QUANTEN-METROLOGIE: BEGABTENFÖRDERUNG AN HANDELSAKADEMIEN - JKU ePUB
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Eingereicht von Alexander Rauch Angefertigt am Institute for Theoretical Physics Beurteilerin Ass.-Prof.in Dr.in Helga Böhm QUANTEN- August 2022 METROLOGIE: BEGABTENFÖRDERUNG AN HANDELSAKADEMIEN Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Magister der Naturwissenschaften im Diplomstudium Lehramt UF Mathematik/ UF Physik JOHANNES KEPLER UNIVERSITÄT LINZ Altenberger Straße 69 4040 Linz, Österreich jku.at
Abstract Diese Diplomarbeit soll Schülern und Schülerinnen an Handelsakademien einen Einblick in die moderne Quantenmetrologie vermitteln, ein Forschungsteilgebiet der aktuell von der EU höchstdotierten „Flaggschiff-Technologien“. Da im Unterrichtsfach „Naturwissenschaften“ die Quantenmechanik nur oberflächlich behandelt wird, ist dies eine komplexe Herausforderung. Ihr wird durch eine detaillierte Ausarbeitung sowohl der Inhalte als auch konkreter Unterrichtssequenzen begegnet. Zuerst werden mit den Lernenden anhand des Photoeffekts und des Doppelspaltversuchs zentrale quantenmechanische Grundlagen erarbeitet. Diese submikroskopischen Effekte bewirkten einen Paradigmenwechsel bei Hochpräzisionsmessungen; das nächste Kapitel behandelt die darauf basierende und seit 2019 gültige Umdefinition des Internationalen Einheitensystems („SI“). Als konkretes Anwendungsbeispiel wird in dieser Arbeit die Neudefinition des Kilogramms über das Plancksche Wirkungsquantum gewählt. Dazu wird die Funktionsweise einer WATT-Waage, sowie zwei metrologisch hochwichtige quanten- mechanische Phänomene erklärt: der Josephson-Effekt und der Quanten-Hall-Effekt. Dies erfordert auch die Erweiterung von vorhandenem Schulwissen in den Bereichen Elektromagnetismus und Vektorrechnung. Diese Themen sind daher hier ebenfalls für die Schule aufbereitet. Diese Arbeit ist für den Förderunterricht von Begabten an Handelsakademien vorgesehen, kann jedoch auch für den Einsatz an anderen höheren Schulen adaptiert werden. 2
Danksagung Ich möchte mich an dieser Stelle bei allen Personen bedanken, die mich bei der Durchführung dieser Arbeit unterstützt haben. Mein herzlicher Dank gilt meiner Betreuerin Ass.-Prof.in Dr.in Helga Böhm für die fachliche persönliche Betreuung. Der größte Dank gilt meinen Eltern, die mir mein Studium durch finanzielle Unterstützung erst ermöglich haben und stets hinter mir gestanden sind. 3
Eidesstattliche Erklärung Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Masterarbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. 4
Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung und Motivation ............................................................................................ 8 1.1. Einbettung in den Lehrplan .................................................................................. 9 1.2. Auszüge aus dem Lehrplan: .............................................................................. 10 1.3. FET Flagship-Projekte ....................................................................................... 12 2. Vektorrechnung ........................................................................................................ 13 2.1. Motivation .......................................................................................................... 13 2.2. Wiederholung und Vertiefung ............................................................................ 13 2.2.1. Punkte im Koordinatensystem: ............................................................... 14 2.2.2. Ortsvektor ............................................................................................... 15 2.2.3. Was sind jetzt Vektoren? ........................................................................ 16 2.2.4. Betrag eines Vektors: ............................................................................. 17 2.2.5. Einheitsvektor: ........................................................................................ 17 2.2.6. Normalvektor .......................................................................................... 18 2.2.7. Skalarprodukt: ........................................................................................ 19 2.2.8. Linearkombination: ................................................................................. 19 2.2.9. Kreuzprodukt .......................................................................................... 20 3. Photoeffekt ............................................................................................................... 21 3.1. Motivation .......................................................................................................... 21 3.2. Gliederung ......................................................................................................... 21 3.3. Einstiegsversuch ............................................................................................... 22 3.3.1. Ziel des Versuchs ................................................................................... 22 3.3.2. Aufbau/ Durchführung:............................................................................ 22 3.3.3. Beobachtungen: ..................................................................................... 22 3.3.4. Schlussfolgerung: ................................................................................... 23 3.4. Apparatur zur Untersuchung des Photoeffekts .................................................. 24 3.5. Physikalische Erklärung/ Deutung ..................................................................... 28 3.5.1. Photonenimpuls ...................................................................................... 30 4. Doppelspaltversuch .................................................................................................. 31 4.1. Motivation .......................................................................................................... 31 4.2. Gliederung:........................................................................................................ 31 4.3. Einstiegsversuch ............................................................................................... 32 4.3.1. Durchführung: ......................................................................................... 32 4.3.2. physikalische Erklärung: ......................................................................... 32 5
