Dread Disease Versicherung - Sujung Kim
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Seminararbeit aus Finanz- und Versicherungsmathematik
Dread Disease Versicherung
Sujung Kim
Wintersemester 2013/14
eingereicht bei Dr. Stefan Gerhold
Technische Universität Wien
Wiedner Hauptstrae 8-10, 1040 WienInhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
2 Geschichtlicher Hintergrund 3
3 Dread Disease Versicherung - eine versicherungswirtschaftliche Perspek-
tive 5
3.1 Leistungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.1 als Zusatzversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.2 als eigenständige Deckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Abgrenzung zu ähnlichen Versicherungsprodukten . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.1 Abgrenzung zur Er- und Ablebensversicherung . . . . . . . . . . . . 6
3.2.2 Abgrenzung zur Krankenversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Abgrenzung zur Pflegefallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Abgrenzung zur Unfallversicherung / Berufsunfähigkeit . . . . . . . . . . . 7
4 Charakterisierung der Disease Versicherung 8
4.1 Das Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Gedeckte Krankheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.1 Die Klassischen Vier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.2 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Karenz- und Wartezeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4 Höhe der Versicherungssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.5 Ausschlüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Kalkulation des Dread Disease Versicherungsprodukts 12
5.1 Allgemeines Wahrscheinlichkeitsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Modell für eine Dread Diseases Versicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Ausblick - Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Fazit 18
Literatur 19Dread Disease Versicherung Sujung Kim
1 Einleitung
Der Begriff Dread Disease“ kommt aus dem anglo-amerikanischen Raum und bedeutet
”
wörtlich übersetzt gefürchtete Krankheit“. Vielen ist dieser Ausdruck auch unter dem
”
Wort critical illness“ bekannt.
”
In Kapitel 2 wird die geschichtliche Entwicklung der Dread Disease Versicherung erläutert.
Ins Leben gerufen durch den Dr. Marius Barnard in Südafrika im Jahre 1967 verbreite-
te sie sich anfangs nach Großbritannien und dann weiter in die restlichen europäischen
Länder. In Österreich wurde diese von der Volksfürsorge Jupiter Versicherung im Jahre
1992 eingeführt.
In Kapitel 3 und 4 wird das Produkt einer Dread Disease Versicherung von der versiche-
rungswirtschaftlichen Perspektive beleutet. Bei einer Dread Disease Versicherung handelt
es sich um eine Form der Personenversicherung, bei der im Falle einer Diagnose einer
schweren Erkrankung, eine bestimme Summe einmalig ausgezahlt wird. Der Vertrag endet
mit der Ausbezahlung der Versicherungssumme. Zu diesen Krankheiten gehören meistens
Krebs, Schlaganfall, Herzinfarkt, Bypass-Operationen, Multiple-Sklerose, Nierenversagen
und Organtransplantationen. Die verschiedenen Tarife der Versicherungen unterscheiden
sich in der Anzahl der versicherten Krankheitsbilder, in den Leistungen (beispielsweise
Mitversicherung von Kindern, weltweiter Versicherungsschutz, Zusatzoptionen), den Bei-
trägen und selbstverständlich in den Bedingungswerken (wie zum Beispiel Karenz- und
Wartezeiten).1
In Kapitel 5 wird zunächst ein Wahrscheinlichkeitsmodell eingeführt. Mittels der Chapman-
Kolmogorov-Gleichung und der Kolmogorov-Vorwärtsdifferentialgleichung werden die Über-
gangsintensitäten beschrieben. Durch Lösen dieser DIfferentialgleichungen mit dem Ex-
ponentialansatz - welche in dieser Arbeit nicht explizit behandelt werden - werden die
Übergangswahrscheinlichkeiten berechnet. Auch wird die Berechnung der Nettoeinmal-
prmie für die einmalige und zusätzliche Auszahlung werden näher erläutert.
1
http://www.dreaddisease.biz.
