Im Reich der Zahlen II - Goldener Schnitt - PD Dr.rer.nat.habil. Werner Neundorf - TU Ilmenau
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KINDERUNI JUGENDUNI 2019 1 Im Reich der Zahlen II - Goldener Schnitt PD Dr.rer.nat.habil. Werner Neundorf
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 2
Im Reich der Zahlen II - Themen
Wie kann ich mit Mathematik die Welt verzaubern?
ODER
Zauberwelt Mathematik
ODER
Die Mathematische Zauberkiste
Anwendungen aus vielen Gebieten
~ 110 Aufgaben, Beispiele, Experimente, Tricks, Modelle mit Lösungen
~ 2000 Abbildungen
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 3
Im Reich der Zahlen II
Glückszahlen Zahlenwürfel
Kleine und große Zahlen
Binomialkoeffizienten
Pythagoreische Zahlentripel
Gotteszahl
Kalenderzahl 13
Goldener Schnitt - Zahl
Astronomische Einheit
Fröhliche und traurige Zahlen
Coole Zahlen
Kusszahlen
Primzahlen, Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 4
Im Reich der Zahlen II
Glückszahlen
Das Phänomen der Glückszahlen kennt keine Grenzen.
Welche Zahlen aber Glück bringen, ist regional meist
unterschiedlich.
Welche Zahl hat für Dich eine besondere Bedeutung?
Berechnung der persönlichen Glückszahl nach alten oder neuen
Regeln.
In der jüdischen Tradition ist die 13 eine Glückszahl und ein
Symbol Gottes, weil sie über der Zwölf steht.
7 ist eine Glückszahl, aber nicht in manchen asiatischen
Ländern. Agent 007 James Bond und die Firma Boeing setzen
auf sie. Die Zahl begegnet uns in der 7-stufigen Tonleiter oder
in den sieben Farben des Regenbogens. Ganz zu schweigen
von den zahlreichen Märchen und Legenden. Man kennt die
sieben Weltwunder, die sieben Tage einer Woche, und die
Erschaffung der Welt in sieben Tagen.
Die Erklärung für die relative Häufigkeit der 7 beim Werfen
zweier Würfel ist die jeweilige Anzahl der Darstellungs-
möglichkeiten. So kann die Sieben mit den 6 verschiedenen
Kombinationen 1/6, 6/1, 2/5, 5/2, 3/4 und 4/3 dargestellt werden,
während die Zwei nur mit der Kombination 1/1 und die Zwölf
nur mit der Kombination 6/6 darstellbar ist.
Was ist Deine Glückszahl?
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 5
Im Reich der Zahlen II
Der Pentominokalender
Monatskalender
mit 31 Tagen
Er kann durch genau 6 der 7 Figuren
so überdeckt, werden
so dass ein ausgewählter Tag frei bleibt.
Gibt es mehrere Lösungen?
Wie sieht Dein Pentominokalender aus?
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 6
Im Reich der Zahlen II
Fröhliche Zahlen
Die 13 ist eine fröhliche Zahl.
Man quadriert die einzelnen Ziffern der natürlichen Zahl
und addiert sie anschließend. Mit dem Ergebnis wird
genauso verfahren, immer wieder und wieder. Wird dabei
das Ergebnis 1, wird die anfängliche Zahl als fröhliche
bezeichnet, sonst als traurige.
Also
13 -> 1²+3² = 10 -> 1²+0² = 1
Die 25 ist keine fröhliche Zahl, also eine traurige Zahl.
Ebenso die Nachbarn 24 und 26. Die Rechnung dazu ist
25 -> 2²+5²=29 -> 2²+9²=85 -> 8²+5²=89 -> 8²+9²=145
145 -> 1²+4²+5²=42 -> 4²+2²=20 -> 2²+0²=4 -> 4²=16
16 -> 1²+6²=37 -> 3²+7²=58 -> 5²+8²=89
Bei der Zahl 25 ergibt sich eine Periode, verbunden mit
der Zahl 89.
Somit ist die 25 traurig.
In der Nachbarschaft ist z.B. die 23 fröhlich.
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 7
Im Reich der Zahlen II
Primzahlen und glückliche Zahlen
Um die Bestimmung von glücklichen Zahlen zu illustrieren, betrachten wir zunächst das Sieb des Eratosthenes (276-194 v. Chr.)
zur Ermittlung der Primzahlen.
