ITERATION - EINE FUNDAMENTALE IDEE DER MATHEMATIK UND INFORMATIK - Workshop 17 STIU 2020 5. Feb. 2020 - ABZ
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ITERATION – EINE FUNDAMENTALE IDEE DER MATHEMATIK UND INFORMATIK Workshop 17 STIU 2020 5. Feb. 2020
GLIEDERUNG WORKSHOP 1. Fundamentale Ideen und entdeckendes Lernen 2. Verhalten von Iterationen (Rekursion) 3. Optimierungsaufgaben (Approximation) 4. Beziehungen zwischen Mathematik und Informatik 5. Fraktale durch lineare Abbildungen 6. Ausblick 7. Übungsaufgaben (zur Auswahl) 10. Februar 2020
FUNDAMENTALE IDEEN Ko-konstruktivistische Lernprozesse (von guten Beispielen zum Verständnis abstrakter Muster und Strukturen) „This […] creates for the learner the possibility of concept attainment by orienting himself to a variety of phenomena, which benefits the building of formal mathematical concepts and structures and their application.” (Treffers 1987) Fortschreitende Schematisierung entlang fundamentaler Ideen (Krauthauen & Scherer 2007) „Zur Beherrschung der grundlegenden Kategorien eines Lehrfachs gehört nicht nur das Begreifen allgemeiner Prinzipien, sondern auch das Herausbilden einer Einstellung gegenüber Lernen und Forschen, Vermutungen und Ahnungen, sowie der Möglichkeit, Probleme aus eigener Kraft zu lösen.“ (Bruner 1970) 10. Februar 2020 3
ITERATION Eingabe „Iterationsmaschine“ Ausgabe 10. Februar 2020 4
ITERATION +1 = 2 +1 0 = 1 konstante Folge 0 < 1 Folge strebt gegen 0 0 > 1 Folge strebt gegen unendlich. Schmetterlingseffekt 10. Februar 2020 5
DER SCHWEINEZYKLUS Durch einen hohen Schweinepreis entschliessen sich viele Schweinezüchter zu vermehrtem Aufziehen von Tieren. Durch das hohe Angebot sinkt der Preis drastisch, was die Schweinezüchter dazu bringt, wieder weniger Tiere aufzuziehen. Das geringere Angebot führt einen höheren Preis nach sich. Der Preis schaukelt zwischen hoch und niedrig hin und her. Man kann sich aber auf den Schweinezyklus nicht verlassen, denn wenn man das könnte, würden die Schweinezüchter ihr Verhalten ändern. Dies würde den Zyklus zerstören. Mathematisches Modell Zustand / Anzahl / Menge zur Zeit t (0 < < 1 oder 0% < < 100%) r Kontrollparameter, Wachstumsfaktor, Proportionalitätsfaktor Annahmen für Modell +1 ~ Die Zunahme pro Zeiteinheit ist abhängig von der momentan vorhandenen Menge/Anzahl +1 ~1 − Die Zunahme pro Zeiteinheit ist abhängig von der Differenz zum Höchst- bzw. Idealwert +1 = 1 − 10. Februar 2020 6
LOGISTISCHES WACHSTUM +1 = 1 − +1 Untersuchen Sie das Verhalten dieser Iteration für 0 < < 4. Schreiben Sie dazu ein Programm. 10. Februar 2020 7
LOGISTISCHES WACHSTUM +1 = 1 − +1 10. Februar 2020 8
LOGISTISCHES WACHSTUM Feigenbaumdiagramm 10. Februar 2020 9
ITERATIONEN 10. Februar 2020 10
ZAHLENFOLGEN Berechnen Sie nach folgender Regel eine Folge von Brüchen: Starten Sie mit einem beliebigen positiven Bruch und erzeugen Sie eine Folge von Brüchen, indem Sie folgende induktive Rechenvorschrift anwenden: Zu dem Bruch wird 1 addiert und vom Ergebnis der Kehrwert gebildet. Zu diesen wird wiederum 1 addiert und erneut der Kehrwert gebildet usw. 4 4 9 5 5 14 9 Beispiel: 0 = 5 ; + 1 = 5 → 1 = 9 ; +1= → 2 = 14 . 5 9 9 1 +1 = +1 + 1 Rechnen Sie mit verschiedenen Startwerten. Was stellen Sie fest? Begründen Sie ihre Erkenntnisse. 10. Februar 2020 11
ZAHLENFOLGEN 10. Februar 2020 12
ZAHLENFOLGEN 1 Rekursionsformel (Zuordnungsvorschrift) +1 = als Funktion ausdrücken: +1 1 = +1 Die Iterationen streben für unterschiedliche Anfangswerte gegen den Fixpunkt ( / . Für die Berechnung des Fixpunktes wird die Gerade y=x mit der Hyperbel geschnitten: 1 10. Februar 2020 = +1 ; 2 + = 1 quadrat. Gleichung wie beim Goldenen Schnitt 13
