Anforderungen im Fach Mathematik - PH Zürich
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Anforderungen im Fach Mathematik
für die Aufnahmeprüfung auf Niveau Fachmaturität Pädagogik (Kandidierende ohne Berufs- oder
Fachmaturität Studiengänge Primarstufe und Kindergarten-Unterstufe)
Einleitung
Die Mathematik ist eine universelle Sprache, die zwar von Menschen konstruiert wurde, die jedoch die
Struktur der äusseren Wirklichkeit im menschlichen Bewusstsein abzubilden versucht. Galilei formulierte
das so: „Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“
Die Übersetzung konkreter Probleme in die Sprache der Mathematik nennt man „mathematische Modellbil-
dung“. Eigenschaften solcher Modelle geben Anlass zur Entwicklung von Theorien, welche nicht nur auf
das gegebene Problem, sondern auch in ganz anderen Bereichen erfolgreich angewendet werden können.
Wichtige Teilgebiete der Mathematik, welche auch in der Schule unterrichtet werden, sind: Zahlentheorie,
Algebra, Geometrie, Logik, Analysis und Stochastik.
Kompetenzanforderungen
An die Kandidatin oder den Kandidaten werden in den folgenden Themengebieten die nachfolgenden An-
forderungen gestellt, wobei die Mathematik der Sekundarstufe I als bekannt vorausgesetzt wird.
Arithmetik und Algebra
Gleichungen und Gleichungssysteme
— Für Lineare Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen eine Lösungsmethode kennen und an-
wenden
— Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch interpretieren
— Quadratische Gleichungen mit verschiedenen Methoden lösen (Lösungsformel, Faktorzerlegung, ...)
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
— Die Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen kennen und anwenden
— Gleichungen mit Potenzen, Wurzeln oder Logarithmen lösen
— Einfache Zins- und Zinseszinsaufgaben lösen
Funktionen
— Lineare und quadratische Funktionen kennen und in einem cartesischen Koordinatensystem darstellen
— Exponentialfunktionen mit ihren Graphen kennen und auf Wachstums- und Zerfallsprozesse anwen-
den
— Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten sowie den Exponenten –1, –2, und 1/2 kennen
Geometrie
Stereometrie
— Körper (Quader, Prisma, Pyramide, Kegel, Kugel und Zylinder) in verschiedenen Lagen skizzieren
— Oberflächen und Volumen solcher Körper berechnen
— Körper verändern können: Ecken oder Kanten abschneiden bzw. Körper zusammensetzen
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 1 von 12Trigonometrie — Aufgaben in beliebigen Dreiecken mit trigonometrischen Hilfsmitteln lösen Stochastik Beschreibende Statistik — Zahlenmaterial bearbeiten und interpretieren: Stichprobe, Klasseneinteilung, absolute und relative Häufigkeit, Histogramm, Boxplot, statistische Parameter (arithmetisches Mittel, Median, Quartil, Stan- dardabweichung) Kombinatorik — Stichprobenarten unterscheiden und entsprechende Aufgaben lösen: — Geordnete Stichproben mit und ohne Zurücklegen — Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen Wahrscheinlichkeitsrechnung — Für ein- und mehrstufige Zufallsexperimente die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis berechnen — Die Hilfsmittel Baumdiagramm und Pfadregeln verwenden sowie Kenntnisse aus der Kombinatorik an- wenden Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 2 von 12
