Hinweise zum Trainingsbuch - Springer Link
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Hinweise zum Trainingsbuch
Das Trainingsbuch zur Analysis 1“ wurde zur ersten und zweiten Auflage des
”
Grundkurses konzipiert und enthält deshalb die Lösungen zu den Aufgaben im
Grundkurs. Aber auch zur Darstellung in der dritten Auflage gibt es deutliche
Unterschiede: Im Trainingsbuch findet man zu fast jeder Übungsaufgabe Hinweise,
die es dem Leser erleichtern sollen, die Lösung aus eigener Kraft zu finden. Wer es
dann immer noch nicht schafft, findet im Anhang eine ausführliche Lösung, oftmals
ausführlicher als hier in der dritten Auflage des Grundkurses.
Ansonsten präsentiert das Trainingsbuch zahlreiche neue und zum Teil auch an-
spruchsvollere Beispiele, und außerdem Ergänzungen zum Inhalt des Grundkurses.
Im Folgenden wird kurz zusammengefasst, was den Leser dort erwartet:
1.1: Bemerkungen zur Axiomatik und zur Modellierung, insbesondere im Zusam-
menhang mit dem Körper R der reellen Zahlen. Außerdem werden die verschiede-
nen Beweismethoden diskutiert. Der Spezialfall der vollständigen Induktion wird
ausführlich in Abschnitt 1.2 behandelt.
In 1.3 wird die Äquivalenz verschiedener Formulierungen des Vollständigkeitsaxioms
bewiesen.
In 1.4 findet man eine Einführung in Relationen, insbesondere Äquivalenzrelationen
und funktionale Relationen (also Funktionen). Auch die Begriffe injektiv“ und
”
surjektiv“ werden thematisiert.
”
1.6: Benutzung des Horner-Schemas zur Durchführung von Polynom-Divisionen
und Tricks zur Berechnung von Partialbruchzerlegungen.
In 2.1 wird die Technik des Konvergenzbeweises ausführlich erklärt und gezeigt,
dass der Satz von der monotonen Konvergenz äquivalent zum Vollständigkeitsaxiom
ist. Außerdem geht es um die Konvergenz induktiv definierter Folgen, das Cauchy-
kriterium, den Nachweis von Nullfolgen mit einer Quotientenformel, Häufungs-
punkte und die Begriffe Limes inferior“ und Limes superior“.
” ”
2.2: Hilfe bei Konvergenzuntersuchungen von unendlichen Reihen.
2.3: Nach Betrachtungen von Grenzwerten von Funktionen werden Funktionen mit
abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen untersucht und speziell die Regelfunktionen“
”
eingeführt, die eine wichtige Rolle in der Integralrechnung spielen. Außerdem wird
gezeigt, wie man bei kompakten Mengen von lokalen Eigenschaften auf globale
Eigenschaften schließen kann.
In 2.4 werden Regelfunktionen als Grenzwerte von normal konvergenten Reihen
von Treppenfunktionen erkannt. Außerdem wird ein Identitätssatz für Potenzrei-
hen bewiesen. Für die Praxis werden Berechnungen im Zusammenhang mit den
Winkelfunktionen vorgeführt, die Funktionen Sekans“ und Cosekans“ definiert
” ”
und gezeigt, wie man z.B. den Cosinus numerisch berechnen kann.
© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020
K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 1,
https://doi.org/10.1007/978-3-662-60813-5Hinweise zum Trainingsbuch 415
In 2.5 lernt man verschiedene Integrierbarkeitskriterien kennen und erfährt, dass
die Regelfunktionen integrierbar sind.
Die Abschnitte 3.1 und 3.2 vertiefen den Differenzierbarkeitsbegriff, den Mittel-
wertsatz und den Konvexitätsbegriff an Hand von Beispielen und Skizzen. Darüber
hinaus wird erklärt, was steigende“ und fallende“ Funktionen sind, der Satz von
” ”
Darboux bewiesen, Anwendungen der Regeln von de l’Hospital durchgerechnet und
einige Kurvendiskussionen durchgeführt.
