QUANTEN-METROLOGIE: BEGABTENFÖRDERUNG AN HANDELSAKADEMIEN - JKU ePUB

Eingereicht von
 Alexander Rauch

 Angefertigt am
 Institute for Theoretical
 Physics

 Beurteilerin
 Ass.-Prof.in Dr.in Helga
 Böhm

QUANTEN- August 2022

METROLOGIE:
BEGABTENFÖRDERUNG AN
HANDELSAKADEMIEN

Diplomarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades

Magister der Naturwissenschaften
im Diplomstudium

Lehramt UF Mathematik/ UF Physik

 JOHANNES KEPLER
 UNIVERSITÄT LINZ
 Altenberger Straße 69
 4040 Linz, Österreich
 jku.at

Abstract

Diese Diplomarbeit soll Schülern und Schülerinnen an Handelsakademien einen Einblick in
die moderne Quantenmetrologie vermitteln, ein Forschungsteilgebiet der aktuell von der EU
höchstdotierten „Flaggschiff-Technologien“. Da im Unterrichtsfach „Naturwissenschaften“
die Quantenmechanik nur oberflächlich behandelt wird, ist dies eine komplexe
Herausforderung. Ihr wird durch eine detaillierte Ausarbeitung sowohl der Inhalte als auch
konkreter Unterrichtssequenzen begegnet.
Zuerst werden mit den Lernenden anhand des Photoeffekts und des Doppelspaltversuchs
zentrale quantenmechanische Grundlagen erarbeitet. Diese submikroskopischen Effekte
bewirkten einen Paradigmenwechsel bei Hochpräzisionsmessungen; das nächste Kapitel
behandelt die darauf basierende und seit 2019 gültige Umdefinition des Internationalen
Einheitensystems („SI“). Als konkretes Anwendungsbeispiel wird in dieser Arbeit die
Neudefinition des Kilogramms über das Plancksche Wirkungsquantum gewählt. Dazu wird
die Funktionsweise einer WATT-Waage, sowie zwei metrologisch hochwichtige quanten-
mechanische Phänomene erklärt: der Josephson-Effekt und der Quanten-Hall-Effekt. Dies
erfordert auch die Erweiterung von vorhandenem Schulwissen in den Bereichen
Elektromagnetismus und Vektorrechnung. Diese Themen sind daher hier ebenfalls für die
Schule aufbereitet.
Diese Arbeit ist für den Förderunterricht von Begabten an Handelsakademien vorgesehen,
kann jedoch auch für den Einsatz an anderen höheren Schulen adaptiert werden.

 2

Danksagung

Ich möchte mich an dieser Stelle bei allen Personen bedanken, die mich bei der
Durchführung dieser Arbeit unterstützt haben.

Mein herzlicher Dank gilt meiner Betreuerin Ass.-Prof.in Dr.in Helga Böhm für die fachliche
persönliche Betreuung.

Der größte Dank gilt meinen Eltern, die mir mein Studium durch finanzielle Unterstützung
erst ermöglich haben und stets hinter mir gestanden sind.

 3

Eidesstattliche Erklärung

Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Masterarbeit selbstständig und ohne
fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt
bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe.

 4

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung und Motivation ............................................................................................ 8
 1.1. Einbettung in den Lehrplan .................................................................................. 9
 1.2. Auszüge aus dem Lehrplan: .............................................................................. 10
 1.3. FET Flagship-Projekte ....................................................................................... 12
2. Vektorrechnung ........................................................................................................ 13
 2.1. Motivation .......................................................................................................... 13
 2.2. Wiederholung und Vertiefung ............................................................................ 13
 2.2.1. Punkte im Koordinatensystem: ............................................................... 14
 2.2.2. Ortsvektor ............................................................................................... 15
 2.2.3. Was sind jetzt Vektoren? ........................................................................ 16
 2.2.4. Betrag eines Vektors: ............................................................................. 17
 2.2.5. Einheitsvektor: ........................................................................................ 17
 2.2.6. Normalvektor .......................................................................................... 18
 2.2.7. Skalarprodukt: ........................................................................................ 19
 2.2.8. Linearkombination: ................................................................................. 19
 2.2.9. Kreuzprodukt .......................................................................................... 20
3. Photoeffekt ............................................................................................................... 21
 3.1. Motivation .......................................................................................................... 21
 3.2. Gliederung ......................................................................................................... 21
 3.3. Einstiegsversuch ............................................................................................... 22
 3.3.1. Ziel des Versuchs ................................................................................... 22
 3.3.2. Aufbau/ Durchführung:............................................................................ 22
 3.3.3. Beobachtungen: ..................................................................................... 22
 3.3.4. Schlussfolgerung: ................................................................................... 23
 3.4. Apparatur zur Untersuchung des Photoeffekts .................................................. 24
 3.5. Physikalische Erklärung/ Deutung ..................................................................... 28
 3.5.1. Photonenimpuls ...................................................................................... 30
4. Doppelspaltversuch .................................................................................................. 31
 4.1. Motivation .......................................................................................................... 31
 4.2. Gliederung:........................................................................................................ 31
 4.3. Einstiegsversuch ............................................................................................... 32
 4.3.1. Durchführung: ......................................................................................... 32
 4.3.2. physikalische Erklärung: ......................................................................... 32