Ausgangspunkt ist die Folge der natürlichen Zahlen 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,...
2, alle Vielfachen von 2 rechts davon werden aus der Folge gestrichen. 2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,...
Man nimmt den rechten Nachbarn von 2, das ist die 3.
3, alle Vielfachen von 3 rechts davon werden aus der Restfolge gestrichen. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,41,43,47,49,53,55,59,61,65,...
Man nimmt den rechten Nachbarn von 3, das ist die 5.
5, alle Vielfachen von 5 rechts davon werden aus der Restfolge gestrichen. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,49,53,59,61,67,71,73,77,...
Man nimmt den rechten Nachbarn von 5, das ist die 7.
7, alle Vielfachen von 7 rechts davon werden aus der Restfolge gestrichen. . 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,...
Usw., es bleiben die unendlich vielen Primzahlen übrig. Die ersten sind 2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
Nun zu den glücklichen Zahlen. Sie haben das Glück, bei einem etwas anderen Sieb der Zahlen nicht gestrichen zu werden.
Dazu gibt es folgende Legende, die sich im Jahr 67 nach Christus zugetragen haben soll. Beim Kampf um die galiläische Stadt Jotapata hielten
sich Soldaten in einer Höhle vor den Römern versteckt. Das Versteck wurde verraten. Die Soldaten wollten nicht in die Hände der Feinde fallen
und sich lieber vorher selbst töten. Ein Soldat überzeugte die Gruppe, ein Abzählsystem, ähnlich dem Sieb des Eratosthenes, zu verwenden,
denn er möchte sich und seinen Freund retten. Die Gruppe stellt sich in einer Reihe auf, dann tötet sich jeder zweite, in der nächsten Runde
jeder dritte - von den Übriggebliebenen, dann jeder siebente - wieder von den Übriggebliebenen – usw. Durch das richtige Aufstellen konnten
sich der Mann und sein Freund retten. Sie standen an den glücklichen Positionen und überlebten, wenn auch in Gefangenschaft der Römer.
Schauen wir etwas genauer auf den Abzählalgorithmus.
Wir nehmen die Folge der natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... Die 1 ist definitionsgemäß glücklich.
Die Folge wird nun schrittweise verändert. Zuerst wird jede zweite Zahl gestrichen. Somit werden genau die geraden
Zahlen entfernt: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,...
Die Zahl 3 ist nun die zweite nichtgestrichene Zahl. Jetzt wird jede 3. noch stehende Zahl aus der Restfolge entfernt.
1,3,7,9,13,15,19,21,25,27,31,33,37,39,43,45,... Die nächste nichtgestrichene Zahl ist dann die 7. Jetzt wird jede 7. noch
stehende Zahl aus der Restfolge entfernt. 1,3,7,9,13,15,21,25,27,31,33,37,43,45,...
Anschließend wird jede 9., 13., 15., ... Zahl gestrichen. Wenn man so weiter macht, ergibt sich die Folge der glücklichen
Zahlen als all die Zahlen, die nie gestrichen werden: 1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79,87,93,99,...
So sind z.B. 7, 13, 25 glückliche Zahlen.
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 8
Im Reich der Zahlen II
1=0?
8*8=64
13*4=52
Dreieck = 26
3+6+10+7 = 26
5*13=65
3+6+10+7 = 26-1
26 = 25
1=0
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 9
Im Reich der Zahlen II
Die astronomische Einheit
Das Schach-Spiel ist eines der ältesten
Brettspiele. Wahrscheinlich ist es in
Indien entstanden und kam von dort nach
Persien und verbreitete sich dann im
ganzen arabischen Raum. Heute spielen
Menschen auf der ganzen Welt Schach.
Viele sagen: Es ist das spannendste und
vielseitigste Spiel, das es gibt. Der Name
„Schach” kommt von dem persischen
Wort „Schah” und bedeutet: König.
Auf dem letzten (64.) Feld liegen dann
L = 9.223. 372.036.854.775.808 Körner,
und auf allen Feldern zusammen
S = 18.446.744.073.709.551.615 Körner.
Das sind rund 18 Trillionen. Eine
unvorstellbar hohe Zahl!
