Übungen zur Mathematik für Ingenieure
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Lothar Papula Übungen zur Mathematik für Ingenieure Anwendungsorientierte Übungsaufgaben aus Naturwissenschaft und Technik mit ausführlichen Lösungen 187 Übungsaufgaben mit Lösungen, 310 Bilder und ein Anhang Physikalische Grundlagen Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
VII
Inhaltsverzeichnis
I Vektorrechnung
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Kraftzerlegung am Keil Zerlegung eines Vektors in Komponenten 1
2 Zusammengesetzte Bewegung einer Fähre Vektoraddition 2
3 Kräftegleichgewicht an einem belasteten Vektoraddition 3
Rollensystem
4 Zweifach gelagerte Welle bei Belastung Komponentenrechnung 4
5 Stabkräfte (Reaktionskräfte) in einem Vektoraddition 5
Ausleger
6 Schwerpunkt eines Massenpunktsystems Vektoraddition 6
7 Überlagerung elektrischer Felder Vektoraddition 7
8 Kraftwirkung zwischen stromdurch- Vektorprodukt 8
flossenen Leitern
9 Stabkräfte (Reaktionskräfte) in einem Räumliche Vektoraddition, Gaußscher 10
belasteten Dreibein Algorithmus
10 Arbeit an einer Punktladung in einem Skalarprodukt 12
elektrischen Feld
11 Durchbiegung eines Balkens bei Belastung Skalarprodukt 13
durch mehrere Kräfte
12 Moment einer Kraft in einem Kugelgelenk Vektorprodukt, Richtungswinkel 14
13 Umfangsgeschwindigkeit einer Vektorprodukt, Ableitungeines Vektors 15
rotierenden Zylinderscheibe
14 Drehmoment einer stromdurchflossenen Vektorprodukt 16
Leiterschleife im Magnetfeld
15 Kräftefreie Bewegung eines Elektrons Vektorprodukt, Richtungswinkel 17
in einem elektromagnetischen Feld
16 Fachwerk im statischen Gleichgewicht Vektoraddition, Vektorprodukt, 18
lineares Gleichungssystem
17 Komplanare Kraftvektoren Vektoraddition, Richtungswinkel, 20
Spatprodukt
18 Spannungsstoß in einer Leiterschleife Vektor- und Spatprodukt 21
durch elektromagnetische Induktion
19 Bewegung von Ladungsträgern in einem Ableitungen eines Vektors, Skalar- und 22
Magnetfeld SpatproduktVIII Inhaltsverzeichnis
II Funktionen und Kurven
Übung NaturwissenschaftUch-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Reihenschaltung aus n gleichen Diskrete Funktion 24
Spannungsquellen
2 Zeitversetzter freier Fall zweier Kugeln Lineare Funktion 25
3 Zugspannung in einem rotierenden Stab Quadratische Funktion 26
4 Sortiervorrichtung Parameterdarstellung, quadratische 28
Funktion
5 Aufeinander abrollende Zahnräder Parameterdarstellung einer Kurve 29
(Epizykloide)
6 Fallbeschleunigung in und außerhalb Lineare Funktion, gebrochenrationale 31
eines Erdkanals Funktion
7 Verteilung der Stromdichte in einem Gebrochenrationale Funktion 33
stromdurchflossenen Hohlzylinder
8 Kapazität eines Kondensators mit Gebrochenrationale Funktion 34
geschichtetem Dielektrikum
9 Magnetfeld in der Umgebung einer Gebrochenrationale Funktion 35
stromdurchflossenen elektrischen
Doppelleitung
10 Kennlinie einer Glühlampe Interpolationsformel von Newton, 37
kubische Funktion, Horner-Schema
11 Doppelschieber Parameterdarstellung, Kegelschnitt- 39
gleichung
12 Rollbewegung einer Zylinderwalze Wurzelfunktion 40
längs einer schiefen Ebene
13 Ballistisches Pendel Zusammengesetzte Funktion 42
14 Sinusförmige Wechselspannung Allgemeine Sinusfunktion 43
15 Momentane (zeitabhängige) Leistung Sinus- und Kosinusfunktionen 44
eines Wechselstroms
16 Überlagerung gleichfrequenter Sinus- und Kosinusfunktionen 46
Schwingungen gleicher Raumrichtung
17 Lissajous-Figuren Parameterdarstellung, Sinus- und 47
Kosinusfunktionen, Wurzelfunktionen
18 Schwebungen Trigonometrische Funktionen 49
