Modellierung von Pflanzen - Oliver Deussen Pflanzenmodellierung
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Computergraphik II Modellierung von Pflanzen Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 1
Computergraphik II
zwei unterschiedliche Herangehensweisen:
1. Prozedurale Methoden (Algorithmen)
intuitiv, einfache Parameter, Speziallösung für einzelne Pflanzen
2. Regelbasierte Systeme (formale Grammatiken)
lokale Regeln, schwierig aufzubauen, generell einsetzbar
→ Verbindung beider Paradigmen durch regelbasierte Objekterzeugung
→ Versuch, Stärken beider Ansätze zu verbinden
→ andere Unterteilungen möglich
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 2
Computergraphik II
Verzweigungsmuster aus zellulären Automaten
→ Ulam 1966: zelluläre Automaten (v. Neumann) für Verzweigungen
→ Zellen werden nach bestimmten Regeln angeschaltet
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Verzweigungsmuster nach Ulam
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 3
Computergraphik II
Erstes kontiunierliches Modell
→ 1967, Biologe E. Cohen: Erzeugung von Verzweigungsstrukturen
→ für jedes Verzweigungsmuster Fortran-Programm mit Wachstums-
regeln
Verzweigungsstrukturen nach Cohen
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 4
Computergraphik II Beschreibung des Modells: • Wachstum findet nur an den Spitzen der Äste statt • Stärke und Winkel des Wuchses werden durch die aktuelle Richtung, ein lokales Dichtefeld, dessen Gradienten sowie die Resistenz der Struktur gegen Winkelveränderungen bestimmt. • Die Verzweigungstendenz wird durch ein probabilistisches Maß be- stimmt, das neben einem generellen Wert von der Entfernung zur letzten Verzweigung und vom lokalen Dichtefeld abhängt. Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 5
Computergraphik II Verfahren von Honda und Fischer → weiteres prozedurales Modell • Die Internodien sind gerade, ihre Dicke wird nicht beachtet • Verzweigung geschieht binär, die Länge der verzweigenden Segmente (Kindsegmente) ist über zwei Verhältniswerte r1 und r2 auf die Länge des Vatersegments bezogen. • Vatersegment und die beiden Kindsegmente liegen in einer Ebene (Aus- nahme Abzweigungen vom Hauptstamm, hier ist Divergenz zugelassen), die Kindsegmente haben einen konstanten Verzweigungswinkel. • Die Verzweigung nimmt in diskreten Schritten mit jeder Verzweigungs- ordnung zu. Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 6
Computergraphik II
⇒ es wird untersucht, wie Regulationsmechanismen die Verzweigung
steuern, d.h. keine Überlappung zwischen Ästen
→ betrachteten Modelle sind zweidimansional und es werden zwei Arten
von Regelungen untersucht:
1. Verzweigung wird nur ausgeführt, wenn in einem um den Verzweigungs-
punkt gezogenen Kreis keine anderen Äste hineinragen
→ Kreis hat konstante Größe
Verzweigungsbildung nach Honda
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 7
Computergraphik II
2. wie ändert sich Verzweigungcharakteristik ändert, Nachfolgeäste un-
terschiedliche Wachstumsraten erhalten
Verzweigunsbildung nach Honda
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 8
Computergraphik II Erweiterte Vielfalt → effiziente Modellierung von Verzweigungstrukturen → welche Vielfalt kann damit erzeugt werden → aufbauend auf Grundverfahren von Aono und Kunii: 1. Verzweigung geschieht durch Bifurkation, die damit modellierten Bäu- me haben monopodiale oder sympodiale Form. 2. Länge und Durchmesser der verzweigenden Äste nehmen mit konstan- tem Faktor ab, die Verzweigungswinkel bleiben konstant über alle Ver- zweigungsstufen. 3. Die beiden verzweigenden Äste liegen in der Ebene, die durch den Vater und seinen maximalen Gradienten aufgespannt wird. 4. Die Verzweigung geschieht simultan an allen Enden der Zweige. Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 9
Computergraphik II
(a) (b)
a) Parametrisierung von Ästen; b) Divergenzwinkel.