4.4. Doppelspaltexperiment mit einzelnen Teilchen .................................................. 33 4.4.1. Motivation: .............................................................................................. 33 4.4.2. Simulationsprogramm ............................................................................. 33 4.4.3. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/ Angabe ....... 35 4.4.4. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/ Lösung ........ 36 4.5. Zusammenfassung/Wesenszüge der Quantenquantenmechanik: ..................... 40 4.6. Formalismus und Wellenfunktion ....................................................................... 41 4.6.1. Wahrscheinlichkeitsdichte:...................................................................... 41 4.6.2. Wellenfunktion ........................................................................................ 42 4.6.3. (quantenmechanische) Zustände............................................................ 42 4.6.4. Dirac-Notation oder Bra-Ket-Notation ..................................................... 43 4.7. Superpositionsprinzip ........................................................................................ 44 4.8. Zwei-Zustand-System........................................................................................ 46 4.8.1. Messwahrscheinlichkeit .......................................................................... 46 4.9. Materiewellen .................................................................................................... 47 4.10. Unschärferelation ................................................................................... 48 5. Metrologie ................................................................................................................. 49 5.1. Motivation .......................................................................................................... 49 5.2. SI-Einheiten ....................................................................................................... 50 5.2.1. Definition der Basiseinheiten bis 2019 .................................................... 50 5.3. Neudefinition 2019............................................................................................. 52 6. Josephson-Effekt ...................................................................................................... 55 6.1. Josephson-Kontakt ............................................................................................ 55 6.2. quantisierte Spannungswerte ............................................................................ 56 7. Quanten-Hall Effekt .................................................................................................. 57 7.1. Motivation .......................................................................................................... 57 7.2. Gliederung ......................................................................................................... 57 7.3. Elektrisch geladenes Teilchen im Magnetfeld .................................................... 58 7.4. Hall Effekt .......................................................................................................... 60 7.4.1. Herleitung der Hall-Spannung: ................................................................ 63 7.4.1.1. Exkurs: Elektrischer Strom ....................................................... 65 7.5. Quanten-Hall-Effekt ........................................................................................... 66 7.5.1. Klitzing-Konstante ................................................................................... 67 8. WATT-Waage ........................................................................................................... 68 8.1. Motivation .......................................................................................................... 68 6
8.2. Gliederung ......................................................................................................... 68 8.3. Grundprinzip einer WATT-Waage...................................................................... 69 8.3.1. Exkurs: Grundprinzip einer „normalen“ Balkenwaage ............................. 69 8.4. schematischer Aufbau: ...................................................................................... 71 8.5. statischer Modus ............................................................................................... 72 8.6. bewegter Modus ................................................................................................ 73 8.7. Festlegung des Kilogramms über die Plank-Konstante ...................................... 74 9. Zusammenfassung/ Fazit: ......................................................................................... 75 10. Literaturverzeichnis ................................................................................................... 76 11. Abbildungsverzeichnis: ............................................................................................. 78 7
1. Einleitung und Motivation In meiner Tätigkeit als Lehrer an einer österreichischen Handelsakademie bespreche und diskutiere ich mit meinen Schüler:innen gerne aktuelle Ereignisse und Entwicklungen. Dabei vermisse ich jedoch auf „cutting-edge“-Technologien und im Speziellen auf Quantenmechanik genauer einzugehen. Natürlich sind die heutigen Spitzentechnologien derart fortgeschritten, dass Personen des gehobenen Managements die zugrunde liegenden Details größtenteils gar nicht verstehen können. Aber in Unternehmen, die massiv in neue Quantentechnologien investieren, ist ein Basiswissen über diese, der Intuition widersprechenden, Theorie von Vorteil. Im Zuge einer Begabtenförderung sollen daher die Schüler:innen zuerst in das weite Gebiet der Quantenmechanik so eingeführt werden, dass sie einige der wichtigsten Wesenszüge vermittelt bekommen. Als Grundlage werden dazu in dieser Arbeit vor allem zwei Versuche erörtert: Der Photoeffekt, da er einerseits historisch von zentraler Bedeutung ist und andererseits, da er unser physikalisches Verständnis von Licht massiv beeinflusst hat. Meine zweite Wahl ist das Doppelspalt-Experiment, von dem Richard Feynman sagte es sei “[...] absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality, it contains the only mystery.” (Rodgers, 2002, [1]) Dieses „Orientierungswissen“ legt