Allgemeine Relativitätstheorie - Einführung in die Grundlagen

Allgemeine
Relativitätstheorie
Einführung in die Grundlagen

Bisher: Newton‘sche Theorie der Gravitation

                             Einstein (1915): Allgemeine Relativitätstheorie

   Bewegungen von Teilchen durch Feld:

                                                      (Geodätengleichung)

   Feld erzeugt durch Massen:

       (Poisson-Gleichung)                              (Einsteingleichung)

Spezielle Relativitätstheorie

Lichtgeschwindigkeit c ist konstant und wird in allen Inertialsystemen gemessen!
Weitreichende Folgen:
         Längenkontraktion, Zeitdilatation, Verlust der Gleichzeitigkeit, …

Beschreibe ein Ereignis durch 4 Koordinaten:
Graphische Darstellung: Minkowski-Diagramm

Dann: neue relativistische Invariante:

Raumzeitintervall                             Eigenzeit
                                              (= Zeit, die entlang eines geraden
                                              Pfades zwischen Ereignissen vergeht)

Spezielle Relativitätstheorie

Definiere die Minkowski-Metrik

Damit wird das Raumzeitintervall zu

Die Metrik gibt ein „Skalarprodukt“, und erlaubt Berechnung von Längen, z.B.:

 Geschwindigkeit:                        Quadrat der Länge:
                               (Skalarprodukt mit sich selbst)

Mögliche Koordinatentransformationen sind Lorentztransformationen,
sie erfüllen die Gleichung:

Sie lassen das Raumzeitintervall (Eigenzeit) invariant.

Äquivalenzprinzip

In Newton‘scher Theorie der Gravitation:

Träge Masse:   Widersetzt sich einer Beschleunigung      Unterschiedliche
Schwere Masse: Bestimmt die Stärke der Gravitation          Parameter!

Trotzdem findet man:

  Bevorzugte Teilchenbahnen, die alle Teilchen beschreiben
  (Masse kürzt sich aus Bewegungsgleichung heraus)

Äquivalenzprinzip

Schwaches Äquivalenzprinzip:
Oder:
Es ist unmöglich, durch Beobachtung der Bahnkurven von Teilchen zu
entscheiden, ob man sich in Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet.
Es gibt mit solchen Experimenten keine Möglichkeit, die Effekte eines
Schwerefelds von denen gleichförmiger Beschleunigung zu unterscheiden.

Experiment im
gleichförmig                                                                          Experiment im
beschleunigtem                                                                        Schwerefeld
Labor

                                                       (aus englischer Wikipedia:
                            http://en.wikipedia.org/wiki/File:Elevator_gravity.svg)

Äquivalenzprinzip

Einstein erweitert die Aussage zum Einstein‘schen Äquivalenzprinzip:
 Es ist grundsätzlich unmöglich, die Existenz eines Schwerefeldes durch
 lokale Experimente nachzuweisen.

Wie soll Beschleunigung durch Gravitation definiert werden?
Es gibt kein Objekt, welches nicht durch Gravitation beeinflusst wird!
Wir können keinen sinnvollen Bezugspunkt wählen!

Umdenken! Wir definieren:
      unbeschleunigt = frei fallend
      (trotzdem von Gravitation beeinflusst!)

Äquivalenzprinzip

Damit: Gravitation ist keine Kraft, sondern „Hintergrunderscheinung“, die wir durch
Krümmung des Raumes beschreiben.

Vgl.:

       Zwei Teilchen bewegen sich                        Beobachter, der
     in gleicher Richtung auf einer                  Krümmung nicht sieht:
       Kugeloberfläche und treffen                   Auf die Teilchen scheint
               sich am Pol                            eine Kraft zu wirken!

Folge der Krümmung: Es gibt keine globalen Inertialsysteme mehr!

Mannigfaltigkeiten

Wir beschreiben unseren gekrümmten Raum als Mannigfaltigkeit!

