Mathematik - Quirinus-Gymnasium Neuss Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe

 
Quirinus-Gymnasium Neuss

             Schulinterner Lehrplan

zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe

             Mathematik

Stand September 2015
Inhalt

                                                                       Seite

1        Die Fachgruppe Mathematik am Quirinus-Gymnasium                  3

2        Entscheidungen im Unterricht

     2.1 Unterrichtsvorhaben                                              5
         2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben                       7
         2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben                        19
     2.2 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit     85
     2.3 Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung      87
     2.4 Lehr- und Lernmittel                                            91

3        Entscheidungen zu fach- und
         unterrichtsübergreifenden Fragen                                92

4        Qualitätssicherung und Evaluation                               92

5.       Inkrafttreten                                                   93

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1        Die Fachgruppe Mathematik am Quirinus-Gymnasium
Das Quirinus-Gymnasium ist eines von vier öffentlichen Gymnasien der Stadt
Neuss. Es liegt im Innenstadtbereich und hat eine große Tradition. Problematisch
ist die unmittelbare Nähe des Gymnasiums Marienberg, eines reinen erzbisch-
höflichen Mädchengymasiums, das wegen seiner meist Sechszügigkeit viele
weibliche Gymnasiastinnen abgreift. Das Quirinus-Gymnasium ist in der Sekun-
darstufe I teils vier- und teils fünfzügig und ist offiziell keine Ganztagsschule, was
sich aber seit Einführung des G 8 relativiert.

In die Einführungsphase der Sekundarstufe II wurden in den letzten Jahren re-
gelmäßig etwa 20 Schülerinnen und Schüler neu aufgenommen und in M, D und
E auf die parallelen Kurse gleichmäßig verteilt.

In der Regel werden in der Einführungsphase fünf parallele Grundkurse einge-
richtet, aus denen sich für die Q-Phase zwei Leistungs- und drei Grundkurse
entwickeln.

Der Unterricht findet im 45-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht grundsätz-
lich für Grundkurse eine, für Leistungskurse zwei Doppelstunden vor.

Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren
Begabungen und Neigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Ori-
entierung für ihren weiteren Lebensweg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Ma-
thematik in besonderer Weise verpflichtet.

Durch ein fachliches begleitendes Förderprogramm, das in den Vertiefungskur-
sen der Oberstufe und in dem Projekt „Schüler helfen Schülern“ unter Einbezie-
hung von Schülerinnen und Schülern als Tutoren umgesetzt wird, begleitet durch
regelmäßige Gespräche mit den Lehrkräften und dort getroffene Lernvereinba-
rungen, werden Schülerinnen und Schüler mit Lernschwierigkeiten intensiv un-
terstützt. Schon in der Klasse 5 wird eine 5. Parallele Fachunterrichtsstunde dazu
genutzt, klassenübergreifend in kleinen Lerngruppen Schülerinnen und Schüler
individuell zu fördern bzw. zu fordern.

Schülerinnen und Schüler aller Klassen- und Jahrgangsstufen werden zur Teil-
nahme an den vielfältigen Wettbewerben im Fach Mathematik angehalten und,
wo erforderlich, begleitet. Schülerinnen und Schüler aller Klassen- und Jahr-
gangsstufen nehmen alljährlich in großer Zahl am Känguru-Wettbewerb und
ähnlichen Wettbewerben teil. Für die Sekundarstufe II hat die Fachgruppe eine
regelmäßige Arbeitsgemeinschaft mit Themen und Aufgaben aus vergangenen
Mathematik-Olympiaden und A-lympiaden eingerichtet.

Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass wo immer
möglich mathematische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden. Für
die Sekundarstufe I gibt es dazu verbindliche Absprachen mit anderen Fach-
gruppen, wie z. B. Geographie, Politik und Biologie. Besonders eng ist die Zu-

                                                                                3
sammenarbeit mit der Fachgruppe Physik, was deshalb leicht fällt, da sie eine
echte Teilmenge der Fachgruppe Mathematik darstellt.

In der Sekundarstufe II kann verlässlich darauf aufgebaut werden, dass die Ver-
wendung von Kontexten im Mathematikunterricht bekannt ist.

In der Sekundarstufe I wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner ab Klasse 7
verwendet, dynamische Geometrie-Software und Tabellenkalkulation werden an
geeigneten Stellen im Unterricht genutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu
stehen in der Schule zwei PC-Unterrichtsräume zur Verfügung. In der Sekundar-
stufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und
Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge ver-
traut sind.

Der grafikfähige Taschenrechner wird in der Einführungsphase eingeführt.

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2       Entscheidungen zum Unterricht
2.1 Unterrichtsvorhaben
Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan besitzt
den Anspruch, sämtliche im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen
abzudecken. Dies entspricht der Verpflichtung jeder Lehrkraft,
Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermöglichen, so dass
alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt werden
können.
Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichts- und der
Konkretisierungsebene.

Im „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.1) wird die Verteilung der
Unterrichtsvorhaben dargestellt. Sie ist laut Beschluss der Fachkonferenz ver-
bindlich für die Unterrichtsvorhaben I, II, III und IV der Einführungsphase und für
die Unterrichtsphasen der Qualifikationsphase. Die zeitliche Abfolge der Unter-
richtsvorhaben IV bis VIII der Einführungsphase ist jeweils auf die Vorgaben zur
Vergleichsklausur abzustimmen und in der Reihenfolge variabel.

Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen
Überblick über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahr-
gangsstufen sowie den im Kernlehrplan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern
und inhaltlichen Schwerpunkten zu verschaffen. Um Klarheit für die Lehrkräfte
herzustellen und die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie
„Kompetenzen“ an dieser Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwartungen
ausgewiesen, während die konkretisierten Kompetenzerwartungen erst auf der
Ebene konkretisierter Unterrichtsvorhaben Berücksichtigung finden. Der ausge-
wiesene Zeitbedarf versteht sich als grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf
über- oder unterschritten werden kann. Um Spielraum für Vertiefungen, individu-
elle Förderung, besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu erhalten,
wurden im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans nur ca. 75 Prozent der zu
erwartenden Bruttounterrichtszeit verplant.

Während der Fachkonferenzbeschluss zum „Übersichtsraster Unterrichtsvorha-
ben“ zur Gewährleistung vergleichbarer Standards sowie zur Absicherung von
Kurswechslern und Lehrkraftwechseln für alle Mitglieder der Fachkonferenz Bin-
dekraft entfalten soll, besitzt die Ausweisung „konkretisierter Unterrichtsvorha-
ben“ (Kapitel 2.1.2) empfehlenden Charakter. Referendarinnen und Referenda-
ren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standard-
bezogenen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutlichung von
unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen zu didaktisch-
methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Kooperationen, Lernmitteln und
-orten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen, die im Einzelnen auch den
Kapiteln 2.2 bis 2.4 zu entnehmen sind. Begründete Abweichungen von den vor-
geschlagenen Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorha-
ben sind im Rahmen der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit mög-

                                                                             5
lich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen der Umsetzung
der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und inhaltsbezogenen Kompe-
tenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch entsprechende
Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten.

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2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben
                                   Einführungsphase
Unterrichtsvorhaben I:                      Unterrichtsvorhaben II:

Thema:                                       Thema:
Beschreibung der Eigenschaften von Funkti-   Von der durchschnittlichen zur lokalen Ände-
onen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)     rungsrate (E-A2)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                • Argumentieren
 • Werkzeuge nutzen                           • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)     Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Grundlegende Eigenschaften von Po-         • Grundverständnis des Ableitungsbe-
     tenz-, Exponential- und Sinusfunktio-        griffs
     nen

Zeitbedarf: 15 Std.                          Zeitbedarf: 12 Std.

Unterrichtsvorhaben III:                     Unterrichtsvorhaben IV:

Thema:                                       Thema:
Von den Potenzfunktionen zu den ganzratio-   Den Zufall im Griff – Modellierung von Zu-
nalen Funktionen (E-A3)                      fallsprozessen (E-S1)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Problemlösen                               • Modellieren
 • Argumentieren                              • Werkzeuge nutzen
 • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)     Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Differentialrechnung ganzrationaler        • Mehrstufige Zufallsexperimente
     Funktionen

Zeitbedarf: 12 Std.                          Zeitbedarf: 9 Std.

                                                                           7
Einführungsphase Fortsetzung
Unterrichtsvorhaben V:                      Unterrichtsvorhaben VI:

Thema:                                        Thema:
Testergebnisse richtig interpretieren – Um-   Entwicklung und Anwendung von Kriterien
gang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-   und Verfahren zur Untersuchung von Funkti-
S2)                                           onen (E-A4)

Zentrale Kompetenzen:                         Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                 • Problemlösen
 • Kommunizieren                               • Argumentieren

Inhaltsfeld: Stochastik (S)                   Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                     Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten               • Differentialrechnung ganzrationaler
                                                   Funktionen

Zeitbedarf: 9 Std.                            Zeitbedarf: 12 Std.

Unterrichtsvorhaben VII:                      Unterrichtsvorhaben VIII:

Thema:                                        Thema:
Unterwegs in 3D – Koordinatisierungen des     Vektoren bringen Bewegung in den Raum
Raumes (E-G1)                                 (E-G2)

Zentrale Kompetenzen:                         Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                 • Problemlösen
 • Kommunizieren

Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-    Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-
neare Algebra (G)                             neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                     Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Koordinatisierungen des Raumes              • Vektoren und Vektoroperationen

Zeitbedarf: 6 Std.                            Zeitbedarf: 9 Std.

                           Summe Einführungsphase: 84 Stunden

 8
Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS
Unterrichtsvorhaben Q1-I:                   Unterrichtsvorhaben Q1-II :

Thema:                                       Thema:
Optimierungsprobleme (Q-GK-A1)               Funktionen beschreiben Formen – Modellie-
                                             ren von Sachsituationen mit ganzrationalen
                                             Funktionen (Q-GK-A2)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                • Modellieren
 • Problemlösen                               • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld:                                 Inhaltsfelder:
Funktionen und Analysis (A)                  Funktionen und Analysis (A)
                                             Lineare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltliche Schwerpunkte:
  • Funktionen als mathematische Modelle       • Funktionen als mathematische Modelle
                                               • Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 9 Std.                           Zeitbedarf: 15 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-III:                  Unterrichtsvorhaben Q1-IV:

Thema: Von der Änderungsrate zum Be-         Thema: Von der Randfunktion zur Integral-
stand (Q-GK-A3)                              funktion (Q-GK-A4)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Kommunizieren                              • Argumentieren
                                              • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)     Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Grundverständnis des Integralbegriffs      • Integralrechnung

Zeitbedarf: 9 Std.                           Zeitbedarf: 12 Std.

