Mengen, Zahlenmengen & Aussagen SKRIPT (12 Seiten) - Prof. Tegischer

Mengen, Zahlenmengen & Aussagen
 SKRIPT (12 Seiten)
 Theoretische Erklärungen und Beispielaufgaben zu folgenden
 Themenbereichen:
▪ Mengen (Darstellung, Beziehungen, Verknüpfungen)
▪ Zahlenmengen
▪ Reelle Intervalle
▪ Aussagen

 Zusätzlich:
 Erklärvideos (gratis!) zur visuellen
 Veranschaulichung.
 -> QR-Codes im SKRIPT!

Allgemeine Informationen zum Skript
Anwendung des Materials:
Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingeführt. Im Anschluss
sollen Beispielaufgaben gelöst werden, um das Erlernte zu festigen.

Zur visuellen Veranschaulichung und für weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube-
Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video
führt. In der PDF-Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklärung.

 YouTube-Playlist
 (PDF-Datei: KLICKEN!)

Die Musterlösungen findest du (sofern bereits verfügbar) kostenlos auf meiner Homepage unter
folgendem Link: https://prof-tegischer.com/01-zahlen-und-zahlenmengen/

Einsatz des Materials
 ▪ Einsatz für Lehrpersonen als Aufwertung für den eigenen Unterricht („Flipped Classroom“,
 Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.)
 ▪ Möglichkeiten für SchülerInnen: Selbstständiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes
 mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlösungen).
 ▪ & noch viele weitere Möglichkeiten – wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich
 wissen!!

Quellennachweis:
 ▪ Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt.
 ▪ Alle Graphiken wurden von mir mit den Programmen „MatheGrafix PRO“ und „GeoGebra“
 erstellt.
 ▪ Die QR-Codes in den Skripten wurden mit „QR-Code-Generator“ erstellt.

Lizenzbedingungen:
Vielen Lieben Dank, dass du dich für mein Material entschieden hast. Ich würde mich freuen, wenn
es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbstständigen Erarbeiten helfen kann. Ich würde
mich über ein Feedback dazu freuen!

Du darfst das Material für deinen eigenen Unterricht verwenden.

 Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, über das Internet verbreiten oder an
 Dritte weitergeben. Grafiken dürfen NICHT herauskopiert werden.

Hast du Fragen, Wünsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne
auf Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren (lukastegischer5@gmx.at). Auf meiner
Homepage prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien.

Mengen, Zahlenmengen und Aussagen
 1. MENGEN
 Definitionen:
 ▪ Eine Menge besteht in der Mathematik aus Elementen.
 ❖ ∈ … Das Objekt x ist ein Element der Menge M
 ❖ ∉ … Das Objekt x ist kein Element der Menge M
 ▪ Die leere Menge, die keine Elemente hat, wird in der Form { } geschrieben.

 Beispiele:
 ▪ Menge der natürlichen Zahlen: ℕ = {0; 1; 2; … . } → : = 2 → ∈ ℕ
 ▪ Menge der ganzen Zahlen: ℤ = {… … − 3; −2; −1 0; 1; 2; 3 … . } → : = 1,4 → ∉ ℤ

 1.1 DARSTELLUNG VON MENGEN
 ▪ Aufzählende Darstellung (beliebige Reihenfolge, meist sortiert) z.B. = {1; 3; 5; 7; 9}
 ▪ Beschreibende Darstellung – Elemente werden durch eine gemeinsame Eigenschaft angegeben:
 Bsp.: = { ∈ ℕ | 2 ≤ ≤ 7}
 „x ist ein Element aus der Menge der natürlichen Zahlen und ist größer gleich 1 und kleiner gleich 7“
 = { ∈ ℕ | 2 ≤ ≤ 7} = {2; 3; 4; 5; 6; 7}

 Beschreibende Darstellung Aufzählende Darstellung

 ▪ Mengendiagramm (Venn-Diagramm): Eine Menge kann graphisch als Mengendiagramm (Venn-
 Diagramm) dargestellt werden.