die nötige Basis zur Behandlung aktueller technologischer Entwicklungen. Unter deren Vielzahl fördert die EU derzeit vier Schwerpunkte: Kommunikation, Quantencomputer, Simulation, sowie Sensorik/ Metrologie. Die Ersteren können auch im Mathematik- und/ oder Informatikunterricht behandelt werden. Aus diesem Grund habe ich mich hier für die Metrologie, also das besonders genaue Messen entschieden. Als Anwendungsfokus legt diese Arbeit dabei den Fokus auf die seit 2019 neuen SI- Einheiten. und auf das Funktionsprinzip der sogenannten WATT-Waage. Dazu benötigen die Schüler:Innen auch Kenntnisse im Bereich Elektromagnetismus, die daher hier ebenfalls erklärt werden. Für die Jugendlichen soll letztendlich der Prozess der Neudefinition des Kilogramms auf Basis quantenmechanischer Konstanten klar werden. Obwohl der Fokus dieser Arbeit prinzipiell darauf liegt, Schüler:innen an Handelsakademien für Technik zu begeistern, ist sie so gestaltet, dass sie ohne Weiteres auch als Basis für den Unterricht an Höheren Technischen Schulen, Oberstufengymnasien und Allgemeinbildenden Höheren Schulen verwendet werden kann. 8
1.1. Einbettung in den Lehrplan Die Physik an einer Handelsakademie findet im Zuge des Unterrichtfachs „Naturwissenschaften“ statt. In diesem Fach wird sowohl Biologie, Physik und Chemie unterrichtet. In Laufe der HAK-Laufbahn sind 10 Wochenstunden in den ersten vier Jahren vorgesehen. Der Lehrplan gestaltet sich sehr umfangreich. Im ersten Jahr werden aus allen drei Fächern die Arbeitsweise und Methodik in den Naturwissenschaften behandelt, sowie wichtige Grundbegriffe wiederholt. Dies umfasst unter anderem Energie, Kräfte und den elektrischen Stromkreis. In den nächsten drei Semester liegt der Fokus auf Chemie und Biologie. Im sechsten Semester werden die Bereiche Mechanik, Energie sowie der Mirko- und der Makrokosmus behandelt. Im siebten Semester sind die Themengebiete Elektrizität und Magnetismus, sowie Schwingungen und Wellen vorgesehen. Leider sieht der Lehrplan keine Quantenmechanik vor – mit Ausnahme der Erklärung einiger Phänomene des Mikrokosmos im siebten Semester, wo die Quantenmechanik etwas gestreift wird. Aktuelle Schlagzeilen in den Medien bewirken jedoch häufig Fragen naturwissenschaftlich interessierter Schüler:Innen. Daher ist meine Arbeit dazu vorgesehen, diesen einen entsprechenden Förderunterricht bieten zu können. Die Zielgruppe der Leser:innen besteht also einerseits aus den Schüler:innen der höheren Semester der österreichischen Handelsakademien, und andererseits aus ihren Physiklehrkräften, die einige der hier behandelten Aspekte nie gelernt haben. Zusätzlich passt die folgende Arbeit auch sehr gut in die allgemeinen didaktischen Grundsätze des Unterrichtsfachs Physik. 9
1.2. Auszüge aus dem Lehrplan: Allgemein steht im Lehrplan: ❖ “Dabei soll dem Lernen durch methodische Anschaulichkeit über Experimente, Übungen, Projekte und andere praxisorientierte Umsetzungen Rechnung getragen werden.“ (BMBWF 2022, [2]) Im Hinblick auf diesen Bildungsauftrag kann diese Arbeit vor allem als Projekt angesehen werden. Ziel des Projekts ist es, sich genügend Wissen anzueignen, um einige wichtige Phänomene der Quantenmechanik und die Funktionsweise einer WATT-Waage zu verstehen. ❖ “Die Beziehung zur Mathematik ist innerhalb des Clusters insofern herzustellen, als in der Mathematik erlernte Methoden in den Naturwissenschaften zur Anwendung kommen, und naturwissenschaftliches Wissen aufgebaut wird, das zur Lösung mathematischer Problemstellungen verwendet werden kann.“ (BMBWF, 2022, [2]) In den ersten Jahren an Handelsakademien sieht der Gesetzgeber für Handelsakademien in Mathematik zwei Wochenstunden vor. In vielen Handelsakademien wird dabei in Mathematik klarerweise der Anwendungsfokus auf wirtschaftliche Anwendungen gelegt. Aber auch die hier anschließenden Themen werden mathematisch aufgearbeitet und bieten eine gute Möglichkeit, erlernte Methoden aus dem Mathematikunterricht im Bereich der Physik anzuwenden. Zusätzlich werden einzelne mathematische Methoden, wie zum Beispiel die Vektorrechnung wiederholt und vertieft. ❖ “Das naturwissenschaftliche Arbeiten soll den Schülerinnen und Schülern eine Betrachtung der Welt in analytischer und rationaler Weise ermöglichen. Naturwissenschaftliche Grundbildung soll des Weiteren zu einer Orientierung in naturwissenschaftlichen, technischen Berufsfeldern und Studienrichtungen befähigen und gleichzeitig die Grundlage für lebenslanges Lernen in diesem Bereich legen. (BMBWF, 2022, [2]) Dieser Punkt ist für mich der Wichtigste. Diese Arbeit soll einen grundlegenden Eindruck über die Quantenmechanik schaffen. Vielleicht bewegt der Förderkurs einige SchülerInnen nach der HAK im weiteren Bildungsweg in Richtung Technik zu gehen. Zusätzlich soll ein konkretes, aktuelles Forschungsgebiet vorgestellt werden, das derzeit massiv von der EU gefördert wird. Der Schultyp Handelsakademie legt natürlich nicht den Fokus auf die technische Ausbildung. Als allgemeines Bildungsziel soll die Handelsakademie für alle Zweige der Wirtschaft vorbereiten. ❖ “Von zentraler Bedeutung ist eine umfassende Entrepreneurship Education, die die Schülerinnen und Schüler befähigt, als Unternehmerin und Unternehmer, Arbeitnehmerin und Arbeitnehmer, Konsumentin und Konsument aktiv und verantwortungsbewusst zu agieren und damit Wirtschaft und Gesellschaft mitzugestalten.“ (BMBWF, 2022, [2]) 10
Im zukünftigen Berufsleben kann eine erste Begegnung mit komplexeren physikalischen Themen sicherlich von Vorteil sein. Es ist durchaus möglich, dass die SchülerInnen in einem Unternehmen berufstätig sind, das sich mit Technologien und Innovationen beschäftigt. Dazu im nächsten Kapitel ein Überblick über die aktuellen „EU-Flagship-Projects“. 11
1.3. FET Flagship-Projekte FET steht für Future and Emerging Technologies, also neue und zukünftige Technologien. Die Europäische Union fördert dabei ambitionierte, wissenschaftliche Forschungsprojekt über langfristige Zeiträume. Zukunftstechnologien und Innovationen sollen dabei mittels wissenschaftlicher Kooperationen vorangetrieben werden. Die aktuellen Flagships sind Battery 2030+, Graphene Flagship, Human Brain Project Flagship und Quantum Technologies Flagship. Diese Projekte werden jeweils mit über eine Milliarde Euro über 10 Jahre gefördert. Im Quantenbereich sollen Sensoren, Computer, Simulatoren und weitere Anwendungen von der Forschung bis hin zur Marktreife vorangetrieben werden. Aus diesem Grund werden nicht nur ForscherInnen sowie TechnikerInnen, sondern auch Leute aus der Wirtschaft, Marketing und Recht benötigt. Aus diesem Grund möchte ich den Absolvent:innen auf den folgenden Seiten einen ersten Einblick in die Quantenwelt liefern. Erste Berührungspunkte mit Quanten können helfen, wenn sie in Zukunft in einem Unternehmen aus diesem Bereich berufstätig sind. Allgemein sollen die Schüler:innen die Herausforderung annehmen, komplexe Themen und Zusammenhänge zu verstehen und anzuwenden. 12