                                                                           9
Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS (Fortsetzung)
Unterrichtsvorhaben Q1-V:                   Unterrichtsvorhaben Q1-VI :
Thema: Beschreibung von Bewegungen und Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur
Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1)          Lösung von geometrischen Problemen (Q-
                                            GK-G2)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                • Problemlösen
 • Werkzeuge nutzen                           • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-   Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-
neare Algebra (G)                            neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltliche Schwerpunkte:
  • Darstellung und Untersuchung geomet-       • Darstellung und Untersuchung geomet-
     rischer Objekte (Geraden)                    rischer Objekte (Ebenen)
                                               • Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 9 Std.                           Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-VII:                  Unterrichtsvorhaben Q1-VIII:
Thema: Eine Sache der Logik und der Be-      Thema: Räume vermessen – mit dem Ska-
griffe: Untersuchung von Lagebeziehungen     larprodukt Polygone und Polyeder untersu-
(Q-GK-G3)                                    chen (Q-GK-G4)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Argumentieren                              • Problemlösen
 • Kommunizieren

Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-   Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-
neare Algebra (G)                            neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Lagebeziehungen                            • Skalarprodukt

Zeitbedarf: 6 Std.                           Zeitbedarf: 9 Std.

             Summe Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS 78 Stunden

 10
Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS
Unterrichtsvorhaben Q2-III:                 Unterrichtsvorhaben Q2-V:

Thema: Von stochastischen Modellen, Zu-        Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexpe-
fallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen   rimente und Binomialverteilung
und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1)                 (Q-GK-S2)

Zentrale Kompetenzen:                          Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                  • Modellieren
                                                • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Stochastik (S)                    Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                      Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits-          • Binomialverteilung
     verteilungen

Zeitbedarf: 6 Std.                             Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-V:                      Unterrichtsvorhaben Q2VI :

Thema: Modellieren mit Binomialverteilun-      Thema: Von Übergängen und Prozessen
gen (Q-GK-S3)                                  (Q-GK-S4)

Zentrale Kompetenzen:                          Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                  • Modellieren
 • Argumentieren                                • Argumentieren

Inhaltsfeld: Stochastik (S)                    Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                      Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Binomialverteilung                           • Stochastische Prozesse

Zeitbedarf: 9 Std.                             Zeitbedarf: 9 Std.

                                                                             11
Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS Fortsetzung
Unterrichtsvorhaben Q2-I:                   Unterrichtsvorhaben Q2-II:

Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q-   Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen-
GK-A5)                                        tialfunktionen (Q-GK-A6)

Zentrale Kompetenzen:                         Zentrale Kompetenzen:
 • Problemlösen                                • Modellieren
 • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)      Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                     Inhaltliche Schwerpunkte:
  • Fortführung der Differentialrechnung        • Fortführung der Differentialrechnung
                                                • Integralrechnung

Zeitbedarf: 9 Std.                            Zeitbedarf: 12 Std.

             Summe Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS: 54 Stunden

 Geänderte Reihenfolge der Themen gemäß FK-
 Konferenz-Beschluss – Harmonisierung der Lehrpläne
 Mathematik-Physik!

 12
Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS
Unterrichtsvorhaben Q1-I:                   Unterrichtsvorhaben Q1-II:

Thema:                                       Thema:
Optimierungsprobleme (Q-LK-A1)               Funktionen beschreiben Formen – Modellie-
                                             ren von Sachsituationen mit Funktionen (Q-
                                             LK-A2)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                • Modellieren
 • Problemlösen                               • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld:                                 Inhaltsfelder:
Funktionen und Analysis (A)                  Funktionen und Analysis (A)
                                             Lineare Algebra (G)

Inhaltliche Schwerpunkte:                    Inhaltliche Schwerpunkte:
  • Funktionen als mathematische Modelle       • Funktionen als mathematische Modelle
  • Fortführung der Differentialrechnung       • Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 20 Std.                          Zeitbedarf: 20 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-IV:                   Unterrichtsvorhaben Q1-V:

Thema: Beschreibung von Bewegungen und       Thema: Die Welt vermessen – das Skalar-
Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1)           produkt und seine ersten Anwendungen (Q-
                                             LK-G2)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                • Problemlösen
 • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-   Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-
neare Algebra (G)                            neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Darstellung und Untersuchung geomet-       • Skalarprodukt
     rischer Objekte (Geraden)

Zeitbedarf: 10 Std.                          Zeitbedarf: 10Std.

