Mathematica Crash-Kurs - Eine kompakte und systematische Einführung für Anfänger und Fortgeschrittene
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Mathematica Crash-Kurs
Eine kompakte und systematische Einführung
für Anfänger und Fortgeschrittene
Edition 1.0
© Markus van Almsick, 1999, alle Rechte vorbehalten.2 MmaCrashKurs.nb
Einleitung
Zielsetzung
Mathematica ist wahrscheinlich das größte Programm, das Sie derzeit benutzen. Es besteht aus über 1800 Grundbefe-
hlen und aus einer ständig wachsenden Anzahl hinzuladbarer Packages, die die Fähigkeiten Mathematica's erweitern.
Mathematica hilft Ihnen bei der Lösung angewandeter Mathematik, die Ihnen in den Naturwissenschaften, in der
Technik und im Finanzwesen begegnet. Mathematica bietet nicht nur numerischen Lösungsverfahren, sondern auch
Möglichkeiten Formeln symbolisch zu bearbeiten. Die eingebauten Graphikfähigkeiten und der Folding-Editor dienen
zur Dokumentation Ihrer Ausarbeitungen. Außerdem ist Mathematica eine Programmiersprache, die die Fähigkeiten
unterschiedlicher Programmiersprachen, wie z.B. Fortran, C, APL, Prolog, Lisp, etc. in sich vereinigt.
Das Problem eines jeden zeitlich begrenzten Mathematica-Seminars ist die Fülle an Funktionen und neuen Konzepten,
die einem Anwender möglichst umfassend vermitteln werden sollten. Dies ist leider in einem einzigen Kurs nicht
machbar, sodaß Kompromisse gemacht und Schwerpunkte gesetzt werden müssen.
Gegenstand dieses Workshops ist Mathematica Version 4.0. Der überwiegende Teil des Lehrmaterials trifft aber auch
auf Version 2.2 und Version 3.0 zu.
Vorgehensweise
In diesem Seminar wird Ihnen Mathematica als Programmiersprache vorgestellt.
Es gibt wie beim Erlernen einer Fremdsprache zwei Methoden sich einer Programmiersprache zu nähern:
Die Ganzheitsmethode:
Diese Methode, auch "Learning by Doing" genannt, ist der bekannte Sprung ins kalte Wasser. Durch das Nachvollzie-
hen und Erweitern von Beispielrechnungen und kleineren Projekten wird die Handhabung der Software praxisorientiert
vermittelt.
Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt im Erlangen praxisorientierten Wissens. Man bekommt die Übung mit den
alltäglichen, im Detail auftretenden Schwierigkeiten fertig zu werden. Man ist nach kürzester Zeit in der Lage einfache
Rechnungen erfolgreich durchzuführen. Leider kommt bei dieser Vorgehensweise das systematische Grundwissen zu
kurz. Dieser Umstand ist insbesondere bei der Komplexität von Mathematica auf Dauer von Nachteil.MmaCrashKurs.nb 3
Die systematische Einführung:
Eine systematische Einführung ist eine eher trockene und keineswegs praxisorientierte Angelegenheit. Das Wissen der
"Vokabeln" und der "Grammatik" allein befähigt Sie nicht die "Fremdsprache" Mathematica im Alltag gewinnbringend
einzusetzen. Auf längere Sicht ist jedoch eine systematische Erarbeitung der grundlegenden Strukturen einer Software
immer von Vorteil. Dies trifft insbesondere auf Mathematica zu, wenn man sich mit der regelbasierten und funktionalen
Programmierung befaßt.
Der Crash-Kurs
Wir werden uns in diesem Crash-Kurs aus Zeitgründen auf eine kurze, systematische Einführung beschränken müssen.
Die Besprechung praxisorientierter Beispiele und die Vertiefung der Materie durch Übungen bleibt mehrtägigen Kursen
und Workshops vorbehalten. Wir erarbeiten uns aber eine Ausgangsbasis, von der aus alle weiteren Fähigkeiten Mathe-
matica's übersehen und leicht erlernt werden können.
à Gliederung des Crash-Kurses
In der kurzen, systematischen Einführung befassen wir uns mit Mathematica als Programmiersprache. Dementsprech-
end ist der Kurs wie folgt gegliedert:
1. Die grundlegenden Datenobjekte, deren Zusammensetzung und Darstellung (Listenstrukturen)
2. Die Verarbeitung der Datenobjekte
a) Die Syntax-Erkennung der Datenobjekte (Mustererkennung)
b) Die Umwandlung der Datenobjekte (Regelsysteme)
3. Die Zusammensetzung der Verarbeitungsschritte (Programmierung)
Tabula Rasa
Bevor wir beginnen, ist es ratsam alle Erwartungshaltungen oder Vorstellungen, die aufgrund herkömmlicher Program-
miersprachen wie C, Pascal, Basic, Fortran, usw. bestehen, über Bord zu werfen. In SMP (Symbolischen Manipulation-
sprogrammen) wie Mathematica treffen wir auf eine Reihe neuer Ideen. Einige alte Konzepte, wie z.B. Typendeklara-
tion der Variablen oder die Trennung zwischen Daten und Operationen, werden wegfallen. Es ist daher ratsam, vorbe-
haltlos an die vielen in Mathematica verwirklichten Ideen heranzutreten ohne sie gleich in Frage zu stellen. Die Vorzü-
gen werden Sie sicher während des Crash-Kurses kennenlernen.
