Im Reich der Zahlen II - Goldener Schnitt - PD Dr.rer.nat.habil. Werner Neundorf - TU Ilmenau

 
Im Reich der Zahlen II - Goldener Schnitt - PD Dr.rer.nat.habil. Werner Neundorf - TU Ilmenau
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  Im Reich der Zahlen II - Goldener Schnitt

  PD Dr.rer.nat.habil. Werner Neundorf
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               Im Reich der Zahlen II - Themen
                             Wie kann ich mit Mathematik die Welt verzaubern?
                                                           ODER
                                                Zauberwelt Mathematik
                                                           ODER
                                           Die Mathematische Zauberkiste
                             Anwendungen aus vielen Gebieten
                             ~ 110 Aufgaben, Beispiele, Experimente, Tricks, Modelle mit Lösungen
                             ~ 2000 Abbildungen
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                             Im Reich der Zahlen II

       Glückszahlen                          Zahlenwürfel
                           Kleine und große Zahlen
                                         Binomialkoeffizienten
   Pythagoreische Zahlentripel
                                             Gotteszahl
        Kalenderzahl                13
 Goldener Schnitt - Zahl
                                          Astronomische Einheit

                     Fröhliche und traurige Zahlen
                                         Coole Zahlen
    Kusszahlen
       Primzahlen, Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge
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                       Glückszahlen
Das Phänomen der Glückszahlen kennt keine Grenzen.
Welche Zahlen aber Glück bringen, ist regional meist
unterschiedlich.

Welche Zahl hat für Dich eine besondere Bedeutung?
Berechnung der persönlichen Glückszahl nach alten oder neuen
Regeln.

In der jüdischen Tradition ist die 13 eine Glückszahl und ein
Symbol Gottes, weil sie über der Zwölf steht.

7 ist eine Glückszahl, aber nicht in manchen asiatischen
Ländern. Agent 007 James Bond und die Firma Boeing setzen
auf sie. Die Zahl begegnet uns in der 7-stufigen Tonleiter oder
in den sieben Farben des Regenbogens. Ganz zu schweigen
von den zahlreichen Märchen und Legenden. Man kennt die
sieben Weltwunder, die sieben Tage einer Woche, und die
Erschaffung der Welt in sieben Tagen.

Die Erklärung für die relative Häufigkeit der 7 beim Werfen
zweier Würfel ist die jeweilige Anzahl der Darstellungs-
möglichkeiten. So kann die Sieben mit den 6 verschiedenen
Kombinationen 1/6, 6/1, 2/5, 5/2, 3/4 und 4/3 dargestellt werden,
während die Zwei nur mit der Kombination 1/1 und die Zwölf
nur mit der Kombination 6/6 darstellbar ist.

                                     Was ist Deine Glückszahl?
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                                   Der Pentominokalender

                                         Monatskalender
                                              mit 31 Tagen

  Er kann durch genau 6 der 7 Figuren
  so überdeckt, werden
  so dass ein ausgewählter Tag frei bleibt.
  Gibt es mehrere Lösungen?

                              Wie sieht Dein Pentominokalender aus?
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                    Fröhliche Zahlen
    Die 13 ist eine fröhliche Zahl.

    Man quadriert die einzelnen Ziffern der natürlichen Zahl
    und addiert sie anschließend. Mit dem Ergebnis wird
    genauso verfahren, immer wieder und wieder. Wird dabei
    das Ergebnis 1, wird die anfängliche Zahl als fröhliche
    bezeichnet, sonst als traurige.

    Also
    13 -> 1²+3² = 10 -> 1²+0² = 1

    Die 25 ist keine fröhliche Zahl, also eine traurige Zahl.
    Ebenso die Nachbarn 24 und 26. Die Rechnung dazu ist

     25 -> 2²+5²=29      -> 2²+9²=85 -> 8²+5²=89 -> 8²+9²=145
     145 -> 1²+4²+5²=42 -> 4²+2²=20 -> 2²+0²=4 -> 4²=16
     16 -> 1²+6²=37      -> 3²+7²=58 -> 5²+8²=89

    Bei der Zahl 25 ergibt sich eine Periode, verbunden mit
    der Zahl 89.
    Somit ist die 25 traurig.

