Der Funktionsbegriff Zur Illusion von Linearität und anderen Hürden beim Funktionalen Denken Von Marcel Klinger & Bärbel Barzel - Uni-Due
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Am Ende der Schulzeit bleiben bei vielen Schüler*innen oft nur leere
Begriffshülsen mathematischer Konzepte. Um hier Abhilfe zu schaffen,
müssen Lernende den inhaltlichen Kern der Begriffe wirklich verstehen.
Wie dies gelingen kann und welche Hürden Schüler*innen dabei nehmen
müssen, erläutert der Artikel am Beispiel des Funktionsbegriffs.
Der Funktionsbegriff
Zur Illusion von Linearität und anderen Hürden
beim Funktionalen Denken
Von Marcel Klinger & Bärbel Barzel
W as würden Sie auf die folgende
Frage antworten?
„Max ist Maler. In letzter Zeit
Auf die richtige Antwort kam
hingegen kaum ein*e Lernende*r:
Findet die Vergrößerung der Grafik,
Zusammenhänge umgeben: Der
Benzinverbrauch eines Autos hängt
von der gefahrenen Geschwindigkeit
sollte er oft weihnachtliche Bilder an wie dargestellt, in nicht verzerrender ab; die Stromkosten steigen durch
Schaufenster malen. Erst gestern malte Weise statt, muss sowohl die Höhe viele angeschaltete Verbrauchsge-
er einen 56 cm großen Weihnachts- als auch die Breite des Bildes ent- räte; die Höhe des Schaums eines
mann an das Fenster einer Bäckerei. sprechend des Faktors 3 vergrößert frisch gezapften Bieres reduziert sich
Dafür benötigte er 6 ml Farbe. Nun werden. Entsprechend muss man mit der Zeit, und so weiter. In der
soll er eine vergrößerte Version dessel- davon ausgehen, dass sich auch der Mathematik spricht man von funkti-
ben Bildes an eine Supermarktscheibe Farbverbrauch jeweils verdreifacht, onalen Zusammenhängen, wenn klar
malen. Diese Kopie soll 168 cm hoch so dass insgesamt mit einer Verneun- ist, welche Werte die unabhängige
werden. Wie viel Farbe benötigt Max fachung zu rechnen ist. Korrekt wäre Variable annehmen kann und wenn
vermutlich?“1 also die Angabe „54 ml“. zu jedem Wert der unabhängigen
Die meisten Kinder einer klei- Ähnliche Probleme mit dieser Größe genau ein Wert der abhängi-
nen Gruppe von Schüler*innen, Aufgabe hatten auch über 3.000 gen Größe gehört, so wie es etwa zu
die die belgischen Forscher*innen Schüler*innen, die im Rahmen des jeder Anzahl gefahrener Kilometer
um De Bock befragten und ihnen FALKE-Tests, den wir unten noch genau einen Wert für den Benzinver-
genauer beschreiben, in der Einfüh- brauch gibt.
Bärbel Barzel. Foto: Vladimir Unkovic
zusätzlich die in Abbildung (1) dar-
gestellte Grafik vorlegten, antwor- rungsphase der Oberstufe befragt Ein gewisses Bewusstsein für
teten „18 ml“. Diese Lösung erhält wurden. derartige funktionale Beziehungen
man, wenn man davon ausgeht, dass Was steckt dahinter? Das ist eine erstrebenswerte Kompetenz,
die Menge der benötigten Farbe sich Denken in Zusammenhängen zwi- die nicht nur innerhalb der Mathe-
linear zur Höhe des gewünschten schen einer unabhängigen und einer matik von besonderer Relevanz
Weihnachtsmannbildes verhält. In davon abhängigen Größe birgt für ist. Tatsächlich durchziehen solche
diesem Fall unterliegt man einer Illu- viele Lernende Probleme. Dabei Zusammenhänge auch das alltägliche
sion von Linearität. sind wir im Alltag von vielen solcher Leben. Häufig werden sie in Gra-37 UNIKATE 53/2019 38
Aber nicht nur die konkrete begrifflichen Ausschärfung in der Definitionsmenge genau ein Element eine Parabel zu einer quadratischen
Berechnung von Nullstellen oder Geschichte der Mathematikdidak- ihrer Wertemenge zu. Im Beispiel Funktion. Beim Betrachten der
Schnittpunkten stellt für viele Men- tik hat sich heute das Konzept der des gezapften Bieres gehört so zu Messwerte zum Bierschaum könnte
schen eine Herausforderung dar. Vor Grundvorstellungen weitgehend eta- jedem Zeitpunkt, an dem gemessen man hier etwa an den Graphen einer
allem verbinden sie häufig keine Vor- bliert5: Man geht davon aus, dass für wird, eine bestimmte Höhe des Bier- Exponentialfunktion denken. Das
stellung mit dem zugrundeliegen- einen mathematischen Begriff einige schaums. würde bedeuten, dass der Zerfall
den funktionalen Zusammenhang, wenige Vorstellungen von beson- Andererseits geht es nicht bloß sich exponentiell vollzieht, das heißt
womit sich ein tiefergehender Ein- derer Bedeutung sind – eben solche um eine solche lokale Perspektive pro Zeiteinheit sich der Schaum um
blick in dahinterliegende Konzepte Grundvorstellungen. Hierbei han- in Form reiner Zuordnungen und einen konstanten Faktor reduziert.
