Hauptsache überzeugt? - Was kann Argumentieren (und Begründen und Beweisen) für den Mathematikunterricht leisten - und wie?
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Hauptsache überzeugt?
Was kann
Argumentieren (und Begründen und Beweisen)
für den Mathematikunterricht leisten – und wie?
Prof. Dr. Stefan Ufer & Dr. Daniel Sommerhoff
Materialien für den Mathematikunterricht der Sekundarstufe (MaMut)
Was dieser Vortrag bietet… • Unser Hintergrund Forschung, Entwicklung und Austausch zum Beweisen und Argumentieren in allen Altersstufen. • Dieser Vortrag kann… - …eine Basis für die weiteren Workshops sein… - …aber kein Ersatz für die praxisbezogenen Teile. • Einen Überblick geben… …über Perspektiven auf das Thema „Argumentieren, Beweisen, Begründen“ in der Mathematikdidaktik. • Orientierung schaffen… …durch aktuelle Modelle zu vier Themenbereichen. Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 1
Argumentieren und Beweisen im Unterricht
Erwartungen Probleme
„Beweisen ist viel zu schwer
Mathematik als
für meine SchülerInnen!
„beweisende Wissenschaft“
Das können nur wenige.“
„Wenn der Satz ohnehin schon
Allgemeinbildung:
überzeugend ist – warum soll
„kritischer Vernunftgebrauch“
ich dann noch beweisen?“
Grunderfahrungen (Winter): “Argumentieren kosten zu viel
„Mathematik als deduktiv Zeit. Die investiere ich lieber in
geordnete Welt erfahren“ vernetzendes Üben.“
KMK Bildungsstandards: „Argumentieren wird heute ja
Mathematisch argumentieren kaum noch geprüft. Auf das
als zu erlernende Kompetenz Modellieren kommt es an.“
(Heintz, 2000; KMK, 2003, 2004, 2012; Heymann, 1997; Winter, 1995)
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 2
Begriffsfeld
„Argumentieren“
Voraussetzungen Warum
schaffen Argumentieren?
…aber welche? Funktionen
Und im
Unterricht?
Argumentative
Aktivitäten
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 3
Argumentieren – aus der Literatur Brunner, 2014
(K 1) Mathematisch argumentieren
Dazu gehört:
– Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind („Gibt es
…?“, „Wie verändert sich…?“, „Ist das immer so …?“) und Vermutun-
gen begründet äußern,
– mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Be-
gründungen, Beweise),
– Lösungswege beschreiben und begründen. (KMK, 2003)
(K 2) Probleme mathematisch lösen
Dazu gehört:
Argumentieren ist ein verbale und
– vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten,
soziale Aktivität, die darauf
– geeignete abzielt…
heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum
die Akzeptierbarkeit eines kontroversen
Problemlösen auswählen und anwenden,
Standpunkts […]
– die zu erhöhen
Plausibilität oder zu überprüfen
der Ergebnisse
Wie sowie das Finden von Lö-
sehen argumentativen Austausch
sungsideen und die Lösungswege reflektieren.
reduzieren,… im Kern als eine Art dialogischen
(K 3) Mathematisch modellieren
indem eine Konstellation von Aussagen oder dialektischen Spiels…
Dazu gehört:
vorgeschlagen wird, die den das im gemeinsamen Problemlösen
– den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathe-
Standpunkt vor einem „rationalen entsteht,…
matische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen,
Schiedsrichter“ rechtfertigen (oder
– in dem jeweiligen mathematischen Modellund mit dem gemeinsamen Aushandeln
arbeiten,
widerlegen) soll.
– Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich vonoder
Verständnis verknüpft ist.
der entsprechenden
(nach Van Eemeren et al., 1996)
Situation interpretieren und prüfen. (nach Baker, 2003)
(K 4) Mathematische
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff Darstellungen verwenden
– MaMut 2019 4
Ein Beispiel (Klasse 7, Realschule)
Warum ist 39 − 16 = 40 − 17?