Parameter im Modell nach Aono und Kunii
→ Koordinaten von P1 und P2 ergeben sich über die Winkelfunktionen
xi = xB + Ri ∗ (u ∗ cos(hi) − S ∗ T ∗ v ∗ sin(hi))
yi = yB + Ri ∗ (v ∗ cos(hi) + S ∗ T ∗ u ∗ sin(hi))
zi = zB + Ri ∗ w ∗ cos(hi)
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 10Computergraphik II
→ mit den folgenden Parametern
(Ri konstanter Reduktionsfaktor für den Radius):
u = xB − xA, v = yB − yA , w = zB − zA
p
S = 1/ u2 + v 2
p
T = u2 + v 2 + w 2
⇒ später Ansätze verwenden meistens Elemente dieses
Verzweigungmodells
→ Nachteile:
→ Blätter werden aber nur rudimentär angedeutet
→ Geomatrie von Stamm und Ästen ist nur durch
Liniensegmenten unterschiedlicher Dicke dargestellt
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 11Computergraphik II
Ergebnisse:
Verzweigungsstrukturen nach Aono und Kunii
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 12Computergraphik II
Darstellung von Bäumen über Partikelsysteme
→ visuelle Modelle, für Film
→ primitives rekursives Verzweigungmodell
Postprocessing: Zufälligkeiten werden eingebaut
Blätter: kleine Kugel mit Farbe und Ausrichtung
→ wichtig: korrekte Farben sowie Licht/Schatten
→ Ergebnis trotz botanischer Inkorrektheit brauchbar
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 13Computergraphik II
Ergebnisbilder:
Strukturierte Partikelsysteme nach Reeves und Blau
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 14Computergraphik II
Fraktale Baummodelle nach Oppenheimer
→ inspiriert durch Arbeiten von Mandelbrot
→ rekursive Prozedur zur Erzeugung von Selbstähnlichkeit
⇒ Verwendete Parameter sind:
→ Verzweigungswinkel
→ Verhältnis der Größe von Vater- und Kindzweigen
→ Grad der Verjüngung entlang Stamm und Ästen
→ Anzahl Zweige pro Stamm-Segment
→ Deviationswinkel
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 15Computergraphik II
Ergebnisbild:
Fraktales Baummodell nach Oppenheimer
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 16Computergraphik II
Algorithmus nach Oppenheimer:
procedure fractaltree()
begin
Zeichne aktuelles Astsegment
if (klein genug)
then Zeichne Blatt
else
begin
Transformiere für aktuellen Ast
fractaltree()
repeat
begin
Transformiere für Verzweigung
fractaltree()
end
end end
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 17Computergraphik II
→ Stamm und Äste: generalisierte Zylinder durch Verbindung
von Segmenten
→ realistisch aussehende Rinde:
horizental verlaufende Sägezahnfunktion + Brownsches Rauschen
Rinde(x, y) = Sägezahn(N ∗ (x + R ∗ noise(x, y)))
noise(x, y): periodisch in x− und y−Richtung verlaufendes Rauschen
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 18Computergraphik II Geometrisches Modellieren in Bäumen (Bloomthal → Kontrollpunkte über rekursiven Algorithmus erzeugt → Punkte werden über Spline-Interpolation C2 stetig verbunden → Oberfläche wird erzeugt, indem senkrecht zum Spline kreisförmige Scheiben angeordnet und verbunden werden → Schwierigkeit: natürliche Verzweigungen → Lösung: sattelförmige Flächen zwischen verzweigenden Strängen → Rinde wird durch Bump- Mapping mit einer aus echter Rinde gewonnenen Textur dargestellt Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 19
Computergraphik II
Ergebnisgeometrien nach Bloomthal:
Prozedurales Modell nach Bloomthal
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 20Computergraphik II Knospung: ein botanischer Ansatz → Simulation des Wachstums der Spossachsen in diskreten Zeitabschnitten von Knoten zu Knoten → entlang eines Sprosses wird so Internodium an Intermodium gesetzt, nach definierter Länge Blätter/Verzweigungen → Spross kann ruhen oder absterben → Knospe trägte Wahrscheinlichkeiten für Zustände in sich: 1. Wahrscheinlichkeit abzusterben 2. Wahrscheinlichkeit einen Zeitabschnitt auszusetzen 3. Wahrscheinlichkeit sich zu verzweigen Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 21
Computergraphik II
Wachstumsvorgang nach deReffye
verwendete Parameter:
• Alter des Baums,
• Wachstumsgeschwindigkeiten der Äste verschiedener Ordnungen,
• Anzahl möglicher Knospen pro Knoten in Abhängigkeit der Ordnung,
• Wahrscheinlichkeiten für Absterben, Aussetzen, Verzweigen
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 22Computergraphik II
→ Der Algorithmus procedure budtree()
begin
for jedes Zeitsignal do
begin
for jede noch lebende Knsope do
begin
if Knospe stirbt nicht und setzt nicht aus
then
begin
generiere Internodium
generiere apikales Blatt
end
for jede in Frage kommende Knospe do
begin
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 23Computergraphik II
if Knospe verzweigt
then
bilde Vezweigung
end
end
end
end
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 24Computergraphik II
Ergebnissgeometrien nach deReffye et al.:
Ergebnisse botanisch motivierter Wachstumsmodelle nach deReffye
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 25Computergraphik II
Eine Kombinatorische Methode (Vienot et al.)