 Beispiel: = {1; 5; 36; 45} 1 5 45
 36

 Venn-Diagramm
 Aufzählende Darstellung

 Erklärung der Schreibweise

 = { ∈ ℕ | 2 ≤ ≤ 7}

 Bsp. 1) Gib die Menge jeweils in aufzählender Darstellung an.

 = { ∈ ℕ |5 ≤ < 10} = = { ∈ ℕ | 30 }

 = { ∈ ℕ|−5 ≤ < 2} = = { ∈ ℤ|−5 ≤ < 2} =

 Bsp. 2) Gib die Menge jeweils in beschreibender Darstellung an.

 = {3; 4; 5; 6} = = {2; 4; 6; 8 } =

 = {−3; −2; −1} = = {1; 2; 4; 8; 16} =

 = {−1; 0; 1} =
 = {−4; +4} =

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1.2 BEZIEHUNG ZWISCHEN M ENGEN
 ▪ Gleichheit von Mengen
 2 Mengen sind gleich ( = ), wenn M und N die gleichen Elemente besitzen
 Beispiel: = {2; 3; 4; 5; 6}, = { ∈ ℕ | 2 ≤ ≤ 6}

 ▪ Teilmengenbeziehung
 ❖ M ist eine TEILMENGE von N (Schreibweise: ⊆ ), wenn jedes Element von M auch ein
 Element von N ist.
 Beispiel: = {2; 3; 4; 5} , = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → ⊆ & : ⊂ 

 Bemerkung: Sind die beiden Mengen gleich, so sind sie auch Teilmengen voneinander (aber: keine echte Teilmengen)
 Beispiel: = {2; 3; 4; 5} , = {2; 3; 4; 5} → = ( ℎℎ ), ℎ: ⊆ ⊆ 

 ❖ M ist eine ECHTE TEILMENGE von N (Schreibweise: ⊂ ), wenn M eine Teilmenge von N ist
 und die beiden Mengen nicht gleich sind.

 Bsp. 3) Gegeben sind die Mengen = {1; 3; 7} und = {1; 3; 4; 7}. Welche Beziehungen gelten? Begründe!

 ⊆ ⊆ 

 ⊂ ⊂ 

 Bsp. 4) Gegeben sind die Mengen = {1; 2}, = { ∈ ℕ | 1 ≤ ≤ 3} = {1; 2; 3}. Welche Beziehungen
 gelten? Kreuze an.

 ⊆ ⊆ ⊆ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ 
 JA O O O O O O O

 NEIN O O O O O O O

 1.3 VERKNÜPFUNG VON MENGEN – BEISPIEL: = {1; 2; 3; 4}; = {4; 5; 6}
 a. DURCHSCHNITTSMENGE: ∩ = { | ∈ ∈ } ∩ = " "
 …ist die Menge aller Elemente die in A und in B enthalten sind.

 b. VEREINIGUNGSMENGE: ∪ = { ∈ ∈ } ∪ = " "
 …ist die Menge aller Elemente die in A oder in B liegen (oder in beiden!).

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c. DIFFERENZMENGE: ∖ = { | ∈ ∉ }
 \ = " "
 …ist die Menge aller Elemente die in A liegen, aber nicht in B liegen.

 Bsp. 5) Gegeben sind die Mengen = {1; 3; 7; 9; 11}, = { ∈ ℕ | 1 ≤ < 7}; = {1; 2; 9; 11} 
 = { ∈ ℤ | − 3 < ≤ 9}. Stelle die Mengen im aufzählenden Verfahren dar.

a. ∪ = b. ∩ =

c. ∩ = d. \ =

e. ∩ = f. ∪ =

g. \ = h. ( ∩ ) ∩ ( ∩ ) =

i. ( ∪ ) ∩ = j. \ ( ∩ ) =

k. \ ( ∪ ) = l. ( ∩ ) ∩ ( ∩ ) =

 Bsp. 6) Stelle folgende Mengenverknüpfungen durch Anmalen der entsprechenden Fläche im Venn-Diagramm
 dar.