Realschule, Jgst. 7
Realschule, Jgst. 7
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 5
Mathematisches Argumentieren
Lösungswege begründen Argumentationsaufgaben Wissenskonstruktion
Mathematisches Argumentieren
Kontext (z.B. Erarbeitungsphase, Automatisierungsphasen, schriftlich/mündlich,…)
Geteilte Wissensbasis Aushandlungsprozesse Geteilte Normen
• Bedeutung mathe- • Lehrkraft als „Vertreter • Lokale Normen.
matischer Konzepte. der Mathematik“… • Was zählt hier und
• Definitionen, Axiome • …in Bezug auf Wissen jetzt als Begründung,
und Sätze einer und auf Normen. Beweis,…?
mathematischen • Wie stelle ich meine
Theorie. Argumente dar?
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 6
Dimensionen von Argumentationen
Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 7Dimensionen von Argumentationen
Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? A.
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
B.
C.
Realschule, Jgst. 7
D.
E.
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 8Generische Beispiele Mason & Pimm, 1984
Das ginge genau so auch bei anderen
Zahlen,…
39 − 16 = 40– 1 − (17 − 1) …weil ich zu jeder ganzen Zahl eine
Zahl addieren bzw. subtrahieren kann
= 40– 1 − (−1 + 17) …wegen des Kommutativgesetzes
= 40– 1 + 1 − 17 …wegen des Assoziativgesetzes
= 40 − 17 …weil sich Addition und Subtraktion der
gleichen Zahl aufheben
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 9Dimensionen von Argumentationen
Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? A.
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
B.
C.
D.
E.
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 10Dimensionen von Argumentationen
Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Allgemein, informell
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 11Dimensionen von Argumentationen
Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Warum ist 39 − 16 = 40 − 17?
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Realschule, Jgst. 7
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 12f Gl
Operative Beweise Wittmann, 2009
a. Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Warum ist 39 − 16 = 40 − 17?
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
'n A. B. C. D. E.
16
-
3g -
16
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 13Dimensionen von Argumentationen
Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Warum ist 39 − 16 = 40 − 17?
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Weil ! − # = ! + & − # + & .
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 15Dimensionen von Argumentationen
Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
• Wissensbasis
- Rückgriff auf informelles Vorwissen
- Rückgriff auf geteilte Vorstellungen
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
- Rückgriff auf Definitionen und Sätze
• Allgemeinheit der Argumentation
Frage nach der prinzipiellen Übertragbarkeit
- Einzelfälle
- Generische Beispiele Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
- Argumentationen an Arbeitsmitteln
- Algebraische Notationen (Variablen)
• Variation nach…
- Vorkenntnissen der Lernenden
- Funktion der Argumente im Unterricht
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 17Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Begriffsfeld
„Argumentieren“ Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Voraussetzungen Warum
schaffen Argumentieren?
…aber welche? Funktionen
Und im
Unterricht?
Argumentative
Aktivitäten
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 18Funktionen von Argumentationen und Beweisen
Mein Ergebnis ist doch richtig, warum
soll ich das noch begründen?
Es reicht doch, wenn ich weiß wie die
Regel ist. Wozu brauche ich da eine
Herleitung…?
Warum sollten sich Lernende sich mit Argumentationen beschäftigen?
Warum sollten Lehrende kostbare Unterrichtszeit mit Argumentieren verbringen?
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 19Funktionen von Argumentationen und Beweisen
Warum sollten sich Lernende sich mit Argumentationen beschäftigen?
Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann
haben die kleineren Quadrate zusammen
den gleichen Flächeninhalt wie das Große.
Wenn die kleinen Quadrate zusammen den
gleichen Flächeninhalt haben wie das
Große, dann ist das Dreieck rechtwinklig. mathbu.ch 8, 2003, Klett / Schulbuchverlag, S. 28, Aufgabe 1
Wir haben das nur bei ein paar wenigen Dreiecken ausprobiert.
War das nur Zufall oder gilt das für alle Dreiecke?
Für wie überzeugend halten Sie diese Fragestellung um die
Lernenden zur Beschäftigung mit einem Beweis zu motivieren?