→ Strahleranalyse weißt jedem Knoten/jeder Kante eine Zahl zu
→ Erweiterung zu Biordnung: Zahlenpaar (c, d) pro Knoten
ist k die Horton-Strahler-Ordnung des Vaters und i und j die
der Söhne, so ist:
c = k, d = i wenn j = k und i < k
c=d=k−1 sonst (i = j = k − 1)
→ Biordnung beschreibt Charakteristikum des Knotens im Sinne der
Ordnungsverteilung der Söhne
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 26Computergraphik II
→ für alle Knoten mit Strahler- Zahl wird Wahrscheinlichkeit für
bestimmte Biordnung festgelegt
→ Werte werden in Verzweigungsmatrix P gespeichert:
→ ak Anzahl Knoten mit Horton-Strahler-Ordnung k k≥2
→ bk,i Anzahl Knoten mit Biordnung (k, i) 1≤iComputergraphik II
0 1
0 0 1
Pperf ekt =
0 0 0 1
.. .. .. .. . . .
Matrix für einen perfekt verzweigten binären Baum
1/2 1/2
1/2 1/4 1/4
Pzuf all = 1/2 1/4 1/8 1/8
1/2 1/4 1/8 1/16 1/16
.. .. .. .. .. ...
Matrix für zufällige Binärbäume mit n Knoten
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 28Computergraphik II
→ topologisch selbstähnliche Verzweigungsstrukturen besitzen gleiche
Zeilen, die um jeweils eine Spalte nach rechts verschoben sind
1 − 1/p 1/p
0 1 − 1/p 1/p
PF arn =
0 0 1 − 1/p 1/p
.. .. .. .. . . .
Matrix für Farne
→ zur Herstellung eines Baumes wird aus gegebener dreiecksförmiger
(s − 1) × s Verzweigungsmatrix R und gegebenen
S ≤ s zufällig ein Binärbaum Tn mit Horton-Strahler
Zahl S erzeugt, dessen Verzweigungmatrix ähnlich R ist
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 29Computergraphik II
procedure kombitree()
begin
erzeuge T1
n=1
repeat
Wähle terminale Kante aus Tn mit Horton-Strahler-Ordnung k > 1
Verzweige von dieser Kante und gebe den Kindkanten die
Ordnungen k und i entsprechend der
Wahrscheinlichkeiten für die Biordnung der
Kanten dieser Ordnung in der Verzweigungsmatrix
Tn+1 = Tn
until alle terminalen Kanten von Tn+1 haben
Horton-Strahler-Ordnung k = 1
end
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 30Computergraphik II
Ergebnisgeometrien nach Vienot et al.:
Kombinatorischer Aufbau von Bäumen nach Vienot
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 31Computergraphik II Bäume aus Strängen → Idee: Leonardo da Vinci → Baum wird durch Stränge von der Wurzel bis zu jeweils einem Blatt definiert → in einer Gabelung werden die Stränge aufgeteilt und laufen als Kinder weiter → dabei ist die Summe des Querschnitts des Vaters einer Astgabelung gleich die Summe der Querschnitte der Söhne → Anzahl der Stränge bestimmt Dicke und Länge der Äste, Anzahl der Blätter und den Verzweigungswinkel Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 32
Computergraphik II
→ gabelt sich ein Ast mit S0 Strängen, wobei das Verhältniss
der Strangzahlen mit PG,W in Abhängigkeit von der
Gravelius- und Weibull- Ordnungszahl des Astes gegeben ist,
so gilt für die Anzahl der Stränge S1, S2 in den Kindern:
S1 = 1 + PG,W (S0 − 2)
S2 = 1 + (1 − PG,W )(S0 − 2)
S0 = S1 + S2 .
Modell aus Strängen nach Holton
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 33Computergraphik II
√
→ Druchmesser der Äste: d i = T Si
mit T eine Konstante daraus folgt:
d20 = d21 + d22.