 ∪ \ ∩ 
 A B A B A B

 ( ∩ ) ∩ ( \ ) ∪ ( ∪ ) ∩ 
 A A
 A B B B

 C C C

 THEORIE: Mengen, Zahlenmengen und Aussagen Seite 3 von 12

( \ ) ∩ ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) ( \ ) \ 
A B A B A B

 C C C

 2. ZAHLENMENGEN
 2.1 WELCHE ZAHLENMENGEN GIBT ES ?
 ▪ Menge der natürlichen Zahlen: ℕ = {0, 1, 2, 3, … }
 ▪ Menge der ganzen Zahlen: ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
 
 ▪ Menge der rationalen Zahlen: ℚ = { | , ∈ ℤ, ≠ 0}
 
 Alle rationalen Zahlen können als Bruch dargestellt werden. Ein Bruch kann immer in eine endliche
 oder periodische (unendlich lang, aber periodisch) Dezimalzahl umgewandelt werden.
 2 1 4
 = 0,4 = 0,33333 … = 0, 3̇ =2
 5 3 2

 ▪ Menge der irrationalen Zahlen : Alle Dezimalzahlen, die unendlich lang UND niemals periodisch sind.
 Beispiele: √2 , , √7, …
 ▪ Menge der reellen Zahlen ℝ (= Alle Dezimalzahlen).
 Die reellen Zahlen ergeben sich aus den rationalen Zahlen (endliche & periodische Dezimalzahlen)
 UND den irrationalen Zahlen (nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen)

 Bemerkungen:
 3 6
 Jede natürliche Zahl (z.B. 3) ist eine ganze Zahl, eine rationale Zahl (3 = = =..) sowie eine reelle Zahl.
 1 2
 Jede ganze Zahl (z.B. -4 oder 5) ist eine rationale und reelle Zahl.
 Jede rationale Zahl (z.B. 4,3) ist eine reelle Zahl.

 Graphische Darstellung:

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2.1.1 Eigenschaften der natürlichen Zahlen: 2.1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen:
▪ Die kleinste natürliche Zahl ist 0. Es gibt keine größte natürliche Zahl. ▪ Es gibt keine kleinste und größte ganze Zahl.
▪ Jede natürliche Zahl n hat den Nachfolger n + 1. ▪ Jede ganze Zahl z hat den Vorgänger z – 1 und den
▪ Jede natürliche Zahl außer 0 hat in ℕ den Vorgänger n – 1. Nachfolger z + 1.
▪ Zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen liegt keine weitere ▪ Zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen gibt es
 natürliche Zahl. keine weitere ganze Zahl.
▪ Die natürlichen Zahlen sind geordnet. Das bedeutet: Für zwei verschiedene ▪ Die ganzen Zahlen sind geordnet.
 natürliche Zahlen m und n gilt entweder < oder > .

 2.1.3 Menge der rationalen Zahlen (= Menge der Brüche)
 Die rationalen Zahlen können entweder als endliche Dezimalzahlen oder unendliche, periodische
 Dezimalzahlen dargestellt werden:
 2 4 3
 • Endliche Dezimalzahlen: = 0,4 ; = 2 ; = 0,3
 5 2 10
 • Unendliche, periodische Dezimalzahlen:
 1
 o Rein periodisch: = 0,33333 … = 0, 3̇ (Alle Ziffern der Dezimalstellen wiederholen sich)
 3
 5
 o Gemischt periodisch: = 0,83333 … = 0,83̇ (es gibt Ziffern hinter dem Komma, die nicht periodisch sind.)
 6

