Hauptsache überzeugt? - Was kann Argumentieren (und Begründen und Beweisen) für den Mathematikunterricht leisten - und wie?
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Hauptsache überzeugt? Was kann Argumentieren (und Begründen und Beweisen) für den Mathematikunterricht leisten – und wie? Prof. Dr. Stefan Ufer & Dr. Daniel Sommerhoff Materialien für den Mathematikunterricht der Sekundarstufe (MaMut)
Was dieser Vortrag bietet… • Unser Hintergrund Forschung, Entwicklung und Austausch zum Beweisen und Argumentieren in allen Altersstufen. • Dieser Vortrag kann… - …eine Basis für die weiteren Workshops sein… - …aber kein Ersatz für die praxisbezogenen Teile. • Einen Überblick geben… …über Perspektiven auf das Thema „Argumentieren, Beweisen, Begründen“ in der Mathematikdidaktik. • Orientierung schaffen… …durch aktuelle Modelle zu vier Themenbereichen. Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 1
Argumentieren und Beweisen im Unterricht Erwartungen Probleme „Beweisen ist viel zu schwer Mathematik als für meine SchülerInnen! „beweisende Wissenschaft“ Das können nur wenige.“ „Wenn der Satz ohnehin schon Allgemeinbildung: überzeugend ist – warum soll „kritischer Vernunftgebrauch“ ich dann noch beweisen?“ Grunderfahrungen (Winter): “Argumentieren kosten zu viel „Mathematik als deduktiv Zeit. Die investiere ich lieber in geordnete Welt erfahren“ vernetzendes Üben.“ KMK Bildungsstandards: „Argumentieren wird heute ja Mathematisch argumentieren kaum noch geprüft. Auf das als zu erlernende Kompetenz Modellieren kommt es an.“ (Heintz, 2000; KMK, 2003, 2004, 2012; Heymann, 1997; Winter, 1995) Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 2
Begriffsfeld „Argumentieren“ Voraussetzungen Warum schaffen Argumentieren? …aber welche? Funktionen Und im Unterricht? Argumentative Aktivitäten Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 3
Argumentieren – aus der Literatur Brunner, 2014 (K 1) Mathematisch argumentieren Dazu gehört: – Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind („Gibt es …?“, „Wie verändert sich…?“, „Ist das immer so …?“) und Vermutun- gen begründet äußern, – mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Be- gründungen, Beweise), – Lösungswege beschreiben und begründen. (KMK, 2003) (K 2) Probleme mathematisch lösen Dazu gehört: Argumentieren ist ein verbale und – vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, soziale Aktivität, die darauf – geeignete abzielt… heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum die Akzeptierbarkeit eines kontroversen Problemlösen auswählen und anwenden, Standpunkts […] – die zu erhöhen Plausibilität oder zu überprüfen der Ergebnisse Wie sowie das Finden von Lö- sehen argumentativen Austausch sungsideen und die Lösungswege reflektieren. reduzieren,… im Kern als eine Art dialogischen (K 3) Mathematisch modellieren indem eine Konstellation von Aussagen oder dialektischen Spiels… Dazu gehört: vorgeschlagen wird, die den das im gemeinsamen Problemlösen – den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathe- Standpunkt vor einem „rationalen entsteht,… matische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, Schiedsrichter“ rechtfertigen (oder – in dem jeweiligen mathematischen Modellund mit dem gemeinsamen Aushandeln arbeiten, widerlegen) soll. – Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich vonoder Verständnis verknüpft ist. der entsprechenden (nach Van Eemeren et al., 1996) Situation interpretieren und prüfen. (nach Baker, 2003) (K 4) Mathematische Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff Darstellungen verwenden – MaMut 2019 4
Ein Beispiel (Klasse 7, Realschule) Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? Realschule, Jgst. 7 Realschule, Jgst. 7 Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 5
Mathematisches Argumentieren Lösungswege begründen Argumentationsaufgaben Wissenskonstruktion Mathematisches Argumentieren Kontext (z.B. Erarbeitungsphase, Automatisierungsphasen, schriftlich/mündlich,…) Geteilte Wissensbasis Aushandlungsprozesse Geteilte Normen • Bedeutung mathe- • Lehrkraft als „Vertreter • Lokale Normen. matischer Konzepte. der Mathematik“… • Was zählt hier und • Definitionen, Axiome • …in Bezug auf Wissen jetzt als Begründung, und Sätze einer und auf Normen. Beweis,…? mathematischen • Wie stelle ich meine Theorie. Argumente dar? Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 6
Dimensionen von Argumentationen Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 7
Dimensionen von Argumentationen Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? A. Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell B. C. Realschule, Jgst. 7 D. E. Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 8