Empfohlene Literatur Nachfolgende Literaturhinweise enthalten die für die Prüfung relevanten Themengebiete. — Glocke, Th.: Grundwissen Mathematik Cornelsen, Berlin, 2008, ISBN 978-3-464-41311-1 (Für Arithmetik, Algebra und Geometrie.) — Hächler, W.: Algebra in der Wirtschaftsschule, Teil 1 und 2 WHV-Verlag, Zürich, 2007, ISBN 978-3-909169-80-1 bzw. 978-3-909169-83-2 (Für Arithmetik und Algebra.) — Lambacher Schweizer: Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen 11/12 Klett und Balmer-Verlag, Zug, 2013, ISBN 978-3-264-83983-8 (Für Stochastik: Kapitel 10, 11 und 14.) Prüfungsmodalitäten Schriftliche Prüfung Dauer: 2 Stunden Umfang: 6-12 Aufgaben Mündliche Prüfung Dauer: 20 Minuten Vorbereitung und 20 Minuten Prüfung Inhalt: Zwei Aufgaben aus unterschiedlichen Themenbereichen werden vorgegeben. Bewertungskriterien für die mündliche Aufnahmeprüfung — Inhaltliche Korrektheit: Der Kandidat/die Kandidatin entwickelt einen geeigneten Lösungsweg, kennt die einschlägigen Fachbegriffe und Formeln und wendet sie korrekt an. — Argumentation: Er/sie kann sein/ihr Vorgehen erläutern, verwendet dabei die Fachbegriffe und argu- mentiert korrekt. — Umfang des Dargebotenen: Er/sie arbeitet zielgerichtet und nutzt die zur Verfügung stehende Zeit. — Transfer: Er/sie beweist Flexibilität in der Anwendung seines/ihres Wissens. Erlaubte Hilfsmittel — Für die schriftliche Prüfung ist eine Formelsammlung erlaubt. Erlaubt sind „Formeln und Tafeln (DMK)“, „Fundamentum (DMK)“ und „Papula (Vieweg+Teubner)“ ohne handschriftliche Notizen. Mar- kierungen mit Leuchtstift und Indexkleber sind erlaubt. — Während der Vorbereitungszeit auf die mündliche Prüfung sowie fürFür die schriftliche Prüfung ist ein Taschenrechner erlaubt. Erlaubt sind ausschliesslich folgende Modelle: Alle „CASIO FX-991“-Modelle, Modell „Casio FX 85“, alle Modelle von Texas Instruments mit der Bezeichnung „TI-30“ oder „TI-34“ im Namen und „HP 300s+ Wissenschaftstaschenrechner“. — Alle Hilfsmittel werden während der Prüfung kontrolliert. Gemäss §12 der Weisung zum Aufnahme- und Immatrikulationsverfahren an der Pädagogischen Hochschule Zürich führt die Verwendung uner- laubter Mittel zum Nichtbestehen der gesamten Aufnahmeprüfung. Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 3 von 12
Musteraufgaben schriftliche Prüfung
Arithmetik und Algebra
mit Lösungen
1. Lineare Gleichungssysteme.
Ein Behälter kann durch zwei Zuleitungen gefüllt werden, wenn die erste sechs Stunden und zugleich
die zweite vier Stunden lang geöffnet ist. Verwechselt man die Öffnungszeiten, so läuft ein Sechstel
des Behälterinhaltes über.
Welchen Bruchteil des Behälterinhaltes liefert jede Leitung pro Stunde?
In wie vielen Stunden wird der Behälter durch jede Leitung einzeln gefüllt, in wie vielen durch beide
zusammen?
Lösung Es seien x1 bzw. x2 die Bruchteile des Behälterinhaltes, die von der ersten bzw. zweiten Zu-
leitung pro Stunde geliefert werden. Wir erhalten somit das Gleichungssystem
Mittels Einsetzungs- oder Eliminationsmethode erhält man die eindeutige Lösung .
Die erste Leitung liefert also 1/15 und die zweite 3/20 des Behälterinhaltes pro Stunde.
Der Behälter wird durch die erste Leitung allein in 15 h, durch die zweite Leitung allein in 6 h 40
min und durch beide zusammen in 4 h 37 min gefüllt.
2. Lineare Gleichungssysteme.
Eine Leiter ist schräg an eine vertikale Wand gelehnt. Schiebt man ihren Fuss auf dem horizontalen
Boden um 1 m gegen die Wand, so rutscht das andere Ende der Leiter um 0.4 m nach oben. Zieht
man dagegen den Fuss um 1 m von der Wand weg, so rutscht das andere Ende um 0.6 m nach un-
ten.