→ Länge der Zweige wird aus den Strängen berechnet, wobei Verhältniss
der Wurzelfunktionen der Strangzahlen verwendet wird:
S2
a1 = AG,W
S0
a2 = AG,W − a1
→ charakteristische Längen Li und und aktive im Modell erscheinende
Längen li sind vom Benutzer vorgegebene Parameter
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 34Computergraphik II
Bäume nach Holton:
Beispielbäume nach Holton
→ Tannen aus jeweils 2500 Strängen
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 35Computergraphik II
Aproximatives Modellieren der Pflanzengestelt
→ Ziel ist es aproximative Lösungen für Bäume im Hintergrund zu finden
→ Baumprozedur benötigt 50 Parameter, wie Form des Baumes, Größe
des untern Teils ohne Äste, Anzahl Verzweigungebenen und Form
des Stammfußes (=generelle Parameter)
Beispielpflanze nach Weber und Penn
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 36Computergraphik II Wachstum mit Voxeln → Betrachtung von Interaktion von Pflanzen mit ihrer Umgebeung und ihr effiziente Erzeugung → Zerlegung der Szene in Voxel und Spezifizierung der Voxel, in denen die Winde wachsen kann → ein parametrisierbarer probabilistischer Algorithmus läßt die Pflanze von manuelle spezifizierten Saatpunkt aus wachsen → über Suchstrategien werden Internodien in den möglichen Voxeln platziert (dabei Betrachtung des direkt einfallenden Sonnenlichts und diffusen Beleuchtungen Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 37
Computergraphik II Voxelpflanzen nach Green: Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 38
Computergraphik II
Voxelmodell nach Green
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 39Computergraphik II Regelbasierte Modellierung von Planzen → Verwendung einer formalen Regelbasis um einen Anfangszustand in einen Endzstand zu verwandeln → ermöglicht eine äußerst kompakte Beschreibung für komplexe Endzustände → Daten müssen in einem zeitaufwendigen Prozess aus Regelmenge generiert werden → in einem Textersetzungssystem werden Zeichen in einem Text durch andere ersetzt mit Hilfe von Regeln → zur Herstellung der Geometrien werden die Zeichen des Textes graphisch interpretiert Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 40
Computergraphik II Ersetzungssysteme klassisches Beispiel: Koch-Kurve → jede Ersetzung geschieht graphisch, d.h. jede Kante wird durch eine Folge von Kanten ersetzt → Ersetzungsvorgang wird durch den Generator realisiert → sukzessive Anwenden des Genarators auf die Kanten des initialen Objektes (Initiator) ergibt eine Komplexe Figur Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 41
Computergraphik II mögliche Ersetzungssysteme: • Graphen Kanten oder Knoten werden durch Teilgraphen ersetzt • Felder Werte oder Wertekombinationen in einem Felde werden durch andere Werte ersetzt • Texte Es werden Zeichen in einem Text ersetzt Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 42
Computergraphik II
Lindenmayer- Systeme
→ Lindenmayer- System (L- System) ist ein Textersetzungssystem
→ gegeben durch eine formale Grammatik G = (V, ω, P ) mit:
V ...Alphabet
ω... ein nichtleeres Wort (Axiom)
P ... eine Menge von Produktionen
→ die Menge V ∗ ist die Menge der Worte über V
die Menge V + ist die Menge aller nichtleeren Worte
→ eine Produktion p ∈ P wird beschrieben durch:
φ ::= χ mit φ, χ ∈ V +
→ in einem kontextfreien L- System (OL-System) hat φ die Länge
Eins, d.h. die Regel ist immer anwendbar, wenn a = φ auftaucht
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 43Computergraphik II
Kontextsensitive L- Systeme
→ in einem kontextsensitiven L- System wird die Anwendbarkeit einer
Regel vom Umfeld des Buchstabens abhängig gemacht:
φ = τ aυ mit τ, υ ∈ V + und a ∈ V
→ Hat τ die Länge k und υ die Länge l, so nennt man
dies ein (k,l)-System
Deterministische L- System
→ in deterministischem L- System (DOL-Systeme) existiert zu einem
φ höchstens eine Regel mit φ als linke Seite
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 44Computergraphik II