    In der Nachbarschaft ist z.B. die 23 fröhlich.
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                                      Primzahlen und glückliche Zahlen
Um die Bestimmung von glücklichen Zahlen zu illustrieren, betrachten wir zunächst das Sieb des Eratosthenes (276-194 v. Chr.)
zur Ermittlung der Primzahlen.
Ausgangspunkt ist die Folge der natürlichen Zahlen                         2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,...
2, alle Vielfachen von 2 rechts davon werden aus der Folge gestrichen.      2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,...
Man nimmt den rechten Nachbarn von 2, das ist die 3.
3, alle Vielfachen von 3 rechts davon werden aus der Restfolge gestrichen. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,41,43,47,49,53,55,59,61,65,...
Man nimmt den rechten Nachbarn von 3, das ist die 5.
5, alle Vielfachen von 5 rechts davon werden aus der Restfolge gestrichen. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,49,53,59,61,67,71,73,77,...
Man nimmt den rechten Nachbarn von 5, das ist die 7.
7, alle Vielfachen von 7 rechts davon werden aus der Restfolge gestrichen. . 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,...
Usw., es bleiben die unendlich vielen Primzahlen übrig. Die ersten sind 2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
Nun zu den glücklichen Zahlen. Sie haben das Glück, bei einem etwas anderen Sieb der Zahlen nicht gestrichen zu werden.
Dazu gibt es folgende Legende, die sich im Jahr 67 nach Christus zugetragen haben soll. Beim Kampf um die galiläische Stadt Jotapata hielten
sich Soldaten in einer Höhle vor den Römern versteckt. Das Versteck wurde verraten. Die Soldaten wollten nicht in die Hände der Feinde fallen
und sich lieber vorher selbst töten. Ein Soldat überzeugte die Gruppe, ein Abzählsystem, ähnlich dem Sieb des Eratosthenes, zu verwenden,
denn er möchte sich und seinen Freund retten. Die Gruppe stellt sich in einer Reihe auf, dann tötet sich jeder zweite, in der nächsten Runde
jeder dritte - von den Übriggebliebenen, dann jeder siebente - wieder von den Übriggebliebenen – usw. Durch das richtige Aufstellen konnten
sich der Mann und sein Freund retten. Sie standen an den glücklichen Positionen und überlebten, wenn auch in Gefangenschaft der Römer.

Schauen wir etwas genauer auf den Abzählalgorithmus.
Wir nehmen die Folge der natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... Die 1 ist definitionsgemäß glücklich.
Die Folge wird nun schrittweise verändert. Zuerst wird jede zweite Zahl gestrichen. Somit werden genau die geraden
Zahlen entfernt: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,...
Die Zahl 3 ist nun die zweite nichtgestrichene Zahl. Jetzt wird jede 3. noch stehende Zahl aus der Restfolge entfernt.
1,3,7,9,13,15,19,21,25,27,31,33,37,39,43,45,... Die nächste nichtgestrichene Zahl ist dann die 7. Jetzt wird jede 7. noch
stehende Zahl aus der Restfolge entfernt. 1,3,7,9,13,15,21,25,27,31,33,37,43,45,...
Anschließend wird jede 9., 13., 15., ... Zahl gestrichen. Wenn man so weiter macht, ergibt sich die Folge der glücklichen
Zahlen als all die Zahlen, die nie gestrichen werden: 1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,51,63,67,69,73,75,79,87,93,99,...

                                                                           So sind z.B. 7, 13, 25 glückliche Zahlen.
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                           Im Reich der Zahlen II

                                 1=0?
                      8*8=64
                                     13*4=52
                                     Dreieck = 26

                                  3+6+10+7 = 26

                       5*13=65

                                 3+6+10+7 = 26-1
                                       26 = 25
                                        1=0
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                            Im Reich der Zahlen II
                           Die astronomische Einheit
                                                 Das Schach-Spiel ist eines der ältesten
                                                 Brettspiele. Wahrscheinlich ist es in
                                                 Indien entstanden und kam von dort nach
                                                 Persien und verbreitete sich dann im
                                                 ganzen arabischen Raum. Heute spielen
                                                 Menschen auf der ganzen Welt Schach.
                                                 Viele sagen: Es ist das spannendste und
                                                 vielseitigste Spiel, das es gibt. Der Name
                                                 „Schach” kommt von dem persischen
                                                 Wort „Schah” und bedeutet: König.
                                                 Auf dem letzten (64.) Feld liegen dann
                                                 L = 9.223. 372.036.854.775.808 Körner,
                                                 und auf allen Feldern zusammen
                                                 S = 18.446.744.073.709.551.615 Körner.
                                                 Das sind rund 18 Trillionen. Eine
                                                 unvorstellbar hohe Zahl!