OPTIMIERUNGSAUFGABE Eine Konservendose mit 1Liter Inhalt soll so hergestellt werden, dass möglichst wenig Material verbraucht wird. Wie hoch wird die Konservendose? 10. Februar 2020 15
HANDLUNGSASPEKTE IM LEHRPLAN 21 Operieren und Benennen • Zusammenhänge zum Rechnen nutzen • Grundlegende Formeln und Gesetze anwenden • Instrumente, Werkzeuge und Hilfsmittel sowie Messgeräte verwenden • Begriffe und Symbole deuten und verwenden Erforschen und Argumentieren • Vermutungen und Fragen formulieren • Sachverhalte, Darstellungen und Aussagen untersuchen • Ergebnisse beschreiben, überprüfen, hinterfragen, interpretieren und begründen • Muster entdecken, verändern, weiterführen, erfinden und begründen • Beweise führen Mathematisieren und Darstellen • Eine Situation vereinfachen und darstellen • Muster, Strukturen und Gesetzmässigkeiten erkennen und beschreiben • Handlungen, Bilder, Grafiken, Texte, Terme oder Tabellen in eine andere Darstellungsform übertragen • Mathematische Modelle, Lösungswege, Gedanken und Ergebnisse darstellen und interpretieren 10. Februar 2020 16
MATHEMATIK UND INFORMATIK • Strukturwissenschaften (Weizsäcker 1971) • Algorithmisches Denken „Computational thinking is a way humans solve problems; it is not trying to get humans to think like computers. Computers are dull and boring; humans are clever and imaginative. We humans make computers exciting.“ (Wing 2006) • Gemeinsame fundamentale Ideen (Algorithmus, Iteration, Stellenwertsysteme u.a.) • Konstruktive und kooperative Lernprozesse • Lehrplan 21 (interdisziplinäre Förderung der Informatik-Kompetenzen) Themendossier Mathematik und Informatik https://phgr.ch/media/390287/themendossier_dez_2019.pdf Projekt Algorithmisches Denken (Publikation in Vorbereitung) 10. Februar 2020 17
ALGORITHMISCHES DENKEN 10. Februar 2020 18
ALGORITHMISCHES DENKEN mathbuch 3+, S. 81 10. Februar 2020 19
FRAKTALE DURCH LINEARE ABBILDUNGEN: SIERPINSKIDREIECK Streckungszentren: A(0/0), B(1/0), C(0.5/√3/2) C Streckfaktoren: 1/2 10. Februar 2020 A 20 B
FRAKTALE DURCH LINEARE ABBILDUNGEN: SIERPINSKIDREIECK Figur 3 drei Streckungen +1 = = =1 Figur +1 10. Februar 2020 21
FRAKTALE DURCH LINEARE ABBILDUNGEN: SIERPINSKIDREIECK 10. Februar 2020 22
SIERPINSKITEPPICH Figur x Streckungen +1 = = =1 , x? Figur +1 10. Februar 2020 23
KONTRAKTIONSPRINZIP 10. Februar 2020 24
KONTRAKTIONSPRINZIP 10. Februar 2020 25
FRAKTALE DURCH LINEARE ABBILDUNGEN: FARN 10. Februar 2020 26
AUSBLICK Mandelbrotmenge, Juliamengen fraktale Kurven dynamische Systeme (chaotisches Verhalten) … Bestimmung von Nullstellen Lösen von Gleichungssystemen Numerische Integration … Simulationen (Wahrscheinlichkeit u.a.) 10. Februar 2020 27
ÜBUNGSAUFGABEN ZUR AUSWAHL https://www.dropbox.com/sh/591mddtcm2zqmf5/AAADGWG2BVfnNryxpOtdbIDma?dl=0 10. Februar 2020 28
LITERATUR Bruner, J. S. (1970): Der Prozeß der Erziehung. 2. Auflage. Berlin: Berlin-Verlag. Krauthausen, G.; Scherer, P. (2007): Einführung in die Mathematikdidaktik. 3. Auflage. Heidelberg: Springer Spektrum. Matter, B. (2017). Lernen in heterogenen Lerngruppen. Erprobung und Evaluation eines Konzepts für den jahrgangsgemischten Mathematikunterricht. Essener Beiträge zur Mathematikdidaktik. Wiesbaden: Springer Spektrum. Peitgen, H.; Jürgens, H.; Saupe, D. (1992): Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. New York: Springer. Treffers, A. (1987): Three Dimensions. A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Instruction – The Wiskobas Project. Dordrecht: Springer Netherlands. Diverse Lehrmittel Themendossier Mathematik und Informatik Lehrplan 21 10. Februar 2020 29
FRAGEN?
SIERPINSKITEPPICH 10. Februar 2020 31
LOGISTISCHES WACHSTUM +1 = 2 + +1 10. Februar 2020 32
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