Genug der Vorrede! In medias res!4 MmaCrashKurs.nb
Mathematica Listenstrukturen
Listenkonzept
Alle Datenobjekte in Mathematica sind in Listenstrukturen niedergelegt. Eine Listenstruktur besteht aus zwei Teilen,
dem Listenkopf und den Argumenten.
Listenkopf[Argument1,Argument2,...]
Die Listenstruktur der Datenobjekte läßt sich mit dem Befehl FullForm offenlegen. Hier sind einige Beispiele:
Addition: 1+1
Plus[1,1]
Vektor: {1,2,3}
List[1,2,3]
Formel: x2 -
Cos@yD
3
Plus[Power[x,2],Times[Rational[-1,3],Cos[y]]]
Graphik:
Graphics[Line[{{0,0},{2,0},{1,1},{0,0}}]]
In Mathematica wird praktisch alles mit Listenstrukturen geregelt. Dies schließt auch die Notebooks mit ein.
Notebook[{
Cell[
CellGroupData[{
Cell[BoxData[\(2\ + \ 2\)], "Input"]MmaCrashKurs.nb 5
Cell[BoxData[\(4\)], "Output"]
},
Open
]
]},
FrontEndVersion->"Macintosh 3.0",
ScreenRectangle->{{0, 1024}, {0, 748}},
WindowSize->{511, 259},
WindowMargins->{{36, Automatic}, {Automatic, 58}}
]
Atomare Datentypen
Offensichtlich müssen die Listenstrukturen aus grundlegenden Datenobjekten zusammengesetzt werden. Diese grundleg-
enden, nicht weiter aus Listen zusammengesetzten Datenobjekte bezeichnet man als atomar. In Mathematica gibt es 6
verschieden atomare Datentypen.
Ganzen Zahlen
à Eingabe
Natürliche und ganze Zahlen werden als Ziffernfolge mit oder ohne Vorzeichen (+ oder -) eingegeben. Die Ziffernfolge
kann beliebig lang sein, darf aber keinen Dezimalpunkt oder Bruchstrich enthalten.
Beispiele:
1998
-12
à Eigenschaften
Ganze Zahlen haben den Listenkopf Integer
Beispiele:
Head@1999D
Integer
IntegerQ@1999D
True
Integer-Zahlen können beliebig groß sein und sie werden von Mathematica exakt verarbeitet.6 MmaCrashKurs.nb
Beispiele:
Ein gigantischer Binomialkoeffizient
Binomial@1999, 1900D
5480307429468978819502484902052030669259099763711602614435120655666146437
447653135616660229574404763211211949641810113372635915521793535841120897
8615805047532956183962204
Eine einfache Division
1998 37
54
Rationalen Zahlen
à Eingabe
Rationale Zahlen werden durch zwei ganze Zahlen, dem Zähler und dem Nenner, mit dazwischenliegendem Bruchstrich
/ eingegeben. Falls Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor aufweisen, wird der eingegebene Bruch von Mathe-
matica umgehend gekürzt. Die gekürzte Form wird als eindeutige, kanonische Darstellung der rationalen Zahl
angesehen.
Beispiele:
7 24
7
24
9 24
3
8
à Eigenschaften
In Mathematica sind rationale Zahlen ein eigenständiger, atomarer Datentyp und keine aus ganzen Zahlen zusammeng-
esetzter Ausdruck, wie die folgende Typenabfrage mittels Head[] und AtomQ[] belegen.
Head@3 4D
Rational
AtomQ@3 4D
True
Ebenso wie die ganzen Zahlen werden auch die rationalen Zahlen exakt ohne Rundungsfehler weiterverarbeitet. Ist dies
im Rahmen der rationalen Zahlen nicht möglich, wird die Rechnung beim letzten, nicht exakten Zwischenergebnis
abgebrochen.
Beispiele:MmaCrashKurs.nb 7
H2 3 - 4 5L ^ 2
4
225
Sqrt@2 - 2 9D
4
3
Sqrt@2 - 2 7D
3
2 $%%%%%%
7
Man beachte, daß die exakte Verrechnung der rationalen Zahlen sehr aufwendig ist. Nach jedem Rechenschritt wird
überprüft, ob Zähler und Nenner gekürzt werden können. Zu diesem Zweck ist eine Primzahlzerlegung erforderlich,
was die Rechengeschwindigkeit drastisch beeinträchtigen kann.
Gleitkommazahlen
à Eingabe
Gleitkommazahlen werden bei der Eingabe durch eine Ziffernfolge mit Dezimalpunkt, dem angelsächsischen Pendant
eines Dezimalkommas, gekennzeichnet. Der Dezimalpunkt darf auf keinen Fall fehlen, da sonst die Zahl als Integer
aufgefaßt wird. Gleitkommazahlen werden in Mathematica durch den Datentyp Real dargestellt.
Beispiele:
Eine typische Gleitkommazahl.
Head@2.98 10 ^ 8D
Real
Zum Vergleich: die Eins als Gleitkommazahl
Head@1.D
Real
und die Eins als ganze Zahl.