2Dread Disease Versicherung Sujung Kim
2 Geschichtlicher Hintergrund
Es gab schon Ende des 19.Jahrhunderts ähnliche Produkte, die eine gewisse Summe bei
einer schwerwiegenden Krankheit ausbezahlte. Oft wurde diese Summe aber erst nach
dem Tod ausbezahlt, worin der Unterschied zu den heutigen Dread-Disease Polizzen be-
steht. Das erste Dread Disease Produkt wurde am 6. Oktober von Dr. Marius Barnard
in Südafrika unter dem Namen Dread Disease Insurance auf dem südafrikanischen Versi-
cherungsmarkt gebracht. Barnard war vom Beruf Herzchirurg und Bruder des Christiaan
Barnard, der die erste Herztransplantation 1967 bei einem Menschen vorgenommen hat-
te. Barnard versuchte mehrere südafrikanischen Versicherungen zu überzeugen, dass er als
Arzt zwar die Gesundheit eines Patienten reparieren kann, aber die Reparatur der finan-
ziellen Verhältnisse eines Erkrankten nur von einer Versicherung geleistet werden kann.
So schaffte er es, dass ein derartiges Produkt auf den Markt herausgebracht wurde. Die
Nachfrage in Südafrika war groß, da der Schutz der Kranken- und Sozialversicherung nicht
sehr ausgereift war und oft ein Krankhausaufenthalt große finanzielle Schwierigkeiten mit
sich brachte.2
Einige Jahre später fassten die Dread-Disease Versicherungen Fuß im britischen Versiche-
rungsmarkt. Da der Markt in Grobritannien eine sehr ausgeprgte Anpassungsfähigkeit
an die Verbraucherbedürfnisse und deren Trends hatte, wurde das neue Konzept der
Dread-Disease Deckung schnell aufgenommen und verbreitet. Wegen der dramatischen
Bedeutung des Begriffs Dread Disease“ (gefürchtete Krankheit) wurde bald eine andere
”
Bezeichnung eingeführt, nämlich Critical Illness“ (kritische Krankheit). Heutzutage sind
”
beide Ausdrücke gebräuchlich. Am Anfang bestand nur ein geringes Interesse an dieser
Versicherung, doch dies änderte sich schnell. Zwischen 1991 und 1997 erhöhten sich die
verkauften Neu-Polizzen fast um das 5-fache (von 132.544 auf 626.584).Wenn man alle ab-
geschlossen Lebensversicherungen in diesem Zeitraum sich ansieht, ist zu bemerken, dass
der Anteil von Dread-Disease Polizzen von 3,33% auf 21,76% und die durchschnittliche
Versicherungssumme von 41.956 auf 49.386 stieg.3
2
http://www.dread-disease-versicherungsinfo.de/dread-disease-versicherung/zur-geschichte-der-
dread-disease-versicherung.html
3
Vgl. Stein U., 2000, S.126
3Dread Disease Versicherung Sujung Kim
So schafften es die Dread-Disease Versicherungen bald als eigenständige Vertragsform oder
als Zusatzversicherung zu einer Lebensversicherung unter der Bezeichnung Life Cover“,
”
Lifeline“ oder Life Care“ eingeführt zu werden. In Deutschland schlug eine Tochter-
” ”
gesellschaft aus den USA 1980 vor, eine Krankentagegeldversicherung bei einer Krebser-
krankung als eigenständige Versicherungsform einzuführen, welche aber vorerst von den
deutschen Behörden abgelehnt wurde. Erst 1991 brachte die Firma AXA Equity & Law
dieses Produkt auf den deutschen Markt. Anfangs stellten die Dread-Disease Polizzen ein
Viertel des gesamten Neugeschäftes dar, 2005 gab es 10 Anbieter. Die höchsten Verkaufs-
4
zahlen belaufen sich über 5000 Polizzen im Jahr.
Erst im Februar 1992 führte die Volksfürsorge Jupiter Versicherung als erstes österrei-
chisches Versicherungsunternehmen eine Dread-Disease Lebensversicherung ein. Dieses
Produkt hie Life Care“. Es fungierte als eigenständiges Deckungsangebot, wo die Aus-
”
bezahlung der Versicherungssumme im Falle eines Ablebens, eines Erlebens oder bei Ein-
tritt einer schweren Krankheit erfolgte. Anfangs zählten zu den versicherten Krankheiten:
Herzinfarkt, Krebs, Schlaganfall, Nierenversagen, Bypass-Operation und Organtransplan-
tation. 1995 und 1996 wurde das Angebot auf Multiple Sklerose, Querschnittslhmung,
vollständige Blindheit und Erwerbsunfähigkeit erweitert. Eine nähere Erläuterung der
5
Dread-Disease Versicherungen in Österreich erfolgt in den nachfolgenden Kapiteln.