                                                                           13
Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS Fortsetzung
Unterrichtsvorhaben Q1-VI:                  Unterrichtsvorhaben Q1-VII:

Thema: Ebenen als Lösungsmengen von          Thema: Lagebeziehungen und Abstands-
linearen Gleichungen und ihre Beschreibung   probleme bei geradlinig bewegten Objekten
durch Parameter (Q-LK-G3)                    (Q-LK-G4)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Argumentieren                              • Argumentieren
 • Kommunizieren                              • Kommunizieren

Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-   Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-
neare Algebra (G)                            neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Darstellung und Untersuchung geomet-       • Lagebeziehungen und Abstände (von
     rischer Objekte (Ebenen)                     Geraden)

Zeitbedarf: 10 Std.                          Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-III                   Unterrichtsvorhaben Q1-IV:

Thema: Von der Änderungsrate zum Be-         Thema: Von der Randfunktion zur Integral-
stand (Q-LK-A3)                              funktion (Q-LK-A4)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Kommunizieren                              • Argumentieren
                                              • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)     Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Grundverständnis des Integralbegriffs      • Integralrechnung

Zeitbedarf: 10 Std.                          Zeitbedarf: 20 Std.

 Geänderte Reihenfolge der Themen gemäß FK-
 Konferenz-Beschluss – Harmonisierung der Lehrpläne
 Mathematik-Physik!

 14
Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS Fortsetzung
Unterrichtsvorhaben Q1-IX:                  Unterrichtsvorhaben Q1-X:

Thema: Von stochastischen Modellen, Zu-        Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexpe-
fallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen   rimente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2)
und ihren Kenngrößen (Q-LK-S1)

Zentrale Kompetenzen:                          Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                  • Modellieren
                                                • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Stochastik (S)                    Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                      Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits-          • Binomialverteilung
     verteilungen

Zeitbedarf: 5 Std.                             Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-XI:

Thema: Untersuchung charakteristischer
Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3)

Zentrale Kompetenzen:
 • Problemlösen

Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Binomialverteilung

Zeitbedarf: 5 Std
.
          Summe Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS 130 Stunden

                                                                             15
Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS
Unterrichtsvorhaben Q2-I:                   Unterrichtsvorhaben Q2-II

Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen und Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen-
Logarithmus (Q-LK-A5)                       tialfunktionen (Q-LK-A6)

Zentrale Kompetenzen:                       Zentrale Kompetenzen:
 • Problemlösen                              • Modellieren
 • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)    Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                   Inhaltliche Schwerpunkte:
  • Fortführung der Differentialrechnung      • Fortführung der Differentialrechnung
                                              • Integralrechnung

Zeitbedarf: 20 Std.                         Zeitbedarf: 20 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-III:                 Unterrichtsvorhaben Q2-IV:

Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK-S4)     Thema: Signifikant und relevant? – Testen
                                            von Hypothesen (Q-LK-S5)

Zentrale Kompetenzen:                       Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                               • Modellieren
 • Problemlösen                              • Kommunizieren
 • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Stochastik (S)                 Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                   Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Normalverteilung                          • Testen von Hypothesen

Zeitbedarf: 10 Std.                         Zeitbedarf: 10 Std.

 16
Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS Fortsetzung
Unterrichtsvorhaben Q2-V:                   Unterrichtsvorhaben Q2-VI:

Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-      Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q-
LK-S6)                                       LK-G5)

Zentrale Kompetenzen:                        Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren                                • Problemlösen
 • Argumentieren                              • Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Stochastik (S)                  Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-
                                             neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:                    Inhaltliche Schwerpunkte:
  • Stochastische Prozesse                     • Lagebeziehung und Abstände (von
                                                  Ebenen)
                                               • Lineare Gleichungssysteme

Zeitbedarf: 10 Std.                          Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q2-VII:

Thema: Strategieentwicklung bei geometri-
schen Problemsituationen und Beweisaufga-
ben (Q-LK-G6)

Zentrale Kompetenzen:
 • Modellieren
 • Problemlösen

Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li-
neare Algebra (G)

Inhaltlicher Schwerpunkt:
  • Verknüpfung aller Kompetenzen

Zeitbedarf: 10 Std.

           Summe Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS: 90 Stunden

                                                                        17
Übersicht über die Unterrichtsvorhaben
                              E-Phase
     Unterrichtsvorhaben          Thema    Stundenzahl
               I                   E-A1        15
               II                  E-A2        12
              III                  E-A3        12
              IV                   E-S1         9
              V                    E-S2         9
              VI                   E-A4        12
              VII                  E-G1         6
             VIII                  E-G2         9
                                 Summe:        84
                           Q1 Grundkurse
     Unterrichtsvorhaben          Thema    Stundenzahl
               I                 Q-GK-A1        9
               II                Q-GK-A2       15
              III               Q-GK-G1         9
              IV                Q-GK-G2         9
              V                 Q-GK-G3         6
              VI                Q-GK-G4         9
              VII                Q-GK-A3        9
             VIII                Q-GK-A4       12
                                 Summe:        78
                           Q2 Grundkurse
     Unterrichtsvorhaben          Thema    Stundenzahl
               I                 Q-GK-S1        6
               II                Q-GK-S2        9
              III                Q-GK-S3        9
              IV                 Q-GK-S4        9
              V                  Q-GK-A5        9
              VI                 Q-GK-A6       12
                                 Summe:        54