19 Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler Trigonometrische Funktionen, 51
Arkuskosinusfunktion
20 Ladestrom in einer RC-Parallelschaltung Exponentialfunktion (Abklingfunktion) 52
21 RC-Glied mit Rampenspannung Exponentialfunktion (Sättigungsfuriktion) 54
22 Aperiodischer Grenzfall einer Schwingung Krie chfunktion (Exponentialfunktion) 55Inhaltsverzeichnis IX
Barometrische Höhenformel Logarithmusfunktion
Zusammenhang zwischen Fallgeschwin- Hyperbelfunktionen
digkeit und Fallweg
III Differentialrechnung
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Induktionsspannung in einer Leiterschleife Elementare Differentiation 60
2 Elektronenstrahl-Oszilloskop Elementare Differentiation, Tangenten- 61
gleichung
3 Querkraft- und Momentenverlauf längs Elementare Differentiation 63
eines belasteten Trägers
4 Rotierende Zylinderscheibe in einer Differentiation (Kettenregel) 64
zähen Flüssigkeit
5 Kurbeltrieb Differentiation (Kettenregel) 66
6 Zusammenhang zwischen Fall- Differentiation (Kettenregel) 68
beschleunigung und Fallweg
7 Periodische Bewegung eines Massen- Differentiation eines zeitabhängigen 69
punktes Ortsvektors
8 Rollkurve oder gewöhnliche Zykloide Differentiation eines zeitabhängigen 70
Ortsvektors
9 Linearisierung einer Halbleiter-Kennlinie Linearisierung einer Funktion 73
10 Linearisierung der Widerstandskennlinie Linearisierung einer Funktion 74
eines Thermistors (Heißleiters)
11 Gruppenschaltung von Batterien Extremwertaufgabe 76
12 Wurfparabel eines Wasserstrahls Extremwertaufgabe 78
13 Scheibenpendel mit minimaler Extremwertaufgabe 79
Schwingungsdauer
14 Leistungsanpassung eines Verbraucher- Extremwertaufgabe 81
widerstandes
15 Resonanzfall bei einer erzwungenen Extremwertberechnung 82
Schwingung
16 Optimale Beleuchtung eines Punktes Extre mwe rtaufgabe 84
durch eine Lichtquelle
17 Gaußsche Normalverteilung Extremwerte, Wendepunkte 85
18 Elektrische Feldstärke in der Umgebung Kurvendiskussion 87
einer elektrischen Doppelleitung
19 Ungestörte Überlagerung zeitabhängiger Kurvendiskussion 89
ImpulseX Inhaltsverzeichnis
20 Überlagerung von Sinusschwingungen Kurvendiskussion
gleicher Raumrichtung, aber unter-
schiedlicher Frequenz
21 Fallgeschwindigkeit mit und ohne Grenzwertregel von Bernoulli und
Berücksichtigung des Luftwiderstandes de L'Hospital
22 Erzwungene Schwingung im Resonanzfall Grenzwertregel von Bernoulli und
de L'Hospital
23 Eintauchtiefe einer Boje in Salzwasser Tangentenverfahren von Newton
24 Freihängendes Seil (Seilkurve, Kettenlinie) Tangentenverfahren von Newton
IV Integralrechnung
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Seiltrommel mit Lasten Elementare Integration (Grundintegral) 103
2 Induktionsspannung in einer im Elementare Integration (Grundintegral) 104
Magnetfeld rotierenden Metallscheibe
3 Rollbewegung einer Kugel längs einer Elementare Integrationen 105
schiefen Ebene (Grundintegrale)
4 Oberflächenprofil einer rotierenden Elementare Integration (Grundintegral) 107
Flüssigkeit
5 Resultierende eines ebenen parallelen Elementare Integrationen 108
Kräftesystems (Grundintegrale)
6 Querkraft und Biegemoment längs eines Elementare Integrationen 109
Balkens mit linear ansteigender Last (Grundintegrale)
(Dreieckslast)
7 Fliehkraft- oder Zentrifugalkraftregler Elementare Integration (Grundintegral) 111
8 Massenträgheitsmoment eines Rotations- Elementare Integration (Grundintegral) 113
körpers (elliptischer Querschnitt)
9 Zugstab mit konstanter Zugspannung Elementare Integrationen 114
(Grundintegrale)
10 Magnetischer Fluß durch eine Leiter- Elementare Integrationen 115
schleife (Grundintegrale)