der Mathematik meist verwehrt. delt es sich in der Regel um zwei bis somit isolierte Wertepaare. Stattdes- Zumindest liefert eine Exponential-
Fehlende Vorstellungen können fünf Grundvorstellungen zu einem sen findet ein Wechselspiel zweier funktion ein annähernd passendes
umgekehrt der Auslöser dafür sein, Konzept oder einer Operation, die Größen statt, die miteinander kova- Modell. Hier ist jedoch Vorsicht
dass erlernte Prozeduren und reines inzwischen für viele mathematische riieren. Bei dieser eher global-dy- geboten: Im konkreten Beispiel
Faktenwissen schnell in Vergessen- Begriffe der Schule ausgearbeitet und namischen Sicht auf funktionale des Bierschaumzerfalls konnte
heit geraten, da mit ihnen kein Sinn im Rahmen mathematikdidaktischer Zusammenhänge geht es um eben- Theyßen11 plausibel darlegen, dass
verbunden wird. Forschung konsolidiert sind. In diese Kovariation, das heißt die Art physikalische Gründe gegen einen
Aufgabe der Fachdidaktik diesem Sinne sind Grundvorstellun- der Interaktion zwischen beiden exponentiellen Zerfall sprechen, auch
Mathematik ist es unter anderem, gen aus normativer und somit vom Größen8. So wird beispielsweise wenn das mathematische Modell der
Ansätze zu entwickeln, die der mathematischen Stoff her eingenom- beim Bierschaum gelten: Je mehr Exponentialfunktion für die gemes-
Vermittlung umfänglichen und vor mene Perspektive zu verstehen, das Zeit vergeht, desto weniger Schaum sene Zeit gut zu passen scheint.
allem möglichst langfristigen mathe- heißt als eine möglichst vollständige bleibt übrig. Es findet also ein Zerfall Bei den drei genannten Vor-
matischen Kompetenzen dienen. und im Wesentlichen von der Theo- statt. Interessant ist, wie dieser Pro- stellungskategorien handelt es sich
Dies kann nicht ausschließlich durch rie ausgehenden Zusammenstellung zess genau aussieht. Wie schnell voll- entsprechend des Grundvorstel-
(1) Darstellung zweier Weihnachtsmänner. die Vermittlung einer Definition, solcher Vorstellungen, die für die zieht sich der Zerfall? Ist er immer lungskonzepts um den inhaltlichen
Quelle: entnommen aus De Bock et al. 2007, S. 92
sondern nur, wenn die Ausbildung Idee eines mathematischen Begriffs gleich schnell oder mal langsamer? Kern und somit das wesentliche Bild,
sinnstiftender Vorstellungen zu am wesentlichsten sind. Hierbei han- Konkrete Messungen können hier das Schüler*innen von Funktionen
einem mathematischen Begriff in delt es sich gewissermaßen um einen erste Anhaltspunkte geben. Durch im Laufe ihrer Unterrichtszeit idea-
fiken und Diagrammen dargestellt werden, damit nicht nur die Illusion den Blick genommen wird, gelin- Soll-Zustand. Nimmt man hinge- reale Messungen, wie sie in Abbil- lerweise erwerben. Die Relevanz der
und sind bedeutsam für berufliche von Linearität sondern auch andere gen4. Zentral ist hierbei die Idee, den gen die Perspektive der Lernenden dung (2) dargestellt sind, werden drei Kategorien spiegelt sich auch
Bildung und die Fähigkeit zur gesell- Hürden vermieden und ein flexibler Mathematikunterricht keinesfalls ein, fragt man also danach, welche nicht nur die Zuordnung, sondern in einem sie umfassenden Oberbe-
schaftlichen Teilhabe. Aus diesem Umgang mit funktionalen Zusam- als plumpes Auswendiglernen von Grundvorstellungen Lernende gerade auch die Kovariation von griff wider: So bilden die genannten
Grund ist die Untersuchung funk- menhängen gelernt wird? Zusammenhängen oder als Anlei- ausgebildet oder erworben haben, Schüler*innen besser erfasst9. Grundvorstellungen funktionaler
tionaler Abhängigkeiten bereits seit tung zur Durchführung mathema- spricht man von einer deskriptiven Eine Möglichkeit, den Verlauf Zusammenhänge die wichtigsten
über einhundert Jahren Bestandteil Vorstellungen aufbauen: tischer Verfahren und Algorithmen Perspektive. Diese entspricht somit anschaulich zu erfassen, bietet der Charakteristika des sogenannten
deutscher Mathematik-Curricula. Begriffe mit Leben füllen zu verstehen, sondern Verständnis dem Ist-Zustand. entsprechende Funktionsgraph des Funktionalen Denkens12.
So forderte der bekannte deutsche für die Zusammenhänge, Strukturen, Für das Funktionskonzept sind betrachteten funktionalen Zusam-
Mathematiker Felix Klein bereits im Der Begriff „Funktion“ ruft bei Definitionen und Konventionen verschiedene solcher Vorstellungen menhangs, der näherungsweise Repräsentationen:
Rahmen der Reformvorschläge von vielen Menschen, deren postschu- der Mathematik zu konstituieren. von ganz besonderer Bedeutung. ebenfalls in Abbildung (2) gezeigt Für die Mathematik mehr
Meran im Jahr 1905 die „Erziehung lische Lebenswelt eine eher geringe Mit dem Begriff des Verständnisses Speziell für den Funktionsbegriff ist. Mit seiner Hilfe kann man den als ein Hilfsmittel zur
zur Gewohnheit des funktionalen Schnittmenge mit der Funktionen- ist nicht nur gemeint, die entspre- finden sich innerhalb der mathema- Prozess in seiner Gänze betrachten Veranschaulichung
Denkens“2 und damit verbunden die lehre aufweist, häufig nur bruch- chenden mathematischen Inhalte tikdidaktischen Literatur gemein hin und viele Teilinformationen able-
curriculare Integration des Funkti- stückhafte Erinnerungen hervor. möglichst tiefgreifend zu durchdrin- drei Grundvorstellungen funktiona- sen. Eng verbunden hiermit ist die Neben den bereits beschriebenen
onsbegriffs als eine der unterrichtli- Befragt man Erstsemester, nennen gen. Der Begriff kann auch in jenem ler Zusammenhänge: Funktion als dritte ausgezeichnete Vorstellung Grundvorstellungen funktiona-