18
Q1 Leistungskurse
   Unterrichtsvorhaben             Thema      Stundenzahl
              I                   Q-LK-A1         20
             II                   Q-LK-A2         20
             III                  Q-LK-G1         10
            IV                    Q-LK-G2         10
             V                    Q-LK-G3         10
            VI                    Q-LK-G4         10
            VII                   Q-LK-A3         10
            VIII                  Q-LK-A4         20
            IX                    Q-LK-S1          5
             X                    Q-LK-S2         10
            XI                    Q-LK-S3          5
                                  Summe:          130
                          Q2 Leistungskurse
    Unterrichtsvorhaben            Thema      Stundenzahl
              I                   Q-LK-A5         20
              II                  Q-LK-A6         20
             III                  Q-LK-S4         10
             IV                   Q-LK-S5         10
             V                    Q-LK-S6         10
             VI                   Q-LK-G5         10
             VII                  Q-LK-G6         10
                                  Summe:          90

2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben
Vorhabenbezogene Konkretisierung:

                                                        19
Einführungsphase Funktionen und Analysis (A)

Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                               Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                              Algebraische Rechentechniken werden grundsätzlich parallel vermittelt und
Die Schülerinnen und Schüler                                              diagnosegestützt geübt (solange in diesem Unterrichtsvorhaben erforder-
  • beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen   lich in einer von drei Wochenstunden, ergänzt durch differenzierende, indi-
                                                                          viduelle Zusatzangebote aus Aufgabensammlungen). Dem erhöhten An-
     Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen
                                                                          gleichungs- und Förderbedarf von Stufen- und Schulformwechslern muss
  • beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Ex-    durch gezielte individuelle Angebote Rechnung getragen. Hilfreich kann es
     ponentialfunktionen                                                  sein, dabei die Kompetenzen der Mitschülerinnen und Mitschüler (z. B.
  • wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf        durch Kurzvorträge, Eigeninitiative und Nutzung von Vertiefungskursange-
     Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktio-   boten) zu nutzen.
     nen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parame-
     ter                                                                  Ein besonderes Augenmerk muss von diesem Unterrichtsvorhaben an auf
                                                                          die Einführung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):                               Software und des GTR gerichtet werden (Nutzung der Arbeitsblätter im
Modellieren                                                               Virtuellen Klassenzimmer).
Die Schülerinnen und Schüler
 • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit      Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können zu-
     Blick auf eine konkrete Fragestellung(Strukturieren)                 nächst Ansparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle) betrachtet.
 • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische         Für kontinuierliche Prozesse und den Übergang zu Exponentialfunktionen
     Modelle (Mathematisieren)                                            werden verschiedene Kontexte (z. B. Bakterienwachstum, Abkühlung) un-
                                                                          tersucht.
Werkzeuge nutzen                                                          Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI werden dann quadratische
Die Schülerinnen und Schüler                                              Funktionen (Scheitelpunktform) und Parabeln unter dem Transformations-
                                                                          aspekt betrachtet. Systematisches Erkunden mithilfe des GTR eröffnet den
 • nutzen Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Ta-
                                                                          Zugang zu Potenzfunktionen.
     schenrechner
 • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
     … Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle
     … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

20
Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                  Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                                 Für den Einstieg zu durchschnittlichen Änderungsraten in unterschiedli-
Die Schülerinnen und Schüler                                                 chen Sachzusammenhängen werden z. B. Bewegungen, Zu- und Abflüs-
  • berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpre-      se, Höhenprofil, Temperaturmessung, Aktienkurse, Entwicklung regenera-
      tieren sie im Kontext                                                  tiver Energien, Sonntagsfrage, Wirk- oder Schadstoffkonzentration,
  • erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenz-      Wachstum, Kosten- und Ertragsentwicklung empfohlen.
      wertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen     Der Begriff der lokalen Änderungsrate wird im Sinne eines spiraligen Cur-
      zur lokalen Änderungsrate                                              riculums immer wieder modellhaft und erkennend bei verschiedenen
                                                                             Problemen angewendet.
  • deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten
  • deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangen-
                                                                             Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Än-
      tensteigung
                                                                             derungsrate kann die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durch-
  • beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungs-    schnittsgeschwindigkeit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Mess-
      funktion)                                                              gerät ermittelten Momentangeschwindigkeit genutzt werden.
  • leiten Funktionen graphisch ab                                           Neben zeitabhängigen Vorgängen sollte auch ein geometrischer Kontext
  • begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-         betrachtet werden (Sekantenmethode).
      punkte und Wendepunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunkti-
      onen                                                                   Im Zusammenhang mit den Ableitungsgraphen und dem Begründen der
                                                                             Eigenschaften eines Funktionsgraphen sollen die Schülerinnen und Schü-
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):                                  ler in besonderer Weise zum Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer
Argumentieren (Vermuten)                                                     Aussagen angehalten werden. Hier ist auch der Ort, den Begriff des Ext-
Die Schülerinnen und Schüler                                                 rempunktes (lokal vs. global) zu präzisieren und dabei auch Sonderfälle,
 • stellen Vermutungen auf                                                   wie eine konstante Funktion, zu betrachten.
 • unterstützen Vermutungen beispielgebunden
 • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-
     sichtigung der logischen Struktur

                                                                                                                                           21
Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
 • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
     … Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle
     … grafischen Messen von Steigungen
 • nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-
     den und Recherchieren, Berechnen und Darstellen

