"Wieso kann ein Navi so genau rechnen?" - Mit Linearen Funktionen modellieren
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Hußmann, S. & Richter, V. (2012). Wieso kann ein Navi so genau rechnen? Mit Linearen Funktionen modellieren (7.-8.
Klasse). In: Praxis der Mathematik in der Schule 44, 15-19.
„Wieso kann ein Navi so genau rechnen?“
– Mit Linearen Funktionen modellieren
Stephan Hußmann & Vanessa Richter
„Der Routenplaner hat für eine Strecke von 756 km genau 7 Stunden Fahrtzeit vorausgesagt. Und als
wir dann gefahren sind, waren es tatsächlich fast genau 7 Stunden. Das ist faszinierend. Wie macht der
das? Der weiß doch gar nicht, was auf der Strecke los ist.“
Diese Frage kann bei der Erkundung der Linearität handlungsleitend sein, denn auch wenn die
tatsächliche Fahrt auf Grund von Staus und Pausen nicht linear verläuft, lässt sich mit einem linearen
Modell die Fahrtzeit relativ exakt voraussagen. Mit diesem Zugang zu Linearität wird ein Konzept
erschlossen, das sich im alltäglichen Leben in vielen unterschiedlichen Situationen zeigt, sei es auf der
Bowlingbahn (Kosten für geliehene Bowlingschuhe und Festbetrag pro Spiel), bei der Wahl eines
passenden Handytarifs oder auf einer Taxifahrt.
Am Beispiel der Lernumgebung ‚Voraussagen mit dem Routenplaner – Mit Funktionen modellieren‘
(Hußmann et al. 2012) wird in diesem Beitrag eine Möglichkeit vorgestellt, den Begriff der linearen
Funktionen einzuführen. Für das Phänomen der Linearität wird in dieser Lernumgebung die Thematik
der Routenplanung als sinnstiftender Kontext genutzt, da hierbei zur Berechnung der Dauer einer
Strecke stückweise lineare Funktionen verwendet werden und mit festen
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Durchschnittsgeschwindigkeiten je Streckenabschnitt gerechnet wird. Kennen die Schülerinnen und
Schüler einige wenige Werte einer Reisestrecke, so ist es das Ziel weitere Werte, z.B. für
Durchfahrtszeiten an sehenswerten Städten entlang des Reiseweges, berechnen zu können. Eine
Erkenntnis, die Schülerinnen und Schüler erarbeiten können, ist, dass proportionale Rechenstrategien
als Lösungsansatz nicht in Frage kommen, da der Startwert nicht zwangsläufig der Ursprung ist. Auf
der Suche nach neuen Rechenstrategien können sie sowohl den Startwert als auch das gleichmäßige
Anwachsen selbstständig entdecken.
Das Besondere im Linearen
Was macht das Phänomen der Linearität so besonders und was können die Schülerinnen und Schüler
darüber lernen? Im Kontext des Routenplaners liegt die Besonderheit darin, dass sich Voraussagen
nahezu exakt treffen lassen, auch wenn die zu modellierende Wirklichkeit nicht linear ist. Über
verschiedene Kontexte hinweg betrachtet, liegt die Besonderheit des Linearen darin, dass man aus
wenigen Rahmendaten beliebig viele weitere Werte bestimmen kann. Die zentrale Eigenschaft linearer
und damit auch proportionaler Wachstumsprozesse, die dabei genutzt wird, liegt in ihrer
gleichmäßigen Änderung: wird die Ausgangsgröße um einen Schritt erhöht, so wächst die abhängige
Größe jeweils gleichmäßig an. Dies erlaubt ein besonders einfaches Berechnen von Zwischenwerten
und zukünftigen Werten, wie es bei kaum einer anderen Funktionsklasse möglich ist. Die Möglichkeit
Vorhersagen für Entwicklungsverläufe besonders einfach treffen zu können, ist die große Stärke des
Phänomens Linearität. So kann einerseits der Interessent eines Handyvertrags abschätzen, welche
Kosten auf ihn zukommen (monatlicher Grundpreis plus Preis je Gesprächsminute/SMS), große
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Diese Lerneinheit wurde im Rahmen der Mathewerkstatt (Barzel et al. 2011) entwickelt. Ihr
vorausgegangen ist die Auseinandersetzung mit proportionalem Denken und verschiedenen
Möglichkeiten, funktionale Zusammenhänge darzustellen.