In 3.3 wird der Begriff der Stammfunktion“ und auch der Hauptsatz verallgemei-
”
nert auf Funktionen, die nur außerhalb einer abzählbaren Menge stetig bzw. diffe-
renzierbar sind. Außerdem werden separable Differentialgleichungen untersucht.
3.4.: Training der Techniken der Integralberechnung (partielle Integration und Sub-
stitutionsregel).
3.5 enthält viele Beispiele von Kurven. Außerdem wird die Polardarstellung von
Kurven und der Begriff des Krümmungskreises eingeführt.
In 3.6 geht es um die Lösung von inhomogenen linearen Differentialgleichungen.
In Abschnitt 4.1 werden die normale und die gleichmäßige Konvergenz von Funktio-
nenreihen verglichen, es wird die Theorie der Regelfunktionen ergänzt und schließ-
lich mit Hilfe des Lemmas von Riemann-Lebesgue das Konvergenzverhalten einer
speziellen Fourierreihe untersucht.
4.2 handelt vom Konvergenzverhalten von Taylorreihen, und es werden etwas
schwierigere Taylorentwicklungen ermittelt (etwa von arcsin(x) und tan(x)).
4.3 (Numerische Anwendungen) enthält konkrete Rechenbeispiele.
Abschnitt 4.4 zeigt, wie man mit uneigentlichen Integralen umgeht.
In 4.5 geht es um die Ableitung von Parameterintegralen, insbesondere im Falle
der Gamma-Funktion. Außerdem gibt es eine kurze Einführung in die Laplace-
Transformation und ihre Anwendung auf lineare Differentialgleichungen, und es
wird die Lösung des Brachystochronen-Problems als Anwendung der Variations-
rechnung vorgeführt.
Nach dem Anhang mit den Lösungen folgt noch ein Literaturverzeichnis, in dem
die gängigen Lehrbücher so ausführlich besprochen werden, dass man sich leicht
noch ein Werk als Sekundärliteratur heraussuchen kann.Literaturverzeichnis
Ein echter Klassiker:
[1] Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung,
Band 1. Springer (1930 – 1971).
Moderne Klassiker:
[2] Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. Walter de Gruyter, 4. Auflage
(1991).
[3] Otto Forster: Analysis 1. Springer Spektrum, 12. Auflage (2015).
[4] Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. vieweg, 17. Auflage (2009).
[5] Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 6. Auflage (2013).
[6] Walter Rudin: Analysis. Oldenbourg Verlag, 2. Auflage (2002).
[7] Wolfgang Walter: Analysis 1. Springer Grundwissen Mathematik, 5. Auf-
lage (1999)
Weitere moderne Autoren:
[8] Theodor Bröcker: Analysis I. Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage
(1995).
[9] Stefan Hildebrandt: Analysis 1. Springer, 1. Auflage (2002).
[10] Horst S. Holdgrün: Analysis, Band 1. Leins Verlag Göttingen, 1. Auflage
(1998).
[11] Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I. Spektrum Akademiacher
Verlag, 2. Auflage (2000).
Englischsprachige Literatur:
[12] Tom M. Apostol: Calculus, volume 1. John Wiley & Sons, Inc., second
Edition (1967).
[13] Serge Lang: Undergraduate Analysis (früher Analysis I ). Springer, second
Edition (2001).
Ein typisches amerikanisches Calculus-Buch:
[14] James Stewart: Calculus. Brooks/Cole Publishing Company, fourth Edi-
tion (1999).
© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020
K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 1,
https://doi.org/10.1007/978-3-662-60813-5Literaturverzeichnis 417
Bourbaki-Schule:
[15] Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Functions of a Real Variable
(Elementary Theory). Springer (Übersetzung der französischen Ausgabe
von 1961).
[16] Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis. Vieweg - Logik und
Grundlagen der Mathematik , 2. Auflage(1972).
Bücher für Ingenieure:
[17] Rainer Ansorge, Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure, Band
1. Akademie Verlag Berlin (1994).
[18] Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Inge-
nieure Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag (2004).