Generische Beispiele Mason & Pimm, 1984 Das ginge genau so auch bei anderen Zahlen,… 39 − 16 = 40– 1 − (17 − 1) …weil ich zu jeder ganzen Zahl eine Zahl addieren bzw. subtrahieren kann = 40– 1 − (−1 + 17) …wegen des Kommutativgesetzes = 40– 1 + 1 − 17 …wegen des Assoziativgesetzes = 40 − 17 …weil sich Addition und Subtraktion der gleichen Zahl aufheben Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 9
Dimensionen von Argumentationen Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? A. Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell B. C. D. E. Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 10
Dimensionen von Argumentationen Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Allgemein, informell Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 11
Dimensionen von Argumentationen Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Realschule, Jgst. 7 Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 12
f Gl Operative Beweise Wittmann, 2009 a. Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell 'n A. B. C. D. E. 16 - 3g - 16 Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 13
Dimensionen von Argumentationen Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Warum ist 39 − 16 = 40 − 17? Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Weil ! − # = ! + & − # + & . Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 15
Dimensionen von Argumentationen Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis • Wissensbasis - Rückgriff auf informelles Vorwissen - Rückgriff auf geteilte Vorstellungen Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell - Rückgriff auf Definitionen und Sätze • Allgemeinheit der Argumentation Frage nach der prinzipiellen Übertragbarkeit - Einzelfälle - Generische Beispiele Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen - Argumentationen an Arbeitsmitteln - Algebraische Notationen (Variablen) • Variation nach… - Vorkenntnissen der Lernenden - Funktion der Argumente im Unterricht Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 17
Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Begriffsfeld „Argumentieren“ Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Voraussetzungen Warum schaffen Argumentieren? …aber welche? Funktionen Und im Unterricht? Argumentative Aktivitäten Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 18
Funktionen von Argumentationen und Beweisen Mein Ergebnis ist doch richtig, warum soll ich das noch begründen? Es reicht doch, wenn ich weiß wie die Regel ist. Wozu brauche ich da eine Herleitung…? Warum sollten sich Lernende sich mit Argumentationen beschäftigen? Warum sollten Lehrende kostbare Unterrichtszeit mit Argumentieren verbringen? Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 19
Funktionen von Argumentationen und Beweisen Warum sollten sich Lernende sich mit Argumentationen beschäftigen? Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann haben die kleineren Quadrate zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Große. Wenn die kleinen Quadrate zusammen den gleichen Flächeninhalt haben wie das Große, dann ist das Dreieck rechtwinklig. mathbu.ch 8, 2003, Klett / Schulbuchverlag, S. 28, Aufgabe 1 Wir haben das nur bei ein paar wenigen Dreiecken ausprobiert. War das nur Zufall oder gilt das für alle Dreiecke? Für wie überzeugend halten Sie diese Fragestellung um die Lernenden zur Beschäftigung mit einem Beweis zu motivieren? überhaupt nicht (A) … bis … völlig überzeugend (E) Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 20
Funktionen von Argumentationen und Beweisen Warum sollten sich Lernende sich mit Argumentationen beschäftigen? Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann haben die kleineren Quadrate zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Große. Wenn die kleinen Quadrate zusammen den gleichen Flächeninhalt haben wie das Große, dann ist das Dreieck rechtwinklig. mathbu.ch 8, 2003, Klett / Schulbuchverlag, S. 28, Aufgabe 1 Wir haben das nur bei ein paar wenigen Dreiecken ausprobiert. War das nur Zufall oder gilt das für alle Dreiecke? Was hat eigentlich der rechte Winkel mit der Fläche der Quadrate zu tun? Warum sind die Flächen nur beim rechten Winkel gleich? Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 21
Beispiel Satz des Pythagoras Rechtwinkliges Dreieck ABC Nicht-Rechtwinkliges Dreieck ABC B B C C A A Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 22