 5

4.4. Doppelspaltexperiment mit einzelnen Teilchen .................................................. 33
 4.4.1. Motivation: .............................................................................................. 33
 4.4.2. Simulationsprogramm ............................................................................. 33
 4.4.3. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/ Angabe ....... 35
 4.4.4. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/ Lösung ........ 36
 4.5. Zusammenfassung/Wesenszüge der Quantenquantenmechanik: ..................... 40
 4.6. Formalismus und Wellenfunktion ....................................................................... 41
 4.6.1. Wahrscheinlichkeitsdichte:...................................................................... 41
 4.6.2. Wellenfunktion ........................................................................................ 42
 4.6.3. (quantenmechanische) Zustände............................................................ 42
 4.6.4. Dirac-Notation oder Bra-Ket-Notation ..................................................... 43
 4.7. Superpositionsprinzip ........................................................................................ 44
 4.8. Zwei-Zustand-System........................................................................................ 46
 4.8.1. Messwahrscheinlichkeit .......................................................................... 46
 4.9. Materiewellen .................................................................................................... 47
 4.10. Unschärferelation ................................................................................... 48
5. Metrologie ................................................................................................................. 49
 5.1. Motivation .......................................................................................................... 49
 5.2. SI-Einheiten ....................................................................................................... 50
 5.2.1. Definition der Basiseinheiten bis 2019 .................................................... 50
 5.3. Neudefinition 2019............................................................................................. 52
6. Josephson-Effekt ...................................................................................................... 55
 6.1. Josephson-Kontakt ............................................................................................ 55
 6.2. quantisierte Spannungswerte ............................................................................ 56
7. Quanten-Hall Effekt .................................................................................................. 57
 7.1. Motivation .......................................................................................................... 57
 7.2. Gliederung ......................................................................................................... 57
 7.3. Elektrisch geladenes Teilchen im Magnetfeld .................................................... 58
 7.4. Hall Effekt .......................................................................................................... 60
 7.4.1. Herleitung der Hall-Spannung: ................................................................ 63
 7.4.1.1. Exkurs: Elektrischer Strom ....................................................... 65
 7.5. Quanten-Hall-Effekt ........................................................................................... 66
 7.5.1. Klitzing-Konstante ................................................................................... 67
8. WATT-Waage ........................................................................................................... 68
 8.1. Motivation .......................................................................................................... 68

 6

8.2. Gliederung ......................................................................................................... 68
 8.3. Grundprinzip einer WATT-Waage...................................................................... 69
 8.3.1. Exkurs: Grundprinzip einer „normalen“ Balkenwaage ............................. 69
 8.4. schematischer Aufbau: ...................................................................................... 71
 8.5. statischer Modus ............................................................................................... 72
 8.6. bewegter Modus ................................................................................................ 73
 8.7. Festlegung des Kilogramms über die Plank-Konstante ...................................... 74
9. Zusammenfassung/ Fazit: ......................................................................................... 75
10. Literaturverzeichnis ................................................................................................... 76
11. Abbildungsverzeichnis: ............................................................................................. 78

 7

1. Einleitung und Motivation

In meiner Tätigkeit als Lehrer an einer österreichischen Handelsakademie bespreche und
diskutiere ich mit meinen Schüler:innen gerne aktuelle Ereignisse und Entwicklungen.
Dabei vermisse ich jedoch auf „cutting-edge“-Technologien und im Speziellen auf
Quantenmechanik genauer einzugehen.

Natürlich sind die heutigen Spitzentechnologien derart fortgeschritten, dass Personen des
gehobenen Managements die zugrunde liegenden Details größtenteils gar nicht verstehen
können. Aber in Unternehmen, die massiv in neue Quantentechnologien investieren, ist ein
Basiswissen über diese, der Intuition widersprechenden, Theorie von Vorteil.

Im Zuge einer Begabtenförderung sollen daher die Schüler:innen zuerst in das weite Gebiet
der Quantenmechanik so eingeführt werden, dass sie einige der wichtigsten Wesenszüge
vermittelt bekommen. Als Grundlage werden dazu in dieser Arbeit vor allem zwei Versuche
erörtert: Der Photoeffekt, da er einerseits historisch von zentraler Bedeutung ist und
andererseits, da er unser physikalisches Verständnis von Licht massiv beeinflusst hat.
Meine zweite Wahl ist das Doppelspalt-Experiment, von dem Richard Feynman sagte es
sei “[...] absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart
of quantum mechanics. In reality, it contains the only mystery.” (Rodgers, 2002, [1])

Dieses „Orientierungswissen“ legt die nötige Basis zur Behandlung aktueller
technologischer Entwicklungen. Unter deren Vielzahl fördert die EU derzeit vier
Schwerpunkte: Kommunikation, Quantencomputer, Simulation, sowie Sensorik/ Metrologie.
Die Ersteren können auch im Mathematik- und/ oder Informatikunterricht behandelt werden.
Aus diesem Grund habe ich mich hier für die Metrologie, also das besonders genaue
Messen entschieden.