[19] Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 1 und 2. Springer, 5. Auflage
(2004 bzw. 1999).
[20] Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1 und 2. Springer,
5. bzw. 3. Auflage (1999).
[21] Thomas Rießinger: Mathematik für Ingenieure. Springer, 4. Auflage
(2004).
Zur linearen Algebra:
[22] Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Birkhäuser,
1. Auflage (2003).
[23] Gerd Fischer: Lehrbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Sprin-
ger Spektrum, 2. Auflage (2012).
[24] Falko Lorenz: Lineare Algebra I. Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auf-
lage (2003).
Für einen ganz langsamen Einstieg:
[25] Klaus Fritzsche: Mathematik für Einsteiger. Springer Spektrum, 5. Auflage
(2015).
Und als Ergänzung zum Grundkurs:
[26] Klaus Fritzsche: Trainingsbuch zur Analysis 1. Springer Spektrum (2013).Symbolverzeichnis
N natürliche Zahlen 2
N0 natürliche Zahlen mit 0 2
¬A logische Verneinung 2
M 1 ∪ M2 Vereinigung 3
A ∨B logisches oder“ 3
”
A ∧B logisches und“ 3
”
Z ganze Zahlen 3
Tn Teilermenge 3
ggT(a, b) größter gemeinsamer Teiler 4
kgV(a, b) kleinstes gemeinsames Vielfaches 4
∅ leere Menge 5
M \N Mengendifferenz 5
A =⇒ B logische Implikation 5
M ⊂N Teilmenge 6
A ⇐⇒ B logische Äquivalenz 6
Q rationale Zahlen 8
R reelle Zahlen 8
R+ positive reelle Zahlen 10
∀ Allquantor 13
∃ Existenzquantor 14
n
ai endliche Summe 16
i=1
n
ai endliches Produkt 16
i=1
n!
Fakultät 18
n
Binomialkoeffizient 18
k
|a| Betrag 28
Uε (a) ε-Umgebung 29
(a, b) offenes Intervall 29
[a, b] abgeschlossenes Intervall 29
[a, b), (a, b] halboffene Intervalle 29
±∞ plus/minus Unendlich 29
R erweiterte Zahlengerade 29
sup(M ), inf(M ) Supremum / Infimum 30
[x]
√ Gauß-Klammer 32
n
a n-te Wurzel 33
A×B kartesisches Produkt 39
f :A→B Funktion 41
g◦f Verknüpfung von Funktionen 48
Rn n-dimensionaler Zahlenraum 57
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K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 1,
https://doi.org/10.1007/978-3-662-60813-5Symbolverzeichnis 419
a Norm eines Vektors 58
dist(a, b) Abstand zweier Vektoren 58
a•b euklidisches Skalarprodukt 58
Br (a) Kugel 63
Srn−1 (a) Sphäre 64
z = α + i β, z komplexe / konjugiert-komplexe Zahl 64
lim an Limes einer Zahlenfolge 84
n→∞
e Euler’sche Zahl 91
Uε (x0 ) ε-Umgebung 93
lim an Limes superior 100
lim an Limes inferior 100
∞
an unendliche Reihe 104
n=0
exp(z) Exponentialfunktion 110
lim f (x) Limes einer Funktion 119
x→a
ln(x) natürlicher Logarithmus 152
ax allgemeine Potenz 153
loga (x) Logarithmus zur Basis a 154
lg(x) Zehner-Logarithmus 154
sin x, cos x Sinus / Cosinus 154
π Pi= 3.14 . . . 157
tan x, cot x Tangens / Cotangens 158
sinh x, cosh x Sinus (bzw. Cosinus) hyperbolicus 159
U (f, Z) Untersumme 168
O(f, Z) Obersumme 168
I∗ (f ), I ∗ (f ) Unterintegral / Oberintegral 170