 1. Darstellung von rationalen Zahlen (Dezimaldarstellung & Bruchdarstellung)

 (1) Umwandlung: Bruchdarstellung -> Dezimaldarstellung
 Dividiere den Zähler durch den Nenner. Du erhältst immer eine endliche oder periodische Dezimalzahl!
 12 23
 = 12 ∶ 8 = = 23 ∶ 9 =
 8 9

 (2) Dezimaldarstellung -> Bruchdarstellung
 2.1. Endliche Dezimalzahlen

 Schreibe die Zahl hinter dem Komma in den Zähler. Im Nenner steht 10 . n steht für die Anzahl der Ziffern
 hinter dem Komma.
 13
 a. 0,13 = b. 3,38 = c. 0,00100000 =
 100

 d. 0,002 = e. 4,550099 = f. 0,2300 =

 2.2. Rein periodische Dezimalzahlen

 Schreibe die Ziffern der Periode in den Zähler. Im Nenner steht so oft die Zahl 9, wie die Periode Ziffern hat.
 4
 a. 0, 4̇ = b. 0, 0̇1̇0̇1̇ = c. 2, 9̇8̇4̇ =
 9

 d. 0, 0̇1̇ = e. 0, 2̇0̇1̇ = f. 3, 0̇0̇1̇ =

 2.3 Gemischt periodische Dezimalzahlen
 Beispiel:
 Wandle = 0,387̇ in eine Bruchzahl um.
 1) Die Periode ist 7 – Ich muss die Zahl um 3 Stellen (mal 1000) nach links verschieben, dass die Periode
 Vorgehensweise: genau vor dem Komma beginnt.
 ▪ Schreibe die gemischt periodische Zahl als 1000 ∙ = 387,7777777 …
 Variable x. 2) Dann multipliziere ich die Gleichung mit 100, da die Periode genau nach dem Komma beginnen soll.
 ▪ Multipliziere x so (10, 100, 1000, …), dass
 100 ∙ = 38,7777777 …
 die Periode genau vor dem Komma steht.
 ▪ Multipliziere x so (10, 100, 1000, …), dass Fast geschafft: Die Ziffern hinter dem Komma sind ident ( …,77777..) – fallen bei der Subtraktion weg.
 die Periode erst nach dem Komma Subtrahiere nun beide Gleichungen (die Kommastellen fallen weg):
 beginnt. 1000 ∙ = 387,7777777 …
 ▪ Subtrahiere die Gleichungen voneinander − 100 ∙ = 38,7777777 …
 und löse sie.
 _________________________________________________________________
 „Periode beginnt genau vor dem
 1000 − 100 = 387,777 … − 38,777..
 Komma – Periode beginnt genau nach
 dem Komma“ 900 = 349 | ∶ 900
 349
 = = 0,387̇
 900

 THEORIE: Mengen, Zahlenmengen und Aussagen Seite 5 von 12

Bsp. 7) Stelle als Bruch dar.

a. 0,16̇ = b. 0,33̇7̇ = 0,337
 ̅̅̅̅ =

c. 1,35̇ = d. ̅̅̅̅̅ =
 0,4123

 2. Rechnen mit rationalen Brüchen

 Brüche werden addiert / subtrahiert, indem man sie zunächst (durch Kürzen oder
 Addieren 1 5 2 5 7
 Erweitern) auf gemeinsamen Nenner bringt und dann die Zähler addiert / + = + =
 Subtrahieren 3 6 6 6 6
 subtrahiert und den Nenner unverändert lässt.
 Brüche werden multipliziert, indem man jeweils die Zähler und die Nenner 4 2 8
 Multiplizieren ∙ =
 miteinander multipliziert. 3 5 15

 Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des 4 2 4 5 20 10
 Dividieren ∶ = ∙ = =
 zweiten Bruchs multipliziert. 3 5 3 2 6 3

 Bsp. 8) Berechne und kürze so weit wie möglich.
 1 1 1 4 8 3 2
 a. + + = b. ∶ = c. (2 − ∶ 5) ∶ (4 + ∙ 5) =
 3 5 15 9 3 4 3

 3. Weitere Eigenschaften der rationalen Zahlen

 ▪ Es gibt keine kleinste und größte rationale Zahl.
 ▪ Jede rationale Zahl lässt sich als Punkt auf der Zahlengerade darstellen.
 ▪ Die rationalen Zahlen sind dicht, d.h. zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen a und b liegt
 immer eine weitere rationale Zahl.
 ▪ Die rationalen Zahlen sind geordnet.
 ▪ Jede rationale Zahl kann in Bruchdarstellung oder Dezimaldarstellung angegeben werden.