überhaupt nicht (A) … bis … völlig überzeugend (E)
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 20Funktionen von Argumentationen und Beweisen
Warum sollten sich Lernende sich mit Argumentationen beschäftigen?
Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann
haben die kleineren Quadrate zusammen
den gleichen Flächeninhalt wie das Große.
Wenn die kleinen Quadrate zusammen den
gleichen Flächeninhalt haben wie das
Große, dann ist das Dreieck rechtwinklig. mathbu.ch 8, 2003, Klett / Schulbuchverlag, S. 28, Aufgabe 1
Wir haben das nur bei ein paar wenigen Dreiecken ausprobiert.
War das nur Zufall oder gilt das für alle Dreiecke?
Was hat eigentlich der rechte Winkel mit der Fläche der Quadrate
zu tun? Warum sind die Flächen nur beim rechten Winkel gleich?
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 21Beispiel Satz des Pythagoras
Rechtwinkliges Dreieck ABC Nicht-Rechtwinkliges Dreieck ABC
B
B
C C
A A
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 22Funktionen von Argumentationen und Beweisen
de Villiers, 1990
Warum sollten Lehrende kostbare
Warum sollten sich Lernende sich mit
Unterrichtszeit mit Argumentieren
Argumentationen beschäftigen?
verbringen?
Verifizieren
Erklären
Funktionen Systematisieren
Kommunizieren
Entdecken & Explorieren
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 24Didaktische Funktionen von Argumentationen
Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder.
Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente)
Oberflächennetze dieses Tetraeders!
Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast!
Argumentationsanlässe fordern Lernende heraus,
Lernen durch
ihr Verständnis eines Themas zu hinterfragen
Argumentieren und so ihr bisheriges Wissen zu verfeinern und zu erweitern.
Im Beispiel
• Was ist ein Tetraeder?
Welche Eigenschaften hat er?
• Was ist ein Netz?
Was ist erlaubt, was nicht?
• Räumliches Vorstellungsvermögen
Wieso ergibt das (k)ein Netz?
• Was tun, wenn man nicht mehr weiterkommt?
Wie kann man an komplexe Probleme herangehen?
• …
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 27Didaktische Funktionen von Argumentationen
Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder.
Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente)
Oberflächennetze dieses Tetraeders!
Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast!
Lernen über das Wer gemeinsam argumentiert, der muss sich zwingend damit
Argumentieren beschäftigen, was als gültiges Argument zählt und was nicht.
Im Beispiel
• Was darf ich beim Argumentieren verwenden?
Welche Eigenschaften kenne ich bereits?
• Welche Schlussarten sind akzeptabel?
Reichen mir Beispiele?
• Welche Schritte muss ich begründen?
Welche Begründungen muss ich (im jeweiligen Kontext) explizit angeben?
• Wie widerlege ich Aussagen?
Wofür reicht ein Gegenbeispiel? Reicht „Falten aus Papier“?
• …
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 28Funktionen von Argumentationen und Beweisen
Andriessen, Baker & Suthers, 2003
Warum sollten Lehrende kostbare
Warum sollten sich Lernende sich mit
Unterrichtszeit mit Argumentieren
Argumentationen beschäftigen?
verbringen?
Verifizieren
Lernen durch
Argumentieren Erklären
Argumentieren lernen Funktionen Systematisieren
Lernen über das Kommunizieren
Argumentieren
Entdecken & Explorieren
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 30Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Begriffsfeld
„Argumentieren“ Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Voraussetzungen Warum
schaffen Argumentieren?
…aber welche? Funktionen
Verifizieren
Lernen durch
Argumentieren Erklären
Argumentieren lernen Funktionen Systematisieren
Lernen über das Kommunizieren
Argumentieren
Entdecken & Explorieren
Und im
Unterricht?
Argumentative
Aktivitäten
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 31Probleme beim Argumentieren
Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder.
Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente)
Oberflächennetze dieses Tetraeders!
Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast!