Als Anwendungsfokus legt diese Arbeit dabei den Fokus auf die seit 2019 neuen SI-
Einheiten. und auf das Funktionsprinzip der sogenannten WATT-Waage. Dazu benötigen
die Schüler:Innen auch Kenntnisse im Bereich Elektromagnetismus, die daher hier
ebenfalls erklärt werden. Für die Jugendlichen soll letztendlich der Prozess der
Neudefinition des Kilogramms auf Basis quantenmechanischer Konstanten klar werden.

Obwohl der Fokus dieser Arbeit prinzipiell darauf liegt, Schüler:innen an Handelsakademien
für Technik zu begeistern, ist sie so gestaltet, dass sie ohne Weiteres auch als Basis für
den Unterricht an Höheren Technischen Schulen, Oberstufengymnasien und
Allgemeinbildenden Höheren Schulen verwendet werden kann.

 8

1.1. Einbettung in den Lehrplan

Die Physik an einer Handelsakademie findet im Zuge des Unterrichtfachs
„Naturwissenschaften“ statt. In diesem Fach wird sowohl Biologie, Physik und Chemie
unterrichtet. In Laufe der HAK-Laufbahn sind 10 Wochenstunden in den ersten vier Jahren
vorgesehen.

Der Lehrplan gestaltet sich sehr umfangreich. Im ersten Jahr werden aus allen drei Fächern
die Arbeitsweise und Methodik in den Naturwissenschaften behandelt, sowie wichtige
Grundbegriffe wiederholt. Dies umfasst unter anderem Energie, Kräfte und den elektrischen
Stromkreis. In den nächsten drei Semester liegt der Fokus auf Chemie und Biologie. Im
sechsten Semester werden die Bereiche Mechanik, Energie sowie der Mirko- und der
Makrokosmus behandelt. Im siebten Semester sind die Themengebiete Elektrizität und
Magnetismus, sowie Schwingungen und Wellen vorgesehen.

Leider sieht der Lehrplan keine Quantenmechanik vor – mit Ausnahme der Erklärung
einiger Phänomene des Mikrokosmos im siebten Semester, wo die Quantenmechanik
etwas gestreift wird. Aktuelle Schlagzeilen in den Medien bewirken jedoch häufig Fragen
naturwissenschaftlich interessierter Schüler:Innen. Daher ist meine Arbeit dazu
vorgesehen, diesen einen entsprechenden Förderunterricht bieten zu können. Die
Zielgruppe der Leser:innen besteht also einerseits aus den Schüler:innen der höheren
Semester der österreichischen Handelsakademien, und andererseits aus ihren
Physiklehrkräften, die einige der hier behandelten Aspekte nie gelernt haben.

Zusätzlich passt die folgende Arbeit auch sehr gut in die allgemeinen didaktischen
Grundsätze des Unterrichtsfachs Physik.

 9

1.2. Auszüge aus dem Lehrplan:

Allgemein steht im Lehrplan:

❖ “Dabei soll dem Lernen durch methodische Anschaulichkeit über Experimente, Übungen,
 Projekte und andere praxisorientierte Umsetzungen Rechnung getragen werden.“ (BMBWF
 2022, [2])

Im Hinblick auf diesen Bildungsauftrag kann diese Arbeit vor allem als Projekt angesehen
werden. Ziel des Projekts ist es, sich genügend Wissen anzueignen, um einige wichtige
Phänomene der Quantenmechanik und die Funktionsweise einer WATT-Waage zu
verstehen.

❖ “Die Beziehung zur Mathematik ist innerhalb des Clusters insofern herzustellen, als in der
 Mathematik erlernte Methoden in den Naturwissenschaften zur Anwendung kommen, und
 naturwissenschaftliches Wissen aufgebaut wird, das zur Lösung mathematischer
 Problemstellungen verwendet werden kann.“ (BMBWF, 2022, [2])

In den ersten Jahren an Handelsakademien sieht der Gesetzgeber für Handelsakademien
in Mathematik zwei Wochenstunden vor. In vielen Handelsakademien wird dabei in
Mathematik klarerweise der Anwendungsfokus auf wirtschaftliche Anwendungen gelegt.
Aber auch die hier anschließenden Themen werden mathematisch aufgearbeitet und bieten
eine gute Möglichkeit, erlernte Methoden aus dem Mathematikunterricht im Bereich der
Physik anzuwenden. Zusätzlich werden einzelne mathematische Methoden, wie zum
Beispiel die Vektorrechnung wiederholt und vertieft.

❖ “Das naturwissenschaftliche Arbeiten soll den Schülerinnen und Schülern eine Betrachtung der
 Welt in analytischer und rationaler Weise ermöglichen. Naturwissenschaftliche Grundbildung soll
 des Weiteren zu einer Orientierung in naturwissenschaftlichen, technischen Berufsfeldern und
 Studienrichtungen befähigen und gleichzeitig die Grundlage für lebenslanges Lernen in diesem
 Bereich legen. (BMBWF, 2022, [2])

Dieser Punkt ist für mich der Wichtigste. Diese Arbeit soll einen grundlegenden Eindruck
über die Quantenmechanik schaffen. Vielleicht bewegt der Förderkurs einige SchülerInnen
nach der HAK im weiteren Bildungsweg in Richtung Technik zu gehen. Zusätzlich soll ein
konkretes, aktuelles Forschungsgebiet vorgestellt werden, das derzeit massiv von der EU
gefördert wird.