Ia,b (f ) bestimmtes Integral 170
$ b
f (x) dx bestimmtes Integral 170
a
Σ(f, Z, ξ) Riemann’sche Summe 171
f (x0 ) (erste) Ableitung 184
f (n) (t0 ) n-te Ableitung 193
arctan(x) Arcustangens 196
arcsin(x), arccos(x) Arcussinus / Arcuscosinus 207
arsinh(x) Area-Sinus hyperbolicus 207
arcosh(x) Area-Cosinus hyperbolicus 207
F+ (x0 ), F− (x0 ) rechts- u. linksseitige Ableitung 231
b
F (x) Auswertung einer Stammfunktion 232
% a
f (x) dx unbestimmtes Integral 234
xA (α), xE (α) Anfangs- bzw. Endpunkt 257
L(α) Weglänge 260
Λ(Z, α) Polygonzug-Länge 260420 Symbolverzeichnis
sα (t) Bogenlängenfunktion 263
α ausgezeichnete Parametrisierung 263
Tα (t) Tangenteneinheitsvektor 264
Nα (t) Normaleneinheitsvektor 265
κor
α (s) orientierte Krümmung 265
κα (s) absolute Krümmung 265
C k (I) k-mal stetig differenzierbare Funktionen 273
D, Dq , p(D) Differentialoperatoren 274
Sε (f ) ε-Schlauch 285
T f (x; a) Taylorreihe 293
Tn f (x) Taylorpolynom 295
Rn f (x) Restglied 295
f(x) = o(g(x)) Landau’sches Symbol 297
α
verallgemeinerter Binomialkoeffizient 300
k $
+∞
HW f (t) dt Cauchy’scher Hauptwert 328
−∞
Γ(x) Gammafunktion 334
$ b
F (x) := f (x, t) dt Parameter-Integral 336
a
∂f
Di f (a) = (a) = fxi (a) partielle Ableitung 337
$ b$ d ∂x i
f (s, t) dt ds Doppelintegral 342
a c $ b
S[ϕ] := L(t, ϕ(t), ϕ (t)) dt Lagrange-Funktional 345
a
Mf (x) Mittelwertfunktion 355Stichwortverzeichnis
Abbildung, 41, 53 nach unten, 30
identische, 51, 130 Betrag, 28, 44
lineare, 130, 272 einer komplexen Zahl, 66, 68
stetige, 129, 138 bijektiv, 51, 54
topologische, 139 Bild, 272
Abel’scher Grenzwertsatz, 150, 162 Bildmenge, 49
abgeschlossen, 97, 99 Binomialkoeffizient, 18, 23
Abgeschlossenheitskriterium, 98 verallgemeinerter, 300, 304
Ableitung, 184, 186, 198 Binomialreihe, 300, 304
der Umkehrfunktion, 194 binomische Formel, 19, 23
höhere, 193 Bogenlänge, 260
linksseitige, 231 Bogenlängenfunktion, 263, 269
partielle, 337, 348 Bolzano
rechtsseitige, 231 Satz von, 125
Abstand, 58 Bruch, 7
abzählbar, 37
Achilles und die Schildkröte, 103 Cantor, Georg, 1
Additionstheorem Cauchy’scher Hauptwert, 328, 332
für den Logarithmus, 177, 179 Cauchyfolge, 100
Cauchykriterium, 100, 107, 114
für die Exponentialfunktion, 111, 163
für normale Konvergenz, 145
für Sinus und Cosinus, 155, 163
für uneigentliche Integrale, 333
affin-linear, 41, 53
für uneigentliche Parameterintegrale, 350
affiner Raum, 280
charakteristische Funktion, 55
Allquantor, 13
C k (I), 273
analytisch, 200, 301, 305
CMYK-System, 40
Änderungsrate, 183
Cosinus, 46, 154, 163, 298, 304
Anfangsbedingungen, 237, 276, 282
Ableitung des, 189, 199
Anfangspunkt, 257
hyperbolicus, 159
Äquivalenz
Cotangens, 158, 163
logische, 6, 9
Courant, Richard, 1
von Wegen, 259
Arcuscosinus, 207, 221 Dämpfungsterm, 273
Arcussinus, 207, 221 Definitionsbereich, 41
