The cosmic microwave background and the topology of the Universe - Frank Steiner Institut für Theoretische Physik Universität Ulm Int. Workshop on ...

The cosmic microwave background
               and
   the topology of the Universe

                      Frank Steiner
           Institut für Theoretische Physik
                     Universität Ulm

   Int. Workshop on Cosmic Structure and Evolution
                University of Bielefeld
              September 23 – 25, 2009

1. Cosmic topology - a fundamental subject in cosmology,
   yet almost completely ignored today
2. Is the so-called concordance model really concordant with all
   astrophysical data?
3. Do we live in a finite Universe?
   3.1 The Euclidean case:       The Torus Universe
   3.2 The spherical case:       The three admissible "Platonic"
                                 space forms
   3.3 The hyperbolic case:      The Picard Universe

1. Cosmic topology - a fundamental subject in cosmology,
                       yet almost completely ignored today

— The Einstein gravitational field equations are differential equations
          they determine the local geometry of the Universe
          (for example the Robertson-Walker metric after symmetry reduction)
          but they do not determine the global geometry of the Universe, i. e.

                    • the spatial sectional (Gaussian) curvature K
                    • the topology of the Universe

— The inflationary scenarios and, in particular, a future theory of quantum gravity
  (like loop quantum gravity, supergravity or string theory) should predict (or even fix
  uniquely) the curvature and the topology of the Universe (see, for example, Linde´s
  claim for the Torus Universe). At present, however, we have to determine the
  global geometry of the Universe from astronomical observations!

                                                              Cosmic Topology

Cosmic Topology

—   Fixing the curvature K does not determine uniquely the topology
    and thus the shape of the Universe
—    Only if it is assumed that the spatial section M3 is simply connected,
    it follows that the topology (in dependence on K) is given by one of the three
    well-known "trivial" topologies:
         K= 0 :      infinite Euclidean space      E3    ("open Universe")
         K = +1 :    finite spherical space        S3    ("closed Universe")
         K = -1 :    infinite hyperbolic space     H3    ("open Universe")
    However:
    Most 3-spaces of constant curvature K are multiply connected and are given
    by the quotient of E3, S3 or H3 by a group Γ of covering transformations:
         K= 0 :      E3/Γ     18 Euclidean space forms (closed and open)

         K = +1 :    S3/Γ     infinitely many spherical (Clifford-Klein) space forms
                              (all closed)
         K = -1 :    H3/Γ     infinitely many hyperbolic space forms (closed and
                              open; not yet completely classified)

Hubble constant:

                                                                       K = +1

                                                                       K = -1

                                                                       K=0

                    Gaussian curvature K (in two spatial dimensions)

density parameter:

critical density:

The energy budget of the Universe today

100%

50%                                              72%
                                23%
              5%
 0%
       baryonic matter   cold dark matter   dark energy

Riemann           1854 [1867]
Early recognition of relevance of topology:
                                                Helmholtz       1868, 1870, 1878

                                                Clifford            ≥ 1870
 "... the question whether the geometry
                                                Klein               ≥ 1870
 of the three-dimensional space of
 astronomy might be non-Euclidean"              Poincaré            ≥ 1882
 (Chandrasekhar, 1986) was already
 posed by Schwarzschild in 1900, who            Picard               1884

 stated the problem as follows:                 Schwarzschild        1900

 "You already know that besides the usual Euclidean geometry other – non-
 Euclidean – geometries have been developed during this century [meaning
 the 19th century], in particular the so-called spherical and pseudospherical
 spaces, with which we shall be principally concerned. One could present,
 down to the finest detail, how the world would appear as a spherical or
 pseudospherical, curved, possibly finite and self-intersecting space. I need
 only to remined you in this context of Helmholtz` essay 'On the origin and
 significance of geometrical axioms'. One finds oneself there – if one wants
 to – in a geometrical fairyland, but the beauty of these fairy stories is that
 one does not know whether they will indeed turn out to be true. The
 questions now to be discussed are how far we have to push back the
 boundaries of this fairyland and: how small is the curvature of space? and
 what is the lower bound for its radius of curvature?"