Der Schultyp Handelsakademie legt natürlich nicht den Fokus auf die technische
Ausbildung. Als allgemeines Bildungsziel soll die Handelsakademie für alle Zweige der
Wirtschaft vorbereiten.

❖ “Von zentraler Bedeutung ist eine umfassende Entrepreneurship Education, die die
 Schülerinnen und Schüler befähigt, als Unternehmerin und Unternehmer, Arbeitnehmerin und
 Arbeitnehmer, Konsumentin und Konsument aktiv und verantwortungsbewusst zu agieren und
 damit Wirtschaft und Gesellschaft mitzugestalten.“ (BMBWF, 2022, [2])

 10

Im zukünftigen Berufsleben kann eine erste Begegnung mit komplexeren physikalischen Themen
sicherlich von Vorteil sein. Es ist durchaus möglich, dass die SchülerInnen in einem Unternehmen
berufstätig sind, das sich mit Technologien und Innovationen beschäftigt. Dazu im nächsten Kapitel
ein Überblick über die aktuellen „EU-Flagship-Projects“.

 11

1.3. FET Flagship-Projekte

FET steht für Future and Emerging Technologies, also neue und zukünftige Technologien.
Die Europäische Union fördert dabei ambitionierte, wissenschaftliche Forschungsprojekt
über langfristige Zeiträume. Zukunftstechnologien und Innovationen sollen dabei mittels
wissenschaftlicher Kooperationen vorangetrieben werden.

Die aktuellen Flagships sind Battery 2030+, Graphene Flagship, Human Brain Project
Flagship und Quantum Technologies Flagship. Diese Projekte werden jeweils mit über eine
Milliarde Euro über 10 Jahre gefördert.

Im Quantenbereich sollen Sensoren, Computer, Simulatoren und weitere Anwendungen
von der Forschung bis hin zur Marktreife vorangetrieben werden. Aus diesem Grund
werden nicht nur ForscherInnen sowie TechnikerInnen, sondern auch Leute aus der
Wirtschaft, Marketing und Recht benötigt.

Aus diesem Grund möchte ich den Absolvent:innen auf den folgenden Seiten einen ersten
Einblick in die Quantenwelt liefern. Erste Berührungspunkte mit Quanten können helfen,
wenn sie in Zukunft in einem Unternehmen aus diesem Bereich berufstätig sind. Allgemein
sollen die Schüler:innen die Herausforderung annehmen, komplexe Themen und
Zusammenhänge zu verstehen und anzuwenden.

 12

2. Vektorrechnung

 2.1. Motivation

Ziel dieses Kapitels ist, grundlegendes mathematische Wissen aus dem Bereich
Vektorrechnung, zu wiederholen und zu vertiefen. Der Fokus dabei liegt auf der
Konkretisierung des Vektorbegriffs. Die einzelnen Rechenoperationen werden nicht
nochmals wiederholt und können in den Schulbüchern der zweiten Klasse
Handelsakademie nachgelesen werden.

 2.2. Wiederholung und Vertiefung

Auf den nächsten Seiten werden wichtige Begriffe und Definitionen wiederholt und vertieft.

 13

2.2.1. Punkte im Koordinatensystem:

Jeder Punkt ist durch seine Koordinaten eindeutig festgelegt. Im 2-dimensionale Raum ℝ2
werden Punkte als Zahlenpaar, im 3-dimensionalen Raum ℝ3 als Zahlentripel, dargestellt

Ein beliebiger Punkt in der Ebene besitzt die Koordinaten ( | ). Diese Koordinaten
geben den Abstand vom Koordinatenursprung mit den Koordinaten (0|0) an. Die erste
Komponente gibt den Abstand entlang der x-Richtung an, die zweite Komponente
entlang der y-Richtung.

 Abbildung 2.1: Koordinaten
 Quelle: eigene Darstellung

In Abbildung 2.1: Koordinaten sind x- und die y-Komponente der Koordinaten
eingezeichnet. Im konkreten Fall besitzt der Punkt die Koordinaten (4|3). Koordinaten im
ℝ3 besitzen noch eine z-Komponente.

 14

2.2.2. Ortsvektor

Die Darstellung von Vektoren erfolgt mit Pfeilen. Jeder Punkt im Koordinatensystem kann
als sogenannter Ortsvektor interpretiert werden. Der Startpunkt liegt im
Koordinatenursprung und der Endpunkt des Pfeils zeigt auf den Punkt . Der Ort des
Punkts kann durch den Ortsvektor

 ̅̅̅̅
 ⃗ = (2.1)

 ̅̅̅̅ bezeichnet die gerichtete Stecke zwischen dem Ursprung und dem
dargestellt werden. 
Punkt A.

 Abbildung 2.2: Ortsvektor
 Quelle: eigene Darstellung

In Abbildung 2.2 ist der Ortsvektor ⃗ eingezeichnet. Der Ortsvektor ⃗ wird im konkreten Fall
als Zahlenpaar (4|3) geschrieben.

 15

2.2.3. Was sind jetzt Vektoren?

Die geometrische Interpretation der Vektoren als Pfeile ist dazu hilfreich. Ein Pfeil hat eine
bestimmte Länge, Richtung und Orientierung. Wir können Vektoren nicht nur als
Ortsvektoren einzeichnen. Ein Vektor, dargestellt als Pfeil, kann beliebig im
Koordinatensystem verschoben werden.