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 32Konstruieren von Argumentationen
Selbstständiges Begründen bzw. Beweisen von Aussagen, Lösungswegen oder
Zusammenhängen durch die Schülerinnen und Schüler.
• Häufig als unrealistisch verworfen
- Argumentieren generell (zu) schwierig
- (zu) zeitaufwändig
- (zu) wenig lernförderlich
• Mehrschrittige Aufgaben besonders schwierig (Heinze et al., 2009)
• Allerdings:
Auch „Routineargumentationen“ (Rechnungen, Verfahren, Herleitungen,
Sätze, die aus dem Unterricht vertraut sind) bleiben im Unterricht oft implizit
Etablierung einer argumentativen Kultur
(Reiss, Hellmich, & Thomas, 2012)
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 33Konstruieren von Argumentationen
Warum kann eine lineare Gleichung keine Lösung
haben, wenn Äquivalenzumformungen auf eine
Gleichung der Form 3 = 5 führen?
Wie kann ich mir anhand einer geeigneten
Darstellung noch einmal selbst überlegen, dass
(und warum) 6 − 8 = −2 ist?
Welche Sätze habe ich jetzt beim Berechnen des
Winkels in der geometrischen Figur gerade eben
verwendet?
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 34Exkurs: Potential von Fehlern
Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder.
Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente)
Oberflächennetze dieses Tetraeders!
Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast!
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 35Verstehen von Argumentationen
Selbstständiges Lesen von „korrekten“ Argumentationen / Beweisen,
mit dem Ziel diese zu verstehen.
• Herausforderung (Healy & Hoyles, 2000; Inglis & Alcock, 2012)
- Oberflächliches Lesen verhindern
- Erschließung einzelner Argumente
- Beobachtung der Gesamtstruktur der Argumentation
• Mögliche Hilfestellungen
- Selbsterklärungsprompts (Hilbert, Renkl, Kessler, & Reiss, 2008)
Welcher Satz wird An welchen Stellen wird im Beweis
hier verwendet? verwendet, dass das Dreieck
rechtwinklig sein muss?
Was wird daraus gefolgert?
- Prompts ermöglichen unterschiedliche Schwerpunkte je nach Lernziel
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 36Beispiel
Verstehen
Erkläre in eigenen
Wie kannst du
Worten, was ein
das begründen?
Tetraeder ist.
Warum gibt es keine
anderen Möglichkeiten?
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 37Prüfen und Bewerten von Argumentationen
Prüfen von ausgearbeiteten Argumenten, deren Akzeptanz & Vollständigkeit
unklar ist, bspw. von MitschülerInnen.
• Empirische Befunde (Harel & Sowder, 1998; Healy & Hoyles, 2000; Sommerhoff & Ufer, 2019)
- Ablehnung beispielbasierter Argumentationen
- Strukturelle Fehler bleiben oft unentdeckt
o Zirkelschluss
o Vermischung einer Aussage und ihrer Umkehrung
- Fokus auf Oberflächenmerkmale wie formale Notation
• Einsatzmöglichkeiten
- Thematisierung falscher Beweisstrategien und typischer Fehler
- Diskussion von Anforderungen in Bezug auf Form und Struktur an eine
akzeptable Argumentation / Beweis
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 38Nicht-deduktive Argumentationsformen
Finden von Vermutungen (Koedinger, 1998Lin, Yang, Lee, Tabach, & Stylianides, 2012)
• Basierend auf offenen, für Mathematik typischen Fragen
Addiere drei aufeinander Wähle einige
folgende natürliche Zahlen, was Quadratzahlen.
stellst Du fest? Bilde Differenzen von je
zwei Quadratzahlen.
• Tätigkeiten Was fällt dir auf?
- Erkennen und gezieltes Prüfen von Strukturen
- Zunächst oft anhand von Beispielen
- Ausweitung auf generische Beispiele und allgemeine Argumentationen
• Vorteile
- Bietet vielfältige Argumentationsanlässe
- Gültigkeit der generierten Vermutungen meist nicht zweifelsfrei klar
- Natürliche Notwendigkeit für eine argumentative Behandlung entsteht
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 39Beispiel
Wähle einige Quadratzahlen. Bilde Differenzen von je zwei
Quadratzahlen. Was fällt dir auf?