Wie weit ist der Leiterfuss anfänglich von der Wand entfernt und wie weit das obere Ende vom Bo-
den?
Berechnen Sie ferner die Länge der Leiter.
Lösung Mit x sei der anfängliche Abstand des Fusses von der Wand, mit y der anfängliche Abstand
des oberen Endes vom Boden bezeichnet. Gemäss Aufgabenstellung und Pythagoras erhalten
wir das folgende Gleichungssystem:
In beiden Gleichungen stimmen die quadratischen Terme links und rechts überein. Somit ergibt
sich das lineare Gleichungssystem:
mit der Lösung . Anfänglich ist der Leiterfuss also 3.1 m von der Wand und das
obere Ende 6.3 m vom Boden entfernt. Die Länge der Leiter beträgt (nach Pythagoras) ca. 7.02
m.
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 4 von 123. Exponential- und Logarithmusfunktion
a. Der abgebildete Graph gehört zu einer Exponentialfunktion
mit einer Gleichung der Form . Bestimmen Sie a
und b.
b. Bestimmen Sie ohne Taschenrechner die Lösung der Gleichung .
(Der Lösungsweg muss ersichtlich sein.)
Lösung
a. Aus weiss man, dass . Aus weiss man, dass
. Also muss sein.
b. Aus folgt und somit .
4. Exponentielles Wachstum / exponentieller Zerfall
Das bekannte Schmerzmittel Aspirin enthält als Wirkstoff Acetylsalicylsäure.
Pro Stunde wird 20% der im Körper vorhandenen Menge Acetylsalicylsäure abgebaut.
Eine Person nimmt um 12 Uhr eine Tablette Aspirin mit 500 Milligramm Wirkstoff.
a. Wie viele Milligramm Wirkstoff hat sie um 18.30 Uhr noch im Körper?
b. Ab wann wird sie weniger als 5 Milligramm Wirkstoff im Körper haben?
Lösung
a. . Nach 6.5 Stunden:
Um 18:30 Uhr sind ca. 117.2 mg Acetylsalicylsäure noch nicht abgebaut.
b.
Am nächsten Tag ab 08:39 Uhr wird die Person weniger als 5 Milligramm Wirkstoff im Körper ha-
ben.
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 5 von 12Geometrie
mit Lösungen
1. Stereometrie.
Von einem regulären Tetraeder mit Kantenlänge 9 cm werden
alle Ecken abgeschnitten. Die Oberfläche des Restkörpers be-
steht aus gleichseitigen Dreiecken und regulären Sechsecken.
(Vgl. Figur.)
a. Skizzieren Sie eine Seitenfläche des Tetraeders und die da-
rin enthaltene Seitenfläche des Restkörpers.
b. Bestimmen Sie die Anzahl der Ecken und der Kanten des
Restkörpers
c. Berechnen Sie:
i. die Oberfläche
ii. das Volumen des Restkörpers.
(Geben Sie die Resultate als Wurzelterme oder als Dezimalzahlen mit 4 wesentlichen Ziffern an.)
Lösung:
a. Kantenlänge des regulären Sechsecks: a = 3 cm.
b. Der Restkörper besitzt Ecken und Kanten.
c.i. Der Flächeninhalt eines regulären Sechsecks ist sechsmal so gross ist wie derjenige eines
gleichseitigen Dreiecks. Die Fläche eines Dreiecks misst .
Die Oberfläche des Restkörpers beträgt somit
c.ii. Das Volumen des Restkörpers ist gleich dem Volumen des Tetraeders, vermindert um das Volu-
men der vier Ecktetraeder:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 6 von 122. Stereometrie.
Welche Höhe hat ein gerader Kreiskegel mit Grundkreisradius
r = 3 cm, der in einer Kugel mit Radius R = 6 cm eingeschrieben
ist?
Wie viele Prozent des Kugelvolumens werden dann durch den
Kreiskegel ausgefüllt?
Lösung:
1. Lösung:
Höhe grosser Kegel:
Volumen Kegel:
Volumen Kugel:
des Kugelvolumens werden durch den Kreiskegel ausgefüllt.
