II. Einführung in die Physik der 4 Maxwell-Gesetze - Maxwell-Gesetz, Amperesches Gesetz, Magnetfelder, Faradaysches Gesetz

II. Einführung in die Physik
                     der 4 Maxwell-Gesetze
Max Camenzind – Akademie für Ältere – Heidelberg 2020
2. Maxwell-Gesetz, Amperesches Gesetz,
Magnetfelder, Faradaysches Gesetz

Grundgrößen der Maxwell-Theorie
sind elektrische & magnetische Felder

 Jedem Ort im euklidischen Raum
wird ein elektrisches & magnetisches
           Feld zugeordnet

Elektrische
   Kraft
    auf
  Probe-
  ladung

Elektrischer Fluss durch Fläche A

Die 4 Maxwell-Gesetze
• M1: Der Fluss des elektrischen Feldes durch
  eine geschlossene Fläche ist gleich der
  eingeschlossenen Ladung.
• M2: Es gibt keine magnetischen Monopole.
• M3 (Faraday): Ein zeitlich veränderlicher
  magnetischer Fluss erzeugt ein elektrisches
  Wirbelfeld.
• M4 (Ampere): Elektrische Ströme und zeitlich
  veränderliche elektrische Flüsse erzeugen
  Magnetfelder.

Die 4 Maxwell-Gleichungen

Vektorfelder

Geschwindigkeitsfelder
    Vektorfelder

Vektorfelder sind dreidimensional

Vektorfelder als Strömungsfelder

Elektrisches Feld einer Ladung Q

= Kraft auf Probeladung q an (x,y,z)

Vektorprodukt zweier Vektoren

Rechenregel Vektorprodukt

Lorentzkraft auf bewegte Ladungen
       wirkt immer senkrecht auf
die Bewegungsrichtung und Magnetfeld B

Lorentz-Kraft  Gyrationsbewegung
    der Ladungen im Magnetfeld

Zwei Theoreme für Vektorfelder
                                                           Wegen Gegenverkehrs
                                                           heben sich die Wege auf.

Johann Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855)

                                           Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903)
                                           Irischer Mathematiker & Physiker

Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene
Fläche A ist gleich der eingeschlossenen Quelle.

 Rechte Seite

Beliebig geschlossene
Fläche ohne Löcher

 Skalarprodukt

Zerlegung des Vektorfeldes
in parallele und senkrechte Komponente

Skalarprodukt = 0, wenn Vektoren
  senkrecht aufeinander stehen

 Nur parallele Komponente trägt bei

 Summation über alle Flächenelemente

 Flächenintegral des Vektorfeldes

 Fluss eines Vektorfeldes

Linke Seite – rechte Seite

Divergenz eines Vektorfeldes
= Skalarprodukt zwischen Nabla & F

Rechenregel Divergenz

Quelle  positive Divergenz
      positiver Fluss

Senke  negative Divergenz
     negativer Fluss

Was bedeutet Divergenz = 0 ?
  verschwindender Fluss

 Volumenintegral
= Summe über kleine Volumina

Der Gaußsche Integralsatz

             =

Der Satz von Stokes
 Ein Flächenintegral über die Rotation eines
   Vektorfeldes kann in ein geschlossenes
Kurvenintegral über die zur Kurve tangentiale
Komponente des Vektorfeldes umgewandelt

Rechte Seite  Linienintegral

Rolle des Skalarproduktes
 Projektion des Vektorfeldes

 Linienintegral oder Zirkulation
= Summe über alle Linienelemente

= Elektrische Spannung U
    entlang der Linie L

Magnetische Spannung
 entlang der Linie L

Elektrische Spannung proportional
zur Energie eines geladenen Teilchens

Linke Seite  Integral über von L
     eingeschlossene Fläche

Flächenelement da

Rotation eines Vektorfeldes F

Bedeutung Rotation eines VFeldes

             Uhrzeigersinn

                             Gegenuhrzeigersinn

Rechenregel der
Rotation eines Vektorfeldes

Beispiel: Rotation eines Vektorfelds

Rotation eines Vektorfelds
= Stärke der Rotation des Vektorfeldes

Inhalt des Stokes-Theorems

 Anschaulich klar …. ?