Transport der 18 Trillionen
Reiskörner durch eine Schlange
von LKWs (1 LKW, 10t, 10m)
Länge der LKW-Schlange
= 300 Millionen km = 2 AE
(1AE = Entfernung Erde-Sonne)
KINDERUNI JUGENDUNI 2019 10
Im Reich der Zahlen II
Bausteine, Packungsdichte und Zahlen
Aus wieviel Bausteinen bestehen die Figuren?
1. Die Antwort auf die ersten drei Bauwerke sollte kein Problem darstellen.
2. Jeder kennt die dichteste Kugelpackung aus dem Supermarkt: Wenn Orangen zu großen Pyramiden gestapelt werden, geschieht das
intuitiv genau wie von Kepler vorgeschlagen. In der ersten Lage bilden drei einander berührende Orangen regelmäßige Dreiecke.
Die Orangen der nächsten Schicht werden in die Lücken der Schicht darunter gelegt. Das ist die dichteste Packung (Beweis 1998).
Diese Schichtung füllt den Raum zu 74,5 %. Eine Orangenpyramide besteht deshalb zu knapp drei Vierteln aus Orangen und zu etwas
mehr als einem Viertel aus Luft. Wieviel Kugeln befinden sich nun in der Pyramide?
Wenn eine untere Kante m Kugeln enthält, sind es insgesamt s = m(m+1)(m+2)/6, hier also m = 4, s = 20.
3. Der klassische Rubik-Würfel (1974) stand im Mittelpunkt der Sendung "Wer wird Millionär?" am 8.12.2015 .
Es war die Millionenfrage: "Aus insgesamt wie vielen Steinchen besteht der klassische von Ernö Rubik erfundene Zauberwürfel?
Die 4 Antwortvorschläge waren A: 22; B: 24; C: 26; D: 28
Der Kandidat ist nach anfänglich falscher Vorstellung vom Würfel, langen Überlegungen und reger Diskussion mit dem Moderator
zur richtigen Antwort 26 gelangt. Hier sind Zweifel angesagt, denn das Drehkreuz in der Würfelmitte könnte man auch als Baustein
betrachten. Aber die Zahl 3*3*3=27 war nicht im Antwortspektrum.
Zum Rubik-Würfel und seine vielen Modifikationen gibt es inzwischen Meisterschaften und Rekorde.
Hier taucht die sogenannte Gotteszahl auf. Sie ist die Antwort auf die folgende Frage: Wieviel Drehungen
sind höchstens notwendig, um eine beliebige Stellung auf die Ausgangsform zurückzuführen?
Gotteszahl = 20KINDERUNI JUGENDUNI 2019 11
Im Reich der Zahlen II
Multiplikation großer Zahlen – mal auf Japanisch, Chinesisch oder ...
Die übliche schriftliche Multiplikation. Es reicht eigentlich das kleine Einmaleins.
Gibt es dafür eine einfachere Darstellung?KINDERUNI JUGENDUNI 2019 12
Im Reich der Zahlen II
Jetzt auf Japanisch, Chinesisch oder …KINDERUNI JUGENDUNI 2019 13
Im Reich der Zahlen II
Einfache Multiplikation von zwei ganzen großen Zahlen
Zwei n-stellige große natürliche Zahlen sollen miteinander multipliziert werden.
Wir zeigen zunächst ein kleines Beispiel mit dreistelligen Faktoren: 997 * 888 = 885336
997 = 1000-3, 888 = 1000-112
------------------------------------------
997 3
+888 *112
---------------
1 | 885 336
885 336 -> 885336
Die Schritte sind gut erkennbar. Was braucht man also nur zu können: Addition von zwei großen Zahlen und
Multiplikation von zwei kleineren Zahlen. Ist die Stelligkeit verschieden, wird die der kleineren Zahl entsprechend
erhöht durch Anfügen von Nullen. Zum Schluss ist das Ergebnis noch zu korrigieren durch Streichen von diesen
Nullen (Division durch einer Zehnerpotenz): 8950 * 989 = 8851550
8950 = 10000-1050, 9890 = 10000-110, 0 dazu
-------------------------------------------------------
8950 1050
+9890 * 110
--------------------
1 | 8840 11|5500
+11 (Übertrag)
8851 5500 -> 88515500 -> 8851550, 0 weg
Was ist der mathematische Hintergrund?KINDERUNI JUGENDUNI 2019 14
Im Reich der Zahlen II
Das Pascalsche Dreieck: Addition statt Multiplikation
Der Binomischer Lehrsatz, der die ganzzahlige Potenz einer zweigliedrigen Summe (Binom) in eine Summe
verwandelt, ist der Ausgangspunkt für die Binomialkoeffizienten C(n,k)= (n über k).
