Didaktik der Geometrie - Ubersicht
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Didaktik der Geometrie
Lektion 3: Begriffe bilden, Probleme lösen
Andreas Vohns
Wintersemester 2017/8
Übersicht
Begriffe bilden
Was und wozu?
Wie? Exemplarisches Beispiel
Probleme lösen
Was und Wozu?
Wie? Exemplarische Beispiele
1
Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 3
Begriffe
É Alltagsvorstellung: Worte
É Mathematikvorstellung: etwas, das man definiert
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 4
Verschiedene Bezeichnungen
Didaktik der Geometrie
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Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 5
umfang
Verschiedener Begriffsumfang
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 6
inhalt
Verschiedener Begriffsinhalt
(Dudenredaktion, o.D.)
Didaktik der Geometrie
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Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 7
Begriffe: Arbeitsdefinition
Begriffsbildung im Alltag (Franke, 2007, S. 72)
Wir sprechen dann von einem Begriff, wenn damit nicht nur ein
Gegenstand (oder Ereignis, usw.) bezeichnet wird, sondern eine
Kategorie, eine Klasse assoziiert wird, in die der betreffende
Gegenstand (das Ereignis, usw.) einzuordnen ist.
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 8
Begriffe: Semiotisches Dreieck
Begriff
Ko
g
n
tun
Ab
kre
g
un
str
eu
ti
hn
sie
ah
d
ic
Be
run
ier
ze
un
Be
g
g
Bezeichner Objekt
(Rembowski (2015, S. 130) in Anlehnung an Lambert, 2012, S. 18)
Didaktik der Geometrie
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Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 9
Erarbeiten von Begriffen
. . . zielt auf Begriffsverständnis
Begriffsverständnis, integriert . . .
É Kenntnisse, (Grund-)Vorstellungen, Fähigkeiten betr.
Merkmalen und Eigenschaften des Begriffs (Begriffsinhalt)
É Überblick über Gesamtheit der zugeordneten Objekte (bzw.
Phänomene, Prozesse) (Begriffsumfang)
É Beziehungen zu anderen Begriffen (Begriffsnetz)
É Kenntnisse und Fähigkeiten betr. Anwendung des Begriffs
É Kritische Reflexion von Begriffsbildungen
(Weigand (2015, S. 264) in Anlehnung Vollrath, 1984)
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 10
Begriffe: Klassifikation
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Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 16
Begriffe: Klassifikation
Das operatives Prinzip
Objekte erfassen bedeutet zu erforschen, wie sie konstruiert sind und wie
sie sich verhalten, wenn auf sie Operationen (Transformationen,
Handlungen, . . . ) ausgeübt werden.
Daher muss man im Lern- oder Erkenntnisprozess in systematischer
Weise
É untersuchen, welche Operationen ausführbar und wie sie
miteinander verknüpft sind,
É herausfinden, welche Eigenschaften und Beziehungen den Objekten
durch Konstruktion aufgeprägt werden,
É beobachten, welche Wirkungen Operationen auf Eigenschaften und
Beziehungen der Objekte haben (Was geschieht mit . . . , wenn . . . ?).