                                                 Transport der 18 Trillionen
                                                 Reiskörner durch eine Schlange
                                                 von LKWs (1 LKW, 10t, 10m)

                                                 Länge der LKW-Schlange
                                                 = 300 Millionen km = 2 AE
                                                 (1AE = Entfernung Erde-Sonne)
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                    Bausteine, Packungsdichte und Zahlen

                           Aus wieviel Bausteinen bestehen die Figuren?
1. Die Antwort auf die ersten drei Bauwerke sollte kein Problem darstellen.

2. Jeder kennt die dichteste Kugelpackung aus dem Supermarkt: Wenn Orangen zu großen Pyramiden gestapelt werden, geschieht das
    intuitiv genau wie von Kepler vorgeschlagen. In der ersten Lage bilden drei einander berührende Orangen regelmäßige Dreiecke.
    Die Orangen der nächsten Schicht werden in die Lücken der Schicht darunter gelegt. Das ist die dichteste Packung (Beweis 1998).
    Diese Schichtung füllt den Raum zu 74,5 %. Eine Orangenpyramide besteht deshalb zu knapp drei Vierteln aus Orangen und zu etwas
    mehr als einem Viertel aus Luft. Wieviel Kugeln befinden sich nun in der Pyramide?
    Wenn eine untere Kante m Kugeln enthält, sind es insgesamt s = m(m+1)(m+2)/6, hier also m = 4, s = 20.

3. Der klassische Rubik-Würfel (1974) stand im Mittelpunkt der Sendung "Wer wird Millionär?" am 8.12.2015 .
   Es war die Millionenfrage: "Aus insgesamt wie vielen Steinchen besteht der klassische von Ernö Rubik erfundene Zauberwürfel?
   Die 4 Antwortvorschläge waren A: 22; B: 24; C: 26; D: 28
   Der Kandidat ist nach anfänglich falscher Vorstellung vom Würfel, langen Überlegungen und reger Diskussion mit dem Moderator
   zur richtigen Antwort 26 gelangt. Hier sind Zweifel angesagt, denn das Drehkreuz in der Würfelmitte könnte man auch als Baustein
   betrachten. Aber die Zahl 3*3*3=27 war nicht im Antwortspektrum.

                        Zum Rubik-Würfel und seine vielen Modifikationen gibt es inzwischen Meisterschaften und Rekorde.
                        Hier taucht die sogenannte Gotteszahl auf. Sie ist die Antwort auf die folgende Frage: Wieviel Drehungen
                        sind höchstens notwendig, um eine beliebige Stellung auf die Ausgangsform zurückzuführen?
                                                              Gotteszahl = 20
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                           Im Reich der Zahlen II

          Multiplikation großer Zahlen –     mal auf Japanisch, Chinesisch oder ...

    Die übliche schriftliche Multiplikation. Es reicht eigentlich das kleine Einmaleins.
    Gibt es dafür eine einfachere Darstellung?
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                           Jetzt auf Japanisch, Chinesisch oder …
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                                    Im Reich der Zahlen II

              Einfache Multiplikation von zwei ganzen großen Zahlen
   Zwei n-stellige große natürliche Zahlen sollen miteinander multipliziert werden.
   Wir zeigen zunächst ein kleines Beispiel mit dreistelligen Faktoren: 997 * 888 = 885336

                                      997 = 1000-3, 888 = 1000-112
                                     ------------------------------------------
                                      997        3
                                    +888 *112
                                    ---------------
                                  1 | 885 336
                                      885 336 -> 885336

   Die Schritte sind gut erkennbar. Was braucht man also nur zu können: Addition von zwei großen Zahlen und
   Multiplikation von zwei kleineren Zahlen. Ist die Stelligkeit verschieden, wird die der kleineren Zahl entsprechend
   erhöht durch Anfügen von Nullen. Zum Schluss ist das Ergebnis noch zu korrigieren durch Streichen von diesen
   Nullen (Division durch einer Zehnerpotenz): 8950 * 989 = 8851550