11 Kapazität eines Koaxialkabels Elementare Integration (Grundintegral) 117
12 Übergangswiderstand einer Kugel Elementare Integration (Grundintegral) 118
13 Arbeit im Gravitationsfeld der Erde Elementare Integration (Grundintegral) 119
14 Elektrischer Widerstand eines kegel- Integration mittels Substitution 120
stumpfförmigen Kontaktes
15 Freier Fall unter Berücksichtigung des Integration mittels Substitution 121
Luftwiderstandes
16 Aufladung eines Kondensators Integration mittels Substitution 123Inhaltsverzeichnis
17 Rotation einer Scheibe in einer Flüssigkeit Integration mittels Substitution
18 Kapazität einer elektrischen Doppel- Integration mittels Substitution
leitung
19 Effektivwert eines Wechselstroms Integration mittels Substitution
20 Bogenlänge einer Epizykloide Integration mittels Substitution
21 Fallgesetze bei Berücksichtigung des Integration mittels Substitution
Luftwiderstandes
22 Mittlere Geschwindigkeit von Gas- Partielle Integration
molekülen
23 Durchschnittliche Leistung eines Integration mittels Substitution bzw.
Wechselstroms partieller Integration
24 Induktivität einer elektrischen Doppel- Integration durch Partialbruchzerlegung
leitung des Integranden, Integration mittels
Substitution
25 Schwingungsdauer eines Fadenpendels Numerische Integration nach Simpson
V Taylor- und Fourier-Reihen
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Fallgeschwindigkeit mit und ohne Grenzwertbestimmung mittels Reihen- 141
Berücksichtigung des Luftwiderstandes entwicklung
2 Elektrischer Widerstand zwischen zwei Potenzreihenentwicklung, Näherungs- 143
koaxialen Zylinderelektroden polynome
3 Temperaturabhängigkeit der Dichte Potenzreihenentwicklung, lineare 144
eines Festkörpers Näherungsfunktion
4 Magnetische Feldstärke in der Mitte Potenzreihenentwicklung, Näherungs- 146
einer stromdurchflossenen Zylinderspule polynom
5 Temperaturabhängigkeit der Schall- Potenzreihenentwicklung, lineare 147
geschwindigkeit in Luft Näherungsfunktion
6 Spiegelgalvanometer Potenzreihenentwicklung, lineare 149
Näherungsfunktion
7 Kapazität einer elektrischen Doppel- Potenzreihenentwicklung, Näherungs- 150
leitung formel
8 Relativistische Masse und Energie eines Potenzreihenentwicklung, Näherungs- 151
Elektrons polynom
9 RC-Schaltung mit Rampenspannung Potenzreihenentwicklung, Näherungs- 153
funktionen
10 Freihängendes Seil (Seilkurve, Lösen einer Gleichung mittels Reihen- 154
Kettenlinie) entwicklung, Näherungsparabel
11 Gaußsche Normalverteilung Integration durch Potenzreihenent- 156
wicklung des IntegrandenXII Inhaltsverzeichnis
12 Schwingungsdauer eines Fadenpendels Integration durch Potenzreihenent- 158
Wicklung des Integranden
13 Fourier-Zerlegung einer periodischen Fourier-Reihe, Amplitudenspektrum 161
Folge rechteckiger Spannungsimpulse
14 Fourier-Reihe einer Kippspannung Fourier-Reihe 163
(Sägezahnimpuls)
15 Fourier-Zerlegung eines Fourier-Reihe 165
„angeschnittenen" Wechselstroms
VI Lineare Algebra
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Widerstands- und Kettenmatrix eines Orthogonale Matrix 169
linearen Vierpols
2 Vierpolgleichungen für ein symme- Matrizenrechnung, inverse Matrix, 171
trisches T-Glied orthogonale Matrix
3 Symmetrische w-Schaltung Multiplikation von Matrizen 174
4 Kettenschaltung von Vierpolen Multiplikation von Matrizen 175
5 Durchbiegung eines Trägers bei Multiplikation von Matrizen 176
Belastung durch mehrere Kräfte (Falk-Schema)
6 Eigenkreisfrequenzen einer Biege- Determinantengleichung 177
schwingung
7 Elektromagnetische Induktion in einem Dreireihige Determinante 179
durch ein Magnetfeld bewegten elektri-
schen Leiter
8 Kritische Drehzahlen einer zweifach Homogenes lineares Gleichungssystem, 180
gelagerten Welle Determinantengleichung
9 Widerstandsmessung mit der Homogenes lineares Gleichungssystem, 183
Wheatstoneschen Brücke Determinanten
10 Torsionsschwingung einer Welle Dreireihige Determinante 184