4
vgl. Stein U., 2000, S.131
5
(Diplomarbeit Fritz)
4Dread Disease Versicherung Sujung Kim
3 Dread Disease Versicherung - eine versicherungs-
wirtschaftliche Perspektive
3.1 Leistungsformen
Es gibt insgesamt zwei verschiedene Standardformen, wie eine Dread Disease Versicherung
angeboten wird:
• als Zusatzversicherung zu Todesfallversich(mit vorgezogener Leistung, mit zusätzli-
cher Leistung)
• als eigenständige Versicherung
3.1.1 als Zusatzversicherung
Dread Disease mit vorgezogener Leistung
Es wird im Falle der Diagnose einer Dread Disease Krankheit die Versicherungssumme
teilweise oder vollständig ausbezahlt. Bei der letzteren Variante, wid der Vetrag nach der
Auszahlung beendet. Bei der teilweisen Auszahlung erlischt nur die Zusatzversicherung
nach der Auszahlung und die Hauptversicherung läuft mit der verminderten Versiche-
rungssumme weiter. In diesem Falle wird die Dread Disease Versicheurng als Lebensversi-
cherung steuerlich anerkannt. Hierbei muss außerdem eine Versicherungsdauer von zwölf
Monaten vorgesehen sein und die Liste der gedeckten Erkrankungen bestimmte Richtli-
nien erfüllen.
Dread Disease mit zusätzlicher Leistung
In diesem Fall wird der gesamte Betrag der Versicherungssumme zum Zeitpunkt der Dia-
gnose ausbezahlt, die Zusatzversicherung erlischt daraufhin, die Hauptversicherung bleibt
weiterhin unverändert aufrecht. Außerdem gilt für den Fall des Ablebens des Verische-
rungsnehmers eine besondere Vorgehensweise. Hier wird die Versicherungssumme in der
Höhe der Hauptversicherungssumme einmalig ausbezahlt, für die Dread Disease Leistung
jedoch wird nichts Zuätzliches geleistet. Solange der Dread Disease Fall nicht eintritt,
werden die Prämien nach Ablauf der Versicherungsdauer ausgezahlt.
5Dread Disease Versicherung Sujung Kim
3.1.2 als eigenständige Deckung
Diese Form ist die neueste Form in dem Bereich der Dread Disease Versicherungen. Bei
dieser Option wird die komplette Summe im Todesfall, im Erlebensfall oder zum Zeit-
punkt der Diagnose einer von der Versicherung gedeckten Krankheit ausbezahlt und die
Versicherung erlischt in jedem der Fälle.6
3.2 Abgrenzung zu ähnlichen Versicherungsprodukten
In diesem Abschnitt sollen die klaren Grenzlinien zu ähnlichen Produkten aufgezeigt wer-
den.
3.2.1 Abgrenzung zur Er- und Ablebensversicherung
Bei einer Er- oder Ablebensversicherung wird die Versicherungssumme und die bis zu
diesem Zeitpunkt erwirtschafteten Gewinne im Falle des Todes oder des Erlebens von
der vereinbarten Versicherungsdauer ausbezahlt. Eine solche Versicherung wird meist zur
Absicherung der Familie oder zur Eigenvorsorge abgeschlossen. Die Dread Disease Versi-
cherung hingegen zahlt zusätzlich bei der Diagnose von bestimmten schweren Krankheiten
die Versicherungssumme aus. Diese wird eher zur eigenen Absicherung abgeschlossen, kann
aber auch zur finanziellen Unterstützung der Familie dienen. Es ist jedoch anzumerken,
dass diese Ausbezahlung keiner Zweickgebundenheit unterliegt.
3.2.2 Abgrenzung zur Krankenversicherung
Eine private Krankenversicherung übernimmt im Krankheitsfall des Versicherungsneh-
mers je nach dem abgeschlossenen Tarif die Kosten der medizinischen Behandlung oder
des Krankenhausaufenthalts. Unterschied zur Dread Disease Versicherung besteht darin,
dass diese nicht für alle anfallenden Kosten aufkommt, sondern nur eine Pauschalsumme.
Diese ermöglicht aber medizinische Leistungen, die eine Krankenversicherung vielleicht
nicht abdeckt.