22
Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzrationalen Funktionen (E-A3)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                 Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                                Über numerische und qualitative Untersuchungen in der Differentialrech-
Die Schülerinnen und Schüler                                                nung soll zumindest an quadratischen Funktionen der Grenzübergang bei
                                                                            der „h-Methode“ und/oder „x1/x2-Methode exemplarisch durchgeführt
  • erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenz-
                                                                            werden und zur Aufstellung der Ableitungsregel führen.
     wertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen
     zur lokalen Änderungsrate
                                                                            Eine empirische Beweismethode bietet sich für die Ableitungsregeln hö-
  • beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungs-   herer Potenzen an, und dabei bietet der GTR die Möglichkeit, Werte der
     funktion)                                                              Ableitungsfunktionen näherungsweise zu tabellieren und zu plotten.
  • leiten Funktionen graphisch ab
  • begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-        Neben innermathematischen Vorgängen spielen Kontexte in diesem Un-
     punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen                 terrichtsvorhaben eine untergeordnete Rolle. Quadratische Funktionen
  • nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Expo-   können aber stets als Weg-Zeit-Funktion bei Fall- und Wurf- und anderen
     nenten                                                                 gleichförmig beschleunigten Bewegungen gedeutet werden.
  • wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen
     an                                                                     Durch die Modellierung von Funktionen dritten Grades (ggf. auch durch
                                                                            den GTR) erklären die Schülerinnen und Schüler die Eigenschaften von
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):                                 diesem ganzrationalen Funktionstyp durch die Eigenschaften der ihnen
Problemlösen                                                                vertrauten quadratischen Funktionen. Dabei werden die Symmetrie zum
Die Schülerinnen und Schüler                                                Ursprung und das Globalverhalten untersucht. Die Vorteile einer Darstel-
                                                                            lung mithilfe von Linearfaktoren und die Bedeutung der Vielfachheit einer
 • analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden)
                                                                            Nullstelle werden hier thematisiert.
 • erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden)
 • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob-
     lemlösung aus (Lösen)

Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler
 • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-
     sichtigung der logischen Struktur (Vermuten)

                                                                                                                                          23
•   nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumen-
     te für Begründungen (Begründen)
 •   überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert
     werden können (Beurteilen)

Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
 • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
     … Lösen von Gleichungen
     … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

24
Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                               Ein kurzes Wiederaufgreifen des graphischen Ableitens am Beispiel der
Die Schülerinnen und Schüler                                               Sinusfunktion führt zur Entdeckung, dass die Kosinusfunktion deren Ablei-
  • leiten Funktionen graphisch ab                                         tung ist.
  • nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion
                                                                           Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen den
  • begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-       Extrempunkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Be-
     punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen                trachtung von Monotonieintervallen und der vier möglichen Vorzeichen-
  • nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Ex-    wechsel an den Nullstellen der Ableitung untersucht. Die Schülerinnen
     ponenten                                                              und Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu argumentieren. Die Un-
  • wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen        tersuchungen auf Symmetrien und Globalverhalten werden fortgesetzt.
     an
  • lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern         Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Null-
     oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurück-   stellenbestimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum
     führen lassen, ohne digitale Hilfsmittel                              Üben von Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben.
  • verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkri-
     terium zur Bestimmung von Extrempunkten                               Der logische Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Krite-
  • unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich         rien wird vertieft.
  • Bestimmung von Tangenten- und Normalengleichung                        Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendet
                                                                           wird, werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen
  • verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigen-
                                                                           sie mit den Eigenschaften des Graphen oder Terms argumentieren. So
     schaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathemati-
                                                                           erzwingt z. B. Achsensymmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf
     schen Problemen
                                                                           der Symmetrieachse.
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Problemlösen                                                               Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen werden
Die Schülerinnen und Schüler                                               auch Tangentengleichungen bestimmt.
 • erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden)
 • nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf
     Bekanntes) (Lösen)

                                                                                                                                         25
•   wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob-
     lemlösung aus (Lösen)

Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler
 • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-
     sichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
 • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumen-
     te für Begründungen (Begründen)
 • berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinrei-
     chende Bedingung, Folgerungen […]) (Begründen)
 • erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beur-
     teilen)

26
Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)

Thema: Unterwegs in 3D – Koordinatisierungen des Raumes (E-G1)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                               Das dreidimensionale Koordinatensystem wird in verschiedenen Bezeich-
Die Schülerinnen und Schüler                                               nungsmöglichkeiten für die Achsen (z.B. Dreifingerregel der rechten
  • wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung   Hand) eingeführt.
     eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum
                                                                           An geeigneten, nicht zu komplexen geometrischen Modellen (z. B. „un-
  • stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koor-
                                                                           vollständigen“ Holzquadern) lernen die Schülerinnen und Schüler zwi-
     dinatensystem dar
                                                                           schen (verschiedenen) Schrägbildern einerseits und der Kombination aus
                                                                           Grund-, Auf- und Seitenriss andererseits zu wechseln, um ihr räumliches
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):                                Vorstellungsvermögen zu entwickeln und entsprechende Zeichnungen
Modellieren                                                                anzufertigen (Schrägbilder).
Die Schülerinnen und Schüler
 • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit       Mithilfe einer DGS werden unterschiedliche Möglichkeiten ein Schrägbild
     Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)                 zu zeichnen untersucht und hinsichtlich ihrer Wirkung beurteilt.
 • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine
     Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

Kommunizieren (Produzieren)
Die Schülerinnen und Schüler
 • wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus
 • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen

                                                                                                                                       27
Thema: Vektoren bringen Bewegung in den Raum (E-G2)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                 Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                                Kräfte und ihre Addition können in Anlehnung an die Kenntnisse aus dem
Die Schülerinnen und Schüler                                                Physikunterricht der SI als Beispiel für vektorielle Größen genutzt werden.
  • deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und
     kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren                         Durch Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrische
                                                                            Problemstellungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesondere
  • stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vekto-   zur Charakterisierung von Viereckstypen), Auffinden von Mittelpunkten
     ren dar                                                                (ggf. auch Schwerpunkten), Untersuchung auf Parallelität.
  • berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit
     Hilfe des Satzes von Pythagoras
  • addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und un-
     tersuchen Vektoren auf Kollinearität
  • weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mit-
     hilfe von Vektoren nach

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
 • entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)
 • setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung
     ein (Lösen)
 • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob-
     lemlösung aus (Lösen)

28
Einführungsphase Stochastik (S)

Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                              Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                             Eine Beschränkung auf Beispiele aus dem Bereich Glücksspiele ist zu
Die Schülerinnen und Schüler                                             vermeiden. Einen geeigneten Kontext bietet die Methode der Zufallsant-
  • deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente                     worten bei sensitiven Umfragen.
  • simulieren Zufallsexperimente                                        Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durchgängig Simulationen –
  • verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen         ggf. unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalkula-
  • stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungs-   tion) – geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator).
     wertbetrachtungen durch
  • können kombinatorische Probleme erkennen und mit Hilfe der ent-      Das Urnenmodell wird verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie
     sprechenden Formeln lösen                                           das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Reihen-
  • beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahr-       folge zu thematisieren. Auch in anwendungsorientierten Aufgaben sollen
     scheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln                           die Zählprinzipien vertieft machen.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):                              Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwar-
Modellieren                                                              tungswert werden u.a. im Kontext von Glücksspielen erarbeitet und
Die Schülerinnen und Schüler                                             können durch zunehmende Komplexität der Spielsituationen vertieft
 • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea-      werden.
     len Situation vor (Strukturieren)                                   Digitale Werkzeuge können zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeits-
 • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische        verteilungen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnen
     Modelle (Mathematisieren)                                           verwendet werden.
 • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine
     Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
 • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
     … Generieren von Zufallszahlen

                                                                                                                                    29
… Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
     … Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
     … Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
       (Erwartungswert)

30
Thema: Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                  Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                                 Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen Inhaltes könnte das
Die Schülerinnen und Schüler                                                 HIV-Testverfahren dienen, eine Möglichkeit zur Vertiefung böte dann die
                                                                             Betrachtung eines Diagnosetests zu einer häufiger auftretenden Erkran-
  • modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier-
                                                                             kung (z. B. Grippe).
     oder Mehrfeldertafeln
                                                                             Um die Übertragbarkeit des Verfahrens zu sichern, sollen insgesamt min-
  • bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten                                  destens zwei Beispiele aus unterschiedlichen Kontexten betrachtet wer-
  • prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochasti-       den.
     sche Unabhängigkeit
  • bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlich-        Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen
     keiten.                                                                 werden parallel Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet.
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):
Modellieren                                                                  Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstel-
Die Schülerinnen und Schüler                                                 lungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und
  • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit        diese zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen
     Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)                   von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Ast-
  • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine      wahrscheinlichkeiten nutzen können.
     Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)           Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidung
                                                                             von Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A∩B) von bedingten Wahrschein-
  • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-   lichkeiten – auch sprachlich – von besonderer Bedeutung. Dies mündet in
     ren)                                                                    der Anwendung des Satzes von Bayes.
Kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
 • erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zuneh-
     mend komplexen mathematikhaltigen Texten […] (Rezipieren)
 • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro-
     duzieren)

                                                                                                                                         31
Q-Phase Grundkurs Funktionen und Analysis (A)

Thema: Optimierungsprobleme (Q-GK-A1)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                 Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Die Schülerinnen und Schüler                                                Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“
  • führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen
     auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese                  Das selbstständige Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Prob-
  • verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien […]       lemlösestrategien.
     zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten                            An Problemen, die mindestens auf quadratische Zielfunktionen führen,
                                                                            sollten auch unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt und verglichen
                                                                            werden. Hier bietet es sich außerdem an, Lösungsverfahren auch ohne
Prozessbezogene Kompetenzen:
                                                                            digitale Hilfsmittel einzuüben.
Modellieren
Die Schülerinnen und Schüler                                                Auch die Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z.B. „Glasscheibe“
 • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea-         oder verschiedene Varianten des „Hühnerhofs“) soll thematisiert werden.
     len Situation vor.(Strukturieren)                                      Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt
 • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische           der Modellvalidierung/Modellkritik untersucht.
     Modelle (Mathematisieren)
 • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine      Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen
     Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)          geeigneter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besu-
 • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-   cherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Per-
     ren)                                                                   sonaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschau-
 • beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender)       liche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funkti-
     Modelle für die Fragestellung (Validieren)                             on verliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erfolgt zunächst
                                                                            über das Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ab-
Problemlösen                                                                leitung).
Die Schülerinnen und Schüler
 • finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Er-
     kunden)

