoden (Ectocochlia) mit arithmische Spirale in Betracht, wobei er betont,
randlich fixiertem, wenig differenziertem Si- dass unterschieden werden muss, ob eine Spira-
pho und wellig verbogener, zum Teil stark zer- le bedingt durch Form oder das Zusammenspiel
schlitzter Lobenlinie. Embryonalkammer ei- von Muskelkräften auftritt. Als Beispiel nennt er
förmig oder kugelig aufgetrieben, verkalkt.“ die spiralförmige Aufwicklung eines Elefantenrüs-
(Müller, 1994, S. 179). sels, welche nicht formbedingt ist. Hingegen tre-
Die Ammonoidea lebten vom oberen Silur bis zur ten Spiralen bei Formen immer dann auf, wenn es
oberen Kreide, sind heute ausgestorben und um- sich um „totes Material“, wie beispielsweise bei
fassten mehr als 1500 Gattungen. Sie gehören den Gehäusen der Conchifera, handelt. Für diese
zur Verwandtschaft der Tintenfische (Nautilida) Gehäuse gilt dabei, dass sie und das enthaltene
und somit zur Klasse der Kopffüßer (Cephalopo- Lebewesen an Größe zunehmen, aber dabei ihre
den). Fälschlicherweise werden die Ammonoidea Form nicht ändern. Dieses Wachstumsgesetz er-
oft als Schnecken bezeichnet, welche allerdings füllt dieselben Eigenschaften wie die logarithmi-
sche Spirale.
40 IBDG
Raup (1966) beschreibt ein logarithmisches Mo- Takashi Okamoto (1996) stellt verschiedene weite-
dell in einem fixierten Koordinatensystem mit vier re Modelle vor und betont, dass die Ammonoidea
Parametern, um mögliche Gehäuseformen zu si- im Laufe ihres Lebens nicht einheitlich gewach-
mulieren. Sein Modell fußt dabei auf der zugrun- sen sind. Es gibt immer wieder Änderungen in der
deliegenden generierenden Kurve mit der relati- Krümmung der Spirale. Darum sollte Modellen zur
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
ven Windungsbreite S, welche dem Verhältnis aus Beschreibung der Gehäuse kein fixiertes Koordi-
Windungsbreite und Windungshöhe entspricht, der natensystem zugrunde gelegt werden, sondern
Windungsexpansionsrate W, welche dem Verhält- ein begleitendes Koordinatensystem, wie es im
nis aus größerem und kleinerem Halbdurchmesser „Growing-Tube-Model“ und im Modell von Acker-
entspricht, der relativen Nabelweite D, welche das ly der Fall ist, eingesetzt werden. Dies ermöglicht
Verhältnis aus Nabelweite und Durchmesser ist, es, auf die wechselnden Wachstumsbedingungen
und der Translationsrate T parallel zur Drehachse einzugehen. Dadurch zeigen die Modelle noch bes-
pro Umdrehung. Abbildung 6 zeigt eine Realisie- sere Approximationen der real existierenden Ge-
rung des Modells von Raup und Abbildung 7 zeigt häuseformen.
die vier nötigen Parameter.
CAD-Konstruktionen
Dieses Kapitel widmet sich der Konstruktion von
Ammonoidea unter Verwendung der zuvor erlang-
ten Erkenntnisse über Spiralen. Zuerst wird ein
geschnittener Ammonit der Gattung Cleoniceras
sp. betrachtet, um festzustellen, welcher der oben
angeführten Spiraltypen sich für die Ammonoidea
eignet. Anschließend werden verschiedene Ge-
häuseformen auf Grundlage einer goldenen Spi-
rale unter Variation des Profils in Anlehnung an
das logarithmische Modell von Raup modelliert.