6
Vgl. Diplomarbeit G., Kap.5
6Dread Disease Versicherung Sujung Kim
3.3 Abgrenzung zur Pflegefallversicherung
Eine Pflegefallversicherung deckt die Kosten, die aufgrund chronischer Erkrankungen in-
folge von Krankheit, Unfall oder Altersschwäche. Die Auszahlung erfolgt durch die Über-
nahme der Kosten oder durch eine Rente. In den meisten Fällen werden diese Kosten bei
einer Dread Disease Versicherung auch gedeckt. Jedoch passt sie sich natürlich nicht den
anfallenden Kosten an, sondern stellt nur eine begrenzte Summe zur Verfügung.7
3.4 Abgrenzung zur Unfallversicherung / Berufsunfähigkeit
Bei einer Unfallversicherung wird eine Pauschalsumme oder monatliche Rente dem Versi-
cherungsnehmer im Falle einer vorbergehenden oder dauerhaften Arbeitsunfähigkeit auf-
grund eines Unfalls ausbezahlt. Auch besteht die Möglichkeit, dass im Falle eines Able-
bens an die Familie diese Pauschalsumme ausbezahlt wird. Diese Versicherungsleistung
erfolgt aber schon bei geringeren Krankheitsf”llen als bei der Dread Disease Versicherung.
Da eine Abgrezung zu dieser Art Lebensversicherung nicht so eindeutig ist, wie bei den
anderen Arten, vergleichen wir beide Produkte etwas näher. Berufsunfähigkeit liegt vor,
wenn der Arbeiter aus gesundheitlichen Gründen seinen bisherigen oder gleichwertigen
Beruf wegen herabgesunkener Arbeitsfähigkeit nicht mehr ausüben kann.8 Es kann zu ei-
ner Verweisung kommen, sodass er auf die nächst niedrigere Lohnstufe abgestuft wird.
Beide Versicherungen kommen bei vielen Situationen zur Geltung. Eine Dread Disea-
se Versicherung wird eine Berufsunf”higkeitsabsicherung nicht ersetzen, sondern ergänzt
diese nur. Ein Vorteil der Dread Disease Versicherung liegt darin vor, dass das ausbe-
zahlte Kapital zwecksungebunden ist. Diese erfolgt natülich nur im Falle einers Unfalls
oder einer Krankheit und nicht in anderen Invaliditätsfällen, was aber auch als Nachteil
aufgefasst werden kann. EIn weiterer Nachteil liegt in der Höhe der Versicherungssumme.
Diese ist bei einer sinnvollen Berufsunfähigkeitsversicherung höher als bei einer Dread
Disease Polizze.9
7
Vgl. Fritz S.13ff
8
Vgl. Bohner, N, 1995
9
Vgl.www.versicherung-portal.com
7Dread Disease Versicherung Sujung Kim
4 Charakterisierung der Disease Versicherung
4.1 Das Produkt
In den letzten Jahrzehnten hat sich das Produktdesign der Dread Disease Versicherung
stark verändert und weiterentwickelt. Immer mehr Krankheiten wurden der Liste der
gedeckten Krankheiten hinzugefügt. Jede Krankheit, die in dem Dread Disease Katalog
eingeführt werden darf, muss folgende Kriterien erfüllen.
Die Krankheit sollte
• von der Öffentlichkeit als lebensbedrohlich, aber doch durch kostenaufwendige me-
dizinische Manahmen überlebbar sein
• klar und präzise definierbar sein
• adäquate Daten für die Kostenerfassung vorhanden sein
• innerhalb einer akzeptablen Frist sicher diagnostifizierbar sein10
Für die Ausbezahlung der Versicherungssumme muss nur ein ärztlicher Nachweis von
einer der genannten Krankheiten bei dem Verischerten eingereicht werden; Nachweise von
entstandenenn Aufwendungen oder deresgleichen ist nicht notwendig.
Weiters unterscheidet sich die Dread Disease Versicherung von der Allgefahrendeckungen
in dem Punkt, dass diese nach dem Universalitätsprinzip vorgeht, die Dread Disease
Versicherung jedoch nach dem Summenleistungsprinzip. Deswegen erfordert letztere eine
explizite Beschreibung der versicherten Gefahren, da nicht unabhängig von der Ursache
alles gedeckt wird, wie beispielsweise bei einer Lebens- oder Krankenversicherung. So ist
es eine genaue Umschreibung der zu deckenden Krankheit zwingend erforderlich, da sonst
der Sinn und Zweck einer Dread Disease Versicherung durch verschiedene Meinungen nach
dem jeweils aktuellen Stand der Wissenschaft gefährdet sein würde.