32
•   wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle
    …) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)
•   nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches
    Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerle-
    gen in Teilprobleme, Verallgemeinern …) (Lösen)
•   setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung
    ein (Lösen)
•   berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen)
•   führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
•   vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und
    Gemeinsamkeiten (Reflektieren)

                                                                                33
Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                 Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:
Die Schülerinnen und Schüler                                                Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“
  • bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die
     sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)                    In einem geeigneten Kontext (z.B. Fotos von Brücken, Gebäuden, Flug-
                                                                            bahnen) werden die Parameter der Scheitelpunktform einer quadratischen
  • beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion
                                                                            Funktion angepasst. Anschließend werden aus gegebenen Punkten Glei-
     mit Hilfe der 2. Ableitung
                                                                            chungssysteme für die Parameter der Normalform aufgestellt.
  • verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien so-
     wie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und
                                                                            Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnah-
     Wendepunkten
                                                                            me der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweiten Ablei-
  • beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare       tung einer Funktion als „Krümmung“ des Graphen und zur Betrachtung
     Gleichungssysteme                                                      von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z.B. Trassierungsproble-
  • wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-           me gewählt werden.
     chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem
     Rechenaufwand lösbar sind                                              Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines
                                                                            weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funk-
Prozessbezogene Kompetenzen:                                                tion mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums ent-
Modellieren                                                                 deckt. Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden ab-
Die Schülerinnen und Schüler                                                schließend von den Lernenden kritisch bewertet.
 • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit
     Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)                  Designobjekte oder architektonische Formen können zum Anlass ge-
 • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea-         nommen werden, die Funktionsklassen zur Modellierung auf ganzrationa-
     len Situation vor (Strukturieren)                                      le Funktionen 3. oder 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte,
 • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische           Symmetrieüberlegungen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungen
     Modelle (Mathematisieren)                                              zur Bestimmung der Parameter aufzustellen.
 • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine
     Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
 • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie-
     ren)

34
•   beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender)       Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen
     Modelle für die Fragestellung (Validieren)                               der Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinaten-
 •   verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Vali-   system, Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu
     dieren)                                                                  reflektieren und ggf. Veränderungen vorzunehmen.
 •   reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen An-
     nahmen (Validieren)

Werkzeuge nutzen
Die Schülerinnen und Schüler
 • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
     … Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen
     … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
 • nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-
     den […], Berechnen und Darstellen

                                                                                                                                       35
Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-GK-A3)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                               Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                              Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Des-
Die Schülerinnen und Schüler                                              halb sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufge-
  • interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Ge-    griffen werden (Geschwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser – Was-
     samtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe                        sermenge).
  • deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext
                                                                       Der Einstieg kann über ein Stationenlernen oder eine arbeitsteilige Grup-
  • skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächen- penarbeit erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig
     inhaltsfunktion                                                   eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Be-
                                                                       stand geschlossen wird, erarbeiten.
Prozessbezogene Kompetenzen:                                           Außer der Schachtelung durch Ober- und Untersummen sollen die Schü-
Kommunizieren                                                          lerinnen und Schüler eigenständig weitere unterschiedliche Strategien zur
Die Schülerinnen und Schüler                                           möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwi-
 • erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus […] ma- ckeln und vergleichen. Die entstehenden Produktsummen werden als
     thematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen     Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert.
     Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren)            Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einer
                                                                       Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Rand-
 • formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungs-
                                                                       funktionsgraphen skizzieren.
     wege (Produzieren)
                                                                       Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrpro-
 • wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren) zess auf die Funktionsgleichung der „Bilanzfunktion“ hat, kann dies zur
 • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro- Überleitung in das folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden.
     duzieren)
 • dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren)         Schülervorträge über bestimmte Kontexte sind hier wünschenswert.
 • erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)

36
Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-GK-A4)

Zu entwickelnde Kompetenzen                                                  Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen:                                                 Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass das Integrieren eine
Die Schülerinnen und Schüler                                                 Umkehrung des Differenzierens ist (Hauptsatz der Differential- und Integ-
  • erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von       ralrechnung).
     der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeuti-
     schen Grenzwertbegriffs
                                                                             Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Schülerin-
  • erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Än-          nen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungs-
     derungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und In-   regeln erarbeitet. (z. B. durch ein sog. Funktionendomino)
     tegralrechnung)
  • nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen            In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen
  • bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen                      Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Gesamtbe-
  • bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und           ständen zur Verfügung.
     numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge
  • ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der        Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch
     Änderungsrate                                                           Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwi-
  • bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen             schen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhal-
                                                                             te zwischen Graphen werden die Schnittstellen nicht nur mit dem GTR
                                                                             bestimmt.
Prozessbezogene Kompetenzen:
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler                                                 Komplexere Übungsaufgaben sollten am Ende des Unterrichtsvorhabens
 • stellen Vermutungen auf (Vermuten)                                        bearbeitet werden, um Vernetzungen mit den Kompetenzen der bisheri-
 • unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten)                      gen Unterrichtsvorhaben (Funktionsuntersuchungen, Aufstellen von Funk-
 • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück-      tionen aus Bedingungen) herzustellen.
     sichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
 • stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)

                                                                                                                                           37
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