Im Kapitel Tragophylloceras loscombi (SOWERBY,
Abb. 6: Das Modell von Raup anhand einer Windung mit einem 1814) wird mittels Photogrammetrie ein detaillier-
Kreis S als generierende Kurve. Die Parameter W, T und D be- tes 3D-Modell aus vielen Ansichten des Exponats
stimmen die Form des entstehenden Gehäuses. S' ist die gene- erstellt. Dieses wird digital geschnitten, um den
rierende Kurve nach einer vollen Windung (nach Raup, 1966,
ungefähren Kurswinkel der Ammonitenspirale zu
S. 1180)
ermitteln. Abschließend wird die Grundform eines
Ammoniten über logarithmische Spiralen und ein
Dieses Modell liefert eine sehr allgemeine Be- Profil in Anlehnung an das Modell von Raup anhand
schreibung der Spiralung und lässt sich daher für eines Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824)
viele verschiedene Conchifera anwenden. Für den modelliert.
Fall der Ammonoidea fällt der Parameter T weg,
da es sich überwiegend um Planspiralen handelt Cleoniceras sp. – Spiralform mittels logarithmi-
(Raup, 1967). Diese allgemeine Anwendbarkeit scher Spirale
führt jedoch dazu, dass das Modell weniger genau Um zu verifizieren, welcher Spiraltyp sich zur Be-
den real existierenden Gehäusen entspricht und schreibung der Ammonoidea eignet, wird exem-
Fortsätze an den Schalen nicht dargestellt werden plarisch anhand eines aufgeschnittenen Fossils
können. Hauptsächlich wurde dieses Modell zur der Gattung Cleoniceras sp. die sichtbare Spirale
Simulation möglicher Gehäuseformen eingesetzt, untersucht.
um dann zu überprüfen, welche Formen sich unter
den Conchifera tatsächlich ausgeprägt haben.
Abb. 7: Lineare Definitionsgrößen für das logarithmische Modell
von Raup anhand eines Ammonitenquerschnitts (nach Raup, Abb. 8: Bemaßung und Konstruktion der Spiralung von Cleoni-
1967, S. 44) ceras sp. (Eigene Abbildung)
IBDG 41
Vorbereitend wurde das Fossil mit 22 mm Fest-
brennweite aufgenommen und horizontal bzw.
vertikal vermessen. Somit kann das Bild als Refe-
renz in MicroStation richtig platziert und skaliert
werden, um es dem Bemaßungssystem anzupas-
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
sen.
Um mit MicroStation eine logarithmische Spira-
le zu platzieren, benötigt man den Anfangs- und
Endradius sowie die Umdrehungen in Grad (Tool:
Spiralkurve). Um diese Werte für den Ammoniten
abzuschätzen, wird eine horizontale Linie auf der
Höhe des geschätzten Ursprungs der Spirale plat-
ziert. Dann werden die beiden benötigten Radien
mit Kreisen approximiert. Da die Referenz an das
MicroStation-Bemaßungssystem angepasst wur-
de, können die Radien direkt abgemessen werden
(Abbildung 8 links oben). Im nächsten Schritt wird
die Spirale mit den ermittelten Radien platziert. Abb. 9: Der Kurswinkel lässt sich in MicroStation anhand der
Die Spiralung des Ammoniten passt im Inneren Konstruktion überprüfen, indem eine Tangente und ein Polstrahl
sehr gut mit der logarithmischen Spirale zusam- eingezeichnet werden und der Winkel zwischen diesen beiden
gemessen wird. (Eigene Abbildung)
men. Weiter außen kommt es zu leichten Abwei-
chungen (Abbildung 8 rechts oben).
Beispiel 1. Mittels Kreisen wurde anhand der Re-
Um eine bessere Approximation der Ammoniten-
ferenz in MicroStation der Anfangs- und Endradius
spiralung zu erreichen, bietet es sich an, mehre-
rA=0,2065cm und rE=5.3320cm bestimmt. Damit
re logarithmische Spiralabschnitte zu platzieren.
können mittels Definition 5 folgende beiden Glei-
Dazu werden weitere Kreise zum Abschätzen der
chungen aufgestellt werden.
Radien nach jeder vollen Windung platziert (Ab-
bildung 8 links unten). Mithilfe der abgeschätzten (11)
Radien werden die logarithmischen Spiralabschnit-
te platziert (farblich gekennzeichnet). Die Approxi-
mation der Ammonitenspiralung wird dadurch ge- (12)
nauer. Noch bessere Ergebnisse würden sich mit Aus Gleichung (11) folgt a=0,2065. Eingesetzt in
einer weiteren Verfeinerung der Zerlegung erge- Gleichung (12) folgt
ben (Abbildung 8 rechts unten).