10
Vgl.Dash & Grimshaw S.150
8Dread Disease Versicherung Sujung Kim
4.2 Gedeckte Krankheiten
4.2.1 Die Klassischen Vier
Unter den Klassischen Vier “versteht man die grundliegenden vier schweren Krankheiten,
”
die von Anfang an inkludiert waren und das Herzstück der Dread Disease Versicherungen
bilden.
Dazu gehören:
• Krebs
• Herzinfarkt
• Bypass-Operation
• Schlaganfall11
4.2.2 Erweiterungen
Mit der Zeit wurde der Katalog der gedeckten Dread Disease Erkrankungen erweitert.
Heutzutage stehen meistens auch chronisches Nierenversagen, Organtransplantation, Er-
blindung, Invalidität, Mutilpler Sklerose, Querschnittslähmung, Alzheimer und Parkinson
auf der Liste der gedeckten Krankheiten. Weiters gibt es vereinzelnt auch Versicherungs-
produkte, die Krankheiten wie zum Beispiel chronische Lebererkrankung, fluminante He-
patitis, Koma, schwere Verbrennungen und Pflegebedürftigkeit auf diser Liste aufzählen,
jedoch besteht noch Zweifel, ob diese Krankheiten der oben genannten Aufnahmekriterien
gerecht sind.
4.3 Karenz- und Wartezeiten
Karenzzeiten bezeichnet den Zeitraum in dem die Verischerung schon besteht, jedoch noch
keine Leisten gewährt werden knnen.12 Dies ist bei Dread Disease Versicherungen der Fall,
wenn bei manchen Erkrankungen diese erst nach einer bestimmten Zeit diagnostiziert
11
Vgl.Fritz
12
http://de.wikipedia.org/wiki/Karenzzeit
9Dread Disease Versicherung Sujung Kim
werden kann und dadurch die Auszahlung der Versicherungssumme erst nach Ablauf
dieser Frist erfolgen kann. In der Regel beläuft sich diese auf drei Monate, diese variiert
aber je nach Lage.
Wartezeiten beschrieben, wie man schon aus dem Begriff herableiten kann, die Frist, die
man abwarten muss, bevor der Anspruch auf die Auszahlung der Verischuerngssumme
gestellt werden kann. Diese beträgt im Üblichen auch drei Monate.
4.4 Höhe der Versicherungssumme
Wie hoch die Versicherungssumme ist, die im Falle einer Erkrankung einer gedeckte
Krankheit ist, ist von den einzelnen Marktsituationen des jeweiligen Landes abhängig.
In Österreich liegt die Höchstversicherungssumme bei 200.000 (Stand 2005). Als dieses
Porukt vor knapp 30 Jahren ins Leben gerufen wurde, belief sich die Summe in Südafrika
noch auf ca. 12.000.
Die Festlegung eines bestimmten Wertes, für die die Versicherung aufkommt, ist hier
besonders von Bedeutung, da die Gefahr der Antilselektion sehr hoch ist. Diese ist duch
folgende Faktoren gegeben:
• Disposition für die Krankheit ist dem Versicherungsnhemer schon bekannt
• Versicherungsnehmer kann selbst die Hhe der Versicherungssumme derart auswählen,
sodass seine finanzielle Lage sich bessert
Um solche Antiselektionen zu vermeiden, ist es wichtig eine adäquate Tarif- und Pro-
duktgestaltung zu unternehmen. Viele Versicherungsunternehmen bieten daher, abhängig
von der Krankheit, auch eine Auszahlung von Teilbeträgen an. Dadurch wird die Gefahr
einer Antiselektion vorgebeugt und auch die Prämien für den Versicheurngsnehmer fallen
billiger aus.
Eine weitere Möglichkeit ist stellt die merhfache Auszahlung dar. Diese Option trifft auf
verschiedene Krankheiten zu, die in einer Obergruppe zusammengefasst sind. Die Leis-
tung kann jedoch innerhalb dieser nur einmal ausbezahlt werden. Von solchen ist die Re-
de bei Erkrankungen wie zum beispiel Herzinfark, Schaganfall, Bypass-Operationen und
10Dread Disease Versicherung Sujung Kim
Nierenversagen. Hier hängt die Versicherungssumme von der Anzahl der Dread Disease
Erkrankungen ab.