                            Definition:   „Eine Mannigfaltikeit ist eine Menge M mit maximalem Atlas“
                                          „Ein Atlas ist eine maximale Kollektion kompatibler Karten“

Salopp: Eine Menge M, die lokal so aussieht, wie der
        (sich wie dieser verhält im Bezug auf Differentiation, Integration, …)

Wie etwa…
 Bild aus engl. Wikipedia

                                                                                               Torus

Mannigfaltigkeiten

Karten
Karten (oder Koordinatensysteme) bestehen aus…

    einer Menge, auf der sie definiert sind    einer injektiven Abbildung,
                                              deren Wertebereich offen ist
       Bild der Erdkugel aus Wikipedia

Mannigfaltigkeiten

Dann ist die Umkehrabbildung eine Möglichkeit, ein n-Tupel einem Punkt
zuzuordnen!
Kann man als Koordinaten auffassen!
        Bild der Erdkugel aus Wikipedia

Gilt aber nicht überall (i.d.R. ist U nur Teilmenge), nur ein lokales System.

Mannigfaltigkeiten

Mehrere Karten benötigt: Sammlung aller „kompatibler“ Karten sind der
in der Definition genannte maximale Atlas.

Weitere Forderungen an die Karten im Atlas:

         Übergänge verschiedener Karten im Atlas müssen sinnvoll definiert sein
         („smoothly sewn together“)

Siehe dazu Literatur.

Vektoren & Tensoren

Wir ordnen jedem Punkt x der Mannigfaltigkeit ihren Tangentialraum zu.

Bisher: Direkte, geometrische Vorstellung dieses Raumes:

                                                       Bild aus Wikipedia:
                                                       http://de.wikipedia.org/wiki/Tangentialraum

Basiert auf Einbettung der Mannigfaltigkeit in höherdimensionalen Raum!

Unsere Mannigfaltigkeit ist die Raumzeit selbst, die nicht eingebettet ist!

Wie sollen wir Vektoren darin beschreiben?

Umdenken in der Anschauung nötig, allgemeinere Definition wählen!

Vektoren & Tensoren

Um wirkliche Unabhängigkeit des gewählten Koordinatensystems
(der von uns verwendeten Karte) zu erhalten, identifizieren wir Vektoren mit
Richtungsableitungen.

Sie entsprechen dann einem Operator für Funktionen auf der Mannigfaltigkeit.

Die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Koordinaten bilden dann eine Basis.

                         (nicht vergessen: Einstein‘sche Summenkonvention!)

Wechseln wir nun die Koordinaten, so ändern sich die Basisvektoren:

Damit erhalten wir dann auch eine Vorschrift für die Vektorkomponenten:

                                         (genau andersherum!)

Vektoren & Tensoren

Wir werden 1-Formen brauchen: das sind lineare Abbildungen

Sie bilden den Dualraum zum Tangentialraum.

Das sind hier Gradienten skalarer Funktionen df, sie wirken auf Vektoren wie folgt:

Das sieht kompliziert aus – ist es aber nicht:

Dieser Ausdruck ist die Richtungsableitung von f entlang von V.

Vektoren & Tensoren

Als Basis für unsere 1-Formen, d.h. von          , wählen wir die
Koordinatenfunktionen

Praktisch, denn:

Damit transformieren Basisvektoren und 1-Formen so:

                               (Summen über µ)

Vektoren & Tensoren

Tensoren sind die logische Weiterführung von Vektoren und Dualformen.

Ein (k,l)-Tensor nimmt k Elemente des Dualraums und l des Tangentialraumes und
bildet diese ab auf eine reelle Zahl. Tensoren sind linear in jedem Argument.

Da die Tensoren linear sind, sind sie eindeutig durch Wirken auf alle Kombinationen
von Basisvektoren bestimmt.

 Ein (1,1)-Tensor in 2 Dimensionen ist z.B. bestimmt, wenn wir diese Werte kennen:

 Beachte:Die Position der Indizes entspricht der Reihenfolge der
         zugehörigen Basisvektoren!
         Sie müssen nicht „sortiert“ angeordnet sein.