Ein einfacher Fall ist die binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b².
Eine andere Formel geht auf Leonhard Euler (1707-1783)
zurück. Sie wurde jedoch in anderen Zusammenhang gefunden.
Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus
einer Menge von n verschiedenen Objekten ohne Beachtung der
Reihenfolge und ohne Wiederholung (Zurücklegen) auswählen
kann. Dann spricht man von Kombinationen k-ter Ordnung.
Diese Anzahl ist z.B. beim Lottospiel von Interesse, wo es darum
geht, aus den ersten 49 Zahlen 6 Richtige zu finden. Die Anzahl
der Kombinationen beträgt 13983816.
Die Binomialkoeffizienten C(n,k) im Pascalschen Dreieck
lassen sich rekursiv berechnen. Jede Zahl ist die Summe der
beiden darüber liegenden Zahlen.
Addition statt Multiplikation
2^n = 2*2*...*2 = (1+1)^n = 1+n+n*(n-1)/(1*2)+ ....+n+1
2^4 = 2*2*2*2 = 16 = 1+4+6+4+1KINDERUNI JUGENDUNI 2019 15
Im Reich der Zahlen II
Goldener Schnitt - Zahl
Altes Rathaus Leipzig
d/a = y/x = gKINDERUNI JUGENDUNI 2019 16
Im Reich der Zahlen II
Goldener Schnitt – Zahl g = (1+sqrt(5))/2 = 1.618033…KINDERUNI JUGENDUNI 2019 17
Im Reich der Zahlen II
Zahl g
= (1+sqrt(5))/2
= 1.618033…
Zahl 1/g=g-1
=(-1+sqrt(5))/2
= 0.618033…KINDERUNI JUGENDUNI 2019 18
Im Reich der Zahlen IIKINDERUNI JUGENDUNI 2019 19
Im Reich der Zahlen IIKINDERUNI JUGENDUNI 2019 20
Im Reich der Zahlen IIKINDERUNI JUGENDUNI 2019 21
Im Reich der Zahlen IIKINDERUNI JUGENDUNI 2019 22
Im Reich der Zahlen IIKINDERUNI JUGENDUNI 2019 23
Im Reich der Zahlen IIKINDERUNI JUGENDUNI 2019 24
Im Reich der Zahlen IIKINDERUNI JUGENDUNI 2019 25
Im Reich der Zahlen II
Große Zahlen und Teilbarkeit
1. Man bestimme die größte natürliche Zahl bestehend aus verschiedenen Ziffern, die durch jede ihrer
Ziffern teilbar ist.
Auf jeden Fall sollte man die Teilbarkeitsregeln kennen. Wie kann man dabei systematisch vorgehen? Die größte
Zahl, die überhaupt in Frage kommt, wäre 9876543210.
Aber die Null scheidet natürlich aus. Mit Computerprogrammen könnte man alle Möglichkeiten von 987654321
bis 1 testen und dabei bei der ersten erfüllten Situation aufhören. Kennt man sich mit den Teilbarkeitsregeln gut
aus und geschickt im Kopfrechnen, bietet sich ein schneller Algorithmus an.
Zunächst haben wir von den zehn Ziffern die Null schon ausgeschlossen, weil die Division durch Null verboten ist.
Dann schaut man nach Ziffern, welche die Länge der Zahl stark vermindern würden.
Das ist auf jeden Fall die Ziffer 5, denn eine Teilbarkeit dadurch würde als letzte Ziffer der Zahl die 5 erfordern.
Damit wären die Teilbarkeit durch die vier Ziffern 2, 4, 8 und 6 zunichte gemacht. Also streicht man die 5.
