Arbeitsgruppe Dynamische Systeme - Institut für Mathematik - Institut für Mathematik
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Arbeitsgruppe Dynamische Systeme - Institut für Mathematik Das 2D Clifford-Attraktor Eine Lösungskurve des Lorenz-Systems Quelle: https://sequelaencollection.home.blog/2d-chaotic-attractors/ Quelle: Wkipedia
Mitglieder Christian Aarset, Ábel Garab, Victoria Grushkovskaya, Huy Huynh, Abdullah Kalkan, Christian Pötzsche
Was ist ein dynamisches System? “A dynamical system is a concept in mathematics where a fixed rule describes the time dependence of a point in a geometrical space.“ (aus Wikipedia)
Was ist ein dynamisches System? Beispiel: Mathematisches Pendel Frage Wie ist der Zustand des Pendels zu einem gewünschten Zeitpunkt? Eingabe • Auslenkungswinkel • Winkelgeschwindigkeit Zustandsraum Winkel Geschwindigkeit
Was ist ein dynamisches System? Beispiel: Mathematisches Pendel Bewegungsgesetz (Newton) Ausgabe • Auslenkungswinkel • Winkelgeschwindigkeit zur Zeit
Was ist ein dynamisches System? Beispiel: Dispersion Frage: Wie entwickeln sich biologische Populationen räumlich und zeitlich? Eingabe • Räumliche Verteilung zur Zeit 0 Zustandsraum • Raum aller Verteilungen (Funktionenraum) Bewegungsgesetz Ausgabe • Räumliche Verteilung zum Zeitpunkt t
Was ist ein dynamisches System? Beispiel: Dispersion Frage: Wie entwickeln sich biologische Populationen räumlich und zeitlich? Eingabe • Räumliche Verteilung zur Zeit 0 Zustandsraum • Raum aller Verteilungen (Funktionenraum) Bewegungsgesetz Ausgabe • Räumliche Verteilung zum Zeitpunkt t
Was ist ein dynamisches System? Das Prinzip, Phänomene aus den Anwendungen durch mathematische Gleichungen zu beschreiben, wird als Modellierung bezeichnet Weitere Beispiele • Chemie (Reaktionsdynamik) • Epidemiologie (Verhinderung von Epidemien) Modelle • Medizin (Tumorwachstum) • Raumfahrt (“Sputnik-Schock”) • Sozialwissenschaften (Ausbreitung von Gerüchten) • Systembiologie • Meteorologie (“Wetter”) • ... Vorteile • Modellierung und Simulation durch dynamische Systeme ist deutlich flexibler, schneller und billiger als aufwändige Feldversuche!
Qualitative Theorie dynamischer Systeme „... Geometrie ist nicht wahr, sie ist vorteilhaft.“ (Henri Poincaré, 1908)
Qualitative Theorie dynamischer Systeme Abstraktion • Zeitachse (z.B. oder ) • Zustandsraum (z.B. oder ein Funktionenraum) • (Halb)Fluss/(Semi-)dynamishes System mit den Eigenschaften
Qualitative Theorie dynamischer Systeme Problem In fast keinem relevanten Beispiel ist der Halbfluss explizit bekannt Grund Der Halbfluss ergibt sich als allgemeine Lösung einer Differential- oder Differenzengleichung “One cannot explicitly solve (differential)equations!“ Quelle: Unbekannt
Qualitative Theorie dynamischer Systeme Auswege (A) Approximiere die Lösungen numerisch unbrauchbar für große Zeiten oder komplexe Anfangsdaten (B) Qualitative oder geometrische Theorie: Es reicht die Existenz des Flusses beschreibt das Verhalten für große Zeiten “One cannot explicitly solve (differential)equations!“ Quelle: Unbekannt
Forschungsprobleme “Synonyme zu unselbstständig: ... nicht autonom...“ (Duden)
Qualitative Theorie nichtautonomer dynamischer Systeme Realistische Modelle • Endogene Störungen (saisonale Effekte, Gravitations-Effekte) • Exogene Störungen (Regulation, Kontrolle) • Extern getriebene Systeme • Zufällige Systeme nichtautonome Systeme El Niño Phänomen (Quelle: NCEP)
Numerische Dynamik Räumlich kontinuierliches Modell: Räumliche Diskretisierung: Was haben beide Gleichungen miteinander zu tun?
Regelung nichtlinearer dynamischer Systeme Regelsysteme: Zum Beispiel: • mechanische Systeme: mobile Robotern, Manipulatoren, Drohnen, Autos, autonome U-Booten, Flug- und Raumfahrzeugen; • Prozesse aus Chemie, Biologie, Medizin, Ökonomie, Ökologie, Gesellschaftswissenschaften, usw. Typische Aufgaben: Kontrolle zu finden, sodass das System… • … stabil wird; • … sich in den gewünschten Zielzustand oder entlang einer gewünschten Trajektorie bewegt; • … sich ohne Kollision mit anderen statischen oder bewegenden Objekten bewegt; • … einen Zielzustand in der kürzesten Zeit und mit geringster Aufwand erreicht; • … das optimale Betriebsmodus hat.
Globale Dynamik verzögerter Systeme Zeitverzögerte Differential- und Differenzengleichungen: Zahlreiche Anwendungen in Ingenieurwissenschaften bis zur Biologie. Verzögerungen vertreten auf natürliche Weise in Systemen mit Feedback wegen z.B. • Reaktionszeit • Endliche Geschwindigkeit des Signals • Die Zeit benögt bis die Individuen geschlechtsreif geworden sind Achtung: für ein AWP einer verzögerten Differentialgleichung benötigt man die Erkenntnis vom auf einem Intervall D.h. es handelt sich um ein unendlichdimensionales Problem. Fragen: Langzeitverhalten sämtlicher relevanter Lösungen (konstant, periodisch, …)
Bachelor- und Masterarbeiten im Bereich Dynamische Systeme •Zufällige Differentialgleichungen (BSc) •Monotone zufällige Systeme (BSc oder MSc) •Numerische Fortsetzungsverfahren (BSc) •Diskrete Sobolev-Räume (MSc) •Zusammenhang von Attraktoren (MSc) •Dynamik nahe invarianter Mannigfaltigkeiten (MSc) •Verzweigung bei 2-dimensionalem Kern (MSc) •Verzögerte Differenzialgleichungen (BSc/MSc) •Stabilisierung und Bewegungsplanung (MSc) •Extremwertregelungsprobleme (MSc) Werbung! Steuerung von mobilen Robotern mit Arduino oder Raspberry Pi (Student Hilfskraft (BSc/MSc, 20 Std/Woche)) – Weitere Infos bei Victoria Grushkovskaya
Vielen Dank! weitere Infos: https://www.aau.at/mathematik/forschung/dynamische-systeme/
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