(Wittmann, 1985, S. 9)
Didaktik der Geometrie
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Begriffe bilden Was und wozu? Wintersemester 2017/8 17
Begriffe: Klassifikation
In der Lehrstoffangabe (Unterstufe) auftauchende Begriffe:
Objekte Operationen Eigenschaften und Beziehungen
Winkel Achsenspiegelung Symmetrie
Kongruenz
Ebene Figuren Konstruieren Ähnlichkeit
Dreiecke und Vierecke Skizzen anfertigen
Rechtecke und Quadrate Maßstabsdarstellung anfertigen Strecken- & Winkelsymmetrale
Kreise, Kreisteile, Kreisbögen
Messen Winkelgröße
Körper Berechnen Umfang
Quader und Prismen Flächeninhalt
Pyramide Zerlegen und Ergänzen Rauminhalt
Drehzylinder und Drehkegel Vergrößern und Verkleinern Gewicht
Kugel
Grau: Verfahren im Vordergrund
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 18
Begriffslernen: Stufenmodelle
van Hiele (1959/1984) Vollrath (1984)
Räumlich-anschauungsgebundenes Denken Intuitives Begriffsverständnis
(Visualization) Primarstufe
Primarstufe
Geometrisch-analysierendes Denken Inhaltliches Begriffsverständnis
(Analysis) Sekundarstufe I
Primarstufe
Geometrisch-abstrahierendes Denken Integriertes Begriffsverständnis
(Abstraction) Sekundarstufe I
Primarstufe / Sekundarstufe I
Geometrisch-schlussfolgerndes Denken Formales Begriffsverständnis
(Deduction) Sekundarstufe I
Sekundarstufe I/II
Strenge abstrakte Geometrie
(Rigor)
Sekundarstufe II / Universität
Didaktik der Geometrie
9Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 19
Komponenten des Begriffserwerbs
Lernen geometrischer Begriffe
Aufbau angemessener Erwerb von Aneignen von
Vorstellungen Kenntnissen Fähigkeiten
Handeln Eigenschaften Konstruieren
Wahrnehmen Beziehungen zwischen Berechnen
Eigenschaften
Verbalisieren Beziehungen zu Problemlösen
anderen Begriffen
(Weigand, 2014, S. 103)
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 20
Aufbau von Vorstellungen: Handlungen
Aufgabe:
Schneide aus farbigem Transparentpapier mehrere Parallelstreifen aus und
lege zwei Streifen übereinander.
Verwende verschieden dicke, aber auch gleich dicke Streifen. Beschreibe
die entstehenden Vierecke.
(Weigand, 2014, S. 105f.)
Didaktik der Geometrie
10Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 21
Aufbau von Vorstellungen: Handlungen
Leitfragen:
É Was bleibt gleich? (Parallelität der Gegenseiten, Gleichheit der
Gegenwinkel, Winkelsumme benachbarter Innenwinkel)
É Was verändert sich? (Form, Abstand der parallelen Seiten,
Flächeninhalt des Vierceks)
(Weigand, 2014, S. 104f.)
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Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 22
Aufbau von Vorstellungen: Wahrnehmung
(Weigand, 2014, S. 107)
Didaktik der Geometrie
11Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 23
Aufbau von Vorstellungen: Verbalisierung
Erläuterungen und Erklärungen
Umgang mit rein verbal formulierten Problemstellungen
( Kopfgeometrie“)
”
Beispiel:
Stellt euch ein Parallelogramm vor. Denkt euch die Diagonalen
eingezeichnet.
É Wie viele Teildreiecke seht ihr?
É Stellt euch eine Parallele zu einem Seitenpaar durch den Mittelpunkt
(Schnittpunkt der Diagonalen) vor. Wie viele Teildreiecke sind es jetzt?
(Weigand, 2014, S. 108)
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 24
Kenntnisse: Eigenschaften
É Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
É Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
É Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
É Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°.
É Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
(Weigand, 2014, S. 109)
Didaktik der Geometrie
12Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 25
Kenntnisse: Beziehungen zw. Eigenschaften
É Gegenüberliegende Seiten sind parallel, also sind sie auch
gleich lang.
É Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, also ergänzen sich
benachbarte Winkel zu 180◦ .
É Halbieren der einen und Verdoppeln der anderen Seitenlänge
lässt den Flächeninhalt unverändert.
(Weigand, 2014, S. 109)
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 26
Kenntnisse: Beziehungen zu anderen Begriffen
É Sind in einem Parallelogramm alle Seiten gleich lang, dann ist
es eine Raute (Rhombus).
É Sind in einem Parallelogramm benachbarte Winkel gleich groß,
so müssen alle Winkel 90◦ sein. Das Parallelogramm ist dann
ein Rechteck.