Head@1D
Integer
Eine Gleitkommazahl mit einem Exponent ungleich 0 wird durch das Anfügen einer Basis hoch Exponent, z.B. 10^3,
angegeben.8 MmaCrashKurs.nb
à Eigenschaften
Gleitkommazahl können beliebig groß und präzise sein. Es gibt jedoch eine Einschränkung. Die Hardware eines
Rechners umfaßt meist einen Koprozessor, der für eine schnelle Verarbeitung der Gleitkommazahlen sorgt. Damit dies
auch für Mathematica zutrifft, sollten Gleikommazahlen nicht größer als $MaxMachineNumber und nicht kleiner als
$MinMachineNumber sein. Außerdem sollte die Anzahl der signifikanten Ziffern in der Mantisse die
$MachinePrecision nicht übersteigen. Ist die Verarbeitungsgeschwindigkeit nicht relevant, können auch Gleitkom-
mazahlen bis zu einer Größe von $MaxNumber in Mathematica verrechnet werden. Die Grenze $MaxNumber kann
auch verschoben werden.
Bekanntlich können in Gleitkommarechnungen Rundungsfehler auftreten, die bei instabilen numerischen Algorithmen
verheerende Ausmaße annehmen können. In Mathematica kann diesem Effekt nur bedingt durch höhere Rechen-
genauigkeit Einhalt geboten werden.
Beispiele:
N@Π, 100D
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640
6286208998628034825342117068
N@2 Π, 100D
6.28318530717958647692528676655900576839433879875021164194988918461563281
2572417997256069650684234136
Achtung! Mathematica kann natürlich keine Dezimalstellen erfinden. Ist die Eingabe ungenau, gilt dies auch für die
Ausgabe.
N@2.0 Π, 100D
6.28319
Komplexen Zahlen
à Eingabe
Ein I oder ä kennzeichnet den imaginären Teil einer komplexen Zahl. Der Wert des reellen und imaginären Anteils wird
mit ganzen, rationalen oder Gleitkommazahlen angegeben.
Beispiel:
2.1 - 3 ä 5
3I
2.1 -
5
à Eigenschaften
Obwohl eine komplexe Zahl als ein aus Real- und Imaginärteil zusammengesetztes Zahlentupel aufgefaßt werden kann,
handelt es sich in Mathematica um einen atomaren Datentyp. Die Einführung eines separaten, atomaren Datentyps
ermöglicht eine höhere Effizienz bei der Verabeitung komplexer Rechnungen. Komplexe Zahlen haben in Mathematica
den "Kopf" Complex.MmaCrashKurs.nb 9
Beispiel:
Head@1 - 3.14 ID
Complex
Die numerischen Eigenschaften einer komplexen Zahl richten sich nach den Eigenschaften der Zahlen, die den Real-
und Imaginärteil bestimmen. So werden beispielsweise komplexe Zahlen mit ganzahligen Koeffizienten exakt
verrechnet.
Beispiel:
H4 + 6 äL H2 - äL
2 16 I
+
5 5
Texte
à Eingabe
Texte werden durch Anführungsstriche oben gekennzeichnet.
Die Anführungsstriche umrahmen den Text, welcher aus Buchstaben, Ziffern, Satz-, Sonder- und Formatierungszeichen
bestehen kann. Einige Besonderheiten sind zu beachten:
\" kodiert Anführungstriche innerhalb eines Textes.
\t kodiert ein TAB (Tabulator-Zeichen).
\n kodiert einen Zeilenumbruch.
\\ kodiert einen backslash \.
\xxx kodiert ein Zeichen im octalen ACII-Kode xxx.
Beispiel:
"Es gibt einige Ausnahmen:\n \\\" \t \\t \t \\n"
Es gibt einige Ausnahmen:
\" \t \n
à Eigenschaften
Ein Text wird in Mathematica durch den "Kopf" String gekennzeichnet und kann durch den boolschen Befehl
StringQ verifiziert werden.
Beispiel:
Head@"Mein Name ist Hase."D
String10 MmaCrashKurs.nb
StringQ@"Ich weiß von nichts!"D
True
Texte werden in Mathematica durch Text-spezifische Befehle verabeitet. Alle diese Befehle beginnen mit String.
? String*
String StringPosition
StringBreak StringQ
StringByteCount StringReplace
StringDrop StringReplacePart
StringForm StringReverse
StringInsert StringSkeleton
StringJoin StringTake
StringLength StringToStream
StringMatchQ
Symbole
à Eingabe
Eine beliebige Zeichenfolge, die mit einem Buchstaben beginnt und weiter aus bis zu 255 Buchstaben oder Ziffern
besteht, wird von Mathematica als Symbolname und somit als Symbol aufgefaßt. Sonderzeichen (wie z.B. $, _, /, `,
etc.) sollte man in Symbolnamen nicht verwenden, auch wenn dies Mathematica-intern geschieht (z.B. $Machine-
Name). Außerdem ist zu beachten, daß zwischen Groß- und Kleinschreibung unterschieden wird.
Seit Version 3.0 umfaßt Mathematica eine beachtliche Menge mathematischer, griechischer und internationaler Buchsta-
ben und Sonderzeichen (wie z.B, Ω = Ω, ß = ß, ü = ü, ∑ = ∑). Diese können, sofern Sie nicht wie zum Beispiel ∑ mit
einer Funktion behaftet sind, in Symbolnamen eingebaut werden. (Siehe hierzu A.12.1 Introduction)
à Eigenschaften
Symbole dienen als Platzhalter für alle erdenklichen Mathematica-Ausdrücke und als Namensgeber für Typendeklara-
tionen oder Operationen. Da Symbole in einer SMP-Sprache wie Mathematica eine zentrale Rolle spielen, wollen wir
an dieser Stelle nicht vorgreifen. Der Gebrauch der Symbole wird im Laufe dieses Kurses mehrfach eingehend
diskutiert.
Beispiele:
Das Symbol Pi bzw. Π dient als Platzhalter einer numerischen Konstante.