1. Maxwell-Gesetz: Gesamtfluss
des elektrischen Feldes  Gesamtladung

Mit Ladungsdichte r
 Differentielle Form Maxwell 1

Positive Ladung = Quelle des E-Feldes

Positive + negative Ladungen
 heben sich gegenseitig auf

2. Maxwell-Gesetz
Der Fluss des magnetischen Feldes B
verschwindet für alle geschlossenen
              Flächen

Maxwell 2: Gesamter magnetischer Fluss
  durch eine geschlossene Fläche = 0

… mit Gauß

 Es gibt keine magnetische Ladung
 keine magnetischen Monopole !

… oder genau soviele positive wie
       negative Ladungen

 Es existieren nur magnetische Dipole

Drittes Maxwell-Gesetz -
Induktion nach Faraday

Ein zeitlich veränderlicher magnetischer
Fluss erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.

Linke Seite  Linienintegral

Rechte Seite  zeitliche
Veränderung magnetischer Fluss

Veränderung im magnetischen Fluss
 erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld

Vorsicht: minus-Zeichen!

Maxwell 3: Induktionsgesetz

Spezialfall: konst. magnetischer Fluss
  so entstehen keine elektrischen
              Wirbelfelder

                      rot E = 0

 E = grad F

… mit Stokes-Integral

… für beliebige Flächen

 3. Maxwell-Gleichung:
Induktionsgesetz differentiell

Induktion in einer Spule
Wenn sich in einer Leiterschleife (Spule) der
magnetische Fluss ändert, wird eine Spannung
induziert.
Magnetische und elektrische Phänomene sind
miteinander verknüpft !!!

Prinzip eines Generators
Ein elektrischer Generator ist eine elektrische
Maschine, die Bewegungsenergie oder mechanische
Energie in elektrische Energie wandelt.

Viertes Maxwell-Gesetz
     Elektrische Ströme und zeitlich
veränderliche elektrische Flüsse erzeugen
       magnetische Wirbelfelder.

Diese zwei Terme            Dieser Quellterm wurde
stellen das ursprüngliche   von Maxwell hinzugefügt
Ampere-Gesetz dar            Begründung in III.

Eisenfeil-
späne im
 Magnet-
feld eines
 geraden
  Leiters
 ------------
 ØRSTED-
  Versuch

Aufbau ØRSTED-Versuch 1820

Die Fließrichtung der
Leitungselektronen ist
entgegen der
technischen
Stromrichtung. Um aus
dieser Richtung auf die
Magnetfeldrichtung
schließen zu können,
verwendet man
entsprechend die "Linke-
Faust-Regel": Wenn der
abgespreizte Daumen
der linken Hand in die
Fließrichtung der
Leitungselektronen zeigt,
so gibt die Richtung der
anderen Finger die
Richtung des
Magnetfeldes an.

Magnetische
Feldkonstante µ0

   s. Wellengleichung

M4: Magnetische Spannung wird durch
 Ströme und sich zeitlich ändernde
     elektrische Flüsse erzeugt

… mit Stokes-Integraltheorem

… und der Stromdichte j = I/A

… jedoch nur paralleler Anteil
      der Stromdichte

… für beliebige Flächen A

 Maxwell 4 differentiell - Ampere

Stromschleife
 magnetischer Dipol

Magnetfeld einer Spule
In einer Spule (hintereinander geschaltete Stromschleifen)
verstärkt sich das Magnetfeld. Das Feld der Spule
entsteht durch Überlagerung der Dipolfelder.

Magnetisches Dipolfeld
      der Erde

Magnetfeld Jupiter mit Juno-Sonde

Magnetisches Quadrupolfeld
    mit Stromkreisen

Die vier Maxwell-Gleichungen