                                        8950 = 10000-1050, 9890 = 10000-110, 0 dazu
                                       -------------------------------------------------------
                                        8950 1050
                                      +9890 * 110
                                      --------------------
                                     1 | 8840 11|5500
                                          +11                     (Übertrag)
                                         8851       5500 -> 88515500 -> 8851550, 0 weg

                                    Was ist der mathematische Hintergrund?
KINDERUNI JUGENDUNI 2019                                                                                    14

                               Im Reich der Zahlen II
                Das Pascalsche Dreieck: Addition statt Multiplikation
    Der Binomischer Lehrsatz, der die ganzzahlige Potenz einer zweigliedrigen Summe (Binom) in eine Summe
    verwandelt, ist der Ausgangspunkt für die Binomialkoeffizienten C(n,k)= (n über k).
    Ein einfacher Fall ist die binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b².

                                                            Eine andere Formel geht auf Leonhard Euler (1707-1783)
                                                            zurück. Sie wurde jedoch in anderen Zusammenhang gefunden.
                                                            Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus
                                                            einer Menge von n verschiedenen Objekten ohne Beachtung der
                                                            Reihenfolge und ohne Wiederholung (Zurücklegen) auswählen
                                                            kann. Dann spricht man von Kombinationen k-ter Ordnung.
                                                            Diese Anzahl ist z.B. beim Lottospiel von Interesse, wo es darum
                                                            geht, aus den ersten 49 Zahlen 6 Richtige zu finden. Die Anzahl
                                                            der Kombinationen beträgt 13983816.

                                                            Die Binomialkoeffizienten C(n,k) im Pascalschen Dreieck
                                                            lassen sich rekursiv berechnen. Jede Zahl ist die Summe der
                                                            beiden darüber liegenden Zahlen.

                            Addition statt Multiplikation
                2^n = 2*2*...*2 = (1+1)^n = 1+n+n*(n-1)/(1*2)+ ....+n+1
                2^4 = 2*2*2*2 = 16         = 1+4+6+4+1
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                              Goldener Schnitt - Zahl

                           Altes Rathaus Leipzig

                                  d/a = y/x = g
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                           Im Reich der Zahlen II
             Goldener Schnitt – Zahl g = (1+sqrt(5))/2 = 1.618033…
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                           Im Reich der Zahlen II

   Zahl g
   = (1+sqrt(5))/2
   = 1.618033…

   Zahl 1/g=g-1
   =(-1+sqrt(5))/2
   = 0.618033…
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                                    Große Zahlen und Teilbarkeit
  1. Man bestimme die größte natürliche Zahl bestehend aus verschiedenen Ziffern, die durch jede ihrer
  Ziffern teilbar ist.
  Auf jeden Fall sollte man die Teilbarkeitsregeln kennen. Wie kann man dabei systematisch vorgehen? Die größte
  Zahl, die überhaupt in Frage kommt, wäre 9876543210.
  Aber die Null scheidet natürlich aus. Mit Computerprogrammen könnte man alle Möglichkeiten von 987654321
  bis 1 testen und dabei bei der ersten erfüllten Situation aufhören. Kennt man sich mit den Teilbarkeitsregeln gut
  aus und geschickt im Kopfrechnen, bietet sich ein schneller Algorithmus an.
  Zunächst haben wir von den zehn Ziffern die Null schon ausgeschlossen, weil die Division durch Null verboten ist.
  Dann schaut man nach Ziffern, welche die Länge der Zahl stark vermindern würden.
  Das ist auf jeden Fall die Ziffer 5, denn eine Teilbarkeit dadurch würde als letzte Ziffer der Zahl die 5 erfordern.
  Damit wären die Teilbarkeit durch die vier Ziffern 2, 4, 8 und 6 zunichte gemacht. Also streicht man die 5.
  Die Quersumme des Restes ist nun 40. Dadurch würde die Teilbarkeit durch 3, 6 und 9 verloren gehen. Die in der
  Nähe liegende gute Quersumme ist die 36, nicht die 30, bei der dann die Ziffern 1 und 9 zu streichen wären. Die
  Quersumme 36 garantiert somit die Teilbarkeit durch 3, 6 (zusätzlich Zahl gerade) und 9. Damit ist die 4 ein
  schlechter Kandidat. Es bleiben also die sieben Ziffern 9,8,7,6,3,2,1.
  Die Teilbarkeit durch 8 - damit auch durch 2 und 4 - erfordert die Ziffernfolge 9,8,7,6,3,1,2 und die letzten 3 Stellen
  sind damit vergeben. Jetzt braucht man nur noch zwei Rechnungen von absteigenden Zahlen zu machen, also mit
  der größten Zahl 9876312 und der nächst kleineren z=9867312.
  Die erste erfüllt die Teilbarkeitsbedingung nicht, aber glücklicherweise ist schon z=9867312 durch jede ihrer
  Ziffern teilbar und damit die gesuchte Lösung.