Arcustangens, 196, 299, 304 Dezimalbruch, 7
Ableitung des, 196 Diagonalverfahren, 37
Argand, Robert, 65 Dieudonné, Jean, 1
Assoziativgesetz, 9, 65 Differentialgleichung, 273
Asymptote lineare, 205, 239, 282
horizontale, 123, 218 homogene, 205, 239, 276
schräge, 141, 218 inhomogene, 205, 239, 280
vertikale, 122, 218 mit konstanten Koeffizienten, 275
Aussage, 2 Lösung einer, 237, 282
Aussageform, 5 mit getrennten Variablen, 237
Axiome Differentialoperator, 274, 282
für R, 9 Differentialquotient, 183
differenzierbar, 184, 185, 198
Basis, 272 beliebig oft, 200
beschränkt implizit, 202
nach oben, 30 partiell, 337
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K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 1,
https://doi.org/10.1007/978-3-662-60813-5422 Stichwortverzeichnis
stetig, 199 Fehlerintegral, 329
k-mal, 273 Fixpunktsatz, 308, 322
Differenzmenge, 5, 9 Folge, 34
Dimension, 272 beschränkte, 86, 94, 99
Dimensionsabschätzung, 276 monotone, 88, 99
Dimensionsformel, 272 von Funktionen, 142
Dirichlet–Funktion, 181 Folgenkriterium, 122, 131, 137
Disjunktion, 3, 9 Folgerung
Diskriminante, 44 logische, 5
Distanz, 58 Fourierkoeffizient, 353
Distributivgesetz, 9, 65 Fourierreihe, 353
Divergenz, 104 Fundamentalsatz der Algebra, 76, 161, 164
eines uneigentlichen Integrals, 325 Fundamentalsystem, 277, 282
Divergenzkriterium, 92, 99 Funktion, 41, 53
Division mit Rest abgeleitete, 186
für Polynome, 72 charakteristische, 55
für Zahlen, 24 differenzierbare, 184
Dreiecksungleichung, 28, 36, 61, 68 gerade, 44, 217
dx-du-Methode, 247 integrierbare, 170, 178
lineare, 41
Eindeutigkeitssatz, 275 monotone, 128, 206, 218, 221
Einheitskreis, 160 periodische, 45, 157, 217
rationale Parametrisierung des, 252 quadratische, 43, 53
Einheitswurzel, 161, 164 rationale, 76, 80, 253
Eins, 10 stetige, 123, 137
Einschränkung, 50 stückweise stetige, 173, 178
Element, 2 ungerade, 44, 217
Ellipse, 262 vektorwertige, 47
Endpunkt, 257 Funktionenfolge, 142
entwickelbar Funktionenreihe, 143
in eine Potenzreihe, 301
ε-Schlauch, 285 Gammafunktion, 334, 351
ε-Umgebung, 29, 93, 99 Gauß, Carl Friedrich, 21, 65, 166
euklidischer Algorithmus, 25 Gaußklammer, 32, 45
Euler’sche Formel, 154, 163 gedämpfte Schwingung, 278
Euler’sche Gleichung, 345, 349 geometrische Summenformel, 22, 23
Euler’sche Zahl, 91, 99, 110 Gerade, 62, 68, 258, 269
Euler–Mascheroni–Konstante, 181 Gibbs’sches Phänomen, 357
Existenzquantor, 14 Gleichheit
Exponentialfunktion, 47, 110, 114, 151, 163 von Mengen, 5
Ableitung der, 188, 199 gleichmäßig stetig, 136
Wachstum der, 212 Gleichungen
zur Basis a, 153, 163 von Vieta, 81
Extremale, 347 Grad, 70, 80
Extremum Gradformeln, 72, 80
lokales, 218, 302 Graph, 42
isoliertes, 218 Grenzfunktion, 143
Extremwert, 196 Grenzwert, 84, 119, 137
globaler, 218 linksseitiger, 120, 122