Stochastische L- Systeme
→ stochastische L- Systeme werden beschrieben durch formale
Grammatik:
G = (V, ω, P, π)
→ in Ergänzung zum deterministischem L- System wird der Produktions-
Menge P eine Menge von Wahrscheinlichkeiten π : P → (0, 1]
zugeordnet
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 45Computergraphik II
→ in L- Systemen erfolgt die Ersetzung parallel
→ pro Schritt werden alle möglichen Ersetzungen vorgenommen
→ daraus entstehen neue Mächtigkeiten in Bezug auf die
Chomsky-Sprachen
IL-Systeme
Endliche Sprachen
Reguläre Sprachen
(k,l)-Systeme
Kontextfreie Sprachen
Kontextsensitive Sprachen
Aufzählbare Sprachen
Mächtigkeit von 0L- Systemen und (kl)-Systemen im Vergleich zu Chomsky-Sprachen
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 46Computergraphik II
Ein Beispiel:
Alphabet: V = {f, F, +, −}
Axiom: w = F − −F − −F
Regelmenge: P = {F ::= F + F − −F + F }
Entstehende Ableitungsfolge:
F − −F − −F
F + F − −F + F − −F + F − −F + F − −F + F − −F + F
F + F − −F + F + F + F − −F + F − −F + F − −F + F + F +
F − −F + F − −F + F − −F + F + F + F − −F + F − −F +
F −−F +F +F +F −−F +F −−F +F −−F +F +F +F −−F +F
→ Text muß im letzen Schritt graphisch interpretiert werden
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 47Computergraphik II Graphische Interpretation → häufig verwendet: Turtle-Metapher (Schildkröte) → hierbei wird eine Turtle über die Zeichenebene oder durch den Raum geschoben → Zustand der Turtle: Vektor (x, y, α) aus Position+Winkel der aktuellen Bewegungsrichtung (plus weiteres) → ist Position und Richtung vorgegeben, so läuft Turtle immer geradeaus bis Richtungsänderung notwendig wird Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 48
Computergraphik II
→ Fahrbefehle für die Turtle:
F Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, zeichne
eine Linie: (x, y, α) → (x + d cos δ, y + d sin δ, α)
f Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, ohne zu
zeichnen: (x, y, α) → (x + d cos δ, y + d sin δ, α)
+ Erhöhe aktuellen Winkel um δ:
(x, y, α) → (x, y, α + δ)
- Erniedrige aktuellen Winkel um δ:
(x, y, α) → (x, y, α + δ)
→ was kommt bei Beispiel heraus (Winkel: 30◦)
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 49Computergraphik II Raumfüllende Kurven → weitere Kurven erhält man, wenn zwei zusätliche Zeichen L und R dem Alphabet hinzugefügt werden → sie signalisieren den Zustande eines Kurvenstückes und werden bei der Expansion getrennt behandelt → für Fahranweisung spielen sie jedoch keine Rolle → man unterscheidet Kanten- und Knotenersetzungen: Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 50
Computergraphik II
Beispiel für Knotenersetzung:
Sei n = 3, δ = 90◦ und w = −L. Mit den Produktionen:
L ::= LF + RF R + F L − F − LF LF L − F RF R+
R ::= −LF LF + RF RF R + F + RF − LF L − F R
Ergebnis:
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 51Computergraphik II
werden die Produktionen auf folgende Weise verändert
L ::= LF LF + RF R + F LF L − F RF − LF L − F R + F + RF − LF L −
F RF RF R+
R ::= −LF LF LF + RF R + F L − F − LF + RF R + F LF + RF RF −
LF L − F RF R,
Ergebnis:
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 52Computergraphik II
Dreidimensionale Fahrbefehle
→ allgemeine Rotationen werden durch Rotationen bzgl. der drei
Koordinatenachsen beschrieben
→ Differenzwinkel δ kann nun drei Winkel (α, β, γ)
bezüglich der x-,y- und z-Achse verändern
→ Zustand der Maschine wird über das Tupel (x, y, z, M)
beschrieben, mit M als Rotationsmatrix
zugehörige Fahrbefehle:
F Bewege Turtle um Vektor d~ in aktueller Richtung, zeichne
eine Linie: (x, y, z, M) → (x + (Md)~ 1, y + (Md)~ 2, z +
(Md)~ 3, M)
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 53Computergraphik II
f Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, ohne zu
zeichnen: (x, y, z, M) → (x + (Md) ~ 1, y + (Md)~ 2, z +
(Md)~ 3, M)