Vektoren & Tensoren

Aus der Linearität folgt das Transformationsverhalten von Tensoren.

      So ein Term für jeden                 So ein Term für jeden
          oberen Index                         unteren Index

Viele Bücher definieren Tensoren als Sammlung von Zahlen, die so transformieren.

Das Transformationsverhalten von Tensoren ist von großer Bedeutung, denn
Gleichungen, die so transformieren wie Tensoren gelten in allen Koordinatensystemen.

Durchatmen!

                                                            Bildquelle unbekannt
Wir haben nun das wichtigste mathematische Handwerkszeug beisammen.

                    Der ideale Moment, Fragen zu stellen!

Alle Rechenregeln, die wir brauchen, finden sich in der ausgeteilten Formelsammlung.

Krümmung

In der gekrümmten Raumzeit gilt die alte Rechenvorschrift für das Raumzeitintervall

so nicht mehr. Denn nirgends wird dort die Krümmung des Raumes berücksichtigt!
Abhilfe schafft die Metrik. Dies ist im Allgemeinen nicht mehr die Minkowskimetrik.

Die Metrik ist ein symmetrischer (0,2)-Tensor.
Mit ihr sieht der Ausdruck oben wie gewohnt aus:

Aus der Metrik erhalten wir die inverse Metrik, mit Indizes oben. Sie erfüllt:

Krümmung

Man benötigt die Metrik beispielsweise, um Indizes zu erhöhen oder zu erniedrigen.

Das erlaubt dann z.B. die Definition des Skalarprodukts:

Die Metrik beinhaltet Informationen zur Krümmung des Raumes.

Nicht nur deswegen kommt ihr immense Bedeutung zu:

    • Metrik gibt an, was „Zukunft“ und was „Vergangenheit“ ist
    • Die Metrik bestimmt Weglängen, und damit die Bahn von Teilchen
    • Die Metrik beinhaltet die Informationen, die vorher im Gravitationsfeld steckten

Krümmung

Ihre Komponenten können aber vom Punkt auf der Mannigfaltigkeit abhängen, z.B.:

Diese Metrik erhalten wir, wenn wir in Kugelkoordinaten rechnen.
Ihre Komponenten sind nicht konstant, trotzdem ist es der ungekrümmte Raum

Anscheinend sieht man der Metrik nicht sofort an, wie der Raum beschaffen ist!

Aber: An jedem Punkt können wir jede Metrik in Diagonalform bringen.
Mehr noch:
In der ART können wir durch geeignete Koordinatenwahl Folgendes erreichen:

Solche Koordinaten heißen lokale Inertialkoordinaten.

Krümmung

Wir haben gesehen, wie nützlich es ist, Beziehungen mit Tensoren auszudrücken.
Dies liegt an dem Transformationsverhalten von Tensoren:
Dadurch gelten solche Beziehungen in allen Koordinatensystemen.
(„minimal-coupling principle“)

Aber:    Die partielle Ableitung eines Tensors ist im Allgemeinen kein Tensor,
         d.h. der erhaltene Ausdruck transformiert anders.

         Auch dies folgt aus der Krümmung des Raumes:
         Die partiellen Ableitungen der Transformationsmatrix sind nicht null,
         und geben daher Störterme.

Abhilfe schafft die kovariante Ableitung.

kovariante Ableitung

Idee: Korrigiere die partielle Ableitung mithilfe von n Matrizen

Für die kovariante Ableitung eines Vektors gilt damit die Vorschrift:

Für die kovariante Ableitung eines Dualvektors gilt dann:

               1 Index oben:                            1 Index unten:
               (1,0)-Tensor                              (0,1)-Tensor
Wir sehen:

                         1 Index oben, 1 Index unten:           0 Indizes oben, 2 Indizes unten:
                                 (1,1)-Tensor                             (0,2)-Tensor

Die kovariante Ableitung macht aus einem (k,l)-Tensor einen (k,l+1)-Tensor.

kovariante Ableitung

Für einen Tensor höherer Ordnung müssen wir mehrmals korrigieren.