Schwarzschild "actually estimated limits to the radius of curvature of the three-
dimensional space with the astronomical data available at his time and concluded
that if the space is hyperbolic its radius of curvature cannot be less than 64 light
years and that if the space is spherical its radius of curvature must at least be 1600
light years" (Chandrasekhar l.c.)
In a Postscript Schwarzschild added: "Of all of the spaces in which 'free motion of
rigid bodies' can take place, only the standard types ('Stammtypen' in the nomen-
clature of F. Klein) have been taken into account in the previous discussion. In
order to complete the discussion we should compare the properties of the
remaining spaces with astronomical experience... All that remains are the so-called
'simple Clifford-Klein space forms'."
Schwarzschild emphasized that such spaces "demonstrate in the simplest manner
that, contrary to what is normally supposed, the validity of Euclidean geometry
does not imply the infinity of space."
                                                   Karl Schwarzschild, Ueber das zulässige
                                                   Krümmungsmaass des Raumes
                                                   Vierteljahrsschrift d. Astronomischen
                                                   Gesellschaft, 1900

Karl Schwarzschild, Ueber das zulässige
Krümmungsmaass des Raumes
Vierteljahrsschrift d. Astronomischen
Gesellschaft, 1900

Es ist Ihnen bekannt, dass sich neben der euklidischen Geometrie im Laufe
dieses Jahrhunderts andere ― nicht euklidische ― Geometrien entwickelt
haben, an deren Spitze die Geometrie des sog. sphärischen und des sog.
pseudosphärischen Raums stehen, auf die wir uns hier vornehmlich beziehen
wollen. Man kann die Vorstellungen bis ins Einzelnste ausbilden, wie die Welt in
einem sphärischen oder pseudosphärischen, gekrümmten, eventuell endlichen
und in sich zurücklaufenden Raume aussehen würde. Ich brauche Sie in dieser
Beziehung nur auf Helmholtz´ Aufsatz: "Ueber den Ursprung und die Bedeutung
der geometrischen Axiome" zu verweisen. Man befindet sich da – wenn man will
– in einem geometrischen Märchenland, aber das Schöne an diesem Märchen
ist, dass man nicht weiss, ob es nicht am Ende doch Wirklichkeit ist. Es soll nun
die Frage besprochen werden, wie weit wir die Grenzen dieses Märchenlandes
zurückzuschieben haben, wie gering die Krümmung des Raumes ist, wie gross
sein Krümmungsradius mindestens gewählt werden muss.

Schwarzschild (1900, l. c.)

Nachtrag. Im Vorstehenden sind von all den Raumformen, in welchen
"freie Beweglichkeit starrer Körper" stattfindet, nur die Stammtypen
(nach Herrn F. Klein´s Ausdrucksweise) in Betracht gezogen worden.
Zur vollständigen Erledigung des Themas empfiehlt es sich, auch die
übrigen Räume dieser Eigenschaft mit der astronomischen Erfahrung
zu vergleichen. Ausschliessen möchte ich aber dabei den
"sphärischen Raum" und überhaupt die sogen. "Doppelräume", in
welchen sich alles von einem Punkte ausgehende Licht noch in einem
zweiten Punkte sammelt, da man so complicirte Annahmen nicht ohne
Nöthigung verfolgen wird. Es bleiben dann die sogen. "einfachen
Clifford-Klein´schen Raumformen" übrig.