Definition:
Ein Vektor bezeichnet die Menge aller Pfeile, die gleich-lang, gleich-gerichtet und gleich-
orientiert sind.

 Abbildung 2.3: Vektoren
 Quelle: eigene Darstellung

Der Vektor ⃗ ist somit äquivalent mit den Vektoren ⃗⃗ und ⃗. Alle drei repräsentieren den
gleichen Vektor (4|3).

Ein Vektor im ℝ2 ist also ebenfalls ein Zahlenpaar ( | ), wobei zuerst die x-Koordinate
und dann die y-Koordinate angegeben wird.

 16

2.2.4. Betrag eines Vektors:
Der Betrag eines Vektors ⃗ = ( | ) ist gegeben durch:

 | ⃗ | = √ 2 + 2 (2.2)

Der Betrag berechnet die Länge eines Vektors. Der Vektor (4|3) hat zum Beispiel die Länge
5.

 2.2.5. Einheitsvektor:

Ein Vektor der Länge 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet. Ein zum Vektor ⃗ zugehöriger
Einheitsvektor ⃗0 ist gegeben durch:

 ⃗ (2.3)
 ⃗0 =
 | ⃗ |

 Abbildung 2.4 Einheitsvektor ⃗0
 Quelle: eigene Darstellung

Zur Berechnung des Einheitsvektors ⃗0 vom Vektor ⃗ = (4|3) dividieren wir beide
Komponenten durch 5 (Betrag von ⃗). Daraus erhalten wir für ⃗0 = (0,8|0,6). Zur Probe
kann überprüft werden, ob der Einheitsvektor die Länge 1 besitzt.

 17

2.2.6. Normalvektor

Ein Vektor ⃗ , der auf einen gegebenen Vektor ⃗ normal steht, heißt Normalvektor zu ⃗.

Im ℝ2 gibt es zu jedem Vektor ⃗ = ( | ) zwei Normalvektoren:

 ⃗ ,1 = (− | ) ⃗ ,1 = ( |− ) (2.4)

 Abbildung 2.5: Normalvektor
 Quelle: eigene Darstellung

Für den Vektor ⃗ = (4|3) erhalten wir die beiden Normalvektoren ⃗ ,1 = (−3|4) und ⃗ ,1 =
(3|−4)

Im ℝ3 gibt es zu jedem Vektor unendlich viele Normalvektoren.

 18

2.2.7. Skalarprodukt:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ∈ ℝ2 ist definiert durch:

 ⃗ ∙ ⃗⃗ = ( ) ∙ ( ) = ( ) ∙ ( ) = + (2.5)
 
Die beiden Vektoren werden komponentenweise miteinander multipliziert. Man kann die
Gleichung (2.5) auch als Rechenregel „Zeile mal Spalte“ betrachten und das Skalarprodukt
im ℝ3 analog bestimmen.

Aus der Gleichung (2.4) folgt, dass das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander
stehender Vektoren gleich 0 ist.

 2.2.8. Linearkombination:

Der Vektor ⃗ ∈ ℝ2 heißt Linearkombination der Vektoren ⃗ und ⃗⃗, wenn es reelle Zahlen 1
und 2 gibt, sodass gilt:

 ⃗ = 1 ⃗ + 2 ⃗⃗ (2.6)

 19

2.2.9. Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt oder vektorielle Produkt ⃗ ∈ ℝ3 zweier Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ∈ ℝ3 ist gegeben
durch:

 − 
 ⃗ = ⃗ × ⃗⃗ = ( ) × ( ) = (−( − ) ) (2.7)
 − 

Das Kreuzprodukt ordnet der von den Vektoren ⃗ und ⃗⃗ aufgespannten Ebene einen
Normalvektor zu. Dies ist anschaulich in Abbildung 2.6 dargestellt.

 Abbildung 2.6: Kreuzprodukt
 Quelle: https://www.grund-wissen.de/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-
 geometrie/vektoren.html (Grotz, 2018, [3])

Das Kreuzprodukt ordnet jeder Ebene die durch zwei Vektoren aufgespannt wird, eindeutig
einen Normalvektor zu. Dabei gilt für zwei Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ∈ ℝ3

 ⃗ × ⃗⃗ = − 
 ⃗⃗⃗⃗ × ⃗

Die Reihenfolge bewirkt also die Umkehrung der Orientierung des Normalvektors. In
Abbildung 2.6 wäre somit der Vektor ⃗⃗⃗⃗
 × ⃗ nach unten orientiert. Um die Orientierung zu
ermitteln, wird in der Physik die „Rechte-Hand-Regel“ verwendet. Dies werden wir uns
Kapitel 7.3. am Beispiel der Lorentzkraft ansehen.

 20

3. Photoeffekt

 3.1. Motivation

Als erster Berührungspunkt mit dem Themengebiet der Quantenmechanik dient der
Photoeffekt. Ziel dieses Kapitels ist, die Teilchennatur des Lichts kennenzulernen. Der
Photoeffekt tritt bei Wechselwirkungen von Licht mit Materie auf und war historisch eines
derjenigen Phänomene, die wesentlich zur Entwicklung der Quantenmechanik beitrugen.