                                    einmal partiell ableiten

  jeder obere Index:
  ein „Plus Gamma“
                                                                 jeder untere Index:
                                                                 ein „Minus Gamma“

kovariante Ableitung

Theoretisch sind viele solcher          möglich (n³ unabh. Komponenten).

In der ART fordern wir u.a. Symmetrie in den unteren Indizes,
und dass                gilt.

Daraus folgen dann die Christoffelsymbole, die (eindeutig!) gegeben sind durch:

Sie sind von Ableitungen der Metrik abhängig!

Sie enthält daher ebenfalls Informationen über die Krümmung.

kovariante Ableitung

Es ist das selbe Symbol, welches wir in der Geodätengleichung gesehen haben!

Sie beschreibt (in dieser Form) die Bewegung von Teilchen, auf die keine Kraft wirkt.

In der flachen Raumzeit verwenden wir die Metrik:

D.h. alle Ableitungen der Metrik verschwinden, und daher wg.             :

Was tatsächlich genau Geraden als Lösung ergibt!

Paralleltransport

Grundsätzlich wollen wir gerne Vektoren an verschiedenen Orten vergleichen,
Beispielsweise die Geschwindigkeit eines Teilchens am Punkt p mit der eines
Teilchens am Punkt q.

Diese liegen in unterschiedlichen Vektorräumen! Wie vergleichen?

 Idee:    Verschiebe Vektor U entlang der Mannigfaltigkeit nach q.
          Realisierung durch Paralleltransport.

Paralleltransport

Problem: Das Ergebnis hängt vom Weg ab!

 Beispiel: Paralleltransport eines Vektors entlang der Kugeloberfläche.

                                              START

                    Weg 1                                                     Weg 2

                        Bild: Wikimedia Commons
                        (http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Connection-on-sphere.png)

Grundsätzliches Problem „ohne Lösung“.
Physikalische Konsequenz: Geschwindigkeiten (o.ä.) an verschiedenen Orten
können nicht sinnvoll verglichen werden.

Paralleltransport

Bisher haben wir uns darum keine Gedanken gemacht, wir haben gesagt, dass
Vektoren frei im Raum verschiebbar sind:

Mathematisch können wir das formulieren, indem wir sagen:
       „Die Tensorkomponenten entlang des Weges blieben konstant“,
       oder: „Die Richtungsableitung der Tensorkomponenten war stets null“.

Paralleltransport

Um einen äquivalenten Ausdruck für beliebig geartete Koordinatensysteme
zu finden, können wir unseren alten Trick verwenden:

        Schreibe den Ausdruck als Tensor!

                                        Partielle Ableitung eines Tensors:
       Zahl entspricht                        Ist selbst kein Tensor!
       (0,0)-Tensor.

Glücklicherweise wissen wir, wie wir hier Abhilfe schaffen können:

Dies ist die Paralleltransportgleichung.

Geodätengleichung

Wir können nun die Geodätengleichung verstehen, eine der beiden eingangs
gezeigten Gleichungen!

Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.
(ungeladene) Teilchen, auf die keine Kraft wirkt, bewegen sich auf Geodäten.

Das ist in gekrümmten Räumen im Allgemeinen keine Gerade.
                   http://de.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A4te)
                   (Bild aus Wikipedia:

Geodätengleichung

Herleitung 1:
         Geodäten sind Kurven, entlang derer ihr Tangentialvektor
         paralleltransportiert wird.

         Einsetzen in die Paralleltransportgleichung:

Herleitung 2:
         Gehe von der Gleichung in flacher Raumzeit aus und schreibe sie als Tensor

                                 Partielle Ableitung eines Tensors ist kein Tensor!
                                 Ersetze durch kovariante Ableitung!