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Je nach Routenplaner können auch aktuelle Verkehrsdaten o.ä. hinzugezogen werden, dies wird
aber im Sinne des Gegenstandes hier nicht berücksichtigt.
Unternehmen können andererseits Kosten- und Nutzenrechnungen mithilfe von Approximationen an lineare Funktionen durchführen. Damit es bei einer solch starken Präsenz eines Phänomens nicht zu Übergeneralisierungstendenzen bei der Modellierung anderer Situationen kommt (vgl. u.a. Van Dooren et al. 2004; Van Dooren & Greer 2010, s. auch den Beitrag von De Bock, Van Dooren & Verschaffel im vorliegenden Heft), thematisiert die hier vorgestellte Lernumgebung auch andere Funktionsklassen, um den Rahmen der angemessenen Anwendung des linearen Modells erfahrbar zu machen. Es ist nicht verwunderlich, dass Linearität eines der Kernkonzepte der Sekundarstufe I ist und eine wesentliche Grundlage für weitergehende komplexere Konzepte (wie z.B. Änderungsverhalten verschiedener Funktionenklassen) darstellt (vgl. NCTM 2000). Gleichzeitig deuten die Probleme der Übergeneralisierung proportionaler Zusammenhänge und weitere Hürden in der Vorstellungsentwicklung zu linearen Funktionen (vgl. Schoenfeld 1993; Greenes et al. 2007) auf einen dringenden Handlungsbedarf bzgl. angebotener Lerngelegenheiten hin. Bereits in der Grundschule sammeln Schülerinnen und Schüler erste Erfahrungen zu gleichmäßigen Änderungen im Rahmen proportionaler Rechenstrategien, aber auch in ihrem Alltag begegnen sie ihnen fortwährend. Aufgrund dieser Tatsache, scheint es naheliegend - und dies bestätigen verschiedene empirische Studien - (vgl. z.B. De Bock et al 2002; Estely et al 2004), dass Lernende häufig die Vorstellung entwickeln, jede Relation sei proportional. Die proportionale Annahme scheint damit zur Denkgrundlage jeglicher Problemlöseprozesse zu werden und taucht bei Lernenden sowohl in verschiedenen Altersstufen, als auch bei einer Vielzahl von mathematischen Teilgebieten (Geometrie, Wahrscheinlichkeit, Algebra) auf (vgl. Van Dooren et al. 2003). Umso wichtiger ist es, dass Schülerinnen und Schüler das Konzept der Linearität in seiner Spezifität kennen lernen, d.h. (1) als spezifische und tragfähige Modellierung von Alltagssituationen; (2) als Voraussagemodell, das Berechenbarkeit von Zwischenwerten und weiteren Werten ermöglicht; (3) in expliziter Abgrenzung / Erweiterung von proportionalen Zusammenhängen. Eine mögliche Ursache der ‚Illusion of Linearity‘ (vgl. Van Dooren et al. 2003) wird hinter den im Unterricht verwendeten Aufgabenformaten vermutet: proportional formulierte Problemstellungen begegnen den Lernenden nicht selten in einem ‚missing value‘-Format. Das bedeutet, dass drei Größen in Form von Zahlen vorgegeben sind und nach einer vierten Zahl gesucht wird. Durch ein Überangebot dieser Formulierungen, schleifen sich Automatisierungsprozesse ein, die auf die Anwendung bekannter Rechenstrategien ausgerichtet sind, jedoch nicht die Eigenschaften der Wertepaare berücksichtigen. Weiter zeigt eine Studie von De Bock et al (2010), dass das Vorhandensein eines Kontextes die Problemlösestrategien von Lernenden entscheidend beeinflussen kann: bei Aufgaben in naturwissenschaftlichen Kontexten neigten die Lernenden signifikant weniger häufig dazu, proportionale Rechenstrategien nicht-proportionalen Situationen aufzudrängen, als bei rein innermathematischen Problemstellungen. Weitere Ursachen für die Grundannahme, ‚alles‘ sei proportional, werden aber auch hinter Defiziten im geometrischen Wissensbereich und der Intuition linearer Beziehungen (taucht in einfachster Form schon in früher Kindheit auf und begegnet den Schülerinnen und Schülern explizit und implizit fortlaufend in der Grundschule und Sekundarstufe I) vermutet. So verbinden viele Lernende die Hälfte einer Reisestrecke direkt mit der Hälfte der Reisezeit. Um auf die nicht tragfähigen Vorstellungen angemessen zu reagieren, müssen genau diese vermeintlich intuitiven Erklärungsansätze benutzt werden, um die Unterschiede zwischen Proportionalität und Linearität explizit zu machen. Zwei zentrale Aspekte von Proportionalität lassen sich am Beispiel der Reise gut herausarbeiten:
Bei Zunahme der Reisezeit um die gleiche ‚Portion‘ Zeit, wächst die Reisestrecke jeweils
gleichmäßig an.
Die Parameter Reisezeit und Reisestrecke sind zur selben Zeit Null.
Die Sollbruchstelle vom proportionalen zum linearen Denken liegt in der Fokussierung des ersten und
der Vernachlässigung des zweiten Aspekts, dessen Gültigkeit nicht direkt sichtbar ist, einfach als
gültig angenommen oder - nicht selten - sogar überhaupt nicht reflektiert wird. Dadurch, dass lineare
Funktionen nicht zwangsläufig durch den Ursprung verlaufen, sind proportionale Rechenstrategien auf
allgemeine lineare Problemstellungen nicht übertragbar (vgl. Abb. 1).
Zeilenweise Multiplikation/Division (evtl. mit Spaltenweise Multiplikation mit einem
Zwischenschritt) festen Faktor
Zeilenweise Addition einzelner
Zwischenwerte
Abb. 1: Proportionale Rechenstrategien (in Anlehnung an: mathewerkstatt 8, Cornelsen, Berlin)
Genau diese Gelenkstelle zwischen Proportionalität und Linearität stellt einen entscheidenden
Stolperstein in der Vorstellungsentwicklung dar.
Wie auf die in (1) bis (3) dargestellten Probleme durch eine geeignete Lernumgebung reagiert werden
kann, soll an dem folgenden Beispiel diskutiert werden.
Linearität in mehreren Schritten erleben 1. Schritt: Proportionalität als Modell zur Voraussage von Reisestrecken und Reisedauern Zum Einstieg erhalten die Lernenden die Gelegenheit die Funktionsweise eines Routenplaners kennen zu lernen. Dazu steht ein Java-Applet mit drei Straßentypen zur Verfügung: Landstraße (64 km/h), Autobahn (112 km/h) und Stadtstraße (32 km/h). Die Zahlenangaben stellen die angenommenen Durchschnittsgeschwindigkeiten dar, sind den Schülerinnen und Schülern aber nicht bekannt. Mit dem Applet können Streckenlängen frei von den Lernenden variiert werden und als Output erhält man die Reisedauer. Darüber hinaus lassen sich Tabellen mit den entsprechenden Wertepaaren generieren. Dazu erstellen die Lernenden Graphen und Terme, um Charakteristika der Situation zu explorieren und an ihr Wissen zu proportionalen Zusammenhängen anzuschließen. Alternativ kann auch ein Ausdruck aus einem Routenplaner zur Verfügung gestellt werden, auf dessen Grundlage weitere Reisezeiten bestimmt werden und vergleichbare Tätigkeiten wie beim Applet durchgeführt werden können (vgl. Abb. 2). Abb. 2: Ausschnitt aus einer Routenplanung © 2012 Google – Kartendaten © GeoBasis – DE/BKG (© 2009) Google, Tele Atlas 2. Schritt: Proportionalität bzw. Linearität als maßgeblich für ein Voraussagemodell, aber nicht als tatsächliches Abbild der Realität Anhand eigener Überlegungen zu einem tatsächlichen Reiseverlauf wird im zweiten Schritt die Besonderheit der Vorhersagekraft des Modells herausgearbeitet, wobei Erfahrungen zu Darstellungen funktionaler Zusammenhänge aktiviert und die typische Gestalt von proportionalen Zusammenhängen an Tabelle und Graph genutzt werden. Um deutlich zu machen, dass Linearität nur als
Voraussagemodell tragfähig, aber nicht geeignet ist, tatsächliche Reiseverläufe zu beschreiben, wird
die dafür notwendige Unterscheidung explizit thematisiert (vgl. Abb. 3).