+ Erhöhe aktuellen Winkel γ um δ: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rγ (δ))
- Erniedrige aktuellen Winkel γ um δ: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rγ (−δ))
& Erhöhe aktuellen Winkel β um δ: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rβ (δ))
∧ Erniedrige aktuellen Winkel β um δ: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rβ (−δ))
\ Erhöhe aktuellen Winkel α um δ: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rα(δ))
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 54Computergraphik II
/ Erniedrige aktuellen Winkel α um δ: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rα(−δ))
| Drehe um, hierbei verwende Matrix Rγ (180◦):
(x, y, z, M) → (x, y, z, M · Rα(180◦))
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 55Computergraphik II
Verzweigungstrukturen
→ zur Erzeugung von Verzweigungsstrukturen werden verwendete
L- System erneut erweitert
→ Abarbeitung geschieht als sogenannter Pushdown- Automat
Pushdown- Automaten
→ um bei Auswertung einen Pushdown- Automaten zu implementieren
muss mittels eines Stacks der aktuelle Zustand des Systems
gespeichert und auch wieder geladen werden können
[ Speichere aktuellen Zustand (x, y, z, M) auf Stack
Zeichen:
] Lade Zustand (x, y, z, M) vom Stack
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 56Computergraphik II
(a) (b) (c) (d)
Abbildung n δ w P
(a) 5 25,7◦ F { F ::= F[+F]F[-F]F }
(b) 4 22,5◦ F { F ::= FF-[-F+F+F]+[+F-F-F] }
(c) 7 25,7◦ X { X ::= F[+X][-X]FX, F ::= FF }
(d) 5 22,5◦ X { X ::= F[[X]+X]+F[+FX]-X, F ::= FF }
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 57Computergraphik II
Dreidimensionales Beispiel:
A ::= [&F L!A]/////0[&F L!A]///////0[&F L!A]
F ::= S/////F
S ::= F L
L ::= [000∧ ∧ {−f + f + f − | − f + f + f }]
→ geschweifte Klammern dienen zur Markierung eines grphischen Pfades
in Form einer Folge von Punkten
→ Punke werden bei Geometrieerzeugung über Triangulierung in
eine Fläche umgewandelt
→ ! und ’ dienen zur Vermiderung des Astdurchmessers und zur
Steuerung der Farben
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 58Computergraphik II
Ein dreidimensionaler Busch
aus Prusinkiewicz, Lindenmayer: The algorithmic beauty of plants
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 59Computergraphik II
Stochastische und parametrische Systeme
→ bisher vorgestellte L- Systeme erzeugen immer dieselben
Verzweigungsstrukturen
→ nun: zufällige Ereignisse in die Strukturen einbauen
→ Variation von Parametern
→ zufällige Anwendung der Regeln (mehrer Regeln mit gleicher
linker Seite, Auswahlmechanismus)
→ außerdem: Einführung von Parametern
→ diese werden während Expansion verändert
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 60Computergraphik II
F(w) Bewege Turtle um Vektor d(w) ~ in aktueller Richtung,
~
zeichne eine Linie: (x, y, z, M) → (x + (Md(w)) 1, y +
~
(Md(w)) ~
2, z + (Md(w))3, M)
f(w) Bewege Turtle um Länge d in aktueller Richtung, oh-
~
ne zu zeichnen: (x, y, z, M) → (x + (Md(w)) 1, y +
~
(Md(w)) ~
2, z + (Md(w))3, M)
+(w) Erhöhe aktuellen Winkel γ um a: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rγ (w))
&(w) Erhöhe aktuellen Winkel β um a: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rβ (w))
/(w) Erhöhe aktuellen Winkel α um a: (x, y, z, M) →
(x, y, z, M · Rα(w))
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 61Computergraphik II
Ein einfaches Beispiel: Binärbaum
mit n = 10, δ = 85◦, R = 1.456 und Axiom w = A(1))
Produktion:
A(s) ::= F (s)[+A(s/R)][−A(s/R)]
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 62Computergraphik II Weitere Beispiele mit parametrisierten L- Systemen: Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 63
Computergraphik II
Phyllotaxis
→ Beschreibung der Anordnung von Blättern und Blütenblättern in
Pflanzen
→ Beispiel: Arangements der Samen der Sonnenblume
→ mathematische Beschreibung: goldener Schnitt
√
ri = c · i αi = i · φ (1)
wobei c eine positive Konstante ist und φ genau den Wert von 137.5◦