Later workers being aware of cosmic topology

Einstein                ≥ 1917          Fang et al.               ≥ 1983
de Sitter               ≥ 1917          G. Ellis and Schreiber     1986
Klein                   ≥ 1917          Starobinsky                1993
Weyl                    ≥ 1918          Silk et al.                1993
Friedmann              1922, 1924       Smoot et al.             1995, 1996
Hilbert                1925, 1930       Lachièze-Rey, Luminet,    ≥ 1995
Lemaître                ≥ 1927          Weeks et al.
                                        Bond, Pogosyan and        ≥ 1998
Heckmann                ≥ 1932
                                        Souradeep
Schrödinger             ≥ 1938
                                        Cornish, Spergel and      ≥ 1998
Infeld                   1949           Starkman
Heckmann,Schücking       1959           Roukema et al.            ≥ 1998

G. Ellis                  1971          Aurich and F.S.           ≥ 1999

Zel´dovich               1973           Levin                      2002

Sokolov, Starobinsky     1976           Linde                      2004

2. Is the so-called concordance model
             really concordant with all astrophysical data?

                The "concordance model" of cosmology
                           (ΛCDM model)

•   Universe is flat : K ≡ 0, Ωtot ≡ 1

•   spatial geometry ≡ "trivial" Euclidean geometry, i. e.
                  M3 ≡ E3         spatial volume is infinite
•   dark energy (de) is identified with the cosmological constant Λ, i.e.

Problems with the ΛCDM model

1. Ωtot ≡ 1 resp. ΩK : = 1- Ωtot ≡ 0
   depends sensitively on the unknown (mysterious) nature of
   the dark energy (and also on the cold dark matter Ωcdm)

2. There exists a geometrical degeneracy in the parameter
   space (ΩK, Ωde, wde, Ho), e. g. for quintessence models (φ)
    in (ΩK, Ωφ, wφ, Ho)

3. The suppression of the low cosmic microwave background
   (CMB) multipoles, in particular of the quadrupole, already
   observed by COBE and confirmed by WMAP

4. The suppression of the CMB two-point temperature correlation
   function at large scales, i.e. at angles ϑ ≥ 60°

The Cosmic Microwave Background (CMB) radiation
    and the most recent observations by WMAP

               temperature

                             anisotropy

The time evolution of the Universe from the big bang until today

An almost perfect Planck spectrum

The first COBE-FIRAS results (Mather et al. 1990, accumulated during the first 9 minutes).
The small squares show measurements with a conservative error estimate of 1 %.

The NASA mission WMAP ( Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)

     The orbit of the WMAP satellite to the Lagrange point L2.

The WMAP satellite

WMAP data from 2003, 2006 and 2008
Frequency bands: 23, 33, 41, 61 and 94 GHz

Sky map of the anisotropy of the cosmic microwave background radiation
            5 year-data of the NASA satellite WMAP (2008)

KQ75 mask

Janzer, 2006

CMB angular power spectrum

The power spectrum of the three types of cosmic vibrations
        Large scales               Small scales          Very small scales
  "topological oscillations"   "acoustic oscillations"    "Silk damping"

Influence of the cosmological parameters (matter, dark energy, curvature)

The power spectrum of
the cosmic vibrations

The curvature, dark energy and equation of state for non-flat models

Left: The points show the set of non-flat models consistent with the WMAP data, colored by the Hubble
constant values. WMAP measures the acoustic peak scale to high accuracy, but does not constrain the
curvature, Ωk, by itself. However, the highly curved models have a low Hubble constant, inconsistent with
observation. Right: Constraints on the dark energy equation of state, w, and the dark energy density, ΩΛ, from
WMAP alone. With a Hubble constant H0 < 100, weak limits can be placed on w in a flat universe, shown by
the blue contours, but the dark energy density and equation of state are unconstrained (with the 95%
confidence level shaded grey) if the assumption of flatness is relaxed. Limits are significantly improved when
WMAP is combined with additional data (Komatsu et al. 2008).
[WMAP 5-year Paper Figures, J. Dunkley, et al. (2008)]

The curvature determined from the WMAP-5yr-data

The CMB temperature two-point (auto-)correlation function

The CMB temperature two-point correlation function

The CMB temperature two-point correlation function

3. Do we live in a finite Universe?

David Hilbert, "Über das Unendliche",
Mathem. Annalen 95 (1926) 161 – 190
Vortrag, gehalten am 4. Juni 1925 gelegentlich einer zur Ehrung des Andenkens an Weierstraß von der Westfälischen
Mathematischen Gesellschaft veranstalteten Mathematiker-Zusammenkunft in Münster i.W.