É Gegenbeispiele zu einem Parallelogramm sind der Drachen
(Deltoid, falls keine Raute) und das Trapez (falls nicht beide
gegenüberliegende Seitenpaare jeweils parallel).
(Weigand, 2014, S. 109)
Didaktik der Geometrie
13Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 27
Aneignen von Fähigkeiten
A Konstruieren können (AT: 2. Klasse)
Konstruiere ein Parallelogramm aus zwei benachbarten Seiten
und dem eingeschlossenen Winkel, etwa |AB| = 6 cm,
|BC| = 4 cm und β = 60◦ .
B Berechnen können (AT: 3. Klasse)
Berechne den Flächeninhalt eines Parallelogramms, von dem
eine Seite |a| = 6 cm und die zugehörige Höhe |ha | = 4 cm
bekannt sind.
C Probleme lösen können
→ kommt später
(Weigand, 2014, S. 110)
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 28
Begriffe bilden: Schulbücher
(Reichel & Humenberger, 2011, S. 228f.)
Didaktik der Geometrie
14Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 29
Begriffe bilden: Schulbücher
(Achleitner, Klampfer & Weikinger, 2013, S. 176f.)
Didaktik der Geometrie
Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 30
Begriffe bilden: Schulbücher
(Kraker, Plattner & Preis, 2008, S. 236-239)
Didaktik der Geometrie
15Begriffe bilden Wie? Wintersemester 2017/8 31
Begriffe definieren
→ Pflichtlektüre
Didaktik der Geometrie
Probleme lösen Was und Wozu? Wintersemester 2017/8 32
Was ist ein Problem?
Duncker (1935, S. 1):
Ein Problem entsteht z. B. dann, wenn ein Lebewesen ein Ziel hat
und nicht weiß, wie es diese Ziel erreichen soll. Wo immer der
gegebene Zustand nicht durch bloßes Handeln (Ausführen
selbstverständlicher Operationen) in den erstrebten Zustand
überführen lässt, wird das Denken auf den Plan gerufen. Ihm liegt es
ob, ein vermittelndes Handeln zuallererst zu konzipieren.
Büchter und Leuders (2005, S. 28):
Eine Problemlöseaufgabe (auch kurz: Problem) ist die Aufforderung,
eine Lösung zu finden, ohne dass ein passendes Lösungsverfahren
auf der Hand liegt.
Didaktik der Geometrie
16Probleme lösen Was und Wozu? Wintersemester 2017/8 33
Was ist ein Problem?
Was ist ein Problem?
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_grundlagen/fachdidaktische_grundlagen.pdf
(Routine-)Aufgabe
Anfangszustand Algorithmus Zielzustand
Problem
Anfangszustand
? Zielzustand
Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Aufgabe, also weder einen Operator
noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.
Quelle: Roth (2016)
Jürgen Roth Didaktik der Geometrie 5.6
Didaktik der Geometrie
Probleme lösen Was und Wozu? Wintersemester 2017/8 34
Wozu Problemlösen?
Kadunz und Sträßer (2009): Problemlösen steht im Kontext
entdeckenden Lernens“ (nach Winter, 1991)
”
É zulässige(re)s Bild von Mathematik (kreativer, oft unsichtbarer
Teil)
É Eigenständigkeit als Bedingung der Möglichkeit“ persönlicher
”
Einsichtsgewinnung
É subjektives Erfolgserleben kann zu Identifikation mit
Fragestellungen und verbundenem Kontext führen
É Suchen von Lösungsansätzen führt zur Reorganisation von
Wissen und Problemlösen wird damit zum Übungsfeld
Didaktik der Geometrie
17Probleme lösen Wie? Wintersemester 2017/8 35
Heuristik
Kunst des Problemlösens“
”
Im Angebot:
É heuristische Strategien
É bereichsübergreifende (→ Grundfragen des MU)
É bereichsspezifische
É heuristische Hilfsmittel (→ Grundfragen des MU)
É Lösungspläne (Wiederholung → Grundfragen des MU)
É (gestufte) Hilfen (→ Grundfragen des MU)
Didaktik der Geometrie
Probleme lösen Wie? Wintersemester 2017/8 36
Wie sucht man die Lösung?