 2.1.4 Menge der irrationalen Zahlen:
 Irrationale Zahlen sind nicht periodisch, jedoch unendlich lang. Irrationale Zahlen entstehen oft in Kombination
 mit einer Wurzel (z.B. √2, √3, √5, … ). Zudem sind bereits bestimmte Zahlen, die unendlich lange sind, definiert
 wie die Kreiszahl Pi ( = 3,14159 … ) oder die Eulersche Zahl ( = 2,7182 … ).

 Um irrationale Zahlen in Zusammenhang mit einer Wurzel erkennen zu können, ist es wichtig, die
 Quadratzahlen zu kennen:

 ➢ Die Wurzel einer Quadratzahl ergibt stets eine natürliche Zahl.
 ➢ Die Wurzel keiner Quadratzahl ergibt stets eine irrationale Zahl.

 THEORIE: Mengen, Zahlenmengen und Aussagen Seite 6 von 12

Quadratzahlen: = 1², = 2², = 3², , , , , , , , , , , , , …

 √ = 1 ∈ ℕ

 √2 = 1,41 … ∈ 

 √3 = 1,73 … ∈ Wurzeln von keinen Quadratzahlen
Wurzeln von Quadratzahlen führen
 √ = 2 ∈ ℕ führen stets zu irrationalen
 stets zu natürlichen Zahlen!!!
 Zahlen!!!
 √17 = 4,12 … ∈ 

 √ = 6 ∈ ℕ

 Bemerkung: Ist in einer Rechenoperation eine irrationale Zahl enthalten, so bleibt das Ergebnis irrational,
 sofern die irrationale Zahl nicht wegfällt!

 √15
 3 ∙ √2 … ∈ …∈ 7∙ … ∈ ² … ∈ 
 3

 3∙√2
 Ausnahme: =3 ∈ℕ
 √2

 2.1.5 Zusammenfassung – Reelle Zahlenmenge
 Die Menge der Reellen Zahlen besteht aus den rationalen und irrationalen Zahlen:

 Reelle Zahlen
 Rationale Zahlen Irrationale Zahlen
 Bruchdarstellung möglich Nicht möglich

 Dezimaldarstellung endlich oder periodisch unendlich, aber nicht periodisch

 2.1.6 Ausblick

 Ausblick: Welche Zahlen bzw. Rechnungen können mit den reellen Zahlen nicht dargestellt werden?

 In den reellen Zahlen können keine Wurzeln aus negativen Zahlen berechnet werden. Aus diesem Grund
 erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt die imaginären Zahlen die Menge
 der negativen Wurzeln.

 : √−1, √−5 … ℎ !

 Menge der komplexe Zahlen: Die komplexen Zahlen ℂ erhält man, wenn man die reellen Zahlen ℝ und die
 imaginären Zahlen zusammenfügt.