4.5 Ausschlüsse
Wie bei jeder Versicherung, deckt die Dread Disease Versicherung auch nicht jeden Fall der
eingetretenen Krankheit. Genrell zählen Missbrauch von Alkohol, Gift, Drogen oder Medi-
kamenten, Selbsmordversuch oder vorsätzlich herbeigeführten Krankheiten, kriegerischen
Handlungen sowie Vorliegen einer HIV-Infektion zu Leistungsausschlüssen. Hierdurch soll
eine weitere Manahme gegen die Antiselektion und nicht berechenbare Ereignisse gesetzt
werden.13
13
Vgl. Trunk, 1994, S.43
11Dread Disease Versicherung Sujung Kim
5 Kalkulation des Dread Disease Versicherungspro-
dukts
Die Einführung von einem neuen Konzept wie die Dread Disease Deckung in dem Versi-
cheurngsmarkt lässt interessante Fragen für den Aktuariat offen, weil keine Erfahrungen
bestehen auf die, die Prämienzahlungen basiert werden können. Natürlich werden vorerst
Daten zur Erkrankung von Dread Diseases Krankheiten benötigt. Hierbei sind verschie-
dene Parametern zu beachten, wie zum Beispiel das Verhltnis von der Be”lkerungszahl zu
den versicherten Leben. Danach muss vom Aktuariat ein Kalkulationsmodell aufgearbei-
tet werden, welches getestet werden sollte, sodass die Prämienzahlungen den Annahmen
gerecht sind.
5.1 Allgemeines Wahrscheinlichkeitsmodell
Zuerst nehmen wir an, dass der stochastische Prozess S(x + t); t ≥ 0 eine stetige Markov-
kette mit drei Stadien.
Das heißt, wir nehmen an:
P(S(yn ) = hn |S(yn−1 ) = hn−1 ∧ S(yn−2 ) = hn−2 ∧ ... ∧ S(y1 )) = h1 ) =
= P(S(yn ) = hn |S(yn−1 ) = hn−1 ) ∀n, h1 , ..., hn , y1 l, ..., lyn
Wir führen die Übergangswahrscheinlichkeiten folgendermaßen ein:
gh
t py = P(S(y + t) = h|S(y) = g); h = a, i, d; g = a, i (1)
Dann werden die Übergangsintensitäten so definiert:
gh
t py
µgh (y) = (lim ); h = a, i, d; g = a, i; h 6= g) (2)
t→0 t
Hierbei sollen die Grenzwerte für alle relevanten y existieren und y integrierbar sein.
Desweiteren sind wir an folgender Wahrscheinlichkeit interessiert:
˜
hh
t py = P(S(y + u) = h ∀u ∈ [o; t]|S(y) = h); h = a, i (3)
Die Übergangswahrscheinlichkeiten erfüllen die Chapman-Kolmogorov Gleichung:
X
gh gh gk kh
p
t y = p
t y = τ py .t−τ py+τ ; h = aid; g = a, i (4)
k=a,i
12Dread Disease Versicherung Sujung Kim
˜
Diese Gleichung angewandt auf t phh
y ergibt:
˜
hh ˜ ˜
t py =τ phh hh
y .t−τ py+τ ; h = a, i (5)
Nun können wir durch Anwendung der Kolmogorov Vorwärtsdifferentialgleichung die
Übergangsintensitäten aufstellen:
∂
(t paa ) = −t paa ai ad ai ia
y (µ (y + t) + µ (y + t)) +t py µ (y + t) (6)
∂t y
∂
(t pai ai ia id aa ai
y ) = −t py (µ (y + t) + µ (y + t)) +t py µ (y + t) (7)
∂t
∂
(t pad aa ad ai id
y ) =t py µ (y + t) +t py µ (y + t) (8)
∂t
∂
(t pia ) = −t pia ai ad ii ia
y (µ (y + t) + µ (y + t)) +t py µ (y + t) (9)
∂t y
∂
(t pii ) = −t piiy (µia (y + t) + µid (y + t)) +t pia ai
y µ (y + t) (10)
∂t y
∂
(t pid ) =t piiy µid (y + t) +t pia ad
y µ (y + t) (11)
∂t y
Desweiteren erhalten wir
∂
(t paa
˜
) = −t paa
˜ ai ad
y (µ (y + t) + µ (y + t)) (12)
∂t y
∂ ˜ ˜
(t piiy ) = −t piiy (µia (y + t) + µid (y + t)) (13)
∂t
Diese Differentialgleichungen k”nnen dann durch Anwendung des Exponentialansatzes
gelöst werden.