Formuliere eine Vermutung und beweise diese!
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 40Argumentative Aktivitäten im Unterricht
Definieren
Prüfen und Finden von
Bewerten Vermutungen
Verstehen ...
Konstruieren
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 42Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Begriffsfeld
„Argumentieren“ Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Voraussetzungen Warum
schaffen Argumentieren?
…aber welche? Funktionen
Verifizieren
Lernen durch
Argumentieren Erklären
Argumentieren lernen Funktionen Systematisieren
Lernen über das Kommunizieren
Argumentieren
Entdecken & Explorieren
Und im
Prüfen und Finden von
Definieren
Unterricht?
Argumentative
Bewerten Vermutungen
Verstehen ...
Konstruieren
Aktivitäten
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 43Voraussetzungen – Beispiel
Begründe, dass die
vier rechtwinkligen
Dreiecke 1 bis 4
zueinander ähnlich
sind.
Jgst. 10, Realschule
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 44Voraussetzungen schaffen – aber welche?
„Voraussetzungen“
Individuelles Wissen und Können als Basis für erfolgreiches Argumentieren.
- Was zeichnet im Allgemeinen Lernende aus, die erfolgreich mit
Argumentationen umgehen?
Welchen Voraussetzungen muss ich als Welche Wissens- und
Lehrkraft schaffen, Fähigkeitskomponenten kann ich (auch)
um den Lernenden erfolgreiches beim Argumentieren im Unterricht
Argumentieren erst zu ermöglichen? aufbauen?
- Wo liegt bei einem konkreten Lernenden in einer konkreten Aufgabe
“das Problem“?
Stichwort
Diagnostische Kompetenzen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 45Voraussetzungen schaffen – aber welche?
Wissen zum mathematischen Inhalt A.
erfolgreiche
Wissen über Argumentationsstrategien B. Argumentations-
prozesse
Wissen über mathematische Argumente C. Konstruieren
Verstehen
Fähigkeiten zum logischen Schließen D.
Bewerten
Übergreifende Problemlösekompetenz E.
Welche Voraussetzung ist Ihrer Meinung nach am wichtigsten
für erfolgreiche Argumentationsprozesse bei Lernenden?
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 46Voraussetzungen schaffen – aber welche?
Wissen zum mathematischen Inhalt
Konzeptuelles Wissen
Fakten, Zusammenhänge, Steckbriefaufgaben
Darstellungsformen durchdringen Aussagen bewerten: Richtig/falsch
Prozedurales Wissen
Sätze als Regeln anwenden können Routineanwendungen üben
Sätze als Routineargumente verwenden Argumentatives Klima schaffen
Strategisches Wissen
Wann ist welcher Satz/welche Strategie Strategiekonferenzen:
besonders erfolgsversprechend? Planung und Reflexion
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 47Beispiel
Fähigkeiten zum logischen Schließen
11. Klasse, Gymnasium
f Gl
Nullstelle der Ableitung ⇒ Extremum?
Extremum ⇒ Nullstelle der Ableitung? a.
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 48Voraussetzungen schaffen – aber welche?
Fähigkeiten zum logischen Schließen
Inhaltliche Grundlagen schaffen
Logisches Denken basiert (meist) auf Alternativen thematisieren
Wissen zum Inhalt. (Auch) falsche Aussagen analysieren
Sprachliche Flexibilität aufbauen
Wenn g und h parallel sind, dann ist α = δ.
Wenn α ≠ δ ist, dann sind g und h nicht parallel.
→
¥
g und h können nur dann parallel sein, α = δ ist.
Wenn α = δ ist, dann sind g und h parallel.
Wenn g und h nicht parallel sind, dann ist α ≠ δ.
α kann nicht „so groß sein wie“ δ, wenn g und h nicht parallel sind.