Funktionen von Argumentationen und Beweisen de Villiers, 1990 Warum sollten Lehrende kostbare Warum sollten sich Lernende sich mit Unterrichtszeit mit Argumentieren Argumentationen beschäftigen? verbringen? Verifizieren Erklären Funktionen Systematisieren Kommunizieren Entdecken & Explorieren Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 24
Didaktische Funktionen von Argumentationen Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder. Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente) Oberflächennetze dieses Tetraeders! Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast! Argumentationsanlässe fordern Lernende heraus, Lernen durch ihr Verständnis eines Themas zu hinterfragen Argumentieren und so ihr bisheriges Wissen zu verfeinern und zu erweitern. Im Beispiel • Was ist ein Tetraeder? Welche Eigenschaften hat er? • Was ist ein Netz? Was ist erlaubt, was nicht? • Räumliches Vorstellungsvermögen Wieso ergibt das (k)ein Netz? • Was tun, wenn man nicht mehr weiterkommt? Wie kann man an komplexe Probleme herangehen? • … Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 27
Didaktische Funktionen von Argumentationen Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder. Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente) Oberflächennetze dieses Tetraeders! Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast! Lernen über das Wer gemeinsam argumentiert, der muss sich zwingend damit Argumentieren beschäftigen, was als gültiges Argument zählt und was nicht. Im Beispiel • Was darf ich beim Argumentieren verwenden? Welche Eigenschaften kenne ich bereits? • Welche Schlussarten sind akzeptabel? Reichen mir Beispiele? • Welche Schritte muss ich begründen? Welche Begründungen muss ich (im jeweiligen Kontext) explizit angeben? • Wie widerlege ich Aussagen? Wofür reicht ein Gegenbeispiel? Reicht „Falten aus Papier“? • … Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 28
Funktionen von Argumentationen und Beweisen Andriessen, Baker & Suthers, 2003 Warum sollten Lehrende kostbare Warum sollten sich Lernende sich mit Unterrichtszeit mit Argumentieren Argumentationen beschäftigen? verbringen? Verifizieren Lernen durch Argumentieren Erklären Argumentieren lernen Funktionen Systematisieren Lernen über das Kommunizieren Argumentieren Entdecken & Explorieren Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 30
Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Begriffsfeld „Argumentieren“ Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Voraussetzungen Warum schaffen Argumentieren? …aber welche? Funktionen Verifizieren Lernen durch Argumentieren Erklären Argumentieren lernen Funktionen Systematisieren Lernen über das Kommunizieren Argumentieren Entdecken & Explorieren Und im Unterricht? Argumentative Aktivitäten Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 31
Probleme beim Argumentieren Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder. Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente) Oberflächennetze dieses Tetraeders! Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast! Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 32
Konstruieren von Argumentationen Selbstständiges Begründen bzw. Beweisen von Aussagen, Lösungswegen oder Zusammenhängen durch die Schülerinnen und Schüler. • Häufig als unrealistisch verworfen - Argumentieren generell (zu) schwierig - (zu) zeitaufwändig - (zu) wenig lernförderlich • Mehrschrittige Aufgaben besonders schwierig (Heinze et al., 2009) • Allerdings: Auch „Routineargumentationen“ (Rechnungen, Verfahren, Herleitungen, Sätze, die aus dem Unterricht vertraut sind) bleiben im Unterricht oft implizit Etablierung einer argumentativen Kultur (Reiss, Hellmich, & Thomas, 2012) Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 33
Konstruieren von Argumentationen Warum kann eine lineare Gleichung keine Lösung haben, wenn Äquivalenzumformungen auf eine Gleichung der Form 3 = 5 führen? Wie kann ich mir anhand einer geeigneten Darstellung noch einmal selbst überlegen, dass (und warum) 6 − 8 = −2 ist? Welche Sätze habe ich jetzt beim Berechnen des Winkels in der geometrischen Figur gerade eben verwendet? Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 34
Exkurs: Potential von Fehlern Betrachte den rechts abgebildeten Tetraeder. Finde möglichst viele verschiedene (nicht-kongruente) Oberflächennetze dieses Tetraeders! Begründe, dass Du alle möglichen Netze gefunden hast! Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 35