Head@ΠD
Symbol
Den numerischen Wert des Symbols Pi können wir mit der Funktion N extrahieren.
?N
N@ausdrD ergibt den numerischen Wert von ausdr.
N@ausdr, nD versucht, ein
Ergebnis mit n-stelliger Präzision anzugeben.MmaCrashKurs.nb 11
N@Pi, 50D
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
Das Symbol Sin dient als Name einer Funktion.
Head@SinD
Symbol
Sin@Pi 3D
!!!
3
2
Das Symbol Expand dient als Name eines Mathematica-Kommandos.
Head@ExpandD
Symbol
Expand@Hx - 1L3 D
-1 + 3 x - 3 x2 + x3
Listensemantik
Wie bereits erwähnt, können atomare Ausdrücke zu komplexeren Ausdrücken zusammengesetzt werden. Es gibt zwei
semantische Interpretations- bzw. Einsatzmöglichkeiten dieser Listenstrukturen.
à Datenstrukturen
Computerdaten bestehen immer aus zwei Teilen; aus den "reinen" Daten, die als Bits und Bytes gespeichert werden,
und aus deren Semantik, die angibt, wie die "reinen" Daten zu interpretieren sind.
In herkömmlichen Programmiersprachen wird die Semantik der Variablen und Konstanten zu Anfang eines jeden
Programms durch eine Typendeklaration festgelegt. Die Zuweisung und Verarbeitung der "reinen" Daten wird hiervon
getrennt später vorgenommen.
In Mathematica werden die reinen Daten und deren Typendeklaration nicht voneinander getrennt. Alle Daten tragen zu
jeder Zeit ihre Typendeklaration als Aushängeschild mit sich. In der oben angesprochenen Listenstruktur geschieht dies
wie folgt:
Typendeklaration[Daten...]
Beispiel:
Im Zusatzpaket Algebra`Quaternions` wird der Zahlentyp der Quaternionen, eine nicht-kommutative Erweiter-
ung der komplexen Zahlen, definiert. Ein Quaternion a + b ä + c ü + d ä ü mit reellen a,b,c,d, sowie ä2 = ü2 = -1 und
ä ü = -ü ä, besteht aus 4 Komponenten und ist in Mathematica wie folgt implementiert.
a+bä+cü+däü ® Quaternion[a,b,c,d]12 MmaCrashKurs.nb
Die Definition mit dem Listekopf Quaternion ist zunächst willkürlich. Erst die im Zusatzpaket implementierten
Funktionen und Operationen, die diese neue Listenstruktur verarbeiten, geben der Typendeklaration einen Sinn.
Summation:
Quaternion :
Quaternion@a_, b_, c_, d_D + Quaternion@e_, f_, g_, h_D :=
Quaternion@a + e, b + f, c + g, d + hD
Nicht-kommuntative Multiplikation:
Quaternion :
Quaternion@a_, b_, c_, d_D ** Quaternion@w_, x_, y_, z_D :=
Quaternion@
a w - b x - c y - d z,
a x + b w + c z - d y,
a y - b z + c w + d x,
az + by - cx + dw
D
à Funktionsstrukturen
InMathematicawerden auch Funktionen,Operationen und Anweisungen in Listenform eingegeben und gegliedert.In
diesem Zusammenhang bezeichnet der Listenkopf die Funktion,Operation oder das Kommando.Die Listenargumente
stellen die entsprechenden Argumente dar.
Operation[Argumente...]
Diese offensichtliche Konstruktion werden wir anhand einiger Beispiel erläutern.
Beispiele:
Einfache Addition:
Plus@1, 1D
Skalarprodukt (im Englischen: dot product) zweier 3-dimensionaler Vektoren:
Dot@List@a, b, cD, List@x, y, zDD
Integration der Funktion sin2 HxL mit der Integrationsvariablen x:
Integrate@Power@Sin@xD, 2D, xD
Listendarstellung
Man hat bereits sehen können, daß für gewöhnlich die Ein- und Ausgaben nicht in Listenform übergeben wird. Mathe-
matica bietet dem Benutzer die Möglichkeit andere Formate zu nutzen. Intern allerdings gilt für jeden Ausdruck die
oben angegebene Listenstruktur.
Eine jede Eingabe in ein Mathematica-Notebook wird gemäß der im Mathematica Buch unter A .2 .7 aufgeführten
Umformungsregeln in eine Listenstruktur umgewandelt.MmaCrashKurs.nb 13
Beispiele:
a+b ® Plus@a, bD
81, 2, 3< ® List@1, 2, 3D
exprPiT ® Part@expr, iD
à f@xD â x ® Integrate@f@xD, xD
Bei der Ausgabe kann man zwischen verschiedenen Formaten wählen. Ohne expliziete Anweisung stellt Mathematica
die Listenstrukturen in StandardForm dar. Eine traditionelle mathematische Notation erhält man mit
TraditionalForm.
Beispiel:
Integrate@Abs@Sin@2 xDD x ^ 2, xD
StandardForm:
Abs@Sin@2 xDD
â x
à
x2
TraditionalForm:
sinH2 xL¤
à
x2
â x
Um den Datenaustausch mit anderen Programmen zu vereinfachen, gibt es einige spezielle Ausgabeformate.