2. Vektorrechnung 2.1. Motivation Ziel dieses Kapitels ist, grundlegendes mathematische Wissen aus dem Bereich Vektorrechnung, zu wiederholen und zu vertiefen. Der Fokus dabei liegt auf der Konkretisierung des Vektorbegriffs. Die einzelnen Rechenoperationen werden nicht nochmals wiederholt und können in den Schulbüchern der zweiten Klasse Handelsakademie nachgelesen werden. 2.2. Wiederholung und Vertiefung Auf den nächsten Seiten werden wichtige Begriffe und Definitionen wiederholt und vertieft. 13
2.2.1. Punkte im Koordinatensystem: Jeder Punkt ist durch seine Koordinaten eindeutig festgelegt. Im 2-dimensionale Raum ℝ2 werden Punkte als Zahlenpaar, im 3-dimensionalen Raum ℝ3 als Zahlentripel, dargestellt Ein beliebiger Punkt in der Ebene besitzt die Koordinaten ( | ). Diese Koordinaten geben den Abstand vom Koordinatenursprung mit den Koordinaten (0|0) an. Die erste Komponente gibt den Abstand entlang der x-Richtung an, die zweite Komponente entlang der y-Richtung. Abbildung 2.1: Koordinaten Quelle: eigene Darstellung In Abbildung 2.1: Koordinaten sind x- und die y-Komponente der Koordinaten eingezeichnet. Im konkreten Fall besitzt der Punkt die Koordinaten (4|3). Koordinaten im ℝ3 besitzen noch eine z-Komponente. 14
2.2.2. Ortsvektor Die Darstellung von Vektoren erfolgt mit Pfeilen. Jeder Punkt im Koordinatensystem kann als sogenannter Ortsvektor interpretiert werden. Der Startpunkt liegt im Koordinatenursprung und der Endpunkt des Pfeils zeigt auf den Punkt . Der Ort des Punkts kann durch den Ortsvektor ̅̅̅̅ ⃗ = (2.1) ̅̅̅̅ bezeichnet die gerichtete Stecke zwischen dem Ursprung und dem dargestellt werden. Punkt A. Abbildung 2.2: Ortsvektor Quelle: eigene Darstellung In Abbildung 2.2 ist der Ortsvektor ⃗ eingezeichnet. Der Ortsvektor ⃗ wird im konkreten Fall als Zahlenpaar (4|3) geschrieben. 15
2.2.3. Was sind jetzt Vektoren? Die geometrische Interpretation der Vektoren als Pfeile ist dazu hilfreich. Ein Pfeil hat eine bestimmte Länge, Richtung und Orientierung. Wir können Vektoren nicht nur als Ortsvektoren einzeichnen. Ein Vektor, dargestellt als Pfeil, kann beliebig im Koordinatensystem verschoben werden. Definition: Ein Vektor bezeichnet die Menge aller Pfeile, die gleich-lang, gleich-gerichtet und gleich- orientiert sind. Abbildung 2.3: Vektoren Quelle: eigene Darstellung Der Vektor ⃗ ist somit äquivalent mit den Vektoren ⃗⃗ und ⃗. Alle drei repräsentieren den gleichen Vektor (4|3). Ein Vektor im ℝ2 ist also ebenfalls ein Zahlenpaar ( | ), wobei zuerst die x-Koordinate und dann die y-Koordinate angegeben wird. 16
2.2.4. Betrag eines Vektors: Der Betrag eines Vektors ⃗ = ( | ) ist gegeben durch: | ⃗ | = √ 2 + 2 (2.2) Der Betrag berechnet die Länge eines Vektors. Der Vektor (4|3) hat zum Beispiel die Länge 5. 2.2.5. Einheitsvektor: Ein Vektor der Länge 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet. Ein zum Vektor ⃗ zugehöriger Einheitsvektor ⃗0 ist gegeben durch: ⃗ (2.3) ⃗0 = | ⃗ | Abbildung 2.4 Einheitsvektor ⃗0 Quelle: eigene Darstellung Zur Berechnung des Einheitsvektors ⃗0 vom Vektor ⃗ = (4|3) dividieren wir beide Komponenten durch 5 (Betrag von ⃗). Daraus erhalten wir für ⃗0 = (0,8|0,6). Zur Probe kann überprüft werden, ob der Einheitsvektor die Länge 1 besitzt. 17
2.2.6. Normalvektor Ein Vektor ⃗ , der auf einen gegebenen Vektor ⃗ normal steht, heißt Normalvektor zu ⃗. Im ℝ2 gibt es zu jedem Vektor ⃗ = ( | ) zwei Normalvektoren: ⃗ ,1 = (− | ) ⃗ ,1 = ( |− ) (2.4) Abbildung 2.5: Normalvektor Quelle: eigene Darstellung Für den Vektor ⃗ = (4|3) erhalten wir die beiden Normalvektoren ⃗ ,1 = (−3|4) und ⃗ ,1 = (3|−4) Im ℝ3 gibt es zu jedem Vektor unendlich viele Normalvektoren. 18
2.2.7. Skalarprodukt: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ∈ ℝ2 ist definiert durch: ⃗ ∙ ⃗⃗ = ( ) ∙ ( ) = ( ) ∙ ( ) = + (2.5) Die beiden Vektoren werden komponentenweise miteinander multipliziert. Man kann die Gleichung (2.5) auch als Rechenregel „Zeile mal Spalte“ betrachten und das Skalarprodukt im ℝ3 analog bestimmen. Aus der Gleichung (2.4) folgt, dass das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren gleich 0 ist. 2.2.8. Linearkombination: Der Vektor ⃗ ∈ ℝ2 heißt Linearkombination der Vektoren ⃗ und ⃗⃗, wenn es reelle Zahlen 1 und 2 gibt, sodass gilt: ⃗ = 1 ⃗ + 2 ⃗⃗ (2.6) 19
2.2.9. Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt oder vektorielle Produkt ⃗ ∈ ℝ3 zweier Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ∈ ℝ3 ist gegeben durch: − ⃗ = ⃗ × ⃗⃗ = ( ) × ( ) = (−( − ) ) (2.7) − Das Kreuzprodukt ordnet der von den Vektoren ⃗ und ⃗⃗ aufgespannten Ebene einen Normalvektor zu. Dies ist anschaulich in Abbildung 2.6 dargestellt. Abbildung 2.6: Kreuzprodukt Quelle: https://www.grund-wissen.de/mathematik/lineare-algebra-und-analytische- geometrie/vektoren.html (Grotz, 2018, [3]) Das Kreuzprodukt ordnet jeder Ebene die durch zwei Vektoren aufgespannt wird, eindeutig einen Normalvektor zu. Dabei gilt für zwei Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ∈ ℝ3 ⃗ × ⃗⃗ = − ⃗⃗⃗⃗ × ⃗ Die Reihenfolge bewirkt also die Umkehrung der Orientierung des Normalvektors. In Abbildung 2.6 wäre somit der Vektor ⃗⃗⃗⃗ × ⃗ nach unten orientiert. Um die Orientierung zu ermitteln, wird in der Physik die „Rechte-Hand-Regel“ verwendet. Dies werden wir uns Kapitel 7.3. am Beispiel der Lorentzkraft ansehen. 20
3. Photoeffekt 3.1. Motivation Als erster Berührungspunkt mit dem Themengebiet der Quantenmechanik dient der Photoeffekt. Ziel dieses Kapitels ist, die Teilchennatur des Lichts kennenzulernen. Der Photoeffekt tritt bei Wechselwirkungen von Licht mit Materie auf und war historisch eines derjenigen Phänomene, die wesentlich zur Entwicklung der Quantenmechanik beitrugen. 3.2. Gliederung 1. Einstiegsversuch 2. Apparatur zur Untersuchung des Photoeffekts 3. Physikalische Erklärung/ Deutung 21