chen Kernideen der Mathematik. viele nur die Symbolik f(x) oder Sinne aufgefasst werden, wie man Zuordnung, Funktion als Kovaria- funktionaler Zusammenhänge, bei ler Zusammenhänge hat noch ein
Heute findet sich diese Forde- bestimmte Funktionstypen (wie line- jemandem Verständnis für etwas ent- tion, Funktion als ein Ganzes6. der es darum geht, diesen als Ganzes anderes Konzept eine wichtige
rung in der sogenannten Leitidee are oder quadratische Funktionen). gegenbringt: So sollten Schüler*in- Für jede einzelne dieser Grund- oder als Objekt zu betrachten. Diese Bewandtnis für den Funktionen-
„Funktionaler Zusammenhang“ in Oft ist noch bekannt, dass man für x nen im Idealfall auch Verständnis vorstellungen sind besondere Vorstellung tritt immer dann in begriff im Speziellen und für die
den Bildungsstandards der Kultus- verschiedene Zahlen einsetzen oder dafür aufzubringen lernen, warum Aspekte des Funktionskonzepts den Vordergrund, wenn Menschen Mathematik insgesamt: Anders als
ministerkonferenz (KMK) wieder. zur Funktion einen Funktionsgra- Mathematiker*innen jene Begriffe ausschlaggebend, etwa dass – wie eine Funktion in ebendieser Gänze in den Naturwissenschaften sind
Hier heißt es für die Sekundarstufe phen anfertigen kann. Andere Dinge ihres Unterrichts so geformt haben, oben schon genannt – zu jedem betrachten und ihr Legitimität als mathematische Konstrukte wie jenes
I unter anderem: „Die Schülerinnen sind möglicherweise in Vergessenheit wie sie heute sind. x-Wert ein y-Wert bestimmt werden eigenständiges Objekt gewähren10. der Funktion abstrakt und physisch
und Schüler nutzen Funktionen als geraten, etwa wie man die Nullstel- Arbeiten, die sich mit dem Ziel kann. Man betrachtet die Funktion Das ist beispielsweise der Fall, wenn nicht existent. Messungen wie beim
Mittel zur Beschreibung quantitati- len einer Funktion dritten Grades des Vorstellungsaufbaus beschäfti- als Zuordnung7. Diese Vorstellung man zu bestimmten Funktionsar- Bierschaumzerfall sind nur Wege, die
ver Zusammenhänge.“3 berechnet oder den Schnittpunkt gen, haben innerhalb der deutsch- findet sich auch in der mathema- ten einen typischen Graphen vor mathematischen Konzepte wie zum
Doch was genau sollte zu funk- einer Parabel und einer Geraden sprachigen Mathematikdidaktik eine tischen Definition wieder: Eine Augen hat, wie beispielsweise eine Beispiel Eindeutigkeit der Zuord-
tionalen Zusammenhängen gelernt bestimmt. lange Tradition. Als Resultat einer Funktion ordnet jedem Wert ihrer Gerade zu einer linearen Funktion, nung, Änderungsrate, unabhängige39 UNIKATE 53/2019 40
und abhängige Größe begreifbar zu lässt sich ein funktionaler Zusam- Je nach individueller Anforde- Stoff Sinn verleihen, oder nicht in
machen. Diesem Zusammenhang ist menhang noch in seiner vielleicht rung sind einzelne Informationen der Lage, sind einen Begriff auf
es geschuldet, dass Repräsentationen natürlichsten Weise formulieren: Als zum funktionalen Zusammenhang verschiedene Weisen durch ver-
beziehungsweise Darstellungen, also Beschreibung des ihm inhärenten über die spezifischen Darstellungen schiedene Repräsentationsformen
etwas, das für etwas anderes steht, in und häufig prosaisch formulierten als besonders leicht, etwas schwie- zu greifen.
der Mathematik und insbesondere Sachzusammenhangs im Rahmen riger oder aber auch überhaupt In Folge solcher Mängel lassen
auch der Mathematikdidaktik von einer spezifischen Situation, so dass nicht zu entnehmen. Erst, wenn alle sich häufig verschiedene Fehler-
besonderer Bedeutung sind. von einer situativ-sprachlichen Dar- Darstellungsformen gleichzeitig zur muster beobachten. An dieser
Konkret sind für den Funk- stellung gesprochen wird. Verfügung stehen, kann man sich Stelle muss jedoch vorsichtig
tionsbegriff vier unterschiedliche Exemplarisch zeigt Abbildung ein möglichst umfängliches Bild unterschieden werden: Im norma-
Darstellungsweisen von besonderer (3) vier konkrete Darstellungen der zugrundeliegenden Funktion len Fall handelt es sich um einen
Bedeutung13: So ist es zum Beispiel desselben funktionalen Zusammen- machen. Flüchtigkeits-, Rechenfehler oder
möglich, einen funktionalen Zusam- hangs. Hierbei lässt sich nur anhand Gerade aus diesem Grund ist es einen Fehler im Rahmen einer
menhang über eine zugehörige der situativ-sprachlichen Variante wichtig, dass Lernende einerseits ersten Aneignung eines mathema-
Funktionsgleichung zu beschreiben, erkennen, dass es um die Befüllung mit gegebenen Repräsentationen gut tischen Konzepts, der vermutlich
was zumindest die prägendste Dar- eines Kegels mit Wasser geht, wäh- umgehen können, was nicht nur das bei einer erneuten Betrachtung
stellungsform für ehemalige Schü- rend die graphisch-visuelle Form vor bloße Ablesen von Wertepaaren mit einer Aufgabe durch den Lernen-
ler*innen einer allgemeinbildenden allem offenbart, dass die Geschwin- einschließt, sondern vielmehr noch den selbst korrigiert werden kann
Schule sein dürfte. Man spricht hier digkeit, mit der sich der Kegel füllt, ein flexibles Gespür dafür umfasst, beziehungsweise durch sinnvol-
von einer formal-symbolischen Dar- (aufgrund der sich nach oben wei- für welche Anforderungen welche les Üben und Vertiefen beseitigt
stellung des funktionalen Zusam- tenden Gefäßöffnung) sukzessive Darstellungsformen ihre individu- würde. Die Alternative ist ein tiefer
menhangs. Andererseits bietet der abnimmt. Der numerisch-tabella- ellen Vor- und Nachteile entfaltet. gelagertes und möglicherweise nur