Beispiel:
Programmiersprache C
CForm@Abs@Sin@2 xDD x ^ 2D
Abs(Sin(2*x))/Power(x,2)
Typesettingsystem TeX
TeXForm@Integrate@Abs@Sin@2 xDD x ^ 2, xDD
\int \frac{\Mfunction{Abs}(\sin (2\,x))}{{\Mfunction{x}}^2}\,dx
Mathematica Verarbeitungsmechanismen
Anwendung Eingebauter Befehle
Viele Mathematica-Anwender beschränken sich auf den einfachen Einsatz der eingebauten Mathematica-Befehle.
Selbst bei dieser simplen Nutzung des Systems werden einige Konzepte übersehen, die hier schnell angesprochen
werden sollen.14 MmaCrashKurs.nb
Auffinden eines Mathematica-Befehls
Es ist unmöglich alle Mathematica-Befehle zu kennen. Daher bietet das System einige Hilfestellungen, um die
benötigten Befehle zu finden.
à Systematische Namensgebung
Alle Befehle beginnen mit einem Großbuchstaben.
Befehle mit zusammengesetzte Befehlsnamen werden zusammengeschrieben. Jedes Teilwort beginnt mit einem
Großbuchstaben.
Die Befehlsnamen werden nicht abgekürzt. Außnahmen sind nur die Standardkürzel bei mathematischen Funktionen
(Sin, Tan, etc.) sowie (N, D)
Numerische Kommandos beginnen mit N
Boolsche Funktionen enden mit Q
Formatierungsbefehle enden mit Form
etc.
à Online Hilfe
In einer Eingabezelle kann man mit ? ein Kurzbeschreibung eines Befehls erhalten.
Außerdem kann man mit dem Jokerzeichen * Befehle leicht ausfindig machen.
à Help Browser
Der Help Browser im Mathematica-Menü gewährt eine ausführliche Hilfestellung.
Insbesondere sind die Querverweise bei der Beschreibung eingebauter Funktionen hilfreich.
à Input Menü
Im Eingabemenü befinden sich Kommandos, die Mathematica-Befehle erstellen oder ergänzen.
Angabe der Argumente
Es gibt zwei Methoden einer Funktion oder einem Kommando Argumente zu überreichen.
à Stellungsdefinierte Argumente
Stellungsdefinierte Argumente sind in der Mathematik hinreichend bekannt.Bei einer geringen Anzahl von Argumenten
werde diese bei der Übergabe an eine Funktion durch Ihre Stellung in der Argumentenkette definiert.
Beispiel:MmaCrashKurs.nb 15
Das erste Argument einer Besselfuntkion gibt die Ordnung der Funktion, das zweite Argument die komplexe Variable
an.
? BesselJ
BesselJ@n, zD gives the Bessel function of the first kind JHn, zL.
ä
BesselJA2, 3 - E N
2
0.521116 - 0.00874396 ä
à Optionen
In Mathematica gibt es eine ganze Reihe von Kommandos, die sehr viele Argumente haben können. In diesen Fällen ist
die Verwendung von stellungsdefinierten Argumenten unpraktisch, da immer alle Argumente aufgelistet werden
müßten. Stattdessen bekommen die Argumente einen Namen. Dieser Argumentenname muß bei der Argumentenüber-
gabe mit angegeben werden. In Mathematica geschieht dies in Form einer Ersetzungsregel (siehe weiter unten).
Beispiel:
Das Plot3D-Kommando hat 3 stellungsdefinierte Argumente und ein große Anzahl von Optionen.
gr = Plot3D@
Sin@x yD, 8x, -2, 216 MmaCrashKurs.nb
Options@Plot3DD
8AmbientLight ® GrayLevel@0D, AspectRatio ® Automatic, Axes ® True,
AxesEdge ® Automatic, AxesLabel ® None, AxesStyle ® Automatic,
Background ® Automatic, Boxed ® True, BoxRatios ® 81, 1, 0.4MmaCrashKurs.nb 17
Umbau von Listen
Eine Listen kann als Baumstruktur interpretiert werden.
Beispiel:
x ^ 2 a - b * Sin@xD == x
Dieser Ausdruck entspricht folgender Baumstruktur.
Es gibt diverse Mathematica-Befehle, um eine derartige Baumstruktur zu analysieren und zu manipulieren.
Man stellt schnell fest, daß die direkte Manipulation von Listenstruktur ein Μ-sames Geschäft ist. Daher gehen wir nicht
näher darauf ein, sonderen widmen uns den Symbol-orientierten Ersetzungsregeln.
Analyse
? Head
? Depth
? Length
? LeafCount
? Position
Manipulation
? Part18 MmaCrashKurs.nb
? Level
? Delete
? Insert
? ReplacePart
Ersetzungsregeln
Es ist ein leichtes die eingebauten Mathematica-Befehle durch lokal oder global wirkende Ersetzungsregeln Marke
Eigenbau zu ergänzen.
Eine Regel besteht immer aus zwei Teilen:
1. einer Bedingung, die angibt wann eine Regel angewendet werden kann.
2. einem ausführenden Teil, der angibt was geschehen soll, falls die Bedingung erfüllt ist.
Bedingung ® ausführende Anweisung
Komplexe, mathematische Bedingungen werden in Mathematica mit Musten, sogenannten Patterns, implementiert.
Dies ist Thema des nächsten Unterkapitels. Hier befassen wir uns zunächst mit der Eingabe einfacher Ersetzungsregeln.
Lokale Ersetzungsregeln
Lokale Ersetzungsregeln werden durch einen Pfeil gekennzeichnet.Eine lokale Ersetzungsregel wirkt nur auf den
Ausdruck,auf den sie explicit angesetzt wird.