rechtsseitiger, 120, 122
Fakultät, 18, 23, 334 Grenzwertsätze, 87, 98, 123
Familie von Mengen, 13
Feder, 273 HadamardStichwortverzeichnis 423
Formel von, 164 Kettenlinie, 271
Hamilton, Sir William Rowan, 65 Kettenregel, 192, 198
harmonische Reihe spezielle, 340, 348
verallgemeinerte, 113 Koeffizientensystem, 70
harmonische Schwingung, 218 Kommutativgesetz, 9, 65
Häufungspunkt, 91, 94, 99 kompakt, 134, 138
Hauptnormalenvektor, 269 Komponenten, 39
Hauptsatz konjugiert-komplex, 66, 68
der Differential- und Integralrechnung, 229, Konjunktion, 3, 9
237 konkav, 214, 218, 222
der harmonischen Analyse, 355 Kontraktionsbedingung, 308, 322
Hausdorff’scher Trennungssatz, 96 Kontraposition, 23
Helix, 258, 270 Konvergenz, 34, 36, 84, 93, 98, 99, 104
hinreichende Bedingung, 7 absolute, 108, 114
für lokale Extremwerte, 212, 302, 304 eines uneigentlichen Integrals, 328
für Wendepunkte, 217 eines uneigentlichen Integrals, 325, 331
Hochpunkt, 187 gegen Unendlich, 122
Homomorphismus, 272 gleichmäßige, 285, 289
Homöomorphismus, 139 von uneigentlichen Integralen, 349
Hooke’sches Gesetz, 273 normale, 145, 162, 287
Horner-Schema, 72 punktweise, 143, 162, 284, 289
Hyperbel, 159 absolute, 143
Konvergenzintervall, 148
Identität, 51 Konvergenzkreis, 148, 162
Identitätssatz, 71 Konvergenzkriterium, 303
imaginäre Einheit, 64, 65 für Taylorreihen, 298
Imaginärteil, 65 Konvergenzradius, 148, 162, 164
Implikation, 5, 9 konvex, 214, 218, 222
Induktion, 14, 22, 23 strikt, 214, 222
induktive Menge, 13 Koordinaten, 39
Infimum, 30, 36 Kreis, 46, 63, 258, 262, 269
Inhomogenität, 282 Kreisscheibe, 64
injektiv, 49, 54, 273 Krümmung, 265, 270
innerer Punkt, 95, 99 orientierte, 265, 269
Integral Krümmungsformel, 267
bestimmtes, 170, 178 Kugel
elliptisches, 263 abgeschlossene, 64
unbestimmtes, 234 offene, 63, 68
uneigentliches, 325–327, 331 Kurve, 259
vektorwertiges, 235 glatte, 260, 268
integrierbar, 170, 178 Kurvendiskussion, 217
absolut uneigentlich, 328, 332
uneigentlich, 325 L’Hospital
Interpolationsformeln, 314, 323 erste Regel von, 210
Intervall Regeln von, 222
abgeschlossenes, 29 zweite Regel von, 211
halboffenes, 29 Lagrange–Funktion, 345, 349
offenes, 29 Lagrange–Funktional, 345, 349
Inverses, 10 Lagrange–Polynom, 314
Isomorphismus, 272 Landau’sches Symbol, 297
Länge, 58
Kepler’sche Fassregel, 316, 323 eines Weges, 260, 268
Kern, 272 leere Menge, 5424 Stichwortverzeichnis
Leibniz’sche Formel, 344, 349 Nenner, 7
Leibniz-Kriterium, 106 Newton’sches Gesetz, 273
Lemma von Riemann-Lebesgue, 355 Newton–Verfahren, 309–311, 322
Limes, 84, 119 nichtlineare Gleichung, 322
Limes inferior, 100 Niveaulinie, 63
Limes superior, 100 Norm, 58, 67
linear, 130 Normalbereich, 344, 349
linear unabhängig, 272 Normaleneinheitsvektor, 265, 269
linearer Operator, 272, 274 notwendige Bedingung, 7