  2. Man bestimme die größte natürliche Zahl bestehend aus verschiedenen Ziffern, die wenn man eine
  beliebige ihrer Ziffern streicht, dann der Rest durch die Streichziffer teilbar ist. Die Lösung ist 9721368.
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                              Im Reich der Zahlen II
                                  Das Kusszahlproblem
     Wabenmuster mit Sechsecken
                                                 Kugelpyramide mit
                                               Packungsdichte (~75 %)

                                                                             2016: 8D

                                             summe(n) = n(n+1)(n+2)/6
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                           Im Reich der Zahlen II
                   2D: 6
                                      Kusszahlen
   1D: 2

              3D: 12

                             4D: 24
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                           Im Reich der Zahlen II

                                     Der Würfelturm
 Spielwürfel und Rätsel
 Man stellt einen Turm von n Würfeln (übereinander) auf
 den Tisch. Man betrachtet den Turm von allen Seiten.
 Kann man sofort sagen, wie groß die Summe aller
 erkennbarer Augen am Turm ist? Welche Regel gibt es
 beim Aufbau des Spielwürfels? Hilft das bei der Lösung?
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Wie kann ich mit Mathematik die Welt verzaubern?
                           Ein Buch für die Ewigkeit
  Die Mathematische        Wie widerspiegelt sich unser Alltag thematisch im Buch?
                           Schule          - Überall
  Zauberkiste              Ostern          - Brezel, Ostereierdesign, Ostereierbaum
  Überarbeitete und        Weihnachten - Sterne basteln
                           Kaufhalle       - Pyramiden aus Obst, Packungsdichte
  erweiterte Ausgabe       Haus            - Dreieckspyramide und Mausefalle
                           Hof             - Plattentransport, Turm von Hanoi
  Unicopy Campus Edition   Garten          - Beetumrandung, Beetabdeckung, Wegebau, Blütenformen
                           Kinderzimmer - Chaos
  Ilmenau Januar 2019      Herz            - Tangram, Stickereiherz, Faltherz
                           Zeit            - Pentomino-Kalender
  664 Seiten, farbig       Toilette        - Chinesischer Glücksstern
  29,22 €                  Strand
                           Jagd
                                           - Rettungsschwimmerproblem
                                           - Räuber-Beute-Modell mit Jäger, Fuchs, Hase und Gras
                           Hochzeit        - Verschlungene Herzen
                           Feuerwehr       - Aufstellen der Feuerwehrleiter
                           Fotograf        - Fotorahmen
                           Polizei         - Handschellen
                           Eiscafé         - Eisbecher, Sektglas
                           Schiff          - Horizont, Weitblick
                           Fußballplatz    - Fußball, optimaler Schusswinkel
                           Auto            - Felgendesign sowie Räder, die nicht rund sind
                           Schachbrett     - Legende mit den Reiskörnern und astronomische Einheit
                           Würfel          - Würfel basteln, Würfelturm
                           Einladung ins Belvedere zur Auszeichnung - Design von Medaillen
                           Rätsel, Spiele und Tricks und vieles mehr

                           In welchen Beispielen finden wir die 5 platonischen Körper?
                           Tetraeder      - Mausefalle
                           Hexaeder       - Würfel
                           Oktaeder       - Oktand, Kreisel
                           Dodekaeder     - Kusszahlproblem
                           Ikosaeder      - Fußball
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