Beispiel:
Rekursion der Fibonacci-Zahlen.
? ReplaceAll
ausdr . regeln wendet eine Regel oder eine Liste von Regeln an und
versucht so jeden Teil des Ausdrucks ausdr zu transformieren.
?ReplaceRepeated
expr . regeln führt wiederholt Ersetzungen
durch, bis sich der Ausdruck ausdr nicht mehr ändert.
fib@5D . 8fib@0D ® 1, fib@n_D ® n fib@n - 1D<
5 fib@4D
fib@5D . 8fib@0D ® 1, fib@n_D ® n fib@n - 1D<
120MmaCrashKurs.nb 19
Globale Ersetzungsregeln
Globale Ersetzungsregeln gelten für eine ganze Mathematica-Sitzung, es sei denn sie werden zwischenzeitlich gelöscht.
Globale Ersetzungsregeln werden als Anweisung mit Gleichheitszeichen = implementiert.Sie kommen automatisch zur
Anwendung, indem ein Symbol als Auslöser agiert. Ein Replace-Befehl oder dergleichen wird nicht mehr benötigt.
Beispiel:
Das Symbol a soll von Π3 repräsentiert werden.
a = Π 3;
Von nun an wird a immer mit Π3 substituiert,
1 - Sin@aD
!!!
3
1 -
2
egal ob gewollt oder ungewollt.
Expand@H1 - aL3 D
Π2 Π3
1 - Π + -
3 27
Alle durch das Symbol a ausgelösten Ersetzungsregeln kann man mit ? in Erfahrung bringen.
?a
Global`a
Π
a =
3
Um eine bestimmte globale Zuweisung zu löschen, nimmt man den linken Teil der Zuweisung und wendet =. darauf an.
a =.
Um alle mit einem Symbol assozierten globalen Ersetzungsregeln zu entfernen, benutzt man Clear.
Clear@aD;
Ersetzungsregeln mit verzögerter Evaluierung
Den Mechanismus der verzögerten Evaluierung gibt es sowohl für lokale wie auch für globale Ersetzungsregeln.-
Verzögerte Zuweisungen werden mit ¦ statt ® und := statt = gekennzeichnet. Der Unterschied zwischen Ersetzung-
sregeln mit unmittelbarer und mit verzögerter Evaluierung besteht in der Verabeitung des zu substituierenden Aus-
drucks auf der rechten Seite der Ersetzungsregel.Normalerweise wird die rechte Seite gleich bei der Eingabe der
Ersetzungsregel evaluiert,also noch bevor die Ersetzungsregel zur Anwendung kommt.Bei der verzögerten Evaluierung
ist dies nicht der Fall.Der zu substituierende Ausdruck wird ohne jede Änderung übernommen und erst nach der
Susbtitution evaluiert.
Beispiel:20 MmaCrashKurs.nb
Alle für das Beispiel relevanten Symbole werden zunächst gelöscht.
Clear@a, bD
Fall der unmittelbaren Evaluierung:
Angenommen b hat einen beliebigen Wert .... also gleich 1.
b = 1;
Wir setzen a gleich b, genaugenommen a gleich dem Ergebnis von b und somit gleich 1.
a = b
1
?a
Global`a
a=1
Ändert sich b später, z.B.
b = 2;
hat dies keine Auswirkungen auf a, da vorhin ja das Ergebnis von b und nicht das Symbol b dem a zugeschrieben
worden ist.
a
1
Fall der verzögerten Evaluierung:
Zunächst wird wieder alles gelöscht.
Clear@a, b, cD
Angenommen b hat einen beliebigen Wert .... also wieder die 1.
b = 1;
Wir setzen a gleich b, aber mit verzögerter Zuordnung.
a := b
?a
Global`a
a := b
a ist also gleich Symbol b und nicht unbedingt gleich 1, obwohl dies momentan aufgrund der obigen Wertzuweiung
zutrifft.
a
1
Ändert sich b später,MmaCrashKurs.nb 21
b = 2;
hat dies eine Auswirkungen auf a, da vorhin das b dem a zugeschrieben wurde. b hat nun einen anderen Wert und
somit auch a.
a
1
Das gleiche gilt für lokale Ersetzungsregeln.
Beispiel:
Fall der unmittelbaren Evaluierung:
a sei eine Zufallszahl zwischen 0 und 1.
a = Random@D
0.430789
Listet man a nun 3 mal auf, bekommt man 3 mal die selbe Zufallszahl.
Do@Print@aD, 8322 MmaCrashKurs.nb
Eine NValue-Zuweisung erfolgt, wenn das Symbol zur Linken mit dem N-Operator versehen wird.
N@cD = 2.99792458 10 ^ 8 Meter Second
2.99792 ´ 108 Meter
Second
?c
Global`c
N@cD = H2.99792458*^8 * MeterL Second
c wird bei der symbolischen Rechnungen nicht angetastet!
c^2
c2
Erst wenn ein numerischer Wert berechnet werden soll, wird die Ersetzungsregel aktiviert.
N@c ^ 2D
8.98755 ´ 1016 Meter2
Second 2
Die eingebauten Konstanten Pi und E verhalten sich ebenso.
à OwnValue-Zuweisung
Ersetzungregel wird auf jedes Symbol symb angewendet.
symb = ausdr
symb := ausdr
à NValue-Zuweisung
Ersetzungregel wird nur im numerischen Kontext auf das Symbol symb angewendet.