Durch diese Bemerkungen wollte ich nur dartun, daß die endgültige Aufklärung über das Wesen
des Unendlichen weit über den Bereich spezieller fachwissenschaftlicher Interessen vielmehr
zur Ehre des menschlichen Verstandes selbst notwendig geworden ist.
     Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen
bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend und
fruchtbar gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung
bedürftig.
     Wenn wir uns nun dieser Aufgabe, das Wesen des Unendlichen aufzuklären, zuwenden, so
müssen wir uns in aller Kürze vergegenwärtigen, welche inhaltliche Bedeutung dem
Unendlichen in der Wirklichkeit zukommt; wir sehen zunächst, was wir aus der Physik hierüber
erfahren...
     Die zweite Stelle, an der uns in der Natur die Frage nach der Unendlichkeit entgegentritt,
treffen wir bei der Betrachtung der Welt als Ganzes. Hier haben wir die Ausdehnung der Welt zu
untersuchen, ob es in ihr ein Unendlichgroßes gibt.
     Die Meinung von der Unendlichkeit der Welt war lange Zeit die herrschende; bis zu Kant
und auch weiterhin noch hegte man an der Unendlichkeit des Raumes überhaupt keinen
Zweifel.
      Hier ist es wieder die moderne Wissenschaft, insbesondere die Astronomie, die diese
Frage von neuem aufrollt und sie nicht durch das unzulängliche Hilfsmittel metaphysischer
Spekulation, sondern durch Gründe, die sich auf die Erfahrung stützen und auf der Anwendung
von Naturgesetzen beruhen, zu entscheiden sucht. Und es haben sich schwerwiegende
Einwände gegen die Unendlichkeit herausgestellt.

Zur Annahme der Unendlichkeit des Raumes führt mit Notwendigkeit die Euklidische
Geometrie. Nun ist zwar die Euklidische Geometrie ein in sich widerspruchsfreies Gebäude und
Begriffssystem; darauf folgt aber noch nicht, daß sie in der Wirklichkeit Gültigkeit besitzt. Ob
dies der Fall ist, kann allein die Beobachtung und Erfahrung entscheiden. Bei dem Versuche,
die Unendlichkeit des Raumes spekulativ zu erweisen, liefen auch offenbare Irrtümer unter. Aus
der Tatsache, daß außerhalb eines Raumstückes immer wieder noch Raum vorhanden ist, folgt
nur die Unbegrenztheit des Raumes, keineswegs aber seine Unendlichkeit. Unbegrenztheit und
Endlichkeit aber schließen einander nicht aus. Die mathematische Forschung liefert in der
sogenannten elliptischen Geometrie das natürliche Modell der endlichen Welt. Und das
Aufgeben der Euklidischen Geometrie ist heute nicht mehr bloß eine rein mathematische oder
philosophische Spekulation, sondern wir sind auch von einer anderen Seite dazu gelangt, die
ursprünglich gar nichts mit der Frage der Endlichkeit der Welt zu schaffen hatte. Einstein hat die
Notwendigkeit gezeigt, von der Euklidischen Geometrie abzugehen. Auf Grund seiner
Gravitationstheorie nimmt er auch die kosmologischen Fragen in Angriff und zeigt die
Möglichkeit einer endlichen Welt , und alle von den Astronomen gefundenen Resultate sind
auch mit der Annahme der elliptischen Welt durchaus verträglich...
     Das Gesamtergebnis ist dann: das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder
in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig -
eine bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken...
     Das Operieren mit dem Unendlichen kann nur durch das Endliche gesichert werden.
     Die Rolle, die dem Unendlichen bleibt, ist vielmehr lediglich die einer Idee – wenn man,
nach den Worten Kants, unter einer Idee einen Vernunftbegriff versteht, der alle Erfahrung
übersteigt und durch den das Konkrete im Sinne der Totalität ergänzt wird...

