Verst andnisorientierter Stochastikunterricht am Gymnasium: Anforderungen an die Lehrerbildung
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Verständnisorientierter Stochastikunterricht am
Gymnasium:
Anforderungen an die Lehrerbildung
TU Braunschweig, 9. Januar 2020
Norbert Henze, Institut für Stochastik, Email: Norbert.Henze@kit.edu
Norbert Henze, KIT 0 - 1Stochastik am Gymnasium: Bestandsaufnahme
1 Stochastik am Gymnasium: Bestandsaufnahme
Festzustellen ist (nicht nur in Baden–Württemberg):
starke Rezeptorientierung,
Mathematik wird auf dem Altar vermeintlichen Praxisbezugs anhand teils
haarsträubender Einkleidungen geopfert,
der gesunde (kritische) Menschenverstand wird ausgeschaltet,
Testeritis“,
”
die Binomialverteilung muss kritiklos für alles herhalten,
kaum Begründungen,
oft wird kein begriffliches Verständnis vermittelt,
zum Teil schwammige Begriffe.
Norbert Henze, KIT 1 - 1Stochastik am Gymnasium: Bestandsaufnahme
1.1 Beispiel (Aufgabe aus [LSK])
Die Stadtverwaltung behauptet, dass maximal 40% der Einwohner das Freibad
nutzen. (aus welchem Grund?)
Die Redaktion der Lokalzeitung glaubt, dass es deutlich mehr sind. (warum?)
Sie lässt dazu einen Test durchführen.
Die Behauptung der Stadtverwaltung wird als Nullhypothese angenommen
und auf der Basis einer Umfrage unter 120 Einwohnern auf einem
Signifikanzniveau von 5% getestet.
a) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich und die Entscheidungsregel des
Tests.
b) Geben Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit an.
Bestandteil der Lösung: Annahme einer Binomialverteilung (!) für die zufällige
Anzahl der Nutzer des Freibades.
Norbert Henze, KIT 1 - 2Stochastik am Gymnasium: Bestandsaufnahme
1.2 Beispiel (Standardabweichung, aus [LS10])
Für eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist festgelegt:
p
σ = (x1 − µ)2 · P(X = x1 ) + . . . + (xn − µ)2 · P(X = xn )
(Standardabweichung einer Zufallsvariablen X, dabei: µ = E(X)).
1.3 Satz Eine Bin(n, p)-verteilte Zufallsvariable hat die Standardabweichung
p
np(1 − p).
Man kann zeigen: Wenn bei einer Binomialverteilung die Parameter n und p (!)
genügend groß sind, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl
um höchstens σ vom Erwartungswert µ abweicht, ca. 68%.
https://youtu.be/ub 7ttJvZj8?t=10
Norbert Henze, KIT 1 - 3Stochastik am Gymnasium: Bestandsaufnahme
1.4 Beispiel (die allgemeine binomische Formel)
Aufgabe aus [LS10]: a) Berechnen Sie 30 , 31 , 32 und 3
3
. Vergleichen Sie die
Zahlen im Pascalschen Dreieck rechts.
b) Multiplizieren Sie (a + b)3 aus. Vergleichen Sie die vorkommenden
Koeffizienten mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe a). Gehen Sie analog bei
den Termin (a + b)2 und (a + b)4 vor.
c) Geben Sie eine entsprechende Formel wie in Teilaufgabe b) für (a + b)5 und
für (a + b)6 an.
n
!
X n k n−k
Aufgabe aus [BH]: Zeige: (a + b)n = a b .
k
k=0
k n−k
Überlege, wie oft der Summand a b bei der Multiplikation entsteht.
https://www.youtube.com/watch?v=Xq1gr8BTT6E
Norbert Henze, KIT 1 - 4Stochastik am Gymnasium: Bestandsaufnahme
1.5 Beispiel (Zur Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten)
Man beobachtet am Pascalschen Dreieck:
! ! !
n n−1 n−1
= + .
k k−1 k
Beweis: Mit der Formel zur Berechnung der Binomialkoeffizienten gilt
!
n−1 (n − 1)! (n − 1)!
= = ,
k−1 (k − 1)!(n − 1 − (k − 1))! (k − 1)!(n − k)!
!
n−1 (n − 1)! (n − 1)!
= = .
k k!(n − 1 − k)! k!(n − k − 1)!
Nun werden diese beiden Brüche addiert usw. (aus [LS10]).
Man hat vorher gelernt: Es gibt nk Möglichkeiten, aus n Dingen k
auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).
Warum zeigt man nicht auch, dass man gar nicht hätte rechnen müssen?
Norbert Henze, KIT 1 - 5Anforderungen an die Lehrerbildung
2 Anforderungen an die Lehrerbildung
Lebendige Stochastik mit vielen Aha-Momenten!
Begriffe ausgiebig beleuchten!
Redundanz (Wiederhol-Effekt)
Falls möglich, mehrere Lösungswege (Einsichten fördern)
Verknüpfung mit Erklärvideos
Lehrer-Beruf(ung)!