(13)
Exemplarisch wurde an Cleoniceras sp. gezeigt,
dass die Spiralen der Ammonoidea am ehesten
der logarithmischen Spirale folgen. Dieses Ergeb- (14)
nis wird durch Keupp (2000) und Raup (1966) be-
stätigt. Es hat sich auch gezeigt, dass sich bessere
Ergebnisse erzielen lassen, wenn mehrere loga- (15)
rithmische Spiralen verwendet werden.
Somit folgt für die Gleichung der Spirale
Dieses Ergebnis beruht darauf, dass die Ammo-
noidea in ihrem Leben verschiedene Wachstums-
phasen durchlaufen haben und sich die Krümmung und ein Kurswinkel von
der Schale von Phase zu Phase leicht verändert.
Diese Änderungen können sowohl abrupt als so- .
genannte „Knickpunkte“, als auch fließend auftre- Ammonit prototypisch konstruiert mittels Golde-
ten. Wenn Letzteres der Fall ist, sind die Änderun- ner Spirale
gen nur schwer zu bestimmen (Birkelund, 1981;
Bucher et al. 1996). Außerdem streicht Okamoto Der folgenden Konstruktion liegt die Frage zu-
(1996) hervor, dass die biologische Spiralkurve der grunde, wie ein Ammonitengehäuse auf Grund-
Ammonoidea nicht exakt mit der logarithmischen lage der Goldenen Spirale aussehen würde. Um
Spirale übereinstimmt. die Gehäuseoberflächen konstruieren zu können,
sind zwei spiralförmige Leitkurven nötig. Entlang
Trotzdem eignet sich die logarithmische Spirale dieser Leitkurven wird das Profil des Gehäuses ex-
im Hinblick auf Einfachheit am besten zur grund- trudiert. Die Abbildungen 10 links und rechts oben
legenden Beschreibung der Ammonitenspiralung. zeigen die Konstruktion dieser Leitkurven. Es wird
Anhand der ermittelten Radien und Definition 5 je ein Kreis-, Ellipsen- und Freiformprofil für die
kann die Gleichung und der Kurswinkel, der in Ab- Gehäuseoberfläche verwendet und das Ergebnis in
bildung 9 dargestellten Spirale bestimmt werden. den Abbildungen 10 links und rechts unten bzw.
Abbildung 11 dargestellt.
42 IBDG
gebnis ist ein schlankeres Gehäuse als beim Kreis-
profil (Abbildung 11 rechts oben). Für die dritte
Gehäuseoberfläche wird ein Freiformprofil gewählt
und an den Anfangspunkten der beiden Leitkur-
ven platziert. Für die Erstellung des Profils wurde
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
das elliptische Profil dupliziert, die Steuerpunkte
aktiviert und durch gezieltes Hinzufügen und Ver-
schieben der Punkte die Form angepasst. Diese
Profilform stellt die realistischste Annahme dar.
Die Kerbe auf der rechten Seite des Profils führt
zu einer Überlappung. Zusätzlich ist das Profil auf
der linken Seite etwas flacher als das elliptische
Profil. Dieses Freiformprofil erzeugt eine schlanke
Oberfläche, die sich innen ein wenig selbst über-
lappt (Abbildung 11 rechts unten).
Abb. 10: Konstruktion der Leitkurven (approximierte Gol- Es drängt sich sofort die Frage auf, ob sich die
dene Spirale) und eines prototypischen Gehäuses mit einem Goldene Spirale auch bei realen Gehäusen finden
Kreisprofil (Eigene Abbildung) lässt. Exemplarisch wird im folgenden Kapitel Tra-
gophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) dahin-
Für die Konstruktion der Gehäuseoberfläche wer- gehend untersucht.