Linearfaktor, 70 für Extremwerte, 196
Linearität der Ableitung, 190, 198 für Wendepunkte, 217
Linkskrümmung, 213 Null, 9
logarithmische Ableitung, 195 Nullfolge, 34, 36
Logarithmus, 47, 299, 304 Nullpolynom, 70
Ableitung des, 195, 199 Nullstelle, 43, 71, 127, 217
geometrischer, 175, 179 Nullvektor, 57
natürlicher, 152, 163
Wachstum des, 212 Oberintegral, 170, 178
zur Basis a, 154, 163 Obersumme, 169, 178
lokale Eigenschaft, 125 offen, 96, 99
Lösung Ordnung
einer Differentialgleichung, 275 einer Nullstelle, 73
einer Polstelle, 77
Majorante, 108, 113, 329 orientierungstreu, 259, 268
Majorantenkriterium, 108 orientierungsumkehrend, 259
für uneigentliche Integrale, 329, 332 orthogonal, 59, 68
für uneigentliche Parameterintegrale, 350 orthogonale Projektion, 60, 68
Maximum
isoliertes, 196 Paar, 39, 53
lokales, 196, 222 Parabel, 43
von stetigen Funktionen, 135, 138 Parameterintegral
Menge, 2 differenzierbares, 340, 348
abgeschlossene, 97, 99 stetiges, 336, 348
beschränkte, 94 uneigentliches, 349
offene, 96, 99 differenzierbares, 351
Minimum stetiges, 351
isoliertes, 196 Parametertransformation, 192, 259, 268
lokales, 196, 222 Parametrisierung
von stetigen Funktionen, 135, 138 ausgezeichnete, 263, 269
Minorante, 108, 113 nach der Bogenlänge, 263
Mittelwert, 241 Partialbruchzerlegung, 77, 254
Mittelwertsatz Partialsumme, 104, 113
der Integralrechnung, 174, 178 partiell differenzierbar, 337
erster, 203, 221 stetig, 338
schwacher, 339 partielle Ableitung, 348
zweiter, 209, 221, 296 partielle Integration, 242, 253
monoton, 52 partikuläre Lösung, 280, 282
fallend, 45 Permutation, 47
wachsend, 45 π, 46, 157, 233
Pizza, 12
n-Tupel, 40, 53 Polarkoordinaten, 67, 271
Negation, 9 Polstelle, 77
Negatives, 9 Polygonzug, 260Stichwortverzeichnis 425
Polynom, 70, 80 von Euklid, 24
charakteristisches, 274, 275, 282 von Fubini, 342, 348
trigonometrisches, 352 von Heine–Borel, 134, 138
positiv, 10 von Rolle, 202
Potenzmenge, 18 Scheitel, 43
Potenzreihe, 147, 162 Schnittmenge, 3, 9, 13
Differenzierbarkeit einer, 293 Schranke
mit Lücken, 164 obere, 30, 36
Prämisse, 5 untere, 30, 36
Primzahl, 24, 36 Schrankensatz, 223
Produkt Sekante, 184
von Funktionen, 47, 132 Simpson’sche Regel, 321, 324
Produktintegration, 242, 253 Sinus, 46, 154, 163, 298, 304
Produktmenge, 39, 53 Ableitung des, 189, 199
Produktregel, 187, 190, 191, 198, 204 hyperbolicus, 159
Produktsatz, 111, 116 Skalarmultiplikation, 57
Produktzeichen, 16 Skalarprodukt, 58, 67
Projektion, 130 Sphäre, 64, 68
proportional, 41 Spirale
Punkt, 57 archimedische, 271
Punktfolge, 93 logarithmische, 271
Punktraum, 41 Sprunghöhe, 125
Sprungstelle, 125, 137
quadratische Ergänzung, 6, 43 Spur eines Weges, 63, 257
Quotientenformel Stammfunktion, 226, 227, 229, 230, 234, 236
für den Konvergenzradius, 149 von ln x, 244