3.3. Einstiegsversuch 3.3.1. Ziel des Versuchs Der Versuch ist als Demonstrationsversuch geplant und soll den Einstieg ins Themengebiet des Photoeffekts erleichtern. Der Versuch, bekannt unter dem Namen Hallwachs-Effekt, zeigt die Entladung einer negativ geladenen Zinkplatte durch Beleuchtung. 3.3.2. Aufbau/ Durchführung: Eine negativ, beziehungsweise positiv aufgeladene Zinkplatte ist mit einem Elektroskop verbunden. Die Zinkplatte wird mit einer Quecksilberdampflampe bestrahlt. Als Alternative zur Quecksilberdampflampe kann auch eine UV-Lampe verwendet werden. Abbildung 3.1: Versuchsaufbau und Durchführung Quelle: https://expvorl.physik.uni-muenchen.de/versuche_optik/quantenoptik/hallwachseffekt/index.html (aus dem Video auf der LMU-Webseite (2022, [4]) erstellt) Ich empfehle das etwa drei Minuten lange Video der LMU-München (2022, [4]) herzuzeigen. Hier kann schön beobachtet werden, wie der Ausschlag im Elektroskop im mittleren Bild von Abbildung 3.1 nach unten geht, rechts und links aber oben bleibt. 3.3.3. Beobachtungen: Die Bestrahlung der positiv geladenen Platte, bewirkt keine Ladungsänderung. (Abbildung 3.1 links) Die Bestrahlung der negative, geladenen Platte bewirkt eine kontinuierliche Entladung. (Abbildung 3.1 Mitte) Daraus folgt, dass Elektronen aus der Oberfläche der Zinkplatte herausgelöst werden. Als Vergleich empfiehlt sich, den Versuch auch mit einer normalen Lampe (mit möglichst gleicher oder höherer Leistung) durchzuführen. Unabhängig von der Leistung beobachtet man keine Entladung. Fügt man vor der Zinkplatte eine Glasplatte als Filter hinzu, kann keine Entladung beobachtet werden. (Abbildung 3.1 rechts) Die Glasplatte lässt kurzwelliges, hochenergetisches Licht nicht durch (sie „filtert“ diese heraus; die Schüler:innen kennen das davon, dass man hinter einem Fenster keinen Sonnenbrand bekommt). Gerade die hochenergetische Strahlung wird aber benötigt, um die Elektronen aus der Zinkplatte herauszuschlagen. 22
3.3.4. Schlussfolgerung: Kurzwelliges Licht „schlägt“ also sozusagen Elektronen aus der Zinkplatte heraus (Abbildung 3.2). Die Lichtintensität hat dabei keinen Einfluss darauf, ob Elektronen aus der Oberfläche gelöst werden. Abbildung 3.2: Herauslösen von Elektronen Quelle: http://ibe.physik.rwth-aachen.de/build-MTL11_PHO/index.html (IA Aachen, 2020, [5]) 23
3.4. Apparatur zur Untersuchung des Photoeffekts Nach diesem Einstiegsversuch soll der Photoeffekt mit der unten dargestellten Apparatur (Abbildung 3.3) behandelt werden. Einfallendes Licht mit einer Frequenz trifft auf die Kathode C und löst Elektronen aus. Die Kathode und Anode befinden sich in einer Vakuumkammer. Mit der Batterie kann eine veränderliche Spannung zwischen der Kathode und Anode angelegt werden. Über die Stromstärke am Amperemeter kann die Anzahl der Elektronen, die pro Zeiteinheit auf die Anode treffen, bestimmt werden. Abbildung 3.3: Untersuchung des photoelektrischen Effekts Quelle: Tipler (2012, S.1180, [6]) Die SchülerInnen sollen nach der grundlegenden Erklärung der Apparatur das Arbeitsblatt 1 in kleinen Gruppen durcharbeiten und lösen. Ziel ist es, grundlegende Aussagen und Zusammenhänge zu erarbeiten. 24
Arbeitsblatt 1: Photoeffekt/ Angabe Versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten. Öffnen Sie dazu folgende Simulation: https://phet.colorado.edu/de/simulations/photoelectric (LeMaster, 2022,[10]) 1 1. Verändern Sie ohne angelegte Spannung die Wellenlänge und die Intensität des Lichts. Treffen Sie Aussagen über die Zusammenhänge von Lichtintensität, Wellenlänge, Geschwindigkeit der einzelnen Elektronen und Elektronenanzahl (Stromstärke). 2. Ändern Sie das Material der Kathode. Welche Unterschiede hinsichtlich der Elektrongeschwindigkeit und Stromstäke können zwischen Natrium, Zink, Kupfer, Platin und Calcium beobachtet werden? 3. Bestimmen Sie für alle Materialen die Grenzwellenlänge für das Herauslösen von Elektronen. Berechnen Sie mit = / die jeweiligen Grenzfrequenzen. ( = 3 ∙ 108 / ) Material Grenzwellenlänge in nm Grenzfrequenz in 1015 Hz Platin Kupfer Zink Calcium Natrium Tabelle 1: Grenzwellenlängen und Grenzfrequenzen 4. Erstellen Sie einen Graphen der maximalen kinetischen Energie der Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz. Beschriften Sie den Graphen vollständig und exakt. Zeichnen Sie die Grenzfrequenzen ein und skizzieren Sie den Verlauf für alle Materialien. Aktivieren Sie dazu das Diagramm „Elektronenenergie gegen Frequenz“. 5) Legen Sie eine Spannung an, die der Bewegung der Elektronen entgegenwirkt. Welche Änderungen können Sie beobachten? 6) Aktivieren Sie den Button „nur energiereichste Elektronen“. Stellen Sie als Material Natrium ein. Bestimmen Sie für mindestens drei verschiedene Wellenlängen die Gegenspannung, sodass gerade kein Strom fließt. Gegenspannung in Wellenlänge in Tabelle 2: Gegenspannung und Wellenlänge 1 Der Start der Simulation kann etwas Zeit in Anspruch nehmen. 25
Arbeitsblatt 1: Photoeffekt/ Lösung: Versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten. Öffnen Sie dazu folgende Simulation: https://phet.colorado.edu/de/simulations/photoelectric 1. Verändern Sie ohne angelegte Spannung die Wellenlänge und die Intensität des Lichts. Treffen Sie Aussagen über die Zusammenhänge von Lichtintensität, Wellenlänge, Geschwindigkeit der einzelnen Elektronen und Elektronenanzahl (Stromstärke). Die Geschwindigkeit der einzelnen Elektronen fällt im Durchschnitt 2 mit größeren Wellenlängen. Die Elektronenanzahl, gemessen über die Stromstärke, steigt mit der Lichtintensität. Die Elektronengeschwindigkeit ist 2. Ändern Sie das Material der Kathode. Welche Unterschiede hinsichtlich der Elektrongeschwindigkeit und Stromstäke können zwischen Natrium, Zink, Kupfer, Platin und Calcium beobachtet werden? Die verschiedenen Materialien unterscheiden sich hinsichtlich der Elektronengeschwindigkeit und Stromstärke. Wir beobachten, dass mit einer größeren, gemessenen Stromstärke auch die durchschnittliche Geschwindigkeit steigt. Reihenfolge langsam → schnell: Platin → Kupfer → Zink → Calcium → Natrium 3. Bestimmen Sie für alle Materialen die Grenzwellenlänge für das Herauslösen von Elektronen. Berechnen Sie mit = / die jeweiligen Grenzfrequenzen. ( = 3 ∙ 108 / ) Material Grenzwellenlänge in nm Grenzfrequenz in 1015 Hz Platin 186 1,61 Kupfer 247 1,21 Zink 269 1,12 Calcium 392 0,77 Natrium 489 0,63 Tabelle 3: Grenzwellenlängen und Grenzfrequenzen 2 Nicht alle Elektronen verlassen die Kathode mit der maximal möglichen Geschwindigkeit (Stoßprozesse). Daher sprechen wir auf diesen Übungszettel immer von mittleren Geschwindigkeiten, auch wenn dies nicht immer explizit erwähnt wird. Gegebenenfalls kann der Button „Nur energiereichste Elektronen“ aktiviert werden. 26