 2.1.7 Beispiele zur Mengenlehre
 Bsp. 9) Ordne den folgenden Zahlen jeweils die kleinstmögliche Zahlenmenge (ℕ, ℤ, ℚ, ) zu:

3 15
 √9 1
1 15
 1
−2 7
 3, 5̇
3
2
 √11 −√16
 4 1
3,14
 −
 8 19

4
2
 1,1236 √3
 2 3 0
−
 3 √8 2

 THEORIE: Mengen, Zahlenmengen und Aussagen Seite 7 von 12

2.2 INDEX BEI ZAHLENMENGEN
 ➢ Menge der positiven natürlichen Zahlen: ℕ+ = {1, 2, 3, … } – ohne 0!
 ➢ Menge der geraden ganzen Zahlen: ℤ = {… , −4, −2, 0, 2, 4, … }
 ➢ Menge der ungeraden ganzen Zahlen: ℤ = {… , −5, −3, −1, 1, 3, 5, … }
 ➢ Menge der positiven rationalen Zahlen: ℚ+
 ➢ Menge der negativen rationalen Zahlen: ℚ−

 2.3 ABGESCHLOSSENHEIT EINER ZAHLENMENGE
 Eine Zahlenmenge M (beliebig gewählter Mengenname, Menge könnte z.B. auch A oder B genannt werden!) ist
 abgeschlossen bezüglich einer Rechenoperation/Verknüpfung (z.B. Addition, Subtraktion, Multiplikation,
 Division), wenn das Ergebnis der Rechenoperation/Verknüpfung zweier Elemente aus M immer in M liegt.
 Beispiele:
 ▪ Die natürlichen Zahlen ℕ sind abgeschlossen bezüglich der Addition.
 Egal welche 2 natürlichen Zahlen addiert werden -> Das Ergebnis ist IMMER eine natürliche Zahl (z.B. 3 + 5 = 8).
 ▪ Die natürlichen Zahlen ℕ sind abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
 . : 3 ∙ 5 = 15 − Ergebnis ist immer eine natürliche Zahl!
 ▪ Die natürlichen Zahlen ℕ sind aber nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion und der Division!
 o 5 − 19 = −14 -> Ergebnis ist eine negative Zahl!
 2
 o 2 ∶ 5 = -> Ergebnis ist eine rationale Zahl!
 5
 Aufgabe:
 Bezüglich welcher Rechenoperationen sind folgende Zahlenmengen abgeschlossen?
 Addition Subtraktion Multiplikation Division
 NEIN, weil:
 NEIN, weil:
 ℕ JA
 3 − 5 = −2 ∉ ℕ
 JA 3
 = 0,6 ∉ ℕ
 5

 ℕ 

 ℤ

 ℚ
 Zusammenfassung
Abgeschlossen bzgl. ℕ ℤ ℚ ℝ
 + JA JA JA JA
 * JA JA JA JA
 () JA JA JA JA
 - NEIN JA JA JA
 / NEIN NEIN JA JA
 
 √ NEIN NEIN NEIN JA

 2.4 BETRAG EINER ZAHL
 Der Betrag einer Zahl entspricht dem Abstand der Zahl auf dem Zahlenstrahl von Null. Man erhält ihn durch
 Weglassen des Vorzeichens.
 , ≥ 0
 | | = {
 − , < 0

 THEORIE: Mengen, Zahlenmengen und Aussagen Seite 8 von 12

Bsp. 10) Berechne. Beachte die Rechenregeln.

a. |3 − 12| = b. 2 ∙ |3 − 9| + |4| − |−4| = c. −|3 + 9| + |4| − |−4| =

 2.5 MÄCHTIGKEIT VON ENDLICHEN MENGEN
 Sei M eine endliche Menge. Die Mächtigkeit der Menge M ist die Anzahl der Elemente der Menge M.
 Schreibweise | | = (die Menge M enthält n Elemente)

 = {1,3,4,5,6,7,9}

 | | = 7 ( ℎä 7 )

 2.6 REELLE INTERVALLE

 2.6.1 Endliche Intervalle:
 ▪ [ ; ] = { ∈ ℝ| ≤ ≤ } … abgeschlossenes Intervall (a und b gehören dazu)

 Beispiel: [−3; 2] =

 ▪ ( ; ) = { ∈ ℝ| < < } … offenes Intervall (a und b gehören nicht dazu)