2. Lösung:
Höhe kleiner Kegel:
Volumen Kegel:
Volumen Kugel:
des Kugelvolumens werden durch den Kreiskegel ausgefüllt.
3. Trigonometrie.
Ein Ballon C schwebt in der Höhe h über dem Boden.
Zwei Beobachter A und B, welche 500 m voneinander
entfernt sind, sehen ihn unter den Höhenwinkeln α =
70° bzw. β = 75°. Der Ballon befindet sich über der
Verbindungslinie von A und B.
a. Wie weit ist der Ballon von A bzw. von B entfernt?
b. Berechnen Sie die Ballonhöhe h.
(Ergebnisse auf ganze Meter runden.)
Lösung:
a. , also
Die Strecke BC misst ca. 5391 m.
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 7 von 12also:
Die Strecke AC misst ca. 5541 m.
b. also:
Der Luftballon befindet sich auf ca. 5207 m Höhe.
Stochastik
mit Lösungen
1. Beschreibende Statistik
Aus einer Lieferung von Drähten hat man 26 Proben entnommen und den Prozentgehalt an Kupfer
bestimmt. Man hat die folgenden Prozentsätze erhalten:
75.90 75.54 76.09 75.36 76.04 75.84 75.38 75.60
76.08 75.72 76.02 75.58 75.77 76.04 75.26 75.78
75.56 75.80 75.38 75.40 75.56 75.70 75.38 75.21
75.80 75.68
a. Bestimmen Sie den Median und die Quartile, und zeichnen Sie den Box-Plot.
b. Teilen Sie die geordnete Urliste in Klassen mit Breite 0.2 ein. Erstellen Sie eine Häufigkeitsta-
belle (absolute und relative Häufigkeit). Zählen Sie Werte, die auf eine Klassengrenze fallen, in
beiden Klassen je zur Hälfte. (Bei der relativen Häufigkeit ist auf ganze Prozent zu runden.)
c. Berechnen Sie für diese Klasseneinteilung das arithmetische Mittel und die empirische Stan-
dardabweichung.
Lösung:
a.
Alternative Darstellung im Stamm-und-Blatt-Diagramm:
75.2 16 Bei aufsteigender Anordnung sei der Prozent-
75.3 6888 satz der k-ten Probe.
75.4 0
75.5 44668 Median
75.6 08
Unteres Quartil
75.7 0278
75.8 004 Oberes Quartil
75.9 0
76.0 24489
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 8 von 12b.
Prozentgehalt Klassen- Absolute Relative
Kupfer mitte xi Häufigkeit ni Häufigkeit
75.2 - 75.4 75.3 6.5 25%
75.4 - 75.6 75.5 5 19%
75.6 - 75.8 75.7 6.5 25%
75.8 – 76.0 75.9 3 12%
76.0 - 76.2 76.1 5 19%
Stichprobengrösse n = 26
c. Arithmetisches Mittel:
Empirische Standardabweichung: ;
2. Kombinatorik
a. Papierstreifen
Der abgebildete Papierstreifen kann nur an den gestrichelten Linien zerschnitten werden.
Ein Beispiel für eine Zerlegung in drei Teile ist die folgende:
46 47 48 49 50 51 52
Auf wie viele Arten kann man den Streifen in drei Teile zerlegen?
b. In einer Gruppe von Politikerinnen sind 12 aus Italien, 10 aus Spanien und 9 aus der
Schweiz, darunter Bundesrätin Simonetta Sommaruga. Für eine Delegation werden aus
dieser Gruppe drei Frauen zufällig ausgewählt.
i. Wie viele sind möglich mit einer Italienerin, einer Spanierin und Bundesrätin Somma-
ruga?
ii. Wie viele sind möglich mit mindestens einer Italienerin?
c. Vier Kochbücher, fünf Romane und drei Mathematikbücher sollen nebeneinander auf ein
Regal gestellt werden.
Auf wie viele Arten geht dies, wenn Bücher desselben Stoffgebiets nebeneinander stehen
müssen?