4. Erstellen Sie einen Graphen der maximalen kinetischen Energie der Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz. Beschriften Sie den Graphen vollständig und exakt. Zeichnen Sie die Grenzfrequenzen ein und skizzieren Sie den Verlauf für alle Materialien. Aktivieren Sie dazu das Diagramm „Elektronenenergie gegen Frequenz“. Abbildung 3.4: maximale kinetische Energien der verschiedenen Materialien Quelle: eigene Darstellung 5) Legen Sie eine Spannung an, die der Bewegung der Elektronen entgegenwirkt. Welche Änderungen können Sie beobachten? Das elektrische Feld zwischen beiden Platten wirkt der Bewegung der Elektronen entgegen. Um die rechte Platte „zu erreichen“ benötigen diese daher eine größere kinetische Energie. Dies hat zu Folge, dass elektrischer Strom im Vergleich zu Aufgabe 3 erst bei kleineren Wellenlängen gemessen wird. 6) Aktivieren Sie den Button „nur energiereichste Elektronen“. Stellen Sie als Material Natrium ein. Bestimmen Sie für mindestens drei verschiedene Wellenlängen die Gegenspannung, sodass gerade kein Strom fließt. Gegenspannung in 8 6 4 2 Wellenlänge in 120 149 196 Tabelle 4: Gegenspannung und Wellenlänge 27
3.5. Physikalische Erklärung/ Deutung Die Erwartung, dass die Elektronenenergie mit der Intensität des Lichtes steigt, tritt nicht ein. Die Energie der herausgelösten Elektronen ist nur abhängig von der Frequenz des Lichtes. Unser bisheriges Bild vom Licht als Welle kann diese Beobachtung nicht erklären. In der klassischen Physik ist nämlich die Energie einer elektromagnetischen Welle proportional zu ihrer Intensität. (Auch das kennen wir vom Sonnenbrand: an wolkigen Tagen ist die Gefahr geringer.) Wir benötigen ein neues Modell. Wir stellen uns bei diesem das Licht in Energieportionen, genannt „Lichtquanten“ oder „Photonen n“, vor. Im Jahr 1921 wurde Einstein für die diese Erklärung des Photoeffekts der Nobelpreis verliehen. Er stellte das Postulat auf, dass Licht quantisiert ist. 3 Licht kann man sich also als die Summe vieler einzelner Photonen vorstellen. Jedes von ihnen besitzt eine Energie , die nur von der Wellenlänge abhängig ist. Die Einsteinsche Gleichung für die Photonenenergie lautet ℎ =ℎ = (3.1) wobei das Plancksche Wirkungsquantum ℎ eine sehr kleine Konstante ist. Der Wert des Planck’schen Wirkungsquantums ℎ kann experimentell sehr exakt ermittelt werden: ℎ ≈ 6,6 ∙ 10−34 ∙ = 4,136 ∙ 10−15 ∙ (3.2) Mit der Formel (3.1) kann die Photonenenergie für verschiedene Wellenlängen berechnet werden. Wie können jetzt die vorherigen Versuche erklärt werden? Treffen die Photonen auf die Metalloberfläche können die Photonen von Elektronen absorbiert werden. Mit der Energie ℎ des Photons kann das Elektron das Metall verlassen. Die Intensität hat nur Einfluss auf die Anzahl der herausgelösten Elektronen, weil bei höherer Intensität die Anzahl der Photonen pro Zeiteinheit und Fläche steigt. Die kinetische Energie eines herausgelösten Elektrons wird dabei mit der photoelektrischen Gleichung beschrieben = ℎ − (3.3) , wobei die sogenannte Ablösearbeit ist. Im Allgemein muss ein Elektron die materialabhängige Ablösearbeit erbringen, um die elektrischen Kräfte innerhalb der Metallplatte zu überwinden. 3 Inzwischen weiß man, dass zur Erklärung der Experimente auch klassische elektromagnetische Wellen und eine Quantisierung der Energieniveaus nur in der Materie ausgereicht hätten. Einsteins Schlussfolgerung war also nicht zwingend nötig. 28
Anmerkung: Die Formel (3.3) ist nicht ganz korrekt. Hier wurden die Stöße zwischen Elektronen im Material vernachlässigt. Daher gibt (3.3) die maximale Energie der herausgelösten Photonen an. Aus der photoelektrischen Gleichung ergibt sich eine lineare Abhängigkeit zwischen der maximalen kinetischen Energie eines herausgelösten Elektrons und der Frequenz. Experimentell konnte dieser Zusammenhang von R. A. Mililkan nachgewiesen werden. Abbildung 3.5 zeigt die Messwerte von Millikan für die maximale kinetische Energie der Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz. Abbildung 3.5: kinetische Energie der Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz Quelle: Tipler (2022, S. 1182, [6]) Wie auch bei den Versuchen und Simulationen beobachtet, kann der Photoeffekt nur ab einer Grenzfrequenz beobachtet werden. Wir werden statt weiterhin verwenden. In der Literatur sind beide Notationen zu finden. Interpretation: Wenn die von einem Elektron absorbierte Energie ℎ kleiner ist als die Ablösearbeit , bleibt das Elektron im Metall. Dies ist der Fall unter einer materialabhängigen Grenzfrequenz . Verständnisfrage: Welche Steigung besitzt die Gerade in Abbildung 3.5? Ordne die untersuchten Materialien beginnend mit der kleinsten Ablösearbeit. 29
3.5.1. Photonenimpuls Der Photoeffekt wird mit dem Teilchencharakter von Photonen erklärt. 1916 postulierte Einstein zusätzlich den Impuls für ein Photon: ℎ ℎ (3.4) = = Bei Wechselwirkungen zwischen Photonen und Elektronen werden Impuls und Energie übertragen. Eine ähnliche Relation gilt auch für Teilchen mit Masse: siehe Kapitel 4.9. „Materiewellen“. 30
4. Doppelspaltversuch 4.1. Motivation Mit Hilfe des Doppelspaltversuchs soll der sogenannte „Welle-Teilchen-Dualismus“4 erklärt werden. Zuerst wird kurz das Interferenzmuster einer elektromagnetischen Welle mit Hilfe des Huygensschen Prinzips erklärt. Weiters werden mit einer Computersimulation Versuche mit einzelnen Elementarteilchen durchgeführt. Durch verschiedene Beobachtungen und Überlegungen soll das Verhalten quantenmechanischer Objekte klar werden. 4.2. Gliederung: 1. Einstiegsversuch 2. Doppelspaltexperiment mit einzelnen Teilchen 3. Zusammenfassung/Wesenszüge der Quantenquantenmechanik: 4. Formalismus und Wellenfunktion 5. Superpositionsprinzip 6. Zwei-Zustand-System 7. Materiewellen 8. Unschärferelation 4 Dieser missverständliche Begriff findet sich in vielen Büchern. 31