Youtube-Kanal Stochastikclips“
”
zur Zeit 61 selbst erstellte Videos
Verlinkung mit einer komplett aufgezeichneten Vorlesung Einführung in
”
die Stochastik für Studierende des gymnasialen Lehramts Mathematik“
Buch: Stochastik für Einsteiger, 12. Auflage. Springer Spektrum 2018
(mit Links auf 220 Videos)
Norbert Henze, KIT 2 - 1Anforderungen an die Lehrerbildung
Lehrveranstaltung: Einführung in die Stochastik für Studierende des
gymnasialen Lehramts Mathematik
Umfang: V4 + Ü2 + T2
Nebenbedingungen:
Einzige Pflichtveranstaltung im Bereich Stochastik,
Keine Kenntnisse des Lebesgue-Integrals,
wird ab dem 4. Semester gehört.
Revolutionäres“ Konzept: Vorlesung findet (fast) ohne Tafel statt.
”
Video Mathematik ohne Tafel?!“
”
https://www.youtube.com/watch?v=ACTLfIRwVmU&list=PLtexvciJ0k3Hv49-RRKBbWlVqamazYeCA
Norbert Henze, KIT 2 - 2Anforderungen an die Lehrerbildung
Technische Plattform: LaTeX-Folien
Student(inn)en hatten vorab Handout-Versionen
Folien (zum Teil mit Lücken) bauen sich langsam auf
Immenser Vorteil: Größeres Verständnis
Wichtiges didaktisches Element: Memos“
”
Auf vielen Folien Links zu Erklärvideos
Vorlesung im SS 2015 wurde komplett aufgezeichnet
(insgesamt 27 Lektionen mit Bookmarks)
https://www.youtube.com/watch?v=CXSyMvzl8cY&list=PLtexvciJ0k3FWWdVjJNlItYuXHhRn1Qpf
Norbert Henze, KIT 2 - 3Anforderungen an die Lehrerbildung
Inhaltsverzeichnis
1. Grundräume und Ereignisse
2. Zufallsvariablen
3. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
4. Kombinatorik
5. Urnen- und Fächer-Modelle
6. Der Erwartungswert
7. Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung
8. Modellierung mehrstufiger Experimente
9. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
10. Stochastische Unabhängigkeit
11. Zufallsvektoren, gemeinsame Verteilung
12. Varianz, Kovarianz, Korrelation
13. Die Multinomialverteilung
14. Wartezeitverteilungen
Norbert Henze, KIT 2 - 4Anforderungen an die Lehrerbildung
15. Die Poisson-Verteilung
16. Bedingte Erwartungswerte und bedingte Verteilungen
17. Erzeugende Funktionen
18. Grenzwertsätze
19. Pseudozufallszahlen und Simulation
20. Deskriptive Statistik
21. Induktive Statistik: Punktschätzung
22. Induktive Statistik: Konfidenzbereiche
23. Induktive Statistik: Statistische Tests
24. Allgemeine Modelle
25. Grundlegende stetige Verteilungen
26. Kenngrößen von Verteilungen
27. Mehrdimensionale stetige Verteilungen
Kapitel 1–23 benötigen nur Analysis 1 und Lineare Algebra 1.
Eine Beispielfolie:
Norbert Henze, KIT 2 - 5Anforderungen an die Lehrerbildung
Memo: U ≤ V =⇒ E U ≤ E V, E 1A = P(A)
2.1 Satz (Tschebyschow-Ungleichung)
Für jedes (noch so große) ε > 0 gilt
V(X)
P(|X − EX| ≥ ε) ≤ .
ε2
2 h(x)
X − EX
1{|X − EX| ≥ ε} ≤
ε g(x)
| {z } | {z } 1
= g(X) = h(X)
√ x
E g(X) ≤ E h(X)
EX −ε EX EX +ε
e ≥ ε) ≤ 1 .
e standardisiert, so gilt P(|X|
Beachte: Ist X
ε2
https://www.youtube.com/watch?v=9ASY99N94ik
Norbert Henze, KIT 2 - 6Anforderungen an die Lehrerbildung
Übungs- /Tutoriumsbetrieb:
Übungsaufgaben unterschiedlich gekennzeichnet
(Ü): zur Übung des behandelten Stoffes.
(E): zur Ergänzung des Stoffes (Lösungen vorher bekannt)
Jedes Übungsblatt weist QR-Code auf, der zu einer Umfrage führt.
Man konnte Wünsche äußern:
Was soll auf jeden Fall besprochen werden?
Welche Vorlesungsinhalte sollten wiederholt werden?
Allg. Wünsche/Kritik zum Vorlesungs- und Übungsbetrieb
AktivPausen!
Norbert Henze, KIT 2 - 7Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
3 Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
3.1 Beispiel (Bingo!)
15 36 46 63 84
24 37 53 77 80
9 25 44 51 70
In einer Lostrommel sind Kugeln mit den Zahlen 1, 2, 3, . . . , 89, 90.
Wie viele Kugeln müssen für ein Bingo! gezogen werden?
Sei X die dazu nötige zufällige Anzahl. Schätzwert für E(X)?
Sei Y die Wartezeit, bis die 51 gezogen wird.