Dies ergibt:
Z t
aa
˜
t py = exp[− (µai (y + u) + µad (y + u))du] (14)
0
Z t
˜
ii
t py = exp[− (µia (y + u) + µid (y + u))du] (15)
0
13Dread Disease Versicherung Sujung Kim
5.2 Modell für eine Dread Diseases Versicherung
Eine Dread Disease Versicherungspolizze zahlt dem Versicherungsnehmeer eine einmalige
Summe aus, falls es zu einer Art von Dread Disease kommt, die vertrag festgelegt wurde.
Wie wir bereits erwähnt haben, umfasst dies am meisten Herzinfarkt, Schlaganfal und
Krebs. Das aktuerielle Modell für eine solche Dread Disease Versicherung kann durch ein
Markovmodell illustriert werden.
Abb.5.1: Markovmodell - Dread Disease
In der obigen Graphik steht a“für den aktiven Zustand, i“für den kranken Zustand
” ”
aufgrund einer Dread Disease, d(D)“für den Tod durch das Erleiden einer Dread Disease
”
Krankheit und d(O)“für den Tod durch einen anderen Grund.
”
Hierbei ist anzumerken, dass der plötzliche Tod durch eine Dread-Disease Krankheit durch
das Paar von Übergängen a → i und i → d(D) repräsentiert wird, das heißt, dass alle
Dread Disease Toten in den Zustand D(D) gehören. Desweiteren ist zu betrachten, dass
der Zustand i irreversibel ist. In der Praxis bedeutet das, dass die Deckung nach der Dia-
gnose und der Auszahlung der Versicherungssumme endet.
14Dread Disease Versicherung Sujung Kim
Die folgenden Intensitäten werden anhand des bereits beschriebenen Wahrscheinlichkeits-
modells definiert:
µai (y) = Intensität von a → i;
µad(O) (y) = Intensität von a → d(O);
µid(O) (y, u) = Intensität von i → d(O);
µid(D) (y, u) = Intensitt von i → d(D)
Es ist zu bemerken, dass µid(O) (y, u) und µid(D) (y, u) selektierte Übergangsintensitäten
sind. Es scheint logisch zu sein, dass wir annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit des Ab-
lebens für einen Dread Disease Erkrankten auch von der Dauer dieser Krankheit anhängt.
Obige Definitionen führen zu folgenden Wahrscheinlichkeiten:
Z t
aa
˜
t px = exp[− (µai (x + u) + µad(O) (x + u))du] (16)
0
Z τ
˜
ii
τ px+t,0 = exp[− (µid(O) (x + t + u, u) + µid(D) (x + t + u, u))du] (17)
0
In den obigen Gleichungen beschreibt x das Alter des Versicherungsnehmers zum Zeit-
punkt des Vertragschlusses.
Um ein wenig tiefer zu gehen, betrachten wir außerdem den Fall eines zusätzlichen Bene-
fits. Sei n die Vertragsdauer. Die Nettoeinmalprämie für eine einmalige Auszahlung von
1 Geldeinheit zum Zeitpunkt einer Dread Disease Diagnose ist gegeben durch
Z n
(DD)
Ax:n = (t paa ai t
x µ (x + t)v dt (18)
0
In Falle eines zus”tzlichen Zahlung, ist es wichtig, dass eine Situation einer Überzahlung
vermieden werden sollte, da eine solche eintritt, wenn der Tod während einer sehr kurzen
Periode nach der Dread Disease Diagnose eintritt. Eine Lösung wäre, dass die Einmal-
zahlung durch Teilzahlungen (zwei oder drei zum Beispiel) abhängig vom Überleben des
Versicherten erfolgt.14
14
Vgl. Pitacco E., Elsevier, 1995
15Dread Disease Versicherung Sujung Kim
Betrachten wir eine Dread Disease Deckung mit einer Versicherungssumme von 1 im Ge-
samten und eine Teilzahlung von drei Einheiten α, β und 1 − α − β im Alter von x + t
(DD Diagnose), x + t + τ 0 und x + t + tau0 + tau00 .