den zwei spiralförmige Leitkurven benötigt (rote Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) –
Spirale für bessere Erkennbarkeit in Abbildung 11 Analyse der Spirale
rechts oben verschoben. Eigentlich befinden sich
Die Erstbeschreibung dieser Art geht auf James
die beiden Leitkurven deckungsgleich in derselben
Sowerby (1816) zurück (Die Unterschiede in den
Ebene). Die beiden Leitkurven werden an der hori-
Jahreszahlen der Nomenklaturen und Publikatio-
zontalen Spiralachse (gestrichelte Linie) an beiden
nen werden von Claude William Wright und Ronald
Enden auf dieselbe Länge getrimmt. Das Kreis-
James Cleevely (1985) erörtert). Da die Expona-
profil wird an den beiden inneren Anfangspunk-
te nicht beschädigt werden sollen und somit ein
ten der Leitkurven platziert. Mit dem Werkzeug
Querschnitt nicht möglich ist, wird von Tragophyl-
„Oberfläche entlang Kurven bestrichen“ und der
loceras loscombi (SOWERBY, 1814) mittels Photo-
Einstellung „Überstreichen eins mit zwei oder drei“
grammetrie ein 3D-Modell erstellt. Diese Tech-
wird die Oberfläche erstellt. Das Loch in der Mitte,
nik errechnet aus einer großen Anzahl von Fotos
an der sich normalerweise das Protoconch befin-
Punkte und stellt diese Punktwolke als Mesh im
det, wird durch Rotation des Kreisprofils mit dem
dreidimensionalen Raum dar.
Werkzeug „Volumenelement aus Rotation“ aufge-
füllt. Abschließend wird der Ammonit mit Material
belegt und gerendert.
Abb. 12: Aus 99 Einzelbildern wurde vom Computer ein detail-
liertes 3D-Modell von Tragophylloceras loscombi (SOWERBY,
1814) erstellt. Anschließend wurde daraus die Spiralform extra-
Abb. 11: Konstruktion eines prototypischen Gehäuses mit einem hiert. (Eigene Abbildung)
Ellipsen- bzw. Freiformprofil entlang von goldenen Spiralen als
Leitkurven (Eigene Abbildung)
So kann die Spiralung im Modell untersucht wer-
den. Abbildung 12 oben links skizziert diesen
Für die zweite Gehäuseoberfläche wird ein ellip- Prozess und Abbildung 12 unten links zeigt das
tisches Profil gewählt und an den Anfangspunk- gerenderte Meshmodell. Um die Spiralung des
ten der beiden Leitkurven platziert. Anschließend Ammoniten untersuchen zu können, wird das Pro-
wird, wie zuvor, die Oberfläche erzeugt. Das Er- fil extrahiert und werden Tangenten an der Pro-
IBDG 43
filkurve berechnet. So kann der Kurswinkel der lere Kurswinkel um Δψ=6,87° vom Kurswinkel
Spirale an mehreren Positionen ermittelt werden ψΦ=72.97° der Goldenen Spirale ab. Abbildung 13
und der durchschnittliche Kurswinkel der äußers- rechts unten zeigt den Vergleich der Form der bei-
ten Spiralwindung bestimmt werden (Abbildung 12 den Spiralen.
unten und Abbildung 13 oben). Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) – Konst-
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
Anhand des Kurswinkels kann die Spirale charak- ruktion des Gehäuses anhand einer Referenz
terisiert werden (Thompson, 1983). Konkret soll Für diese Konstruktion dient der Ammonit Coro-
der Kurswinkel von Tragophylloceras loscombi niceras rotiforme (SOWERBY, 1824) als Referenz.