11 Verzweigter Stromkreis Inhomogenes lineares Gleichungssystem, 185
Cramersche Regel
12 Beschleunigte Massen in einem Rollen- Inhomogenes lineares Gleichungssystem, 187
system Cramersche Regel
13 Berechnung der Zweigströme in einem Inhomogenes lineares Gleichungssystem, 189
elektrischen Netzwerk Cramersche Regel
14 Netzwerkanalyse nach dem Maschen- Inhomogenes lineares Gleichungssystem, 190
stromverfahren Gaußscher Algorithmus
15 Berechnung der Zweigströme in einem Inhomogenes lineares Gleichungssystem, 192
elektrischen Netzwerk Gaußscher Algorithmus (Matrizenform)Inhaltsverzeichnis XIII
16 Berechnung der Ströme in einer Netz- Inhomogenes lineares Gleichungssystem, 194
masche Gaußscher Algorithmus
17 Modifizierter Gerber-Träger Inhomogenes lineares Gleichungssystem, 196
Gaußscher Algorithmus
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Resonanz im Parallelschwingkreis Komplexe Rechnung 199
2 Ohmscher Spannungsteiler Komplexe Rechnung 201
3 Berechnung des Scheinwiderstandes Komplexe Rechnung 202
eines Netzwerkes
4 Wechselstrommeßbrücke Komplexe Rechnung 204
5 Wechselstromparadoxon Komplexe Rechnung 206
6 Komplexer Wechselstromkreis Komplexe Rechnung 208
7 Überlagerung gleichfrequenter Komplexe Zeiger 210
Schwingungen gleicher Raumrichtung
8 Leitwertortskurve einer RC-Parallel- Ortskurve einer parameterabhängigen 213
schaltung komplexen Größe
9 Widerstands- und Leitwertortskurve Ortskurven parameterabhängiger 214
einer RL-Reihenschaltung komplexer Größen
VIII Differential- und Integralrechnung
für Funktionen von mehreren Variablen
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Potential und elektrische Feldstärke Partielle Ableitungen 1. Ordnung 216
im elektrostatischen Feld zweier Punkt-
ladungen
2 Statisch unbestimmt gelagerter Balken Partielle Ableitungen 218
3 Kapazität einer Kondensatorschaltung Totales oder vollständiges Differential 220
4 Schwingungsgleichung der Mechanik Totales oder vollständiges Differential 222
5 Selbstinduktivität einer elektrischen Linearisierung einer Funktion 223
Doppelleitung
6 Leistungsanpassung beim Wechselstrom- Extremwertaufgabe 225
generatorXIV Inhaltsverzeichnis
Eine Anwendung des Gaußschen Fehler- Extremwertaufgabe [ 228
integrals
Flächeninhalt und Flächenschwerpunkt Doppelintegrale in kartesischen
eines Kreisabschnittes (Kreissegmentes) Koordinaten
Magnetischer Fluß durch eine Leiter-
schleife Doppelintegral in Polarkoordinaten
Stromstärke in einem Leiter bei orts-
abhängiger Stromdichte Doppelintegral in Polarkoordinaten 236
Normierung der Gaußschen Normal-
verteilungsdichtefunktion Doppelintegral in Polarkoordinaten 237
Schwerpunkt, Hauptachsen und Haupt- Doppelintegrale in kartesischen
flächenmomente 2. Grades (Haupt- Koordinaten
flächenträgheitsmomente) einer trapez-
förmigen Fläche
Volumen und Schwerpunkt eines Dreifachintegrale in kartesischen 245
Tetraeders Koordinaten
Massenträgheitsmoment eines Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten 247
Speichenrades
Schwerpunkt eines rotations- Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten 249
symmetrischen Körpers mit elliptischem
Querschnitt und zylindrischer Bohrung
Massenträgheitsmomente eines homo- Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten 251
genen Kegels
Magnetische Feldstärke in der Umgebung Linienintegrale 256
eines stromdurchflossenen linearen Leiters
Magnetische Feldstärke in der Achse Linienintegral 258
eines stromdurchflossenen kreis-
förmigen Leiters
Elektrisches Feld einer Linienquelle Partielle Ableitungen, konservatives 260
Vektorfeld, Linienintegral
IX Gewöhnliche Differentialgleichungen
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Raketengleichung Dgl 1. Ordnung vom Туру' ~f(x) 264
(Integration mittels Substitution)
2 RL-Schaltkreis mit einer Gleichstrom- Homogene lineare Dgl 1. Ordnung 268
quelle (Trennung der Variablen)