einnehmen muß. Es gilt
◦
√
360 5+1
φ = 2 = 137.5077..◦ mit τ= . (2)
τ 2
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 64Computergraphik II
21er Nachbarschaft
9
1 22
30
43 17
35 56 64 51
Divergenz φ 14 77 4
85 38
98 72
48 69 90
111 119 106 59
25
27 132 93
03 124 145
140 12
82 1 153
6
7
11 34er Nachbarschaft
61
46
166
80
161 4
12
7 174 14
6 13 158
40
8
11 179 187
18 φ = 137.7o
10
95
195
13
67
2 16
19
200
1
33
71
5
74
208 9
0
1 2
19
15
9 216 203
12
15
12
3
53
88
21 221
108
2
19
6
54
4
229
5
0
3
18
20
1
16
1
20
6
32
87
234
1
43
22
142
7
22
21
09
23
7
4
8
7
7
197
242
1
121
198
164
21
5
66
176
130
11
9
232
41
23
47
231
155
2
24
210
185
100
96
2
19
5
45
151
189
7
240
244
206
134
62
223
248
9
117
227
172
79
24
168
236
202
24
28
113
1
23
138
24
8
9
214 01 188
246
147
215
3
3
1 3
181
5
58
24
28
1
104
5
49
2
92
22
180 1
238
9
4
3
2
126
23
233
160
2
19
125
0
7
37
0
20
1
7
22
φ = 137.5o
20
1
5
0
71
225
3
46
217 9
5
9
17
67
10
13
91
6 212
3
18 9
16
19 196
11
6
204
2
50
15 175
13
2
15
8
84
57
11
191
3
5 183 4
16 178
2
78
1 162
13 170 99
29
14 12
23
97
63
144 157 149
1 0
44
0
11 136 107 128 65
76 123 86
8
42 115 10
89 102 94
55 73 52 31
21 68 81
34 60
0 47 39 18
13 26
5
φ = 137.2o
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 65Computergraphik II
→ erstaunlich: Nachbarschaften entsprechen Fibonaccizahlen
f = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ...
a) 8-Nachbarschaft wird zu 144-Nachbarschaft
b) Parastichien: 21 rot, 34 grün, 55 blau, 89 magenta, 144
c) Nicht-Fibonacci-Zahlen erzeugen keine reinen Parastichien (22-26)
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 66Computergraphik II
Phyllotaxis mit L-Systemen
√
Produktion: A(n) ::= +(137.5)[f ( n) ∼ D]A(n + 1)
→ D ist L-System zur Beschreibung eines kleine Kreises
→ Kompletter Kopf einer Sonnenblume unter Zuhilfenahme von
L-Systemen zur Erzeugung der Form von Samen S, von
Blütenständen R und von Blütenblättern M, N, O, P
√
A(n) ::= +(137.5)[f ( n)C]A(n + 1)
C(n) : n ≤ 440 ::= ∼ S
C(n) : 440 < n ≤ 565 ::= ∼ R
C(n) : 565 < n ≤ 580 ::= ∼ M
C(n) : 580 < n ≤ 595 ::= ∼ N
C(n) : 595 < n ≤ 610 ::= ∼ O
C(n) : 610 < n ::= ∼ P
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 67Computergraphik II
Sonnenblume und Rosen, generiert über parametische L-Systeme
aus Prusinkiewicz, Lindenmayer: The algorithmic beauty of plants
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 68Computergraphik II
Animation mit L-Systemen
→ differential L- Systems
→ L-Systemartige Produktionen beschreiben topologische Änderungen
und Differentialgleichungen die kontinuierlichen Prozesse
→ Produktionen bestehen auf der linken Seite aus:
φ = τ aυ mit τ, υ, a ∈ V
→ diese parametrischen 2L -Systeme besitzen den Parametersatz:
φ = τ (wτ )a(w)υ(wυ )
→ kontinuierliche Verhalten der a(w) wird durch gewöhnliche
Differentilagleichungen beschrieben
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 69Computergraphik II
Wachstum von Lychnis coronaria
aus Prusinkiewicz, Lindenmayer: The algorithmic beauty of plants
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 70Computergraphik II
Interaktion von Pflanzen und Umwelt
→ umweltsensitive L-Systeme
Interaktion von Pflanzen mit ihrer Umwelt
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 71Computergraphik II Regelbasierte Objekterzeugung Regelbasierte Verfahren: • mächtig und flexibel, um Struktur herzustellen • nicht intuitiv, Erzeugungsregeln lokal Prozedurales Modellieren: • mächtige Methode, um Geometrie • und auch Struktur herzustellen (CAD-Systeme) • intuitiv, aber beschränkt Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 72
Computergraphik II
Idee:
Regelbasiertes und prozedurales Modellieren verbinden
Umsetzung:
Baum repräsentiert Modell
Knoten:
Komponenten (Daten + Algorithmen)
Kanten:
Erzeugungsabhängigkeiten bzw. -regeln
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 73Computergraphik II
Geometrieerzeugung
Drei Arten von Komponenten:
1. Geometrieerzeugung (Primitive, Blätter, Zweige etc.)
2. Multiplikation anderer Komponenten
3. Globale Modellierung
Problem:
Strukturinformation wird auf zwei Arten repräsentiert:
→ Multiplikatorkomponenten
→ Graphstruktur
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 74Computergraphik II
Daher:
Dreistufiger Algorithmus
1. erzeuge Graph aus Komponentenprototypen
(p-graph)
2. expandiere Graph zu Baum (i-tree)
3. erzeuge Geometrie durch Traversierung des Baums
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 75Computergraphik II Komponenten (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) Geometrieerzeugung: a) Simple, b) Revo, c) Horn, d) Leaf Multiplikation: e) Tree, f) Hydra, g) Wreath, h) Phiball Globale Modellierung: i) FFD, j) Hyperpatch, k) World Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 76
Computergraphik II
Horn/Tree-Geometrie (inspiriert von Todd/Latham):
T2
T1
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 77Computergraphik II Multiplikation: a) Hydra, b) Wreath, c) Phiball Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 78
Computergraphik II Ein Beispiel A Wurzel B Geometrieerzeugende Komponente C Multiplikator (Anzahl Kopien=3) D Geometrieerzeugende Komponente (Rekursionstiefe=3) Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 79
Computergraphik II → Multiplikatoren speichern Werte in Form von Wertebereichen → Jede multiplizierte Komponente erhält individuellen Wert Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 80
Computergraphik II Pflanzenbeispiel Eins: Sonnenblume Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 81
Computergraphik II Pflanzenbeispiel Zwei: Rhododendron Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 82
Computergraphik II Pflanzenbeispiel Drei: Baum Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 83
Computergraphik II Erzeugung von Pflanzenpopulationen/ Ökosystemen • Verwendung parametrisierter Pflanzenmodelle → xfrog, L-Systeme • Spezifikation von Terrain und Bodendaten → interaktiv oder mit Geodaten Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 84
Computergraphik II • Spezifikation von Pflanzenpositionen und -parametern → interaktiv, deklarativ oder simulativ • Reduktion von Geometriedaten → Quantisierung, approximative Instanziierung • effiziente Bilderzeugung → cache-koherentes Raytracing → hardware-beschleunigtes Raycasting Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 85
Computergraphik II
Spezifikation von Pflanzenpositionen und
-parametern
Möglichkeiten:
a) Interaktive Spezifikation “Malprogramm”
b) Prozedurale Generierung anhand explizit bekannter Verteilungen
→ Interpretation von Satellitenbildern
c) Prozedurale Generierung aufgrund
von Simulationsverfahren
→ Verdrängung, Kampf um Licht
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 86Computergraphik II
Interaktive Spezifikation
Anwendungen:
• Gärten, Parks, gestaltete Landschaften
• menschliche Einflußnahme
Vorgehensweise:
• male Bilder, deren Grauwerte Parameter bestimmen
→ Positionen, Größe/Prosperität, Orientierung, Auflösung
• bestimme Positionen durch Halftoning Verfahren
→ hierbei evtl. Relaxation
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 87Computergraphik II
• ordne Pflanzenpositionen Parameterwerte zu
→ Funktionen spezifizieren, wie Bilder interpretiert werden
• erzeuge Datei mit Pflanzenparametern
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 88Computergraphik II Beispiel: Garten Parameterbilder, Positionen: Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 89
Computergraphik II Generiertes Bild: Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 90
Computergraphik II Grasmodell: Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 91
Computergraphik II
Spezifikation durch Simulation
→ Ausgangspositionen zufällig oder interaktiv spezifiziert
→ Simulation von Selbstverdrängung (self-thinning)
Yoda et al.: 3
log(m) = − log[d] + const
2
(m: Trockengewicht, d: Pflanzendichte)
Population unter Selbstverdrängungskurve
⇒ mehr Individuen
Wachstum (Vergrößerung des Gewichts)
⇒ Selektion
Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 92Computergraphik II Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 93
Computergraphik II → Simulation verschiedener Pflanzenarten Komplexeres Modell: → Verdrängung/Selbstverdrängung → Umweltfaktoren (Wasser, Erdbeschaffenheit) Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 94
Computergraphik II Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 95
Computergraphik II Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 96
Computergraphik II Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 97
Computergraphik II Oliver Deussen Pflanzenmodellierung 98
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