N@symbD = ausdr
N@symbD := ausdr
à FormatValue-Zuweisung
Ersetzungregel wird bei der Ausgabe in Format form auf das Symbol symb angewendet.
Format@symb, formD = ausdr
Format@symb, formD := ausdr
à DownValue-Zuweisung
Ersetzungregel für Funktionen, Operationen und Datentypen mit dem Listenkopf symb.MmaCrashKurs.nb 23
symb@ausdr1D = ausdr2
symb@ausdr1D := ausdr2
à UpValue-Zuweisung
Objektorientierte Ersetzungsregel für Funktionen, Operationen und Datentypen mit dem Argument symb.
ausdr1@symbD ^= ausdr2
ausdr1@symbD ^:= ausdr2
symb : ausdr1@ ..., symb, ...D ^= ausdr2
symb : ausdr1@ ..., symb, ...D ^:= ausdr2
Mustererkennung
Im Gegensatz zur Numerik ist die Syntaxerkennung in der Symbolik recht kompliziert. Um zum Beispiel eine Glei-
chung auflösen zu können, muß man den Gleichungstyp (linear, quadratisch, transzendent,...) identifizieren. Dies ist
natürlich schwieriger als zum Beispiel die Summanden in einer Summe zu lokalisieren. Derartige Aufgaben werden in
der Numerik bereits automatisch von den Compilern und Interpretern der Computersprachen übernommen. In der
Symbolik muß man selber aktiv werden.
Um das Problem der mathematischen Syntaxerkennung bewältigen zu können, bedient man sich in Mathematica der
eingebauten Mustererkennung. Die Mustererkennung arbeitet mit sogenannten Patterns, die wie Schablone gehandhabt
werden.
_ ein Muster für einen beliebigen Ausdruck
x_ ein Muster mit dem Namen x für einen beliebigen Ausdruck
x:pattern ein Muster mit dem Namen x
pattern ? test ein Muster, das paßt, wenn der test True ergibt
_h ein Muster für einen beliebigen Ausdruck mit Kopf h
x_h ein Muster mit Namen x für für einen beliebigen Ausdruck mit Kopf h
__ ein Muster für eine Folge von einem oder mehreren Ausdrücken
___ ein Muster für eine Folge von keinem oder mehreren Ausdrücken
x__ und x___ ein Muster mit Namen x für eine Folge von Ausdrücken
__h und ___h ein Muster für eine Folge von Ausdrücken mit Kopf h
x__h und x___h ein Muster mit Namen x für eine Folge von Ausdrücken mit Kopf h
x_:v ein Muster mit dem Vorgabewert v
x_h:v ein Muster mit dem Vorgabewert v für einen Ausdruck mit Kopf h
x_. ein Muster mit einem globale definierten Vorgabewert
Optional@x_hD ein Muster mit einem globale definierten Vorgabewert für einen Ausdruck mit K
muster.. ein Muster, das ein - oder mehrmals wiederholt wird
muster... ein Muster, das kein oder mehrmals auftritt
muster1 È muster2 È … ein Muster, das mindestens mit einem der musteri übereinstimmen muß
muster ; cond ein Muster, das paßt, wenn die Bedingung cond True ergibt
HoldPattern@musterD ein nicht evaluiertes Muster
Verbatim@ausdrD ein Ausdruck, der wortwörtlich passen muß24 MmaCrashKurs.nb
Beispiele:
Die Muster richten sich nach den Listenstrukturen und können somit alles mögliche erfassen.
SäuferFunktion@x_D :=
Print@"Diese Funktion hat ", x, " intus!"D
SäuferFunktion@2 Bier + SchnapsD
Diese Funktion hat 2 Bier + Schnaps intus!
Muster mit gleichem Namen können nur identische Listen erfassen.
TennisFunktion@scoreA_, scoreB_D :=
Print@"Es steht ", scoreA, " zu ", scoreB, "!"D;
TennisFunktion@score_, score_D := Print@"Einstand!"D;
TennisFunktion@30, 40D
Es steht 30 zu 40!
TennisFunktion@40, 40D
Einstand!
Muster könne auf einen beliebigen Datentyp geeicht werden.
PrimfaktorZerlegung@n_IntegerD := FactorInteger@nD;
Die Oder-Verknüpfung der Muster (|) sollte nicht mit einer Boolschen Oder-Verknüpfung (||) verwechselt werden.
RationalQ@Hx_Integer È x_RationalLD := True;
RationalQ@x_D := False;
Alles in Mathematica besteht aus Listenstrukturen. Folglich sind auch Muster als Listen angelegt. Sie können
dementsprechend zusammengesetzt und kombiniert werden.
log@3 a b ^ 2 cD
log@Times@x_, y_DD := log@xD + log@yD;
log@Power@x_, n_DD := n log@xD
log@3 a b ^ 2 cD
Listenattribute
Einige wichtige Fähigkeiten von Mathematica laufen im Hintergrund ab und werden daher kaum wahrgenommen.
Beispiele:MmaCrashKurs.nb 25
Sin@80, Π 5, Π 3, Π 2, Π26 MmaCrashKurs.nb
Regelbasierte Sprachen (Prolog, Lisp)
Funktionale Sprachen (APL, Excel)
Dementsprechend werden wir hier vorgehen.
Prozedurale Programmierung
Der prozedurale Programmierstil ist der bekannteste. Wie beispielsweise in Fortran, Pascal oder C werden hier die
Befehle einer Programmiersprache durch sogenannte Steuerbefehle (z.B. Goto, If, While, Do-Loops, etc.) zu einem
Algorithmus zusammengestellt. Entsprechende Steuerbefehle gibt es auch in Mathematica.