Der Graph der tatsächlichen
Reise sieht krumm und Das ist doch kein Wunder,
schief aus, ganz anders als das eine ist eine
der Voraussage-Graph. Voraussage und das andere
ist die tatsächliche Reise.
Abb. 3: Tatsächlich gefahrene Strecke (in Anlehnung an mathewerkstatt 8, Cornelsen, Berlin)
3. Schritt: Gegenüberstellung von proportionalen und linearen Zusammenhängen, Ermittlung von
Rechenwegen zur Bestimmung weiterer Werte in linearen Zusammenhängen
Nun wird ausgehend von einem festen Tachostand die Reisedauer berechnet. Um weitere Werte zu
bestimmen, reichen proportionale Rechenstrategien nicht mehr aus. Dies wird für die Schülerinnen
und Schüler erfahrbar, wenn sie mit den bekannten Rechenstrategien selbst Voraussagen treffen und
diese mit dem Applet überprüfen. Diese Erfahrungen bilden die Grundlage, die zentralen Aspekte der
Linearität (Startwert und der ‚Änderung pro Portion’) eigenständig zu entdecken und gegenüber den
proportionalen Besonderheiten abzugrenzen.Abb. 4: Applet mit festem Tachostand (© http://www.ko-si-ma.de/front_content.php?idcat=585&lang=12) Die bis zum Startpunkt der Strecke zurückgelegten Kilometer und damit die additive Konstante des algebraischen Ausdrucks (bzw. der y-Achsenabschnitt der graphischen Darstellungsform) können bei dieser Aufgabe entdeckt und als Grund für die Notwendigkeit einer neuen Rechenstrategie (alle proportionalen Strategien versagen, vgl. Abb. 1) identifiziert werden. Die zugrunde liegenden Strukturen des Kontextes der Routenplanung sollen dabei Schritt für Schritt mit den mathematischen Werkzeugen gedeutet werden. In diesem Zuge begegnen den Lernenden auch negative Steigungen linearer Funktionen (Wie viele Kilometer sind noch zu fahren?) und stückweise definierte lineare Funktionen (Mit welchem Straßentyp (Autobahn, Landstraße) hat der Routenplaner wo gerechnet?). Linear denken mit verschiedenen Vorstellungen und Darstellungen Neben den grundlegenden Hürden im Aufbau des Linearitätskonzepts, sollten auch Grundvorstellungen und Darstellungsformen bei der Begriffsbildung Berücksichtigung finden. Der Vorstellungsaufbau dieser Lernumgebung orientiert sich dabei an den drei für funktionales Denken formulierten Grundvorstellungen (Zuordnung, Kovariation, Funktion als Ganzes) und ihren verschiedenen Darstellungsformen (tabellarisch, graphisch, symbolisch, verbal). Eine ausführliche Beschreibung und Systematisierung der Verbindungen, die zwischen Grundvorstellungen und Darstellungsformen bestehen, lässt sich bei Hußmann & Laakmann (2011) nachlesen. Gerade beim Wechsel zwischen den verschiedenen Darstellungen einer linearen Funktion, insbesondere bei der Entwicklung des Steigungskonzepts kommt es immer wieder zu Schwierigkeiten in der Vorstellungsentwicklung: sei es in Bezug zum Koeffizienten vor der Variablen (Was bedeutet das Vorzeichen des Koeffizienten im algebraischen Ausdruck?) oder bei der Identifizierung der Steigung anhand der