Funktionsgraph (bzw. ein spezieller rischen Form lassen sich konkrete Um diese Intuitionen entwickeln schwer aufzulösendes Missver-
Ausschnitt davon) eine alternative Wertepaare schnell entnehmen, so zu können, bedarf es nicht nur, dass ständnis, dessen Ursache in unzu-
Repräsentationsform, bei der man dass für jede Sekunde des Füllpro- sich Schüler*innen mit entsprechen- reichend oder falsch ausgebildeten
von einer graphisch-visuellen Dar- zesses einzelne Füllstände leicht der den Repräsentationen ausführlich (3) Derselbe funktionale Zusammenhang in vier verschiedenen Darstellungsformen. Vorstellungen liegt. In diesem zwei-
stellung spricht. Die dritte Form Tabelle entnommen werden können. beschäftigen, sondern vor allem Quelle: entnommen aus Klinger 2018, S. 61 ten Fall wird in der Mathematikdi-
findet man zum Beispiel realisiert in Benötigt man jedoch Werte die auch, dass sie entsprechende Reprä- daktik meist von sogenannten Fehl-
Wertetabellen, die die einzelnen Wer- dazwischen liegen, also zum Beispiel sentationen eigenständig konstruie- vorstellungen gesprochen, die bereits
tepaare einer Funktion direkt gegen- den Füllstand nach 1,5 Sekunden, ist ren. Das kann zum Beispiel bedeu- tionsgleichung gefunden werden soweit, alles mathematische Arbeiten im Planungsprozess von Unterricht
überstellen. Entsprechend spricht ein Einsetzen in den in formal-sym- ten, dass zu einem gegebenen Term muss. In diesem Zusammenhang überhaupt als einzelne Repräsenta- mitgedacht und denen idealerweise
man von einer numerisch-tabellari- bolischer Form gegebenen Funkti- eine Wertetabelle erstellt oder zu spricht man dann von einem soge- tionswechsel zu betrachten: Formt frühzeitig entgegengewirkt wird.
schen Darstellung. Schlussendlich onsterm notwendig. einem Funktionsgraphen eine Funk- nannten Repräsentations- oder Dar- eine Schülerin etwa den Ausdruck Während im Kopf der Lernenden
stellungswechsel, den die Lernenden (x+1)2 zu x2+2x+1 um, ist sie zwar verankerte Fehlvorstellungen schnell
vornehmen müssen. innerhalb der formal-symbolischen zu Fehlern, etwa im Bearbeitungs-
Solche Darstellungswechsel Schreibweise verblieben, hat jedoch prozess von Aufgaben führen, lässt
sind für das Lehren und Lernen von eine spezifische Repräsentation sich also längst nicht jeder Fehler auf
Mathematik von besonderer Bedeu- durch eine weitere ersetzt, die jedoch ein solches systematisches Muster
tung. Nur, wenn mathematische zur ersten mathematisch vollständig zurückführen. Im Gegenteil: Fehler
Konzepte wie jenes der Funktion, äquivalent ist und somit auf densel- sind notwendiger und sinnvoller
aus unterschiedlichen Perspektiven ben Inhalt referenziert. Bestandteil eines jeden Aneignungs-
und Blickwinkeln in Form verschie- prozesses.
dener Repräsentationsformen für Fehler und Fehlvorstellungen
Schüler*innen erlebbar gemacht Illusion von Linearität
werden, kann sich wirklich ein Blick Umgekehrt werden nicht hinrei-
auf den inhaltlichen Kern eröffnen. chend ausgeprägte Grundvorstellun- Hierbei sind die Unterschiede zwi-
In diesem Sinne ist das Greifbar- gen und eine mangelnde Fähigkeit, schen einfachen Fehlern und ver-
machen mathematischer Konzepte mit mathematischen Darstellungen festigten Fehlvorstellungen häufig
durch die Verwendung unterschied- flexibel zu operieren, schnell zum schwer auszumachen. Dies lässt sich
licher Repräsentationsformen ein Problem. Das eigentliche Verstehen beispielsweise am Fehlertyp der
fundamentaler Bestandteil des eines mathematischen Begriffs wie sogenannten „Illusion von Lineari-
Vorstellungsaufbaus im Sinne der jenem des Funktionsbegriffs kann tät“ (engl. „Illusion of Linearity“),
oben bereits genauer beschriebenen im Grunde nicht gelingen, wenn auf den bereits oben kurz eingegan-
Grundvorstellungstheorie. Schüler*innen einerseits nicht über gen wurde, erläutern. Gemeint ist
(2) Messen der Höhe des Bierschaums in Abhängigkeit von der Zeit. Der dargestellte Funktionsgraph bietet
eine gute Übersicht über die generelle Natur des ihm inhärenten funktionalen Zusammenhangs. Manche Mathematikdidakti- geeignete Vorstellungen verfügen, die hierbei, dass Lernende aber auch im
Quelle: eigene Darstellung ker*innen wie etwa Duval14 gehen dem zu erlernenden mathematischen Allgemeinen Menschen überhaupt41 UNIKATE 53/2019 42
dies jedoch in vielen Situationen Schüler*innen so eine geeignete entwickelt werden, welches im Insgesamt konnte der Test über
der Fall ist, haben insbesondere die Unterstützung anbieten, das Prob- Speziellen verstehensorientierte 3.000 Schüler*innen im Schuljahr
bereits oben erwähnten belgischen lem noch korrekt zu lösen und von Elemente der Funktionenlehre und 2014/15 vorgelegt werden, die
Forscher De Bock, Van Dooren, der Annahme eines linearen Zusam- frühen Analysis fokussiert. Wäh- ihrerseits von etwa 150 Lehrkräften
Janssens und Verschaffel gezeigt15. menhangs abzusehen. rend der erste Begriff vor allem unterrichtet wurden. Die Stichprobe
Die vorgestellte Aufgabe zur Ver- auf das Thema „Funktionen“ im bestand aus Lernenden der nord-
größerung des Weihnachtsmann- Was können Schüler*innen Bereich der Sekundarstufe I abzielt, rhein-westfälischen Einführungs-
bildes ist leider nur ein Beispiel wirklich? bezeichnet „Analysis“ vor allem die phase und somit dem ersten Jahr der
unter vielen. Und stets müssen Differential- und Integralrechnung Oberstufe an Gymnasien, Gesamt-
Schüler*innen zur Lösung die Art Insgesamt gibt es einige Untersu- der Oberstufe, die natürlich auf schulen und Beruflichen Gymnasien.