Der Gebrauch der Befehle Do, For, While, If, ... etc versteht sich von alleine.
Befehle die einfach nacheinander ausgeführt werden sollen, müssen mit Semikolon getrennt werden.
Mit den Mathematica-Befehlen Block und Module können lokale Variablenumgebungen geschaffen werden. Block
schirmt die Werte der lokalen Variablen ab. Module gewährleistet auch eine Abgrenzung der Variablennamen.
Beispiel:
Berechnung der Fibonacci-Zahlen:
FibonacciZahl@n_IntegerD :=
Block@
8dummy, fib0 = 1, fib1 = 1< H*Initialisierung lokaler Variablen*L, Do@
dummy = fib0; H*Rekursion:*L
fib0 = fib1; H*fib@nD=fib@n-1D+fib@n-2D*L
fib1 += dummy,
8n - 2<
D;
Return@fib1D H*Ausgabe des Ergebnisses*L
D;
Table@FibonacciZahl@iD, 8i, 10MmaCrashKurs.nb 27
Clear@MyDiffD
Konstantenregel:
MyDiff@c_, var_D := 0 ; FreeQ@c, varD
Potenzregel (mit Kettenregel):
MyDiff@var_, var_D := 1;
MyDiff@expr_ ^ n_, var_D :=
n expr ^ Hn - 1L * MyDiff@expr, varD ; FreeQ@n, varD
Summenregel:
MyDiff@f_ + g_, var_D := MyDiff@f, varD + MyDiff@g, varD
Produktregel:
MyDiff@f_ g_, var_D := MyDiff@f, varD g + f MyDiff@g, varD
Diese vier Differentiationsregeln genügen bereits, um alle Polynome mit einer Variable zu differenzieren
MyDiff@2 x ^ 2 - x Ha - xL, xD
-a + 6 x
MyDiff@Ha - xL ^ 2 x, xD
Ha - xL2 2 Ha - xL
-
-
x2 x
Funktionale Programmiergung
Das Credo der funktionalen Programmierung ist die Vermeidung von Programmschleifen, die in prozeduralen Program-
men häufig auftreten. Stattdessen versucht man Operationen einzuführen, die Listen, Matrizen usw. als ganzes verarbe-
iten. Die Listen orientierte Datenstruktur Mathematica's kommt diesem Programmierstil entgegen.
Da in der funktionalen Programmierung Programmschleifen vermieden werden, lassen sich die Programme als Ver-
schachtelung von Funktionen schreiben. Daher der Terminus Technicus.
In Mathematica gibt es von der Rekusrion einmal abgesehen verschiedene Methoden um Programmschleifen zu
umgehen.
Alle Funktionen, die mit dem Attribut Listable versehen sind, werden bei Anwendung auf eine Liste mit Kopf
List automatisch auf deren Elemente projeziert.
Attributes@LogD
8Listable, NumericFunction, Protected<
Log@81, 2, 3, 4, 528 MmaCrashKurs.nb
Außerdem gibt es eine Reihe von Steuerbefehlen, die die Verarbeitung ganzer Listenstrukturen ohne Schleifen
ermöglichen.
Map@f, 81, 2, 3MmaCrashKurs.nb 29
1. eine lokale Variablenumgebung sichergestellt, und
2. eine Schnittstelle für den Anwender definiert.
Packages werden in Dateien mit dem Kürzel .m abgespeichert. Die Dateien sind wie folgt strukturiert.
Die erste Zeile signalisiert den Begin eines Mathematica-Package hier mit dem Namen "Seminar`".
BeginPackage@"Seminar`"D
Hiernach werden, falls erfoderlich, andere Packages hinzugeladen.
Needs@"PackageXY`"D30 MmaCrashKurs.nb
Sodann werden alle Befehle, die dem Anwender zur Verfügung gestellt werden sollen, deklariert. Nehmen wir an die
Befehle lauten MyFirstCommand und MySecondCommand.
MyFirstCommand::usage = "Dies ist mein 1. Befehl!"
MySecondCommand::usage = "Dies ist mein 2. Befehl. Er kann ..."
Wie man sieht, kann bei der Deklaration der Befehle ein OnLine-Text angegeben werden.
Nachdem das Benutzer-Interface implementiert worden ist, wird eine lokale Variablenumgebung hergestellt. Alles was
nun folgt ist für den Anwender, der das Package Seminar` einlädt, unsichtbar.
Begin@"`Private`"D
In diesem Teil eines Packages kann nach belieben programmiert werden. Außer den im Interface mittels usage
deklarierten Befehlen dringt nichts nach außen und auch nichts nach innen.
Das Ende eines Packages wird durch folgende Kommandos festgelegt.
End@ D
EndPackage@ D
Die im AddOns-Verzeichnis niedergelegten StandardPackages können als Vorlage dienen.
Fazit
Dieser Crash-Kurs vermag die Grundzüge der Mathematica-Grammatik zu vermitteln. Das Vokabular der Mathematica-
Befehle kann jedoch nur durch täglichen Umgang mit dem Programm erarbeitet werden. Übung macht den Meister!
Bei den alltäglichen Problemen helfen folgende Adressen:
Wolfram Research Webseiten:
http : www.wolfram.com
http : www.wolfram.co.uk
http : www.wolfram.co.jp
Mathematica User Group:
http : library.wolfram.com mathgroup
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