(SOWERBY, 1814) mit dem Kurswinkel der Golde- Diese Art wurde von James De Carle Sowerby
nen Spirale verglichen werden. Die aus dem Mo- (1825) als Ammonites rotiformis erstmals be-
dell ermittelten Winkel variieren von ψ=74,36° bis schrieben. Um direkt in MicroStation arbeiten zu
ψ=84,61°. Diese große Spannweite von ≈10° lässt können, werden Bilder des Ammoniten verwendet,
sich auf mehrere Faktoren zurückführen. eine Ansicht von oben als Grundriss und eine An-
sicht des Profils von der Seite im Aufriss. Durch
Anpassung an das MicroStation-Maßsystem durch
entsprechende Skalierung der Bilder muss nicht
am Objekt direkt gemessen werden. Im Grund-
riss wird ein Kreisraster erstellt und eine Strategie
für die Konstruktion der nötigen Spiralen entwor-
fen (Abbildung 14 oben). Im Aufriss wird anhand
der Referenz das Profil modelliert und entlang der
Achse nach innen kopiert und mit der Grundriss-
referenz skaliert. Im Grundriss ist zu erkennen,
dass der Ammonit sich beim Wachstum überlappte
(Pfeil). Um den Verlauf der inneren Spirale bestim-
men zu können, wird das sichtbare Profil nach-
gebildet und schrittweise nach innen kopiert und
skaliert. Dazu wird vereinfachend angenommen,
dass die Profilform zu Lebzeiten keiner großen
Abb. 13: Bestimmung des durchschnittlichen Kurswinkels aus Veränderung unterlag. (Abbildung 14 unten und
dem extrahierten Profil (oben). Durch die lange Zeit im Gestein
Abbildung 15 oben).
hat das Fossil Beschädigungen davongetragen (unten links).
Vergleich zwischen Goldener Spirale (cyan) und der Spirale von
Tragophylloceras loscombi (SOWERBY, 1814) mit dem ermit-
telten durchschnittlichen Kurswinkel (grau). (Eigene Abbildung)
Das Modell wurde als Meshmodell aus vielen klei-
nen Dreiecken aufgebaut. Dadurch bedingt ist der
Querschnitt nicht „rund“, sondern aus vielen klei-
nen Streckenabschnitten zusammengesetzt. Um
sinnvolle Tangenten ermitteln zu können, wurde
das Profil durch eine B-Spline-Kurve geglättet.
Je nach Ausrichtung der Dreiecke im Meshmodell
haben sich mitunter variierende Steigungen erge-
ben.
Obwohl der Ammonit in gutem Zustand erhalten
geblieben ist, ist die Oberfläche an einigen Stellen
durch die lange Zeit im Gestein eingedellt (Abbil-
Abb. 14: Grundriss und Aufriss von Coroniceras rotiforme (SO-
dung 13 links unten linke rote Pfeile). WERBY, 1824) wird in MicroStation platziert. Es wird im Grund-
An manchen Stellen ist die Schale des Ammoniten riss ein Koordinatenraster erstellt und im Aufriss das Profil mit-
komplett erhalten und an manchen Stellen tritt tels B-Spline-Kurven repliziert. Die obere Profilhälfte muss nach
bereits der Steinkern ohne Schale zum Vorschein. der Spiegelung angepasst werden (Pfeil links). Eine Beschädi-
gung in der Schale wird für das Profil nicht berücksichtigt (Pfeil
Dies ist daran erkennbar, dass die Lobenlinien rechts). (Eigene Abbildung)
sichtbar sind (Abbildung 13 links unten rechter ro-
ter Pfeil).
Mit den Leitkurven und Profilen wird angelehnt an
Mit freiem Auge sieht die Spiralung von Tragophyl- das Modell von Raup die Schale in mehreren Tei-
loceras loscombi (SOWERBY, 1814) der Goldenen len als Fläche konstruiert (Abbildung 15 unten).
Spirale sehr ähnlich. Der mittlere Kurswinkel der An den Kontaktstellen überschneiden sich die Flä-
äußersten Windung von Tragophylloceras loscom- chenstücke geringfügig. Sie werden getrimmt und
bi (SOWERBY, 1814) beträgt nach den obigen anschließend verschmolzen (Abbildungen 16 oben
Ergebnissen . Damit weicht der mitt- und links unten).