Lösungen:
a. Man muss zwei von 6 Trennstrichen auswählen.
Es gibt also Arten von solchen Zerlegungen.
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 9 von 12b. 12 Politikerinnen aus Italien
10 Politikerinnen aus Spanien
9 Politikerinnen aus der Schweiz
i.
ii. komplementär: "keine Italienerin".
Keine Italienerin:
Mindestens eine Italienerin:
c. Unter sich können die Kochbücher auf 4! = 24, die Romane auf 5! = 120 und die Mathema-
tikbücher auf 3! = 6 Arten angeordnet werden. Nun gibt es aber noch 3! = 6 Anordnungen
der Gebiete. Insgesamt können diese Bücher gemäss Vorgabe auf
Arten auf das Regal gestellt werden.
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung.
a. Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
i. die Summe der Augenzahlen kleiner als 6 ist;
ii. das Produkt der zwei Augenzahlen grösser als 16 ist.
b. Im Kunsthaus Zürich wird eine Sonderausstellung von Alberto Giacometti zu 28% von Per-
sonen, welche in der Stadt Zürich wohnen und zu 72% von Auswärtigen besucht. Von den
Personen aus der Stadt Zürich sind 65% Frauen, von den Auswärtigen 45%. Wie gross ist
der Anteil der Frauen an der gesamten Zahl der Besucher/innen?
Lösung:
a.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
i. Ereignis A: Summe der Augenzahlen kleiner als 6.
Die grünen Felder sind günstig:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 10 von 12ii. Ereignis B: Produkt der Augenzahlen grösser als 16.
Die orangen Felder sind günstig:
b. Anteil der Frauen an der Gesamtbesucherzahl:
Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 11 von 12Musteraufgaben mündliche Prüfung 1. Arithmetik und Algebra: Aufgabe zum Thema Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten das lineare Gleichungssystem a) Was versteht man unter einer Lösung dieses Gleichungssystems? b) Welche Lösungsmethoden kennen Sie? c) Wenden Sie eine dieser Methoden an. d) Welche geometrische Bedeutung hat eine einzelne Gleichung? e) Hat jedes lineare Gleichungssystem eine Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort geometrisch. 2. Geometrie: Aufgabe zum Thema Stereometrie a) Was versteht man unter einer Pyramide? Skizzieren Sie einen solchen Körper. b) Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide? c) Wann spricht man von einer geraden quadratischen Pyramide? d) Eine gerade quadratische Pyramide mit Höhe h wird durch eine Parallelebene zur Grundfläche in zwei Teile zerlegt. Beschreiben Sie die beiden Teilkörper. e) Wir nehmen an, die Parallelebene halbiere die Höhe der Pyramide. In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Teilkörper? 3. Stochastik: Aufgabe zum Thema Kombinatorik a) Aus dem Verwaltungsrat einer Firma, welcher aus 8 Personen besteht, soll eine 3er-Delegation be- stimmt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? b) An einem 100-m Lauf nehmen 8 Läufer teil, die nacheinander durchs Ziel laufen. Wie viele Reihenfol- gen sind für die ersten 3 Plätze möglich? c) Die Schweizer Fussball-Nationalmannschaft spielt mit einem Goalie, 4 Verteidigern, 4 Mittelfeldspielern und 2 Stürmern. Wie viele verschiedene Mannschaften kann Trainer Petkovic bilden, wenn er zwei Goa- lies, 8 Verteidiger, 9 Mittelfeldspieler und 5 Stürmer zur Verfügung hat? d) Ein Test besteht aus 8 Fragen, wobei es zu jeder Frage drei Antworten gibt, von denen jeweils eine richtig ist. Wie viele Möglichkeiten zum Ankreuzen gibt es insgesamt? Wie viele Möglichkeiten gibt es, min- destens 7 Fragen richtig zu beantworten? e) Welches ist der kombinatorische Unterschied zwischen den Teilaufgaben a) und b)? Juni 2021 Aufnahmeprüfung Mathematik Niveau Fachmaturität Pädagogik Seite 12 von 12
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