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 49Voraussetzungen schaffen – aber welche?
Übergreifende Problemlösekompetenz
Heurismen explizit vermitteln
Heuristische Strategien, Prinzipien und Modell des Strategieerwerbs
Hilfsmittel Bauer, Bruder, 2011
Selbstregulationsfähigkeit aufbauen
Planung, Überwachung und Reflexion Selbstregulationstrainings
des eigenen Arbeitens Perels et al., 2005
Ungünstige Überzeugungen abbauen
z.B. Natürlich differenzierende Aufgaben
„Jede Mathematikaufgabe ist auf Anhieb
mit einer erlernten Technik lösbar.“ Anstrengung einfordern und würdigen
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 50Voraussetzungen schaffen – aber welche?
Wissen zum mathematischen Inhalt Argumentations-
prozesse
Wissen über Argumentationsstrategien Konstruieren
Wissen über mathematische Argumente Verstehen
Bewerten
Fähigkeiten zum logischen Schließen
Übergreifende Problemlösekompetenz
Welchen Voraussetzungen muss ich als Welche Wissens- und
Lehrkraft schaffen, Fähigkeitskomponenten kann ich (auch)
um den Lernenden erfolgreiches beim Argumentieren im Unterricht
Argumentieren erst zu ermöglichen? aufbauen?
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 51Basierend auf klar definierter,
geteilter Wissensbasis
Allgemein / algebraisch
Einzelfall / informell
Begriffsfeld
„Argumentieren“
Basierend auf Alltagswissen
und Beobachtungen
Unterstützen? Warum
Voraussetzungen Argumentieren?
schaffen Funktionen
Und im
Prüfen und Finden von
Definieren
Unterricht?
Argumentative
Bewerten Vermutungen
Verstehen ...
Konstruieren
Aktivitäten
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 52Argumentieren, Begründen und Beweisen können komplexe
Anforderungen sein, müssen sie aber nicht.
• Anforderungen variabel und adaptiv wählbar
- durch verschiedene Argumentationsformen.
- durch verschiedene Funktionen.
- durch geeignete Aktivitäten.
- angepasst an die jeweiligen Voraussetzungen.
• Argumentationen für alle Lernenden
- Begründen einzelner Rechenschritte mit Routineargumenten.
- Nachvollziehen, Erklären, Bewerten von altersadäquaten Argumentationen.
z.B. Argumentationen anhand von Arbeitsmitteln.
- Erweitern, Übertragen auf verwandte Aussagen.
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 53Argumentieren, Begründen und Beweisen
sind keine Eintagsfliegen.
• Argumentieren erfordert langfristige Arbeit an…
- …vernetztem inhaltlichem Wissen.
- …Normen, was ein gutes Argument ausmacht.
- …Problemlösestrategien und anderen Voraussetzungen.
• Argumentative Unterrichtskultur
- Nicht “ab und zu ein Beweis“, sondern…
- …eigene Aussagen altersadäquat begründen als selbstverständlicher Teil
des Unterrichts.
Dazu kann gehören:
- Routineargumentationen als Basis für eigenes Begründen.
- Verstehen und Vergleich verschiedener Begründungen.
- Beschäftigung mit zunehmend systematischeren Argumentationsformen.
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 54Argumentieren lernen ist ein zentrales Ziel von
Mathematikunterricht – das ist aber nur die halbe Wahrheit.
• Nicht nur „Argumentieren als Lernziel“ (learning to argue)
• Auch „Mathematisches Argumentieren verstehen“
- Was macht mathematisches Arbeiten im Kern aus?
- Verstehen setzt nicht zwingend eigenes Beweisen voraus.
• Argumentieren als Lernprinzip (arguing to learn)
- Argumentativer Austausch über Unterrichtsinhalte ist Teil eines
guten Unterrichts.
- Ausdifferenzierung inhaltlichen Wissens.
- Aufbau von Problemlösefähigkeiten.
Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 55Kontakt:
ufer@math.lmu.de | sommerhoff@math.lmu.de
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