The crucial difference between a finite Universe
                    and the simply connected ΛCDM model

The wave-number spectrum of the metric perturbations, i.e. the spectrum of "the proper
vibrations of the expanding universe" (Schrödinger, 1939) [= eigenvalue problem of the
Laplace-Beltrami-operator on M3 ] is discrete for a finite Universe.
(In contrast, the eigenmodes of the ΛCDM model are simple plane waves with a
continuous spectrum.)

    a finite Universe with largest extension L does not support wave lengths ≥ L,
    i.e. there exists an infrared cut-off            (Infeld, 1949)

    suppression of the CMB power at large scales
    oscillatory behaviour of the CMB angular power spectrum reflecting the
    discrete k-spectrum

"The architecture of our universe"
Let us discuss now the possible topologies of a manifold..., a point to which little attention was paid
when Einstein formulated his cosmological theory, and a point, which, I believe, is of great importance
for the understanding of cosmological problems.
Before we decide the question: what is the particular quadratic form of our universe, we would like to
decide a more fundamental question: is our universe open or closed ? This question is more general
and more important than the specialized question regarding the metric of our universe…We do not
know the answer to this question. Yet every mathematician – if given the choice – would rather see our
universe closed than open. There is mathematical beauty in such a universe which reveals itself when
we consider any mathematical problem on such a cosmological background. In such a closed universe
we have simple boundary conditions and do not need to worry about infinities in time and space.
Compared with the closed universe the open one of Einstein-de Sitter appears to be dull and
uninspired.
            But the situation changes radically if we solve the equations in a closed universe. It does
not change because of the metric, but because of the identification of points… Such an identification
changes our problem into a boundary value problem, and we obtain characteristic values for
frequencies. In a closed universe the frequency of radiation has its lowest value, the spectrum, on its
red side, can not reach the frequency zero…. Thus, not the metric but the topology of the universe
influences the character of the solutions.
                                              Leopold Infeld, On the structure of our universe,
                                              in: Albert Einstein: Philosopher-Scientist. The Library
                                              of Living Philosophers. Vol. VII (ed. P.A.Schilpp), 1949
Einstein´s reply (l.c.):
            And now a few remarks concerning the essays by E.A. Milne, G. Lemaître, and L. Infeld as
concerns the cosmological problem: ….L. Infeld´s essay is an independently understandable, excellent
introduction into the so-called "cosmological problem" of the theory of relativity, which critically
examines all essential points.

The main signatures of Cosmic Topology in the CMB

1. Natural suppression of low multipoles, in particular of the quadrupole

2. Oscillatory behaviour of the angular power spectrum for ` ≤ 20
   (topological oscillations)

3. Suppression of C(ϑ) at large angles ϑ ≥ 60°

4. Circles-in-the-sky signature

4.1 The Euclidean case: The Torus Universe
                                    M3 ≡ T3 = E3/(LZ)3
Compact, flat Universe having the shape of a 3-torus whose fundamental domain is a
cube with side length L measured in units of the Hubble length
for h = 0.704

Wave-number spectrum

  Ωb      0.044
  Ωcdm    0.223               Cosmological parameters
                              used in the analysis
  ΩΛ      0.733

  H0      70.4(km/s)/Mpc

  ns      0.947
  τ       0.073

                       distance to the surface of last scattering (SLS)

The Torus Universe

Schwarzschild (1900, l. c.)