graphischen Darstellung, insbesondere dann, wenn die Achsen nicht in Einer- Schritten skaliert wurden (vgl. Greenes et al. 2008). Daher sollte in jeder Lernumgebung für die Verwendung der verschiedenen Darstellungen zum funktionalen Denken eine entsprechende Schwerpunktsetzung vorhanden sein. In dem hier vorgestellten Lernarrangement werden die einzelnen ‚Gesichter‘ einer linearen Funktion und die Wechsel zwischen ihnen, gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet und anschließend gesichert. Dabei wird immer wieder darauf geachtet, dass Verbindungen (z.B.: Wo finde ich das m aus dem Term im Graphen, wo in der
Tabelle?) zwischen den einzelnen Darstellungen entdeckt werden und realisiert wird, dass dies Repräsentationsformen ein und desselben mathematischen Phänomens sind (vgl. Abb. 5). Abb. 5: Sicherung des Wissens über die verschiedenen Darstellungen (bzw. deren Wechsel) einer linearen Funktion (© mathewerkstatt 8, Cornelsen, Berlin) Erste Vorstudien zur hier vorgestellten Lernumgebung zeigen, dass sich der Kontext der Routenplanung sehr motivierend auf die Lernenden auswirkt. Darüber hinaus lassen sich bei der gleichzeitigen Thematisierung verschiedener Darstellungsformen (hier: Tabelle und Graph) positive Entwicklungen im Aufbau tragfähiger Vorstellungen zu linearen Funktionen beobachten (vgl. Abb. 6). Diese Schülerin formuliert eigenständig eine Beschreibung, wie weitere Zwischenwerte einer linearen Funktion, ausgehend von zwei vorgegebenen Wertepaaren in einer Tabelle, bestimmt werden können und entwickelt ihr bestehendes Konzept über proportionale Zusammenhänge weiter, anstatt es unverändert anzuwenden.
Abb. 6: Schülerbearbeitung – Wie bestimmt man weitere Werte bei linearen Funktionen?
Durch die Aktivierung der Lernenden sowohl bei der Begriffsbildung als auch bei der
Systematisierung von Wissen durch die sinnstiftenden Kontexte und das vorstellungsbezogene,
inhaltliche Lernen, wird ein fachlich tragfähiger und vollständiger Vorstellungsaufbau zum Phänomen
der Linearität angestrebt.
Mit Blick auf die möglicherweise versteckten Herausforderungen, die die Linearität an Lehrende und
Lernende stellt, zeigt sich der Kontext des Routenplaners als geeigneter Rahmen dafür, die Lernenden
nicht nur kurzfristig für die Thematik der linearen Funktionen zu motivieren. Diese wird vielmehr als
eine wesentliche Grundlage für einen nachhaltigen Vorstellungsaufbau genutzt und führt zu einem
adäquaten Gebrauch proportionaler und linearer Ansätze.
Literatur
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Van Dooren, Wim / De Bock, Dirk / Verschaffel, Lieven / Jannsens, Dirk (2003): Improper Applications of Proportional
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Verfasser/innen
Prof. Dr. Stephan Hußmann
echnische niversität Dortmund Stephan. ussmann tu-dortmund.de
Vanessa Richter
echnische niversität Dortmund Vanessa.Richter@math.tu-dortmund.deSie können auch lesen