1 1 1
P(Y = 1) = 90
, P(Y = 2) = 90
, . . . , P(Y = 90) = 90
.
1 1 1
E(Y ) = 1 ·
+2· + . . . + 90 · = 45, 5.
90 90 90
Geben Sie einen zweiten Schätzwert für E(X) ab!
Norbert Henze, KIT 3 - 1Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
15 1
P(X = 90) = = ≈ 0,1667,
90 6
75 15
P(X = 89) = · ≈ 0,1404,
90 89
75 74 15
P(X = 88) = · · ≈ 0,1181,
90 89 88
75 74 73 15
P(X = 87) = · · · ≈ 0,0991
90 89 88 87
P(X ≥ 87) ≈ 0,5243
Geben Sie einen dritten Schätzwert für E(X) ab! (E(X) = 85.3125)
Norbert Henze, KIT 3 - 2Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
P(X = k)
.15
.10
.05
10 20 30 40 50 60 70 80 90 k
E(X)
Verteilung von X ist die Verteilung der größten Gewinnzahl beim 15 aus
90-Lotto!
Norbert Henze, KIT 3 - 3Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
3.2 Beispiel (Einsen vor erster Sechs)
Aufgabe: Ein echter Würfel wird so lange geworfen, bis die erste Sechs auftritt.
Wie wahrscheinlich ist es, vorher
a) mindestens eine Eins zu werfen?
b) genau zwei Einsen zu werfen?
P
Memo: Formel von der totalen W’: P(B) = ∞k=1 P(Ak )P(B|Ak ).
!
X∞
Memo: Dabei: P Ak = 1, P(Ak ) > 0, k ≥ 1.
k=1
Mein ursprünglicher Ansatz: Sei
Ak :=
{ erste Sechs im k-ten Wurf“},
”
B := { mindestens eine Eins vor der ersten Sechs“},
”
C := { genau zwei Einsen vor der ersten Sechs“}
”
k−1
5 1
Es gilt: P(Ak ) = , k ≥ 1.
6 6
Norbert Henze, KIT 3 - 4Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
Weiter gilt P(B|A1 ) = 0 und für k ≥ 2
k−1
4
P(B|Ak ) = 1 − P(B c |Ak ) = 1 −
5
Analog: P(C|A1 ) = 0 = P(C|A2 ). Für k ≥ 3 gilt
!
2 k−1−2
k−1 1 4
P(C|Ak ) =
2 5 5
Rechnen (Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit) liefert
1 1
P(B) = , P(C) = .
2 8
Einsicht? Warum diese Wahrscheinlichkeiten?
Die Zahlen 2 bis 5 sind irrelevant. Sie vergeuden nur Zeit!
1 2 3 4 5 6
Norbert Henze, KIT 3 - 5Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
3.3 Beispiel (Das Schnur-Orakel)
n Schnüre (im Bild n = 4) werden in der Mitte festgehalten, so dass 2n Enden
frei sind. Diese Enden werden rein zufällig verknotet.
Welchen Erwartungswert (welche Verteilung) besitzt die Anzahl Rn der dabei
entstehenden (geschlossenen) Ringe?
Norbert Henze, KIT 3 - 6Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
Sei Aj := {j-te Verknotung führt zu einem Ring}, j = 1, . . . , n
Xn
=⇒ Rn = 1{Aj }
j=1
1 1 1
Bei n = 4 Schnüren: P(A1 ) = , P(A2 ) = , P(A3 ) = , P(A4 ) = 1
7 5 3
1 1 1
Allg.: P(A1 ) = , P(A2 ) = , . . . , P(An−1 ) = , P(An ) = 1.
2n − 1 2n − 3 3
n
X X1 X 12n n
1 1 1
E(Rn ) = P(Aj ) = 1 + + +... + = −
j=1
3 5 2n − 1 k=1
k j=1 2j
log n
≈ + 0.98175
2
n 4 10 100 1000 106 109
E(Rn ) 1.68 2.18 3.28 4.44 7.89 11.34
Norbert Henze, KIT 3 - 7Konkrete Beispiele (für Aha!-Momente)
Literatur:
[BH]: Barth, F., Haller, R.: Stochastik. Leistungskurs. Verlag Ehrenwirth,
München, 1992.
[H09]: Henze, N.: Wie viele Vieren vor der ersten Sechs? Der Mathem.-Naturw.
Unterr. 62, 2009, S. 464–465.
[H13]: Henze, N.: Weitere Überraschungen im Zusammenhang mit dem
Schnur-Orakel. Stochastik in der Schule 33(3) 2013, S. 18–23.
[HH]: Henze, N., Humenberger, H.: Stochastische Überraschungen beim Spiel
Bingo. Stochastik in der Schule 31(3), 2011, S.2–11.
[LS10]: Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien Baden–Württemberg
10. Ernst Klett-Verlag. Stuttgart. Leipzig, 2016.
[LSK]: Lambacher Schweizer: Mathematik für Gymnasien Baden–Württemberg.
Kursstufe. Ernst Klett-Verlag. Stuttgart. Leipzig, 2017.
http://www.math.kit.edu/stoch/~henze/
Norbert Henze, KIT 3 - 8Sie können auch lesen