Eine ist besonders merkwürdig von den Clifford-Klein´schen Raumformen, indem sie auf die
einfachste Weise zeigt, dass mit der Gültigkeit der euklidischen Geometrie keineswegs, wie das
meistentheils angenommen wird, die Unendlichkeit des Raumes verbunden sein muss. Man
denke sich als das Resultat einer ungeheuer erweiterten astronomischen Erfahrung, dass die
ganze Welt aus unzähligen identischen Wiederholungen unseres Milchstrassensystems
bestehe, dass der unendliche Raum in lauter Würfel gespalten werden könne, deren jeder ein
mit dem unserigen absolut gleiches Milchstrassensystem enthielte. Würden wir dann
thatsächlich bei der Annahme unendlich vieler identischer Wiederholungen desselben
Weltganzen stehen bleiben? Um das als sehr absurd zu erkennen, überlege man nur die
Consequenzen daraus, dass auch wir selbst, die beobachtenden Subjecte, in unendlich vielen
Wiederholungen vorhanden sein müssten. Wir werden uns viel lieber der Anschauung
zuwenden, dass diese Wiederholungen nur scheinbare sind, dass in Wirklichkeit der Raum so
eigenthümliche Zusammenhangsverhältnisse hat, dass wir, indem wir den betreffenden Würfel
auf einer Seite verlassen, von selbst im Geradeausgehen durch die gegenüberliegende Seite
wieder hereinkommen. Der Raum, den wir hierbei supponiren, ist nichts Anderes, als die
einfachste der Clifford-Klein´schen Raumformen, ein endlicher Raum mit euklidischer
Geometrie. Man erkennt unmittelbar die einzige Bedingung, welche die astronomische
Erfahrung diesem Clifford-Klein´schen Raum auferlegt: Da von (scheinbaren) Wiederholungen
des Milchstrassensystems bisher noch nichts bemerkt worden ist, so muss das Volumen des
Raumes grösser sein, als das Volumen, welches wir dem Milchstrassensystem auf Grund
euklidischer Anschauungen zuschreiben.

Chladni sound patterns (coloured)
Ernst Florens Friedrich Chladni
         (1756 – 1827)
Die Akustik (Leipzig, 1802)

Per Lautsprecher zum sichtbaren
Chaos. Mit Sand bestreute Platten
werden durch einen Lautsprecher
zu Schwingungen angeregt. Der
Sand sammelt sich dann in den
Knotenlinien und formt bestimmte
Schwingungsmuster, so genannte
Chladni-Figuren.

Chladni-Figuren einer Violine

Chladni sound pattern
in the Torus Universe

The cosmic
"mirror hall" in a
Torus Universe

Simulation of the CMB anisotropy for the Torus Universe
(torus length ≈ 4 LH; computed using the first 61 500 000 eigenmodes)
     Aurich, Janzer, Lustig, and F.S., Class. Quantum Grav. 25 (2008) 125006

Two-point (auto-)correlation function

The CMB temperature two-point correlation function

Aurich, Janzer, Lustig, and F.S.
Class. Quantum Grav. 25 (2008) 125006

The angular power spectrum of the Torus Universe

volume of the Universe at the present epoch ≈ 4.4 • 103 Gpc3

Hot pixel contamination in the WMAP data

                               H. Liu and T.-P.Li
                   arXiv: 0806.4493, 0809.4160 [astro-ph]

                         R. Aurich, S. Lustig and F. S.
                       arXiv: 0903.3133 [astro-ph.CO]

− Map-making procedure of the WMAP team applied to the time-ordered CMB
  data flawed by hot pixels
− WMAP measures temperature differences at two points on the sphere separated
  by about 141° due to the construction of the probe
− Construct a modified mask and confirm the bias    in the pixels having an angular
  distance of about 141° from hot pixels

Distribution of the CMB temperature fluctuations δT [μK]

Computed from the ILC map based on the WMAP-5yr data taking into account only
      the pixels outside the KQ75 mask. The standard deviation is 66 μK.

Hot pixel contamination in the WMAP sky map in Galatic coordinates

The degree of contamination by hot pixels for δT > 1000 μK dependent on the number Ninter
     (up to Ninter = 300) of scan rings with respect to the W band belonging to hot pixels.