In diesem Fall sieht die Nettoeinmalprämie folgendermaßen aus:
Z n
(DD) t+τ 0 0 00
Ax:n = (t paa ai t ii
x µ (x + t)(αv + τ 0 px+t,0 βv + τ 0 +τ 00 piix+t,0 (1 − α − β)v t+τ +τ (19)
0
5.3 Ausblick - Statistik
Zuletzt betrachten wir noch einige Statistiken. Die Anzahl der Neuerkrankungen sowie die
der Todesfälle sind für die Kalkulation einer Dread Disease Versicherung ausschlaggebend.
Natürlich steigt einerseits das Angebot einer solchen Versicherung, je mehr Personen an
einer solchen Krankheit erleiden und sterben. Anhand der Statistiken werden alle Jahre
wieder die Modelle in den verschiedensten Versicherungen erneuert angepasst.
Eine solche Datenerhebung ist dementsprechend aufwändig und erfordert viel Arbeit. In
den unteren Graphiken sind die Anzahl an Neuerkrankungen pro Jahr in Deutschland
(Stand 2011) und die Todesfälle von 2012 abbgebildet. Hierbei wurden die repräsentanten
Krankheitsbilder Krebs, Herzinfarkt und Schlaganfall herangezogen. Die erste Graphik
wurde von Robert-Koch Institut veröffentlicht. Die Daten der zweiten Graphik stammen
vom Statstischen Bundesamt Deutschland. Es ist anzumerken, dass die Trennung der
Geschlechter von Bedeutung ist. Wie wohl aus den Abbildungen abzulesen ist, ist die
Anzahl der Kreberkrankten und der daraus folgenden Todesfälle am gröten. Vielleicht ist
es wichtig zu bemerken, dass es sich hierbei nur um Neuerkrankungen handelt und nicht
um Wiedererkrankungen.
16Dread Disease Versicherung Sujung Kim
Abb.5.2: Neuerkrankungen - Deutschland 2011
Abb.5.3: Todesrate DD - Deutschland 2012
17Dread Disease Versicherung Sujung Kim
6 Fazit
Die vorliegende Arbeit soll einen Überblick von einer Dread Disease Versicherung geben.
Es werden sowohl versicherungswirtschaftliche als auch mathematische Aspekte behan-
delt.
Eine Dread Disease Versicherung kann in verschiedenen Formen abgeschlossen werden.
Entweder als Zusatzversicherung mit vorgezogener oder zusätzlicher Leistung, oder als
eigenständige Versicherung. Bei dieser Versicherung kann das Angebot von den verschie-
denen Versicherungen sehr vielfältig sein. Deswegen ist es wichtig, dass vertraglich fest-
gelegt wird, welche Dread Disease Krankheiten die jeweilige Versicherung unter welchen
Bedingungen abdecken soll.
Eines der ausschlaggebendsten Punkte in dem sich eine Dread Disease Versicherung von
anderen Versicherungen unterscheidet, ist, dass sie die Versicherungssumme zum Zeit-
punkt der Diagnose ausbezahlt und nicht erst nach dem Erleben bzw. Ableben. Da sich
die Anzahl der Neuerkrankungen von typischen Dread Disease Versicherungen jährlich
verändern durch medizinische Fortschritte und auch andere Faktoren, müssen die Versi-
cherungsprodukte immer wieder passend geändert werden.
18Dread Disease Versicherung Sujung Kim
Literatur
[1] Dash, A. and Grimshaw, D.: Dread disease cover: An actuarial perspective Staple
Inn Actuarial Society, London, 1990
[2] Fritz, Margit G.: Die Dread-Disease-Lebensversicherung in sterreich : unter be-
sonderer Bercksichtigung des aktuellen Versicherungsangebots Diplomarbeit 1999
[3] Grozdanova, Gergana: Das Angebot der Dread Disease Lebensversicherungen in
sterreich Diplomarbeit 2005
[4] Pitacco, Ermanno: Actuarial models for pricing diability benefits: Towards a
unifying approach Elsevier, 1995
19Dread Disease Versicherung Sujung Kim
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 5.1: Markovmodell - Dread Disease
Abbildung 5.2: Neuerkrankungen - Deutschland 2011
Abbildung 5.3: Todesrate DD - Deutschland 2012
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