Die Quersumme des Restes ist nun 40. Dadurch würde die Teilbarkeit durch 3, 6 und 9 verloren gehen. Die in der
Nähe liegende gute Quersumme ist die 36, nicht die 30, bei der dann die Ziffern 1 und 9 zu streichen wären. Die
Quersumme 36 garantiert somit die Teilbarkeit durch 3, 6 (zusätzlich Zahl gerade) und 9. Damit ist die 4 ein
schlechter Kandidat. Es bleiben also die sieben Ziffern 9,8,7,6,3,2,1.
Die Teilbarkeit durch 8 - damit auch durch 2 und 4 - erfordert die Ziffernfolge 9,8,7,6,3,1,2 und die letzten 3 Stellen
sind damit vergeben. Jetzt braucht man nur noch zwei Rechnungen von absteigenden Zahlen zu machen, also mit
der größten Zahl 9876312 und der nächst kleineren z=9867312.
Die erste erfüllt die Teilbarkeitsbedingung nicht, aber glücklicherweise ist schon z=9867312 durch jede ihrer
Ziffern teilbar und damit die gesuchte Lösung.
2. Man bestimme die größte natürliche Zahl bestehend aus verschiedenen Ziffern, die wenn man eine
beliebige ihrer Ziffern streicht, dann der Rest durch die Streichziffer teilbar ist. Die Lösung ist 9721368.KINDERUNI JUGENDUNI 2019 26
Im Reich der Zahlen II
Das Kusszahlproblem
Wabenmuster mit Sechsecken
Kugelpyramide mit
Packungsdichte (~75 %)
2016: 8D
summe(n) = n(n+1)(n+2)/6KINDERUNI JUGENDUNI 2019 27
Im Reich der Zahlen II
2D: 6
Kusszahlen
1D: 2
3D: 12
4D: 24KINDERUNI JUGENDUNI 2019 28
Im Reich der Zahlen II
Der Würfelturm
Spielwürfel und Rätsel
Man stellt einen Turm von n Würfeln (übereinander) auf
den Tisch. Man betrachtet den Turm von allen Seiten.
Kann man sofort sagen, wie groß die Summe aller
erkennbarer Augen am Turm ist? Welche Regel gibt es
beim Aufbau des Spielwürfels? Hilft das bei der Lösung?KINDERUNI JUGENDUNI 2019 29
Wie kann ich mit Mathematik die Welt verzaubern?
Ein Buch für die Ewigkeit
Die Mathematische Wie widerspiegelt sich unser Alltag thematisch im Buch?
Schule - Überall
Zauberkiste Ostern - Brezel, Ostereierdesign, Ostereierbaum
Überarbeitete und Weihnachten - Sterne basteln
Kaufhalle - Pyramiden aus Obst, Packungsdichte
erweiterte Ausgabe Haus - Dreieckspyramide und Mausefalle
Hof - Plattentransport, Turm von Hanoi
Unicopy Campus Edition Garten - Beetumrandung, Beetabdeckung, Wegebau, Blütenformen
Kinderzimmer - Chaos
Ilmenau Januar 2019 Herz - Tangram, Stickereiherz, Faltherz
Zeit - Pentomino-Kalender
664 Seiten, farbig Toilette - Chinesischer Glücksstern
29,22 € Strand
Jagd
- Rettungsschwimmerproblem
- Räuber-Beute-Modell mit Jäger, Fuchs, Hase und Gras
Hochzeit - Verschlungene Herzen
Feuerwehr - Aufstellen der Feuerwehrleiter
Fotograf - Fotorahmen
Polizei - Handschellen
Eiscafé - Eisbecher, Sektglas
Schiff - Horizont, Weitblick
Fußballplatz - Fußball, optimaler Schusswinkel
Auto - Felgendesign sowie Räder, die nicht rund sind
Schachbrett - Legende mit den Reiskörnern und astronomische Einheit
Würfel - Würfel basteln, Würfelturm
Einladung ins Belvedere zur Auszeichnung - Design von Medaillen
Rätsel, Spiele und Tricks und vieles mehr
In welchen Beispielen finden wir die 5 platonischen Körper?
Tetraeder - Mausefalle
Hexaeder - Würfel
Oktaeder - Oktand, Kreisel
Dodekaeder - Kusszahlproblem
Ikosaeder - FußballSie können auch lesen