Geodätengleichung

Beispiel:
 Nehmen wir ein sich ausdehnendes (oder zusammenziehendes) Universum an

  Daraus folgen die Christoffelsymbole:

  Indizes i,j laufen von 1..3

Achtung. Das Beispiel wurde in natürlichen Koordinaten mit c=1 gerechnet.

Riemanntensor

Wir haben gesehen, dass sich Vektoren bei einem Paralleltransport verändern.
Sie tun dies auch, wenn wir sie „in einer Schleife bewegen“.

Wir stellen uns vor, dass wir einen Vektor paralleltransportieren!

                       Erst infinitesimal entlang A, dann infinitesimal entlang B,
           A
                       Dann wieder zurück entlang A, dann B.
  B
               B       Wie stark sich der Vektor ändert, gibt der
      A                Riemanntensor an!

Besser: Betrachte Kommutator kovarianter Ableitungen (siehe Ausarbeitung).
Daraus folgt die Rechenvorschrift:

Riemanntensor

Aus dem Riemanntensor erhalten wir den wichtigen Riccitensor durch Verjüngung,
d.h. Summation über einen oberen und einen unteren Index:

Dieser Tensor taucht in der Einsteingleichung auf. Er hängt von der Metrik selbst
und ihrer Ableitungen ab, und beschreibt damit die Krümmung des Raumes.

Durch Bilden der Spur erhalten wir den Ricciskalar:

Aufgrund der verschiedenen Symmetrien gibt es im n-dimensionalen nur
n²(n²-1)/12 freie Parameter, die die Krümmung charakterisieren.

Energie-Impuls-Tensor

In der Newton‘schen Theorie erzeugten Massen das Feld:

Da Masse und Energie äquivalent sind, werden wir dies durch einen Tensor
ersetzen, der mit der Energie zusammenhängt.

Das ist der Energie-Impuls-Tensor, ein (2,0)-Tensor

   „Gibt Fluss der µ-ten Impulskomponente durch Fläche mit     = const. an“

Die verschiedenen Erhaltungssätze werden als Tensor geschrieben zu:

Finale: Einsteingleichung

Jetzt haben wir alles beisammen, um die Einsteingleichung zu verstehen.

Wir ersetzen:

                  von Massen      erzeugte         Gravitationskraft
         durch    von Energien    verursachte      Krümmung des Raumes.

 Naiver Ansatz:

 Aber:

Finale: Einsteingleichung

Abhilfe schafft der Einsteintensor, gegeben durch die Tensorkombination:

Für diesen gilt:

Die Einsteingleichung muss für kleine Geschwindigkeiten, geringe Energien, etc.
die Newtongleichungen ergeben!

Bestimme daraus die Konstante.

Hurra!

Damit hätten wir alles beisammen.

Teilchen bewegen sich in gekrümmten Räumen ohne Krafteinfluss auf Geodäten:

Energie krümmt den Raum. Den genauen Zusammenhang gibt die Einsteingleichung:

Aber: Die Einsteingleichung ist nichtlinear. Sie ist damit i.d.R. nicht analytisch lösbar.

Man kann aber solche Lösungen für sehr symmetrische Probleme finden.
Eine solche Lösung ist beispielsweise die Schwarzschildmetrik.

Coming up next…

Erfahren Sie nächstes Mal alles, was Sie je über Anwendungen der
Allgemeinen Relativitätstheorie wissen wollten!

                                                     • Schwarzschildlösung & Schwarze Löcher
                                                     • Kosmologische Konstante & Vakuumenergie
                                                     • Friedmanngleichung
                                                     • Experimentelle Bestätigungen der ART
                                                     • und vieles mehr!
      (http://oldmagazineads.blogspot.com/2008/08/
      1960-skippy-peanut-butter-magazine-ad.html)
      Aus 1960 Skippy Peanut Butter Anzeige
      Bild bearbeitet mit Quellen

                                                                                                   fin.