 3.2. Gliederung

 1. Einstiegsversuch
 2. Apparatur zur Untersuchung des Photoeffekts
 3. Physikalische Erklärung/ Deutung

 21

3.3. Einstiegsversuch
 3.3.1. Ziel des Versuchs
 Der Versuch ist als Demonstrationsversuch geplant und soll den Einstieg ins Themengebiet
 des Photoeffekts erleichtern. Der Versuch, bekannt unter dem Namen Hallwachs-Effekt,
 zeigt die Entladung einer negativ geladenen Zinkplatte durch Beleuchtung.

 3.3.2. Aufbau/ Durchführung:
 Eine negativ, beziehungsweise positiv aufgeladene Zinkplatte ist mit einem Elektroskop
 verbunden. Die Zinkplatte wird mit einer Quecksilberdampflampe bestrahlt. Als Alternative
 zur Quecksilberdampflampe kann auch eine UV-Lampe verwendet werden.

 Abbildung 3.1: Versuchsaufbau und Durchführung
Quelle: https://expvorl.physik.uni-muenchen.de/versuche_optik/quantenoptik/hallwachseffekt/index.html
 (aus dem Video auf der LMU-Webseite (2022, [4]) erstellt)

 Ich empfehle das etwa drei Minuten lange Video der LMU-München (2022, [4]) herzuzeigen.
 Hier kann schön beobachtet werden, wie der Ausschlag im Elektroskop im mittleren Bild
 von Abbildung 3.1 nach unten geht, rechts und links aber oben bleibt.

 3.3.3. Beobachtungen:
 Die Bestrahlung der positiv geladenen Platte, bewirkt keine Ladungsänderung. (Abbildung
 3.1 links) Die Bestrahlung der negative, geladenen Platte bewirkt eine kontinuierliche
 Entladung. (Abbildung 3.1 Mitte) Daraus folgt, dass Elektronen aus der Oberfläche der
 Zinkplatte herausgelöst werden. Als Vergleich empfiehlt sich, den Versuch auch mit einer
 normalen Lampe (mit möglichst gleicher oder höherer Leistung) durchzuführen.
 Unabhängig von der Leistung beobachtet man keine Entladung.

 Fügt man vor der Zinkplatte eine Glasplatte als Filter hinzu, kann keine Entladung
 beobachtet werden. (Abbildung 3.1 rechts) Die Glasplatte lässt kurzwelliges,
 hochenergetisches Licht nicht durch (sie „filtert“ diese heraus; die Schüler:innen kennen
 das davon, dass man hinter einem Fenster keinen Sonnenbrand bekommt). Gerade die
 hochenergetische Strahlung wird aber benötigt, um die Elektronen aus der Zinkplatte
 herauszuschlagen.

 22

3.3.4. Schlussfolgerung:

Kurzwelliges Licht „schlägt“ also sozusagen Elektronen aus der Zinkplatte heraus
(Abbildung 3.2). Die Lichtintensität hat dabei keinen Einfluss darauf, ob Elektronen aus der
Oberfläche gelöst werden.

 Abbildung 3.2: Herauslösen von Elektronen
 Quelle: http://ibe.physik.rwth-aachen.de/build-MTL11_PHO/index.html (IA Aachen, 2020, [5])

 23

3.4. Apparatur zur Untersuchung des Photoeffekts

Nach diesem Einstiegsversuch soll der Photoeffekt mit der unten dargestellten Apparatur
(Abbildung 3.3) behandelt werden. Einfallendes Licht mit einer Frequenz trifft auf die
Kathode C und löst Elektronen aus. Die Kathode und Anode befinden sich in einer
Vakuumkammer. Mit der Batterie kann eine veränderliche Spannung zwischen der Kathode
und Anode angelegt werden. Über die Stromstärke am Amperemeter kann die Anzahl der
Elektronen, die pro Zeiteinheit auf die Anode treffen, bestimmt werden.

 Abbildung 3.3: Untersuchung des photoelektrischen Effekts
 Quelle: Tipler (2012, S.1180, [6])

Die SchülerInnen sollen nach der grundlegenden Erklärung der Apparatur das Arbeitsblatt
1 in kleinen Gruppen durcharbeiten und lösen. Ziel ist es, grundlegende Aussagen und
Zusammenhänge zu erarbeiten.

 24

Arbeitsblatt 1: Photoeffekt/ Angabe
Versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten. Öffnen Sie dazu folgende Simulation:
https://phet.colorado.edu/de/simulations/photoelectric (LeMaster, 2022,[10]) 1

1. Verändern Sie ohne angelegte Spannung die Wellenlänge und die Intensität des Lichts.
Treffen Sie Aussagen über die Zusammenhänge von Lichtintensität, Wellenlänge,
Geschwindigkeit der einzelnen Elektronen und Elektronenanzahl (Stromstärke).

2. Ändern Sie das Material der Kathode. Welche Unterschiede hinsichtlich der
Elektrongeschwindigkeit und Stromstäke können zwischen Natrium, Zink, Kupfer, Platin
und Calcium beobachtet werden?