Verstehen von Argumentationen Selbstständiges Lesen von „korrekten“ Argumentationen / Beweisen, mit dem Ziel diese zu verstehen. • Herausforderung (Healy & Hoyles, 2000; Inglis & Alcock, 2012) - Oberflächliches Lesen verhindern - Erschließung einzelner Argumente - Beobachtung der Gesamtstruktur der Argumentation • Mögliche Hilfestellungen - Selbsterklärungsprompts (Hilbert, Renkl, Kessler, & Reiss, 2008) Welcher Satz wird An welchen Stellen wird im Beweis hier verwendet? verwendet, dass das Dreieck rechtwinklig sein muss? Was wird daraus gefolgert? - Prompts ermöglichen unterschiedliche Schwerpunkte je nach Lernziel Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 36
Beispiel Verstehen Erkläre in eigenen Wie kannst du Worten, was ein das begründen? Tetraeder ist. Warum gibt es keine anderen Möglichkeiten? Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 37
Prüfen und Bewerten von Argumentationen Prüfen von ausgearbeiteten Argumenten, deren Akzeptanz & Vollständigkeit unklar ist, bspw. von MitschülerInnen. • Empirische Befunde (Harel & Sowder, 1998; Healy & Hoyles, 2000; Sommerhoff & Ufer, 2019) - Ablehnung beispielbasierter Argumentationen - Strukturelle Fehler bleiben oft unentdeckt o Zirkelschluss o Vermischung einer Aussage und ihrer Umkehrung - Fokus auf Oberflächenmerkmale wie formale Notation • Einsatzmöglichkeiten - Thematisierung falscher Beweisstrategien und typischer Fehler - Diskussion von Anforderungen in Bezug auf Form und Struktur an eine akzeptable Argumentation / Beweis Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 38
Nicht-deduktive Argumentationsformen Finden von Vermutungen (Koedinger, 1998Lin, Yang, Lee, Tabach, & Stylianides, 2012) • Basierend auf offenen, für Mathematik typischen Fragen Addiere drei aufeinander Wähle einige folgende natürliche Zahlen, was Quadratzahlen. stellst Du fest? Bilde Differenzen von je zwei Quadratzahlen. • Tätigkeiten Was fällt dir auf? - Erkennen und gezieltes Prüfen von Strukturen - Zunächst oft anhand von Beispielen - Ausweitung auf generische Beispiele und allgemeine Argumentationen • Vorteile - Bietet vielfältige Argumentationsanlässe - Gültigkeit der generierten Vermutungen meist nicht zweifelsfrei klar - Natürliche Notwendigkeit für eine argumentative Behandlung entsteht Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 39
Beispiel Wähle einige Quadratzahlen. Bilde Differenzen von je zwei Quadratzahlen. Was fällt dir auf? Formuliere eine Vermutung und beweise diese! Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 40
Argumentative Aktivitäten im Unterricht Definieren Prüfen und Finden von Bewerten Vermutungen Verstehen ... Konstruieren Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 42
Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Begriffsfeld „Argumentieren“ Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Voraussetzungen Warum schaffen Argumentieren? …aber welche? Funktionen Verifizieren Lernen durch Argumentieren Erklären Argumentieren lernen Funktionen Systematisieren Lernen über das Kommunizieren Argumentieren Entdecken & Explorieren Und im Prüfen und Finden von Definieren Unterricht? Argumentative Bewerten Vermutungen Verstehen ... Konstruieren Aktivitäten Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 43
Voraussetzungen – Beispiel Begründe, dass die vier rechtwinkligen Dreiecke 1 bis 4 zueinander ähnlich sind. Jgst. 10, Realschule Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 44
Voraussetzungen schaffen – aber welche? „Voraussetzungen“ Individuelles Wissen und Können als Basis für erfolgreiches Argumentieren. - Was zeichnet im Allgemeinen Lernende aus, die erfolgreich mit Argumentationen umgehen? Welchen Voraussetzungen muss ich als Welche Wissens- und Lehrkraft schaffen, Fähigkeitskomponenten kann ich (auch) um den Lernenden erfolgreiches beim Argumentieren im Unterricht Argumentieren erst zu ermöglichen? aufbauen? - Wo liegt bei einem konkreten Lernenden in einer konkreten Aufgabe “das Problem“? Stichwort Diagnostische Kompetenzen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 45
Voraussetzungen schaffen – aber welche? Wissen zum mathematischen Inhalt A. erfolgreiche Wissen über Argumentationsstrategien B. Argumentations- prozesse Wissen über mathematische Argumente C. Konstruieren Verstehen Fähigkeiten zum logischen Schließen D. Bewerten Übergreifende Problemlösekompetenz E. Welche Voraussetzung ist Ihrer Meinung nach am wichtigsten für erfolgreiche Argumentationsprozesse bei Lernenden? Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 46
Voraussetzungen schaffen – aber welche? Wissen zum mathematischen Inhalt Konzeptuelles Wissen Fakten, Zusammenhänge, Steckbriefaufgaben Darstellungsformen durchdringen Aussagen bewerten: Richtig/falsch Prozedurales Wissen Sätze als Regeln anwenden können Routineanwendungen üben Sätze als Routineargumente verwenden Argumentatives Klima schaffen Strategisches Wissen Wann ist welcher Satz/welche Strategie Strategiekonferenzen: besonders erfolgsversprechend? Planung und Reflexion Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 47