des zugrundeliegenden funktionalen chungen, die jener von De Bock einem durch den Funktionsbegriff Insgesamt hatten die Proband*innen
Zusammenhangs erschließen. Bei der et al. ähnlich sind. Meist zielen sie der Sekundarstufe I gebildeten Fun- der Studie 45 Minuten Zeit, um das
gezeigten Aufgabe sind die benö- darauf ab, in kleinen Interviewset- dament fußt. Mit „früher Analysis“ in klassischer Paper-and-Pencil-
tigten Informationen in einer situa- tings Einsicht in das Denken und ist dann vor allem das erste Jahr der Form vorgelegte Testheft zu bearbei-
tiv-verbalen Beschreibung gebunden Handeln von Lernenden zu erhalten. Einführung und somit insbesondere ten17.
und müssen aus dieser entnommen Geeignete Testinstrumente, die auch ein erstes Bild der Ableitungsfunk-
werden. Da einerseits die Werte- eine Erhebung mit sehr großen Fall- tion gemeint. Quantifizierung entsprechender
paare konkret einander zugeordnet zahlen zulassen, frei zugänglich und Die Testaufgaben (sog. Items) Fehlermuster
werden aber auch die Qualität des speziell auf die Erhebung des Fähig- sind so konstruiert, dass Lernende
zugrundeliegenden Zusammenhangs keitsstandes von Schülerinnen und entsprechende (Grund-)Vorstellun- Im Rahmen der Studie wurde so
ausgemacht werden muss, stehen Schülern im Bereich von Funktionen gen der entsprechenden Inhalte aus- auch die bereits oben vorgestellte
sowohl Zuordnungs- als auch Kova- und des Funktionalen Denkens gebildet haben müssen, aber auch mit Aufgabe (siehe erneut Abb. 1) den
riationsvorstellung bei diesem Item sind, standen zu Beginn des Projekts den entsprechenden Repräsentati- Schüler*innen der Stichprobe vor-
in besonderem Fokus, während FALKE (Funktionales Denken und onsformen flexibel umgehen können gelegt. Hierbei gaben 77,7 Prozent
der funktionale Zusammenhang als frühe Analysis: Lernen von Konzep- müssen. Zudem bieten die Items an der Proband*innen die Antwort
Ganzes kaum in den Vordergrund ten in der Einführungsphase; siehe einigen Stellen die Möglichkeit, typi- „18 ml“. Lediglich 3,4 Prozent der
(4) Aufgabe „Kegelfüllung“ des FALKE-Tests. tritt. z.B. www.falke-test.de) nur unzurei- sche Fehler zu begehen und geben so Schüler*innen lösten das Item kor-
Quelle: entnommen aus Klinger 2018, S. 247 Wer als Antwort „18 ml“ nennt, chend zur Verfügung. Einsicht in die Fähigkeitsstruktur der rekt. Der restliche Anteil entfiel auf
ist also mit großer Wahrscheinlich- Im Rahmen des Projekts FALKE Schüler*innen und etwaig vorhande- übrige Antworten beziehungsweise
keit von einem hier unpassenden konnte ein solches Testinstrument ner Fehlvorstellungen16. auf Bearbeitungen, bei denen zwar
dazu neigen, funktionale Zusam- davon abhängige Anzahl gefertigter linearen Zusammenhang ausgegan-
menhänge als linear anzunehmen Produkte. In all diesen Fällen bildet gen und somit einer Illusion von
und dies auch dann, wenn andere die Annahme einer zugrundeliegen- Linearität erlegen. In diesem Fall
Ansätze mehr Erfolg versprechen den linearen Funktion die einfachste wurde also die Art des zugrunde-
oder lineare sogar zu merkbar fal- Möglichkeit, ein Modell aufzustel- liegenden funktionalen Zusammen-
schen Resultaten führen. Linearität len, um Vorhersagen zu treffen. hangs nicht korrekt identifiziert.
zeichnet sich mathematisch als kon- Aber so leicht ist es nicht immer: Natürlich ist diese Aufgabe auch
stantes Wachsen aus, die abhängige Beim Wareneinkauf gibt es Men- stark suggestiv. Es kann nicht auto-
Größe ergibt sich aus der unabhän- genrabatte oder Abnahmebeschrän- matisch von einer Fehlvorstellung in
gigen Größe jeweils durch die Mul- kungen, bei der Autoreise kann man obigem Sinne ausgegangen werden,
tiplikation mit einem festen Faktor. sich verfahren oder unterliegt ver- da es sich eben auch um einen
Damit wird der Zusammenhang kehrsbedingten Geschwindigkeits- schlichten Flüchtigkeitsfehler han-
durch eine Funktionsgleichung der schwankungen, und ein Arbeiter deln kann.
Form f(x)= a·x mit einem solchen dürfte nach einer Weile Ermüdungs- Nichtsdestotrotz setzten bei den
Faktor α beschrieben. erscheinungen zeigen und somit Lernenden erst nachdem durch die
Tatsächlich bietet unser Alltag nicht stets mit einheitlicher Effizi- Forscher ein kognitiver Konflikt
eine Vielzahl an beispielhaften enz arbeiten. Entsprechend reicht erzeugt wurde, ein steigender Grad
Zusammenhängen, die einer solchen in vielen Fällen und insbesondere an Sicherheit und erste Reflexions-
Gesetzmäßigkeit unterliegen: Etwa dann, wenn höhere Präzision und prozesse ein: So ist es zum Beispiel
der Zusammenhang zwischen der eine damit verbundene größere Aus- ersichtlicher, dass der angegebene
Anzahl eines gekauften Artikels und sagekraft notwendig ist, ein linearer Wert nicht zutreffen kann, wenn
dem davon abhängigen Gesamtpreis, Modellansatz nicht mehr aus. man sich rechteckige Rahmen um
die Länge einer Reisestrecke und In solchen Fällen müssen auch die beiden verschieden großen Dar-
der davon abhängige Verbrauch des Schüler*innen in der Lage sein, den stellungen vorstellt. Mit einer ent-
(5) Zwei Schüler*innenlösungen des Items aus Abbildung (4). Während die linke als korrekt gewertet wurde,
verwendeten Kraftstoffs oder die Blick zu weiten und nicht auf einem sprechenden Variante der Abbildung handelt es sich bei der rechten um eine Fehlbearbeitung.