Lösungsplan (Pólya)
Pólya, G. (19954): Die Schule des Denkens. Francke Verlag, Umschlaginnenseite
Erstens
Du musst die Aufgabe verstehen.
Zweitens
Suche den Zusammenhang zwischen
den Daten und der Unbekannten.
Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten,
wenn ein unmittelbarer Zusammenhang
nicht gefunden werden kann.
Du musst schließlich einen Plan
der Lösung erhalten.
Drittens
Führe deinen Plan aus.
Viertens
Prüfe die erhaltene Lösung.
Jürgen Roth • Fachdidaktische Grundlagen 181
Quelle: Roth (2016)
Didaktik der Geometrie
18Probleme lösen Wie? Wintersemester 2017/8 37
Wie sucht man die Lösung?
Lösungsplan (Pólya)
Pólya, G. (19954): Die Schule des Denkens. Francke Verlag, Umschlaginnenseite
Jürgen Roth • Fachdidaktische Grundlagen 182
Quelle: Roth (2016)
Didaktik der Geometrie
Probleme lösen Wie? Wintersemester 2017/8 38
Heuristische Strategien: Elementargeometrie
É das Einzeichnen geeigneter Hilfslinien
É das Suchen gleich langer Strecken (gleichschenklige oder -seitige
Dreiecke, Seiten eines Parallelogramms, Kreisradien, . . . )
É das Suchen gleich großer oder einander ergänzender Winkel
(gleichschenklige oder -seitige Dreiecke, Winkel eines
Parallelogramms, Winkelsumme im n-Eck, Winkel an
Geradenkreuzungen, . . . )
É das Suchen rechtwinkliger Dreiecke bzw. Teildreiecke, um einen Satz
aus der Satzgruppe des Pythagoras anwenden zu können
É das Suchen kongruenter Dreiecke, um gleich lange Strecken bzw.
gleich große Winkel zu bestimmen
(Wittmann, 2014, S. 94f.)
Didaktik der Geometrie
19Probleme lösen Wie? Wintersemester 2017/8 39
Heuristische Strategien: Elementargeometrie
É das Suchen ähnlicher Dreiecke, um Streckenverhältnisse zu
bestimmen
É das Suchen paralleler Geraden als Voraussetzung für die Anwendung
der Winkelbeziehungen an Geradendoppelkreuzungen oder der
Strahlensätze
É das Suchen inhaltsgleicher Drei- oder Vierecke, um aus den
jeweiligen Formeln für die Flächeninhalte unbekannte Größen
errechnen zu können
É das Suchen ergänzungsgleicher oder zerlegungsgleicher Flächen
(Wittmann, 2014, S. 94f.)
Didaktik der Geometrie
Probleme lösen Wie? Wintersemester 2017/8 40
Probleme lösen: Beweisproblem
Behauptungen:
1. Gegenüberliegende Seiten sind stets gleich lang.
2. Bei gleicher Streifenbreite sind alle Seiten gleich lang (Raute).
3. Im Falle rechter Winkel entstehen Rechtecke bzw. Quadrate (gleiche
Streifenbreite).
(Weigand, 2014, S. 105f.)
Didaktik der Geometrie
20Probleme lösen Wie? Wintersemester 2017/8 42
Probleme: Beispiele
Gegeben sind der Flächeninhalt A eines Parallelogramms und die Länge einer Seite a:
A = 65 cm2 und |a| = 7, 3 cm.
a) Berechne die Länge der Höhe ha .
b) Sind dadurch auch die Längen der anderen Seite b und der Höhe hb festgelegt? Begründung!
(Weigand, 2014, S. 110)
(Kraker et al., 2008, S. 239)
(Achleitner et al., 2013, S. 177)
Didaktik der Geometrie
21Literatur
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Springer.
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