3 Seilkräfte und Seilreibung Homogene lineare Dgl 1. Ordnung 270
(Trennung der Variablen)
4 Fallbewegung einer Kugel in einer zähen Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung 271
Flüssigkeit (Variation der Konstanten)Inhaltsverzeichnis
RC-Schaltkreis mit einer Gleich- Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung
spannungsquelle (Variation der Konstanten)
RC-Wechselstromkreis Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung
(Aufsuchen einer partikulären Lösung)
Biegelinie eines beidseitig eingespannten Dgl 2. Ordnung vom Typ_y" =f(x)
Balkens bei konstanter Streckenlast (direkte Integration)
Knicklast nach Euler Homogene lineare Dgl 2. Ordnung
(Schwingungsgleichung)
Radialbewegung einer Masse in einer Homogene lineare Dgl 2. Ordnung
geraden, rotierenden Führung
Elektromagnetischer Schwingkreis Homogene lineare Dgl 2. Ordnung
(Schwingungsgle ichung)
Biegeschwingung einer elastischen Homogene lineare Dgl 2. Ordnung
Blattfeder (Schwingungsgleichung)
Scheibenpendel (physikalisches Pendel) Homogene lineare Dgl 2. Ordnung
(Schwingungsgleichung)
Vertikale Schwingungen eines Körpers Homogene lineare Dgl 2. Ordnung
in einer Flüssigkeit (gedämpfte Schwingung)
Schwingung eines rotierenden Feder- Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung
pendels (Schwingungsgleichung, Aufsuchen
einer partikulären Lösung)
Drehspulinstrument Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung
(aperiodische Schwingung, Aufsuchen
einer partikulären Lösung)
Erzwungene mechanische Schwingung Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung
(erzwungene Schwingung, Aufsuchen
einer partikulären Lösung)
Gleichung einer Seilkurve (Kettenlinie) Nichtlineare Dgl 2. Ordnung
(Substitutionsmethode, Trennung
der Variablen)
Torsionsschwingungen einer zweifach
besetzten elastischen Welle System linearer Dgln 2. Ordnung
Elektronenbahn im homogenen
Magnetfeld System linearer Dgln 2. Ordnung
X Fehler- und Ausgleichsrechnung
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Widerstandsmoment eines kreisring- Absoluter und prozentualer Maximal- 308
förmigen Rohrquerschnittes gegen fehler
Torsion (Verdrehung)XVI Inhaltsverzeichnis
Kombinierte Parallel-Reihenschaltung Absoluter und prozentualer Maximal-
elastischer Federn fehler
Selbstinduktivität einer elektrischen Fehlerfortpflanzung nach Gauß
Doppelleitung
Wirkleistung eines Wechselstroms Absoluter Maximalfehler
Widerstandsmessung mit der Mittelwert und mittlerer Fehler des
Wheatstoneschen Brücke Mittelwertes, Fehlerfortpflanzung nach
Gauß
Massenträgheitsmoment eines dünnen Auswertung von Meßreihen, Fehler-
Stabes fortpflanzung nach Gauß
Widerstandskennlinie eines Thermistors Ausgleichskurve (Exponentialfunktion)
(Heißleiters)
Kennlinie eines nichtlinearen Wider- Ausgleichskurve (kubische Funktion)
standes (Glühlampe)
XI Laplace-Transformation
Übung Naturwissenschaftlich-technisches Problem Mathematisches Stoffgebiet Seite
1 Ausschaltvorgang in einem Homogene lineare Dgl 1. Ordnung 323
RL-Schaltkreis
2 RC-Wechselstromkreis Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung 325
(Faltungssatz)
3 RL-Schaltkreis mit Rampenspannung Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung 328
4 RC-Schaltkreis mit einem rechteckigen Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung 329
Spannungsimpuls (1. Verschiebungssatz)
5 Erzwungene mechanische Schwingung Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung 333
im Resonanzfall
6 Erzwungene Schwingung eines Inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung 334
mechanischen Systems
7 Elektromagnetischer Reihenschwingkreis Integro-Differentialgleichung 337
(Ableitungs- und Integralsatz
für Originalfunktionen)
8 Spannungsübertragung bei einem Vierpol System von linearen Dgln 1. Ordnung 339
(Partialb ruchzerlegung der Bildfunktion)
Anhang: Physikalische Grundlagen 344Sie können auch lesen