Quotientenkriterium, 109, 113, 114 Standard-Abschätzung, 175, 179
Quotientenregel, 187, 191, 198
Startbedingung, 308, 322
Randpunkt, 95, 99 Steigung, 43
Raumkurve, 269 Steigungswinkel, 184
Realteil, 65 stetig, 123, 129, 137, 139
Rechtskrümmung, 214 gleichmäßig, 260
Reihe, 104, 113 stetig ergänzbar, 124
alternierende, 106, 114 Stetigkeitskriterium, 145
geometrische, 105, 114, 299 Strecke, 62, 262
harmonische, 105, 114 strikt konkav, 214
alternierende, 106 stückweise stetig, 173
von Funktionen, 143 stückweise glatt, 232
rektifizierbar, 260, 268 Subniveaumenge, 63
Restglied, 295, 303 Substitutionsregel, 245, 253
Lagrange’sche Form des, 296 Summe
RGB-System, 40 von Funktionen, 47, 132
Riemann’sche Summe, 171, 178, 235 Summenzeichen, 16, 22
R+ , 51 Supremum, 30, 36
Supremums-Norm, 144, 162
Satz surjektiv, 49, 54, 272
des Pythagoras, 60
von Archimedes, 31, 36 Takagi–Funktion, 290
von Bolzano–Weierstraß, 91 Tangens, 158, 163
von Bolzano-Weierstraß, 94, 99 Ableitung des, 191
von Cauchy, 208 Tangente, 184
von Darboux, 223 Tangenteneinheitsvektor, 264, 269
von der monotonen Konvergenz, 88, 99 Tangentenvektor, 186426 Stichwortverzeichnis
Taylorentwicklung, 296, 303 kleinstes gemeinsames, 4
Taylorpolynom, 295, 303 Vielfachheit, 73
Taylorreihe, 293, 303 Vollständigkeitsaxiom, 31, 36
Teiler, 3
größter gemeinsamer, 4, 24 Wahrheitstafel, 3
Teilermenge, 3 Weg
Teilfolge, 92 geschlossener, 257
Teilmenge, 6, 9 parametrisierter, 63, 257
Teleskopsumme, 20 regulärer, 257, 268
Tiefpunkt, 187 Weierstraß–Kriterium, 146, 162
transitiv, 11 Wendepunkt, 216, 218
Trapezregel, 319 Wertebereich, 41
allgemeine, 324 Wessel, Caspar, 65
spezielle, 316, 323 Widerspruchsbeweis, 23
Treppenfunktion, 232 Winkel, 61, 68
Triangulierung, 168 Wohlordnungsprinzip, 26
Tripel, 40, 53 Wurzel, 32, 33
Wurzelkriterium, 113, 114
Umgebung, 93
Zahlen
Umkehrabbildung, 51
ganze, 2
Umkehrfunktion, 54
irrationale, 8
Ableitung der, 199
komplexe, 65, 68
Umordnungssatz, 115
natürliche, 1, 13
Unbestimmtheitsstelle, 76
rationale, 8, 37
Unendlich, 29
reelle, 8
Ungleichung
Zahlenfolge, 34
Bernoulli’sche, 15, 22, 35, 90
Zahlengerade, 29
Schwarz’sche, 60, 68
Zähler, 7
Unstetigkeitsstelle, 124
Zenon von Elea, 103
Unterintegral, 170, 178
Zerlegung, 168, 177, 260
Untersumme, 169, 178
Zickzackfunktion, 44
Urbild, 49
Zwischenwertsatz, 126, 138
Ursprung, 57
Zykloide, 258, 262
Variationsrechnung, 345
Vektor, 56
Vektoraddition, 57
Vektorraum, 57
Vereinigungsmenge, 3, 9, 14
Verfeinerung, 169, 177
Vergleichssatz
für Integrale und Reihen, 331, 332
Verkettung, 48, 54
Verknüpfung, 48, 54
von Abbildungen, 48
Verneinung, 2, 9
Vertauschbarkeit
von Integral und Ableitung, 348
von Integrationen, 348
von Limes und Ableitung, 288–290
von Limes und Integral, 287, 288, 290
von Limes und Stetigkeit, 285
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