 Beispiel: (−4; 1) =

 ▪ ( ; ] = { ∈ ℝ| < ≤ } … halb offenes Intervall (a gehört nicht dazu, b gehört dazu)

 Beispiel: (−1; 1] =

 ▪ [ ; ) = { ∈ ℝ| ≤ < } … halb offenes Intervall (a gehört dazu, b gehört nicht dazu)

 Beispiel: [−1; 4) =

 2.6.2 Unendliche Intervalle:

 ▪ [ ; ∞) = { ∈ ℝ| ≤ } … links abgeschlossenes Intervall von a bis
 unendlich
 ▪ ( ; ∞) = { ∈ ℝ| < } … links offenes Intervall von a bis unendlich
 ▪ (−∞; ] = { ∈ ℝ| ≤ } … rechts abgeschlossenes Intervall von minus
 unendlich bis b
 ▪ (−∞; ) = { ∈ ℝ| < } … rechts offenes Intervall von minus unendlich bis b

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2.6.3 Betragsungleichungen

 Für > gilt:

 ▪ | | < : Der Abstand der Zahl x von 0 ist kleiner als a, also: | | < ⇔ − < < 

 | | < 2

 ▪ | | ≤ : Der Abstand der Zahl x von 0 ist höchstens a, also: | | ≤ ⇔ − ≤ ≤ 

 | | ≤ 3

 ▪ | | > : Der Abstand der Zahl x von 0 ist größer als a, also: | | > ⇔ < − > 

 | | > 2

 ▪ | | ≥ : Der Abstand der Zahl x von 0 beträgt mindestens a, also: ≥ ⇔ ≤ − ≥ 

 | | ≥ 1

 Bsp. 11) Stelle auf einem Zahlenstrahl dar.

a. (−3; 2] b. (−∞; 4)

c. | | < 3 d. [0; ∞)

e. { ∈ ℝ| 1 ≤ < 3} f. | | ≥ 0,5

g. | | > 3 h. [−2; 3]

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3. AUSSAGEN
 Wie in jeder Wissenschaft werden auch in der Mathematik Aussagen gemacht. Ein Aussage ist stets
 wahr oder falsch.
 Die Zahl 5 ist eine natürliche Zahl. (= wahre Aussage!!)
 Die Zahl -7 ist eine natürliche Zahl (=falsche Aussage!!)
 3.1 VERKNÜPFUNGEN VON AUSSAGEN
 Aussagen können durch das Wort „nicht“ verneint oder durch die Bindewörter „und“ bzw. „oder“ zu
 neuen Aussagen verknüpft werden. Man schreibt (A und B sind dabei beliebige Aussagen):
 ¬ ( : )
 ∨ ( : )
 ∧ ( : )
 Definition: Für Aussagen A und B gilt:
 ▪ Die Aussage ¬ ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
 ▪ Die Aussage ∨ ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B wahr ist (oder beide!).
 ▪ Die Aussage ∧ ist genau dann wahr, wenn die Aussagen A und B wahr sind.

 Bemerkung: Im Alltag verwendet man das Wort „oder“ meist im ausschließenden Sinn, d.h. entweder A oder B darf
 nur wahr sein. In der Mathematik verwendet man das „nicht ausschließende Oder“. Die Aussage ∨ ist daher
 wahr, wenn entweder A oder B oder beide Aussagen wahr sind.
 Die Verneinung ¬ einer Aussage A ist das logische Gegenteil von A.
 Bsp. 12) Vervollständige die Tabelle. Setze jeweils wahr oder falsch ein.