3. Bestimmen Sie für alle Materialen die Grenzwellenlänge für das Herauslösen von
Elektronen. Berechnen Sie mit = / die jeweiligen Grenzfrequenzen. ( = 3 ∙ 108 / )

 Material Grenzwellenlänge in nm Grenzfrequenz in 1015 Hz
 Platin
 Kupfer
 Zink
 Calcium
 Natrium
Tabelle 1: Grenzwellenlängen und Grenzfrequenzen

4. Erstellen Sie einen Graphen der maximalen kinetischen Energie der Elektronen in
Abhängigkeit der Frequenz. Beschriften Sie den Graphen vollständig und exakt. Zeichnen
Sie die Grenzfrequenzen ein und skizzieren Sie den Verlauf für alle Materialien. Aktivieren
Sie dazu das Diagramm „Elektronenenergie gegen Frequenz“.

5) Legen Sie eine Spannung an, die der Bewegung der Elektronen entgegenwirkt. Welche
Änderungen können Sie beobachten?

6) Aktivieren Sie den Button „nur energiereichste Elektronen“. Stellen Sie als Material
Natrium ein. Bestimmen Sie für mindestens drei verschiedene Wellenlängen die
Gegenspannung, sodass gerade kein Strom fließt.

 Gegenspannung in 
 Wellenlänge in 
Tabelle 2: Gegenspannung und Wellenlänge

1
 Der Start der Simulation kann etwas Zeit in Anspruch nehmen.
 25

Arbeitsblatt 1: Photoeffekt/ Lösung:
Versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten. Öffnen Sie dazu folgende Simulation:
https://phet.colorado.edu/de/simulations/photoelectric

1. Verändern Sie ohne angelegte Spannung die Wellenlänge und die Intensität des Lichts.
Treffen Sie Aussagen über die Zusammenhänge von Lichtintensität, Wellenlänge,
Geschwindigkeit der einzelnen Elektronen und Elektronenanzahl (Stromstärke).

Die Geschwindigkeit der einzelnen Elektronen fällt im Durchschnitt 2 mit größeren
Wellenlängen. Die Elektronenanzahl, gemessen über die Stromstärke, steigt mit der
Lichtintensität. Die Elektronengeschwindigkeit ist

2. Ändern Sie das Material der Kathode. Welche Unterschiede hinsichtlich der
Elektrongeschwindigkeit und Stromstäke können zwischen Natrium, Zink, Kupfer, Platin
und Calcium beobachtet werden?

Die verschiedenen Materialien unterscheiden sich hinsichtlich der
Elektronengeschwindigkeit und Stromstärke. Wir beobachten, dass mit einer größeren,
gemessenen Stromstärke auch die durchschnittliche Geschwindigkeit steigt.

Reihenfolge langsam → schnell:
Platin → Kupfer → Zink → Calcium → Natrium

3. Bestimmen Sie für alle Materialen die Grenzwellenlänge für das Herauslösen von
Elektronen. Berechnen Sie mit = / die jeweiligen Grenzfrequenzen. ( = 3 ∙ 108 / )

 Material Grenzwellenlänge in nm Grenzfrequenz in 1015 Hz
 Platin 186 1,61
 Kupfer 247 1,21
 Zink 269 1,12
 Calcium 392 0,77
 Natrium 489 0,63
Tabelle 3: Grenzwellenlängen und Grenzfrequenzen

2
 Nicht alle Elektronen verlassen die Kathode mit der maximal möglichen Geschwindigkeit (Stoßprozesse).
Daher sprechen wir auf diesen Übungszettel immer von mittleren Geschwindigkeiten, auch wenn dies nicht
immer explizit erwähnt wird. Gegebenenfalls kann der Button „Nur energiereichste Elektronen“ aktiviert
werden.
 26

4. Erstellen Sie einen Graphen der maximalen kinetischen Energie der Elektronen in
Abhängigkeit der Frequenz. Beschriften Sie den Graphen vollständig und exakt. Zeichnen
Sie die Grenzfrequenzen ein und skizzieren Sie den Verlauf für alle Materialien. Aktivieren
Sie dazu das Diagramm „Elektronenenergie gegen Frequenz“.

 Abbildung 3.4: maximale kinetische Energien der verschiedenen Materialien
 Quelle: eigene Darstellung

5) Legen Sie eine Spannung an, die der Bewegung der Elektronen entgegenwirkt. Welche
Änderungen können Sie beobachten?

Das elektrische Feld zwischen beiden Platten wirkt der Bewegung der Elektronen entgegen.
Um die rechte Platte „zu erreichen“ benötigen diese daher eine größere kinetische Energie.
Dies hat zu Folge, dass elektrischer Strom im Vergleich zu Aufgabe 3 erst bei kleineren
Wellenlängen gemessen wird.

6) Aktivieren Sie den Button „nur energiereichste Elektronen“. Stellen Sie als Material
Natrium ein. Bestimmen Sie für mindestens drei verschiedene Wellenlängen die
Gegenspannung, sodass gerade kein Strom fließt.