Arbeitszeit eines Arbeiters und die linearen Ansatz zu verharren. Dass konnten De Bock et al. manchen Quelle: eigene Darstellung43 UNIKATE 53/2019 44
ten Aufgabenformat abhängt. Dies Insgesamt zeigt sich das Item werden, das nun auch für weitere rung spannende und sinnstiftende
lässt sich unter anderem auf die (natürlich auch aufgrund der gege- Studien eingesetzt werden kann. Das Erlebnisse mathematischer Inhalte
teils deutlich unterschiedliche Sug- benen Wahrscheinlichkeit eines Instrument haben wir unter einer bereithält, so dass sich den Lernen-
gestivität, die Art des erforderten Rateerfolgs) im Vergleich zu den freien Creative Commons-Lizenz den der Sinn der jeweiligen mathe-
Darstellungswechsels sowie die im anderen hier abgebildeten Aufga- zum kostenlosen Download veröf- matischen Konzepte offenbart. Auf
Fokus stehenden Grundvorstellun- ben als eher einfach. 68,5 Prozent fentlicht, so dass Sie sich auch selber diese Weise soll letztlich mehr in
gen der jeweils betrachteten Items der Proband*innen der Stichprobe ein Bild des gesamten Tests machen Erinnerung bleiben als ein Symbol,
zurückführen19. konnten es zu unserer Zufriedenheit können (siehe www.falke-test.de). so dass f(x) nicht nur irgendetwas ist,
bearbeiten, 17,4 Prozent entfallen auf Durch unsere Stichprobe von in das man einsetzt, sondern etwas,
Graph als Bild Antwortmöglichkeit (b), 8,6 Prozent über 3.000 Schüler*innen aus Nord- wohinter sich ein breites von Ver-
auf Möglichkeit (c) und 5,6 Prozent rhein-Westfalen wird uns ein breiter ständnis gezeichnetes Bild verbirgt.
Im Rahmen der Entwicklung und auf Möglichkeit (d). Blick in das Fähigkeitsspektrum der
Durchführung des FALKE-Tests Dass Variante (b) die häufigste Lernenden eröffnet. Hierbei lässt
wurde nicht nur das Fehlermuster Falschantwort darstellt, ist kein sich ein unterschiedlicher Grad an
(6) Aufgabe „Skifahrer“ des FALKE-Tests.
Quelle: angelehnt an Nitsch 2015, S. 234
„Illusion von Linearität“ in den Zufall: Sie steht für den Graph-als- ausgebildeten Grundvorstellungen,
Blick genommen. Ein anderer Feh- Bild-Fehler. Bei der abgebildeten eine verschiedentliche Versiertheit Summary
lertyp ist etwa noch der sog. Graph- Kurve handelt es sich um eine exakte mit mathematischen Darstellungs-
Rechnungen der Lernenden, aber Schüler*innen, die für solche Bear- als-Bild-Fehler, welcher seinem Kopie der dargestellten Skizze, so formen und vielfältige Fehlertypen When students leave school, math-
kein Ergebnis dieser erkennbar beitungen wie den rechten Lösungs- Namen entsprechend vor allem dass davon auszugehen ist, dass im Themenfeld funktionaler Zusam- ematical concepts and notions may
waren. Insgesamt erwies sich das versuch verantwortlich sind, nicht. die Darstellung einer Funktion in Schüler*innen, die sich für diesen menhänge und früher Analysis beob- still be meaningless, at least to some
Item somit für die beteiligten Schü- Ihre Vorstellungen werden von Form ihres Graphs betrifft. Hierbei Distraktor entscheiden, ihn wie oben achten. of them. To remedy this situation,
ler*innen als nur schwer lösbar. einem Zusammenhang von linearer interpretieren Schüler*innen einen beschrieben als ein unmittelbares Obwohl viele dieser Fehler in learners must be helped to under-
Ein weiteres Item des Testins- Gestalt dominiert und so zeichnet sie solchen Funktionsgraphen nicht fotografisches Abbild der gegebe- teils beträchtlichem Ausmaße beob- stand the very core of mathematical
truments ist in Abbildung (4) dar- jenen Graphen, der im Kontext des als Menge aller durch einen funkti- nen Situation auffassen. Natürlich achtet werden konnten, soll aber notions and associated concepts.
gestellt. Auch hier steht wieder ein vorliegenden Items auf eine Illusion onalen Zusammenhang gegebenen lässt sich aber auch hier nicht sicher kein zu negatives Bild gezeichnet How this can be achieved and which
funktionaler Zusammenhang im Mit- von Linearität zielt. Wertepaare, sondern fassen ihn als sagen, ob eine entsprechende Aus- werden: Fehler sind Bestandteil obstacles learners must overcome is
telpunkt. Anders als bei der zuvor Insgesamt wurde das Item von unmittelbares fotografisches Abbild wahl eines Proband*innen auf tiefsit- des Lernprozesses und stellen teils shown in relation to the notion of
betrachteten Aufgabe muss hier 38,3 Prozent der teilnehmenden einer gegebenen Situation auf. zende Fehlverständnisse zurückzu- notwendige Hürden in seinem Ver- “function”. Special attention is given
keine Zahl berechnet werden, son- Schüler*innen korrekt bearbeitet. Als Beispiel ist in Abbildung (6) führen oder schlicht der Prüfungssi- lauf dar. Schüler*innen befinden to obstacles which are encountered
dern ein Funktionsgraph in qualita- Mit 26,1 Prozent wies jedoch über ein weiteres Item des FALKE-Tests tuation und einer damit verbundenen sich mitten in diesem Lernprozess by a variety of students on their
tiv korrekter Weise skizziert werden. ein Viertel der erfassten Stichprobe dargestellt. Die Lernenden müssen Unachtsamkeit geschuldet sind. und blicken auf mehr als zwei noch individual learning path in the form
Dieser liegt wieder gebunden in eine besondere mentale Dominanz wieder eine situativ-verbale Während sich die Fehlermuster folgende Jahre bis zum Abitur. Es of common misconceptions. They
einer situativ-verbalen Beschreibung linearer Zusammenhänge auf, zeich- Beschreibung, in der ein funktiona- hinsichtlich der Quantität ihres Auf- bleibt also genug Zeit die spezifi- include an overgeneralization of
vor, welche durch eine kleine Skizze nete also einen Graphen ähnlich zu ler Zusammenhang zumindest qua- tretens von Item zu Item, wie oben schen Hürden zu nehmen. linear relationships, also known as
unterstützt wird. Ähnlich ist auch jenem in Abbildung (5) rechts18. litativ gekapselt ist, in einen Funk- beschrieben, als durchaus divers Damit dies gelingen kann, ist die illusion of linearity.