δTmean for the W band foreground-
reduced map (5 yr) computed from the
pixels inside the modified mask with
Tthres = 1000 μK outside the KQ75 mask
in dependence on the threshold Ninter.

Panel a): δTmean computed from those
pixels which are related to at least Ninter
hot pixels. The grey band represents the
2σ uncertainty of the detector noise in the
corresponding area. The shaded region
denotes the 2σ uncertainty obtained from
100 000 simulations of ΛCDM models
subjected to the same procedure. The
dotted curves show the 3σ uncertainties.

Panel b): δTinter computed from pixels
corresponding to exactly Ninter hot pixels.

δTmean and δTinter for the V band
foreground-reduced map (5 yr).

δTmean and δTinter for the Q band
foreground-reduced map (5 yr).

The CMB temperature two-point correlation function C(ϑ)

                                     Aurich, Lustig, and F.S.
                                     arXiv: 0903.3133 [astro-ph.CO]

 C(ϑ) computed from the W band foreground-reduced map (WMAP-5yr)
using only the pixels outside the KQ75 mask and the modified Li-Lui mask.
                Ninter = number of contaminated scan rings.

The correlation difference I(L) for the Torus Universe

I(L) as a function of the torus length L in units of the Hubble length LH = 4.26 Gpc
             computed from the hot-pixel reduced data (WMAP-5yr).

Courtesy of Jeffrey Weeks

The circles-in-the-sky

Courtesy of Jeffrey Weeks

No circles-in-the-sky

A pair of matched circles in theTorus Universe drawn on
         the 5yr-WMAP-sky map (Q band) in mK

Fourier expansion of the CMB temperature along circle no.i

The m-weighted circle-correlation function for two circles i and j
having a radius α, where β is a possible shift between the two
circles

           The maximum of the circle-in-the-sky signature

   Perturbing the sky maps without altering the statistical properties

Aurich, Janzer, Lustig, and F.S.
Class. Quantum Grav. 25 (2008) 125006

0.3

       0.2

        0.1
T( )

       0.0

       -0.1

       -0.2

       -0.3
              0     60        120       180        240       300        360

        Temperature fluctuations along two matched circles with radius 53°
                              for the Torus Universe

0.3

       0.2

        0.1
T( )

       0.0

       -0.1

       -0.2

       -0.3
           120      130       140        150       160        170       180

         Temperature fluctuations along two matched circles (for φ ≥ 120° )

3.2 The spherical case: The three admissible "Platonic" space forms

                             (Clifford-Klein space forms)

 • Luminet, Weeks, Riazuelo, Lehoucq and Uzan
 • Aurich, Lustig and F.S.
 • Gundermann
 • Lachièze-Rey et al.

The three
admissible
spherical
("Platonic")
space forms
in the case of
positive
curvature

Influence of the topology on the CMB angular power spectrum

The simply-connected spherical Universe

         volume:

Cosmic scale factor at the present epoch:

The Poincaré dodecahedral Universe

         volume:

                       "Topological oscillations"

                   Aurich, Lustig and F.S., 2004

Volume of the Universe for the best-fit spherical space forms and the Torus Universe

3.3 The hyperbolic case: The Picard Universe

E. Picard, Sur un groupe de transformations des points de
           l´espace situés du même côté d´un plan (1884)
Aurich, Lustig, F.S. and Then, Phys.Rev.Letters 94 (2005) 01301

The Picard Universe
in the upper half-space
model for hyperbolic
geometry

The Picard Universe
in the unit-ball model
for hyperbolic geometry for
the eigenmode with wave
number k = 20.3003

Chladni sound pattern in the Picard
Universe with negative curvature for
the eigenmode with wave number
k = 60.0057:
volume of the Picard Universe

Herschel

Die Satelliten Planck
und Herschel in der
Ariane 5-Rakete
                        Planck

Start von Planck und
Herschel am 14. Mai 2009
um 15.12 Uhr vom ESA
Weltraumbahnhof in
Kourou
(Französisch Guiana)