Beispiel Fähigkeiten zum logischen Schließen 11. Klasse, Gymnasium f Gl Nullstelle der Ableitung ⇒ Extremum? Extremum ⇒ Nullstelle der Ableitung? a. Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 48
Voraussetzungen schaffen – aber welche? Fähigkeiten zum logischen Schließen Inhaltliche Grundlagen schaffen Logisches Denken basiert (meist) auf Alternativen thematisieren Wissen zum Inhalt. (Auch) falsche Aussagen analysieren Sprachliche Flexibilität aufbauen Wenn g und h parallel sind, dann ist α = δ. Wenn α ≠ δ ist, dann sind g und h nicht parallel. → ¥ g und h können nur dann parallel sein, α = δ ist. Wenn α = δ ist, dann sind g und h parallel. Wenn g und h nicht parallel sind, dann ist α ≠ δ. α kann nicht „so groß sein wie“ δ, wenn g und h nicht parallel sind. Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 49
Voraussetzungen schaffen – aber welche? Übergreifende Problemlösekompetenz Heurismen explizit vermitteln Heuristische Strategien, Prinzipien und Modell des Strategieerwerbs Hilfsmittel Bauer, Bruder, 2011 Selbstregulationsfähigkeit aufbauen Planung, Überwachung und Reflexion Selbstregulationstrainings des eigenen Arbeitens Perels et al., 2005 Ungünstige Überzeugungen abbauen z.B. Natürlich differenzierende Aufgaben „Jede Mathematikaufgabe ist auf Anhieb mit einer erlernten Technik lösbar.“ Anstrengung einfordern und würdigen Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 50
Voraussetzungen schaffen – aber welche? Wissen zum mathematischen Inhalt Argumentations- prozesse Wissen über Argumentationsstrategien Konstruieren Wissen über mathematische Argumente Verstehen Bewerten Fähigkeiten zum logischen Schließen Übergreifende Problemlösekompetenz Welchen Voraussetzungen muss ich als Welche Wissens- und Lehrkraft schaffen, Fähigkeitskomponenten kann ich (auch) um den Lernenden erfolgreiches beim Argumentieren im Unterricht Argumentieren erst zu ermöglichen? aufbauen? Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 51
Basierend auf klar definierter, geteilter Wissensbasis Allgemein / algebraisch Einzelfall / informell Begriffsfeld „Argumentieren“ Basierend auf Alltagswissen und Beobachtungen Unterstützen? Warum Voraussetzungen Argumentieren? schaffen Funktionen Und im Prüfen und Finden von Definieren Unterricht? Argumentative Bewerten Vermutungen Verstehen ... Konstruieren Aktivitäten Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 52
Argumentieren, Begründen und Beweisen können komplexe Anforderungen sein, müssen sie aber nicht. • Anforderungen variabel und adaptiv wählbar - durch verschiedene Argumentationsformen. - durch verschiedene Funktionen. - durch geeignete Aktivitäten. - angepasst an die jeweiligen Voraussetzungen. • Argumentationen für alle Lernenden - Begründen einzelner Rechenschritte mit Routineargumenten. - Nachvollziehen, Erklären, Bewerten von altersadäquaten Argumentationen. z.B. Argumentationen anhand von Arbeitsmitteln. - Erweitern, Übertragen auf verwandte Aussagen. Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 53
Argumentieren, Begründen und Beweisen sind keine Eintagsfliegen. • Argumentieren erfordert langfristige Arbeit an… - …vernetztem inhaltlichem Wissen. - …Normen, was ein gutes Argument ausmacht. - …Problemlösestrategien und anderen Voraussetzungen. • Argumentative Unterrichtskultur - Nicht “ab und zu ein Beweis“, sondern… - …eigene Aussagen altersadäquat begründen als selbstverständlicher Teil des Unterrichts. Dazu kann gehören: - Routineargumentationen als Basis für eigenes Begründen. - Verstehen und Vergleich verschiedener Begründungen. - Beschäftigung mit zunehmend systematischeren Argumentationsformen. Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 54
Argumentieren lernen ist ein zentrales Ziel von Mathematikunterricht – das ist aber nur die halbe Wahrheit. • Nicht nur „Argumentieren als Lernziel“ (learning to argue) • Auch „Mathematisches Argumentieren verstehen“ - Was macht mathematisches Arbeiten im Kern aus? - Verstehen setzt nicht zwingend eigenes Beweisen voraus. • Argumentieren als Lernprinzip (arguing to learn) - Argumentativer Austausch über Unterrichtsinhalte ist Teil eines guten Unterrichts. - Ausdifferenzierung inhaltlichen Wissens. - Aufbau von Problemlösefähigkeiten. Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 55
Kontakt: ufer@math.lmu.de | sommerhoff@math.lmu.de Stefan Ufer & Daniel Sommerhoff – MaMut 2019 56
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