hier, die Art und Weise wie Zuord- Insgesamt lässt sich das Fehler- tionsgraphen überführen. Diesmal zeigen, gilt dies für dasselbe Item, Ausrichtung des Mathematikunter-
nungs- und Kovariationsvorstellung muster „Illusion von Linearität“ jedoch muss kein Funktionsgraph das unterschiedlichen Stichproben richts von entscheidender Bedeu-
im Vordergrund stehen. also in sehr unterschiedlichen Auf- gezeichnet, sondern nur einer von vorgelegt wird, im Übrigen nicht: tung: So müssen angeregte (Grund-)
Konkret geht es um die Frage, gabenformaten und damit verbun- vier möglichen als der Situation Obwohl Nitsch20 in ihrer Studie das Vorstellungen bei der Entwicklung,
wie ein Graph aussehen kann, der den verschiedenen mathematischen angemessen erkannt werden. Item Schüler*innen eines anderen Durchführung und Reflexion des Anmerkungen
die Füllhöhe eines kegelförmigen Tätigkeiten beobachten. Während Die Bewegung des dargestellten Bundeslandes und teilweise sogar Unterrichts mitgedacht werden, viel-
Behältnisses in Abhängigkeit von der im ersten betrachteten Item also Skifahrers muss der beschriebenen anderer Schulformen vorlegte, ergibt fältige Darstellungstypen angeboten 1) De Bock et al. 2007, S. 92, Übersetzung
nach Klinger 2018, S. 252
vergangenen Zeit beschreibt, wobei etwa Dreiviertel der Proband*in- Situation und insbesondere der sich ein durchaus vergleichbares und miteinander vernetzt sowie 2) Krüger 2000, S. 5
über einen gleichmäßigen Zufluss nen ein Fehlermuster zeigen, das in längsschnittlichen Skizze entnom- Bild: So wählten hier 66,1 Prozent die unterschiedlichen Fehlertypen 3) KMK 2004
Wasser hineingegeben wird. Richtung einer Übergeneralisierung men und auf einen Geschwindig- der Proband*innen die korrekte gezielt aufgegriffen werden. So wird 4) vgl. z.B. Vollrath 2014; Barzel et al. 2013
5) vgl. vom Hofe 1995
In Abbildung (5) sind hierzu linearer Zusammenhänge deutet, keits-Zeit-Graphen übertragen Lösung (a), während sich mit einem etwa in der Schulbuchreihe „mathe- 6) Vollrath 2014
zwei exemplarische Schüler*innen- zeigt sich für das zweite Item ein werden. Während seiner Abfahrt Anteil von 19,3 Prozent ähnlich viele werkstatt“ im Cornelsen-Verlag, die 7) vgl. Malle 2000; Vollrath 2014
bearbeitungen dargestellt. Während zwar immer noch erheblicher wird der Wintersportler zunächst Lernende für die Antwortmöglich- von Bärbel Barzel mitherausgegeben 8) vgl. Malle 2000; Vollrath 2014
der Urheber der linken Lösung jedoch deutlich geringerer Anteil an Geschwindigkeit gewinnen, ver- keit entschieden, die dem Graph-als- wird, jedes mathematische Thema 9) Ganter 2013
10) vgl. Vollrath 2014
erkannt hat, dass aufgrund der Form von etwa einem Viertel. Insgesamt liert dann durch den kleinen Hügel Bild-Fehler entspricht21. durch konkrete lebensweltliche 11) Theyßen (2009)
des Gefäßes die Zunahmerate der zeigen die durch die Studie gewon- an Fahrt, bis er anschließend sein Bezüge motiviert und essentiell auf 12) vgl. z.B. Vollrath 1989
Füllhöhe im Verlauf des Prozesses nenen Daten, die sich noch auf wei- Tempo wieder erhöht. Dies gibt Fazit die Vernetzung der zuvor genann- 13) vgl. Janvier 1978
14) Duval 2006
sukzessive abnimmt und somit die tere Items beziehen, dass die Quote Variante (a) am besten wieder, so ten Aspekte gesetzt. Auf diese und 15) z.B. De Bock et al. 2007
Qualität des zugrundeliegenden die auf das entsprechende Fehler- dass Proband*innen hier ihr Kreuz Im Rahmen des FALKE-For- ähnliche Weise kann ein Bild von 16) vgl. Klinger 2018
funktionalen Zusammenhangs kor- muster entfällt, stark vom jeweiligen setzen müssen, damit das Item als schungsprojekts konnte ein fun- Mathematik vermittelt werden, das 17) vgl. Klinger 2018, S. 207 ff.
18) vgl. Klinger 2018, S. 249 ff.
rekt einschätzt, gelingt dies einigen Item und somit auch vom betrachte- korrekt bearbeitet gewertet wird. diertes Testinstrument entwickelt auch abseits stupider Regelausfüh-45 UNIKATE 53/2019 46
19) vgl. Klinger 2018, S. 359 ff.