 Aussage Bsp. = Bsp. = Bsp. = 

 A Die Zahl n ist durch 2 teilbar
 B Die Zahl n ist durch 5 teilbar

 ¬ n ist NICHT durch 2 teilbar
 ¬ n ist NICHT durch 5 teilbar
 ∨ n ist durch 2 oder durch 5 teilbar (oder durch beide)
 ∧ n ist durch 2 und durch 5 teilbar

¬( ∨ ) n ist nicht durch 2 oder nicht durch 5 teilbar

¬( ∧ ) n ist nicht durch 2 und nicht durch 5 teilbar

 Bsp. 13) Gegeben sind Verknüpfungen von Aussagen für ∈ ℕ. Entscheide, ob es eine natürliche Zahl
 gibt, für die diese Verknüpfung wahr ist. Begründe deine Antwort.
a. >6 ∧ =5 b. ≤ 16 ∧ ≥ 5

c. =6 ∨ >7 d. ∧ ℎ 

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3.2. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN AUSSAGEN
Für zwei Aussagen A und B kann gelten:
 ▪ ⇒ (WENN-DANN-Beziehung oder Implikation):
 Wenn Aussage A wahr ist, dann ist auch Aussage B wahr.
 Wenn Aussage A falsch ist, dann kann B wahr oder falsch sein.
 ▪ ⇔ (ÄQUIVALENZ):
 Die Aussagen A und B bedeuten das Gleiche. Sie sind beide wahr oder beide falsch.
Bsp. 12) Entscheide, ob es sich um eine Implikation oder um eine Äquivalenz-Aussage handelt. Setze das
passende Symbol ⇒ oder ⇔ ein.

 a. Ein Viereck ist ein Quadrat. _____ Das Viereck hat vier gleich lange Seiten.
 b. Die Winkel eines Dreiecks betragen jeweils 60°. _____ Das Dreieck ist gleichseitig.
 c. Eine Linie hat keinen Anfangs- und Endpunkt. _____ Die Linie ist eine Gerade.
 d. Ein Viereck ist ein Rechteck. _____ Die Innenwinkel betragen jeweils 90°.
 e. Ein Viereck ist ein Deltoid. ______ Das Viereck hat eine Symmetrieachse.

3.3 ALLAUSSAGEN UND EXISTENZAUSSAGEN
 Es sei A(x) eine Aussage über die Zahl x aus einer Grundmenge G (z.B. natürliche Zahlen).
 ∀ … ü …
 ∃ … … MATHEMATISCH
 ∄ … … geschrieben
 ▪ Allaussage: Die Aussage A(x) gilt für alle Zahlen x.
 o Beispiel: Für alle ganzen Zahlen x gilt: 2 ≥ 0 --- ∀ ∈ ℤ ∶ 2 ≥ 0
 ▪ Existenzaussage: Es gibt mindestens ein x, für die A(x) gilt.
 o Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die 2 = 9 gilt. --- ∃ ∈ ℤ ∶ 2 = 9
Beweisen und Widerlegen:
 ▪ Eine Allaussage kann man widerlegen, indem man ein Gegenbeispiel angibt.
 o Für alle ganzen Zahlen gilt, dass sie durch 2 teilbar sind! -> FALSCH: Gegenbeispiel: 3 ist nicht
 durch 2 teilbar!
 ▪ Eine Existenzaussage kann man beweisen, indem man ein Beispiel angibt.
 o Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die 2 = 9 gilt. -> Beispiel: x=3 -> 3² = 9 -> WAHR!

 Aussage Verneinung = Negation
 Allaussage: Für alle x gilt A(x). Es gibt ein x, für das nicht A(x) gilt.

 Existenzaussage: Es gibt mindestens ein x, für das A(x) gilt Für alle x gilt nicht A(x).

 Durch die Verneinung wird eine Allaussage zu einer Existenzaussage bezüglich der gegenteiligen
 Eigenschaft (und umgekehrt!!).
Bsp. 14) Begründe anhand eines Beispiels, dass die Existenzaussage wahr ist.
 1 2
 a. ∃ ∈ ℤ ∶ > b. ∃ ∈ ℤ ∶ 2 ∙ >
 
Bsp. 15) Widerlege die Allaussage durch ein Gegenbeispiel.
 1 2
 a. ∀ ∈ ℤ ∶ > b. ∀ ∈ ℤ ∶ 2 ∙ >
 
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