4.3. Einstiegsversuch 4.3.1. Durchführung: In der abgedunkelten Klasse wird ein Doppelspalt mit einem Laser beleuchtet. Auf einem Schirm oder an der Wand beobachtet man ein Interferenzmuster. Abbildung 4.1:Interferenzmuster Quelle: https://www.uni-bremen.de/physika/versuche/demonstrationsversuche/optik/ (Universität Bremen, 2022, [7]) 4.3.2. physikalische Erklärung: Das entstehende Interferenzmuster kann mit der Wellennatur des Lichts erklärt werden. Wenn das kohärente 5 Laserlicht auf beide Spalten trifft, entstehen davon ausgehend Elementarwellen, die miteinander interferieren. In der Physik nennt man dies das Huygenssches Prinzip. Es besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront der Ausganspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle (mit gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenz) ist. Die hellen und schwarzen Stellen entstehen durch konstruktive und destruktive Interferenz. Die destruktive und konstruktive Interferenz von Licht kann sehr gut mit klassischen Wellen (Schallwellen, Wasserwellen) verstanden werden. Dazu empfehle ich folgende Simulation: https://phet.colorado.edu/de/simulations/wave-interference (Reid (2022, [11]) Mit dieser Simulation kann die Interferenz beim Doppelspalt für Wasserwellen, Schallwellen und Lichtwellen betrachtet werden. Über geometrische Überlegungen kann auch mit schulischen Hilfsmitteln die Lage der Maxima beziehungsweise Minima ermittelt werden. 5 Von Kohärenz (oder auch Phasengleichheit) spricht man bei elektromagnetischen Wellen, wie Licht, wenn zwischen zwei Wellenfronten eine konstante Phasenbeziehung besteht. 32
4.4. Doppelspaltexperiment mit einzelnen Teilchen 4.4.1. Motivation: Wir möchten uns jetzt nicht mehr mit Lichtwellen beschäftigen, sondern mit einzelnen Elementarteilchen und verschiedene Quanteneffekte entdecken. Dabei wollen wir herausfinden, wo die reine Wellenvorstellung an ihre Grenzen stößt. 4.4.2. Simulationsprogramm Die SchülerInnen sollen das Arbeitsblatt 2 mit Hilfe einer Simulation in kleinen Gruppen durcharbeiten. Die Simulation kann von Müller und Wiesner (2000, [8]) unter folgenden Link heruntergeladen werden: https://www.milq.info/materialien/simulationsprogramme/ Abbildung 4.2: Simulationsprogramm: Quelle: eigene Darstellung Abbildung 4.2 zeigt den Versuchsaufbau eines Doppelspaltexperiments. Von der Quelle ganz rechts treffen die Teilchen auf eine Blende (Doppelspalt). Zwischen dem Schirm (links) und der Blende befindet sich eine Lichtquelle. Bevor die SchülerInnen mit der Ausarbeitung beginnen, sollte die Simulation grundlegend erklärt werden. Mögliche Einstellungen: 33
Die Quelle kann auf verschiedene Teilchen beziehungsweise Objekte und Energien eingestellt werden. Bei der Blende (in Abbildung 4.2 auf einen Doppelspalt eingestellt) können der Spaltabstand und die Spaltbreite variiert werden. Zusätzlich können die beiden Spalten einzeln aktiviert werden, eine der beiden Spalten kann sozusagen verschlossen werden. Am Schirm kann der Zoomfaktor eingestellt werden und der theoretische Verlauf, sowie die Auswertung aktiviert werden. Mit dem „Fotostreifen“ können drei Messergebnisse archiviert werden. Die Lampe kann auf verschiedene Intensitäten und Wellenlängen eingestellt werden. 34
4.4.3. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/ Angabe Diskutieren Sie bei den folgenden Fragen, welche Ergebnisse Sie erwarten und überprüfen Sie im Anschluss Ihre Antworten. Öffnen Sie das vierte Simulationsprogramm zum Doppelspalt zu finden auf: https://www.milq.info/materialien/simulationsprogramme/ 1) Stellen Sie die Teilchenquelle auf Neutronen mit einer Energie von 100 µ ein. Wählen Sie bei der Blende eine Spaltbreite von 30 µm und einen Spaltabstand von 150 µ . Stellen Sie einen 1000-fachen Zoom ein 1.1) Schalten Sie die Neutronenquelle für wenige Sekunden ein. Was können Sie nach wenigen Teilchen beobachten? 1.2) Was können Sie nach einiger Zeit beobachten, wenn immer mehr Neutronen abgebildet werden? 1.3) Welche Vorhersage können Sie über den Ort eines einzelnen Neutrons am Schirm treffen? 1.4) Welche Vorhersagen können über das Schirmbild von vielen Neutronen getroffen werden? 1.5) Untersuchen Sie von welchen Parametern das Interferenzmuster abhängig ist. Es empfiehlt sich dabei am Schirm die beiden Optionen „theo. Verlauf“ und „Auswertung“ zu aktivieren. 2a) Setzen Sie den Schirm mit der Taste „Reset“ zurück. Schließen Sie eine der beiden Spalten. Schalten Sie die Neutronenquelle ein, bis ein Interferenzmuster am Schirm erkennbar ist. Wählen Sie unter Schirm/ Archiv das erste Kamerasymbol „Streifen 1 belichten“ und fertigen Sie einen Fotostreifen an. Führen Sie denselben Vorgang mit dem anderen Spalt durch. Wählen Sie „Streifen 2 belichten“. Öffnen Sie beide Spalten und fertigen Sie einen dritten Streifen an. Aktivieren Sie unter Archiv den Button „Fotostreifen“, stellen Sie die Ansicht auf „vorn“ und kopieren Sie die drei Fotostreifen in diese Datei. 2b) Führen Sie dieselbe Versuchsreihe mit den Teilchentyp „Farbspray“ (klassische Teilchen) durch. Vergleichen Sie beide Versuchsreihen. Fassen Sie die Unterschiede und die überraschenden Beobachtungen zusammen. Bonus: Führen Sie die Versuchsreihe 2a mit eingeschalteter Lampe durch. Wählen Sie als Teilchen Elektronen. Welche Unterschiede können Sie beobachten? (Hier sollte erwähnt werden, dass durch Einschalten der Lampe die Elektronen bei einem der beiden Spalten kurz aufleuchten. Dies kann man leider nur schwer erkennen.) 35
4.4.4. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/ Lösung Diskutieren Sie bei den folgenden Fragen, welche Ergebnisse Sie erwarten und überprüfen Sie im Anschluss Ihre Antworten. Öffnen Sie das vierte Simulationsprogramm zum Doppelspalt, zu finden auf: https://www.milq.info/materialien/simulationsprogramme/ 1) Stellen Sie die Teilchenquelle auf Neutronen mit einer Energie von 100 µ ein. Wählen Sie bei der Blende eine Spaltbreite von 30 µm und einen Spaltabstand von 150 µ . Stellen Sie einen 1000-fachen Zoom ein 1.1) Schalten Sie die Neutronenquelle für wenige Sekunden ein? Was können Sie nach wenigen Teilchen beobachten? Jedes Neutron erscheint als Punkt am Schirm. Die Verteilung scheint keinem Muster zu folgen. 1.2) Was können Sie nach einiger Zeit beobachten, wenn immer mehr Neutronen abgebildet werden? Abbildung 4.3:Interferenzmuster Quelle: eigene Darstellung Mit steigender Anzahl an Teilchen erkennt man den Aufbau eines Interferenzmuster. Dieses erinnert an das Interferenzmuster eines Lasers (Abbildung 4.1). 1.3) Welche Vorhersage können Sie über den Ort eines einzelnen Neutrons am Schirm treffen? 36