20) Nitsch 2015 Der*Die Autor*in
21) vgl. Klinger 2018, S. 262 f.
Marcel Klinger studierte Mathematik mit
Nebenfach Statistik an der Technischen Uni-
versität Dortmund und erwarb dort die Grade
Literatur Bachelor und Master of Science. Anschließend
promovierte er als Wissenschaftlicher Mit-
– Barzel, Bärbel, Leuders, Timo, Prediger, arbeiter an der Fakultät für Mathematik der
Susanne, Hußmann, Stephan: Designing tasks Universität Duisburg-Essen in der Arbeits-
for engaging students in active knowledge gruppe von Professorin Bärbel Barzel zum
organization, in C. Margolinas (Hrsg.): Task Thema „Funktionales Denken beim Übergang
design in mathematics education, Proceedings von der Funktionenlehre zur Analysis“ und
of ICMI Study 22, Oxford 2013, 285–294. schloss sein Promotionsstudium im Jahr
– De Bock, Dirk, Van Dooren, Wim, Janssens, 2017 mit Auszeichnung ab. Seither lehrt und
Dirk, Verschaffel, Lieven: The illusion of forscht er als Akademischer Rat an gleicher
linearity, From analysis to improvement, New Stelle. Marcel Klinger ist Mitglied im Deut-
York, Springer, 2007 schen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik
– Duval, Raymond: A cognitive analysis of (DZLM). Seine Interessen liegen unter ande-
problems of comprehension in a learning of rem im Bereich des Funktionalen Denkens
mathematics, in Educational Studies in Mathe- und der Didaktik der Analysis.
matics, 61(1–2)/2006, 103–131
– Ganter, Sandra: Experimentieren – ein Weg Bärbel Barzel studierte die Fächer Mathe-
zum Funktionalen Denken, Empirische Un- matik, katholische Theologie und Musik an
tersuchung zur Wirkung von Schülerexperi- der Rheinisch-Westfälischen Technischen
menten, Hamburg, Kovač, 2013 Hochschule Aachen mit Lehramtsoption.
– Janvier, Claude: The interpretation of com- Nach ihrem Referendariat am Studienseminar
plex cartesian graphs representing situations, Düsseldorf war sie zehn Jahre lang als Lehre-
Studies and teaching experiments, University rin an der Städtischen Gesamtschule Wupper-
of Nottingham, Nottingham, 1978 tal-Ronsdorf sowie dem Marie-Curie-Gym-
– Klinger, Marcel: Funktionales Denken nasium Düsseldorf und fünf Jahre lang als
beim Übergang von der Funktionenlehre zur Fachleiterin für Mathematik am Studiensemi-
Analysis, Entwicklung eines Testinstruments nar Düsseldorf tätig. Im Anschluss promo-
und empirische Befunde aus der gymnasialen vierte sie im Rahmen einer Abordnung an die
Oberstufe, Springer Spektrum, Wiesbaden, Universität Duisburg-Essen in der Arbeits-
2018 gruppe von Professorin Lisa Hefendehl-He-
– Krüger, Katja: Erziehung zum funktionalen beker. Für ihre Dissertationsschrift mit dem
Denken, Zur Begriffsgeschichte eines didakti- Titel „MUKI – Mathematikunterricht zwi-
schen Prinzips, Logos, Berlin, 2000 schen Konstruktion und Instruktion“, in der
– KMK (Sekretariat der Ständigen Konferenz sie eine Lernwerkstatt mit integriertem Rech-
der Kultusminister der Länder der Bundesre- nereinsatz zum Thema Funktionen beforscht,
publik Deutschland): Bildungsstandards im erhielt sie im Jahr 2006 den Doktortitel. Es
Fach Mathematik für den Mittleren Schulab- folgte 2007 ein Ruf auf eine Professur an der
schluss, Beschluss vom 4.12.2003, Luchter- Pädagogischen Hochschule Freiburg sowie
hand, München, 2004 von dort im Jahr 2013 ein Ruf an die Fakultät
– Malle, Günther: Zwei Aspekte von Funkti- für Mathematik der Universität Duisburg-Es-
onen, Zuordnung und Kovariation, in Mathe- sen. Hier forscht sie unter anderem zur
matik Lehren, 103/2000, 8–11 Digitalisierung und zur Lehrerprofessionali-
– Nitsch, Renate: Diagnose von Lernschwie- sierung im Mathematikunterricht. Sie bildet
rigkeiten im Bereich funktionaler Zusam- Studierende für das Mathematik-Lehramt an
menhänge, Eine Studie zu typischen Fehler- Haupt-, Real- und Gesamtschulen bezüg-
mustern bei Darstellungswechseln, Springer lich ihrer fachlichen und fachdidaktischen
Spektrum, Wiesbaden, 2015 Kenntnisse aus. Bärbel Barzel ist im Vorstand
– Theyßen, Heike: Mythos Bierschaumzer- des Deutschen Zentrums für Lehrerbildung
fall, Ein Analogon für den radioaktiven Zer- Mathematik (DZLM) sowie gemeinsam mit
fall?, in Physik und Didaktik in Schule und Professor Andreas Eichler Projektleiterin des
Hochschule, 8(2)/2009, 49–57 Lehrkräftenetzwerks „Teachers Teaching with
– Vollrath, Hans-Joachim: Funktionales Technology“ (T3) sowie seit 1996 Mitheraus-
Denken, in Journal für Mathematik-Didaktik, geberin der Zeitschrift „Mathematik Lehren“.
10(1)/1989, 3–37
– Vollrath, Hans-Joachim: Funktionale Zu-
Marcel Klinger. Foto: Vladimir Unkovic
sammenhänge, in Linneweber-Lammerskitten,
Helmut (Hrsg.): Fachdidaktik Mathematik,
Grundbildung und Kompetenzaufbau im
Unterricht der Sek. I und II, Kallmeyer, Seelze
2014, 112–125
– vom Hofe, Rudolf: Grundvorstellungen
mathematischer Inhalte, Spektrum, Heidel-
berg, 1995Sie können auch lesen