44 IBDGZusammenfassung
Die Konstruktionen in Kapitel CAD-Konstruktionen
zeigen exemplarisch, dass sich von den zuvor be-
trachteten Spiralen die logarithmische Spirale am
besten zur Beschreibung der Wachstumsvorgänge
Geometrie in Technik, Wissenschaft und Forschung
der Conchifera eignet. Diese Erkenntnis wird durch
Raup (1966, 1967) bestätigt. Es sind jedoch auch
die Grenzen dieses Modells sehr gut erkennbar. In
der Regel ist das Wachstum in der Natur nicht im-
mer einheitlich. Wie bereits erwähnt, durchlaufen
die Ammonoidea in ihrem Leben mehrere Wachs-
tumsphasen mit unterschiedlichen Wachstumsge-
schwindigkeiten, die sich direkt auf die Form der
Schale auswirken (Bucher, 1996). Um die Genau-
igkeit zu erhöhen, wurden bei der Konstruktion
Abb. 15: Profiltransformation von außen nach innen (links von Coroniceras rotiforme (SOWERBY, 1824) die
oben); Beschädigung des Fossils am Rücken (rechts oben); Kon- Parameter durch das Profil für jede Windung neu
struktion des ersten Schalenabschnitts (links unten); Löcher definiert. Mit dieser einfachen Adaption wurde den
an den Kontaktstellen der einzelnen Abschnitte (rechts unten).
(Eigene Abbildung)
unterschiedlichen Wachstumsphasen im juvenilen
und adulten Stadium Rechnung getragen. Außer-
dem kommt bei den vorliegenden fossilen Expo-
naten noch die Tatsache zum Tragen, dass durch
die lange Zeit im Gestein und dem Prozess der
Fossilisation Beschädigungen der ursprünglichen
Form aufgetreten sind. Das lässt sich in den Ab-
bildungen 13 links unten und Abbildung 14 rechts
unten sehr gut erkennen. Der Zweck des Modells
von Raup ist es, mögliche Ausprägungen für Scha-
len mittels Computersimulation zu erstellen. Die
Reduktion auf wenige Parameter, nämlich S, W, D
und T, führt dabei zu einem breiten Anwendungs-
spektrum auf Kosten der Genauigkeit. Für eine
differenziertere Betrachtung der Schalen wurden
komplexere Modelle wie das „Growing-Tube-Mo-
del“ oder das Modell von Ackerly entwickelt (Oka-
moto, 1996).
Abb. 16: Überlappende Teile der Flächen werden getrimmt
Im Zuge der Konstruktionen wurden mehrere Spi-
(oben), anschließend werden die Abschnitte verschmolzen (links
unten) und abschließend wird die Fläche zu einem Volumen ver- ralen untersucht. Beispielsweise von Cleoniceras
dickt (rechts unten). (Eigene Abbildung) sp. und Tragophylloceras loscombi (SOWERBY,
1814). Dabei wurde festgestellt, dass die Kurs-
Um das Modell fertigzustellen, wird der Protoconch winkel der Spiralen signifikant vom Kurswinkel der
durch einen Drehellipsoiden modelliert und das Goldenen Spirale abweichen. Zwar stellt dies kei-
Exoskelett zu einem Volumen verdickt (Abbildung nen Beweis dafür dar, dass die Goldene Spirale bei
16 rechts unten). Die Abbildung 17 zeigt links die der Bildung von Planspiralen im Reich der Conchi-
konstruierte Schale und rechts ein originalgetreu- fera keine Rolle spielt, aber die Vermutung darf zu-
es Meshmodell des Fossils. mindest aufgestellt werden. Keupp (2000) gibt für
die Ammonoidea eine Spiralsteigung von k1=0,05
bis k2=0,20 an. Kleinere Werte für k bedingen eine
stärkere Einrollung. Diese Steigungen entspre-
chen einem Kurswinkelbereich von ψ1=87,14 bis
ψ2=78,69. Da der Kurswinkel der Goldenen Spi-
rale außerhalb dieses Intervalls liegt kann davon
ausgegangen werden, dass die Goldene Spirale
bei der Entstehung von planspiralen Ammoniten-
gehäusen tatsächlich keine Rolle spielt.
Abb. 17: Links das vereinfachte Modell von Coroniceras roti-
forme (SOWERBY, 1824) und rechts ein detailliertes Photogram- Anmerkungen:
metriemodell. (Eigene Abbildung)
Der Beitrag stellt eine Zusammenfassung der Dip-
lomarbeit des Autors dar, die im Jahr 2020 an der
Universität Salzburg eingereicht wurde.
IBDG 45Dieser Beitrag erscheint wortident mit freundli- Circumcircle, The American Mathematical Monthly,
cher Genehmigung beider Herausgeber auch im 93(7), 572.
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