Der exakte Ort am Schirm eines Neutrons kann nicht vorhergesagt werden. Die Neutronen sind jedoch nicht gleichmäßig verteilt. Es gibt Bereiche, wo die Neutronen gehäuft auftreten beziehungsweise kaum oder gar nicht aufzufinden sind. 1.4) Welche Vorhersagen können über das Schirmbild von vielen Neutronen getroffen werden? Bei einer ausreichend großen Anzahl an Neutronen beobachtet man stets ein streifenförmiges Inferenzmuster. In der Mitte sind die Streifen schmal und dunkel (es treffen also dort viele Neutronen auf), nach außen werden sie breiter und heller. Die weißen Streifen dazwischen wurden von keinem Teilchen getroffen. 1.5) Untersuchen Sie, von welchen Parametern das Interferenzmuster abhängig ist. Es empfiehlt sich dabei am Schirm die beiden Optionen „theo. Verlauf“ und „Auswertung“ zu aktivieren. Das Interferenzmuster ist abhängig von der Energie der Neutronen, der Breite und dem Abstand der Spalten und vom Teilchentyp. 2a) Setzen Sie den Schirm mit der Taste „Reset“ zurück. Schließen Sie eine der beiden Spalten. Schalten Sie die Neutronenquelle ein, bis ein Interferenzmuster am Schirm erkennbar ist. Wählen Sie unter Schirm/ Archiv das erste Kamerasymbol „Streifen 1 belichten“ und fertigen Sie einen Fotostreifen an. Führen Sie denselben Vorgang mit dem anderen Spalt durch. Wählen Sie „Streifen 2 belichten“. Öffnen Sie beide Spalten und fertigen Sie einen dritten Streifen an. Aktivieren Sie unter Archiv den Button „Fotostreifen“, stellen Sie die Ansicht auf „vorn“ und kopieren Sie die drei Fotostreifen in diese Datei. Abbildung 4.4: Verteilung der Neutronen: oben: rechte Spalte geöffnet; Mitte: linke Spalte geöffnet; unten: beide Spalten geöffnet Quelle: eigene Darstellung 37
Eigentlich würde man erwarten, dass überall mehr Neutronen auftreffen, wenn beide Spalten offen sind. In den weißen Streifen ist aber ganz klar das Gegenteil der Fall! 2b) Führen Sie dieselbe Versuchsreihe mit den Teilchentyp „Farbspray“ (klassische Teilchen) durch. Abbildung 4.5: Verteilung eines klassischen Teilchens Quelle: eigene Darstellung Um den Unterricht etwas aufzulockern kann mit Papier und einem Farbspray dieser Teil des Versuchs im Schulunterricht als reales Experiment durchgeführt werden. Vergleichen Sie beide Versuchsreihen. Fassen Sie die Unterschiede und die überraschenden Beobachtungen zusammen. Das Interferenzmuster von klassischen Teilchen beim Doppelspalt deckt sich mit der Summe Interferenzmuster der einzelnen Spalten. Hier beobachten wir keine Überraschungen. Das Interferenzmuster von Neutronen beim Doppelspalt stimmt nicht mit der Summe der Interferenzmuster der einzelnen Spalten überein. Man beobachtet deutlich mehr Minima und Maxima. Besonders überraschend sind die Minima in der Mitte, die in der klassischen Ausbreitungsrichtung des Neutrons zu finden sind. In der Vorstellung, dass sich mikroskopische Objekte (hier die Neutronen) nicht anders verhalten als die kleinen 38
Farbpartikel, geht jeweils die Hälfte der Teilchen durch einen Spalt. Das Öffnen oder Schließen einzelner Spalten sollte keinen Einfluss auf das Interferenzmuster nehmen. 3) Führen Sie die Versuchsreihe 2a mit eingeschalteter Lampe durch. Wählen Sie als Teilchen Elektronen. Welche Unterschiede können Sie beobachten? (Hier sollte erwähnt werden, dass durch Einschalten der Lampe die Elektronen bei einem der beiden Spalten kurz aufleuchten. Dies kann man leider nur schwer erkennen.) Abbildung 4.6: Versuchsreihe mit eingeschalteter Lampe Quelle: eigene Darstellung Wenn die Lampe eingeschaltet ist, stimmt das Interferenzmuster beim Doppelspalt mit der Summe der einzelnen Spalten überein. Elektronen sind aber noch deutlich kleiner als Neutronen: Warum verhalten sich diese wie die Farbteilchen? 39
4.5. Zusammenfassung/Wesenszüge der Quantenquantenmechanik: Nach Küblbeck und Müller (2002, [12]) können die „Wesenszüge der Quantenmechanik“ auf vier Wesenszüge reduziert werden. Jeder Wesenszug wird im Folgenden mit Hilfe der Beobachtungen des Arbeitsblatts 2 erklärt. Wesenszug 1: Statistisches Verhalten Für jedes Neutron erhalten wir exakt einen Punkt am Schirm. Eine Vorherrage des exakten Orts am Schirm für ein einzelnes Teilchen ist nicht möglich. Eine Vorhersage für das Messergebnis von viele Neutronen ist über statistische Gesetzmäßigkeiten möglich. Für einzelne Ereignisse müssen wir uns mit Wahrscheinlichkeiten begnügen. Wesenszug 2: Fähigkeit zur Interferenz Einzelne Teilchen, in unserem Fall Neutronen oder Elektronen, tragen unter den richtigen Versuchsbedingungen zu einem Interferenzmuster bei. Die Voraussetzung für Interferenzmuster ist, dass es mehr als eine klassische Möglichkeit gibt, hier zwei Spalten. Ein einzelnes Neutron interferiert sozusagen mit sich selbst. Die klassische Eigenschaft „Ort“ wird bei quantenmechanischen Teilchen ersetzt durch Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Wie können nicht sagen, durch welche der beiden Spalten ein Neutron gegangen ist. Wesenszug 3: Eindeutige Messergebnisse Jedes Neutron wird an einem exakten Ort gefunden. Der Ort eines quantenmechanischen Teilchens ist vor der Messung unbestimmt. Bei der Messung „entscheidet“ sich das Teilchen sozusagen für einen bestimmten Ort. Wesenszug 4: Komplementarität Durch die Lampe beobachten wir, welchen Spalt das Elektron wählt. Diese Ortmessung bewirkt das Verschwinden des Interferenzmuster. Interferenzmuster und die Information, welche Spalte gewählt wurde („Welcher-Weg-Information“), schließen einander aus. 40
4.6. Formalismus und Wellenfunktion 4.6.1. Wahrscheinlichkeitsdichte: Mit dem Doppelspaltversuch wird die Wellennatur von Neutronen, Photonen, Elektronen oder anderen Quantenteilchen ersichtlich. Zusätzlich wissen wir, dass wir nur Wahrscheinlichkeitsaussagen zu Einzelereignisse treffen können. Doch wie können wir die „Materiewellen“ formal beschreiben? Bei den Simulationsversuchen können wir die Intensitätsverteilung der einzelnen Quantenobjekte beobachten. Die Größe ( ) bezeichnet Wahrscheinlichkeitsdichte 6 beziehungsweise Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Abbildung 4.7: Wahrscheilichkeitsdichte ( ) beim Doppelspaltversuch Quelle: Müller (2000, S. 47, [9]) Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann mit dem Simulationsprogramm mit dem Button „theor. Verlauf“ gut veranschaulicht werden. Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der ein Quantenteilchen bei einer Messung im Intervall ∆ nachgewiesen wird. Mit der Rechnung ( ) ∙ ∆ kann diese Wahrscheinlichkeit bestimmt werden. Verständnisfrage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen am Ort zu finden? 6 Anmerkung: Stoff in der 5. Klasse HAK 41
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