 Gegenspannung in 8 6 4 2
 Wellenlänge in 120 149 196
Tabelle 4: Gegenspannung und Wellenlänge

 27

3.5. Physikalische Erklärung/ Deutung

Die Erwartung, dass die Elektronenenergie mit der Intensität des Lichtes steigt, tritt nicht
ein. Die Energie der herausgelösten Elektronen ist nur abhängig von der Frequenz des
Lichtes. Unser bisheriges Bild vom Licht als Welle kann diese Beobachtung nicht erklären.
In der klassischen Physik ist nämlich die Energie einer elektromagnetischen Welle
proportional zu ihrer Intensität. (Auch das kennen wir vom Sonnenbrand: an wolkigen
Tagen ist die Gefahr geringer.) Wir benötigen ein neues Modell. Wir stellen uns bei diesem
das Licht in Energieportionen, genannt „Lichtquanten“ oder „Photonen n“, vor.

Im Jahr 1921 wurde Einstein für die diese Erklärung des Photoeffekts der Nobelpreis
verliehen. Er stellte das Postulat auf, dass Licht quantisiert ist. 3 Licht kann man sich also
als die Summe vieler einzelner Photonen vorstellen. Jedes von ihnen besitzt eine Energie
 , die nur von der Wellenlänge abhängig ist. Die Einsteinsche Gleichung für die
Photonenenergie lautet

 ℎ 
 =ℎ = (3.1)
 
wobei das Plancksche Wirkungsquantum ℎ eine sehr kleine Konstante ist. Der Wert des
Planck’schen Wirkungsquantums ℎ kann experimentell sehr exakt ermittelt werden:

 ℎ ≈ 6,6 ∙ 10−34 ∙ = 4,136 ∙ 10−15 ∙ (3.2)

Mit der Formel (3.1) kann die Photonenenergie für verschiedene Wellenlängen berechnet
werden.

Wie können jetzt die vorherigen Versuche erklärt werden?

Treffen die Photonen auf die Metalloberfläche können die Photonen von Elektronen
absorbiert werden. Mit der Energie ℎ des Photons kann das Elektron das Metall verlassen.
Die Intensität hat nur Einfluss auf die Anzahl der herausgelösten Elektronen, weil bei
höherer Intensität die Anzahl der Photonen pro Zeiteinheit und Fläche steigt.

Die kinetische Energie eines herausgelösten Elektrons wird dabei mit der photoelektrischen
Gleichung beschrieben

 = ℎ − (3.3)

, wobei die sogenannte Ablösearbeit ist. Im Allgemein muss ein Elektron die
materialabhängige Ablösearbeit erbringen, um die elektrischen Kräfte innerhalb der
Metallplatte zu überwinden.

3
 Inzwischen weiß man, dass zur Erklärung der Experimente auch klassische elektromagnetische Wellen und
eine Quantisierung der Energieniveaus nur in der Materie ausgereicht hätten. Einsteins Schlussfolgerung war
also nicht zwingend nötig.
 28

Anmerkung: Die Formel (3.3) ist nicht ganz korrekt. Hier wurden die Stöße zwischen
Elektronen im Material vernachlässigt. Daher gibt (3.3) die maximale Energie der
herausgelösten Photonen an.

Aus der photoelektrischen Gleichung ergibt sich eine lineare Abhängigkeit zwischen der
maximalen kinetischen Energie eines herausgelösten Elektrons und der Frequenz.
Experimentell konnte dieser Zusammenhang von R. A. Mililkan nachgewiesen werden.
Abbildung 3.5 zeigt die Messwerte von Millikan für die maximale kinetische Energie der
Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz.

 Abbildung 3.5: kinetische Energie der Elektronen in Abhängigkeit der Frequenz
 Quelle: Tipler (2022, S. 1182, [6])

Wie auch bei den Versuchen und Simulationen beobachtet, kann der Photoeffekt nur ab
einer Grenzfrequenz beobachtet werden. Wir werden statt weiterhin verwenden. In
der Literatur sind beide Notationen zu finden.

Interpretation:
Wenn die von einem Elektron absorbierte Energie ℎ kleiner ist als die Ablösearbeit ,
bleibt das Elektron im Metall. Dies ist der Fall unter einer materialabhängigen
Grenzfrequenz .

Verständnisfrage:
Welche Steigung besitzt die Gerade in Abbildung 3.5?
Ordne die untersuchten Materialien beginnend mit der kleinsten Ablösearbeit.

 29

3.5.1. Photonenimpuls

Der Photoeffekt wird mit dem Teilchencharakter von Photonen erklärt. 1916 postulierte
Einstein zusätzlich den Impuls für ein Photon:

 ℎ ℎ (3.4)
 = =
 
Bei Wechselwirkungen zwischen Photonen und Elektronen werden Impuls und Energie
übertragen. Eine ähnliche Relation gilt auch für Teilchen mit Masse: siehe Kapitel 4.9.
„Materiewellen“.

 30

4. Doppelspaltversuch

 4.1. Motivation

Mit Hilfe des Doppelspaltversuchs soll der sogenannte „Welle-Teilchen-Dualismus“4 erklärt
werden. Zuerst wird kurz das Interferenzmuster einer elektromagnetischen Welle mit Hilfe
des Huygensschen Prinzips erklärt. Weiters werden mit einer Computersimulation
Versuche mit einzelnen Elementarteilchen durchgeführt. Durch verschiedene
Beobachtungen und Überlegungen soll das Verhalten quantenmechanischer Objekte klar
werden.

 4.2. Gliederung:

 1. Einstiegsversuch
 2. Doppelspaltexperiment mit einzelnen Teilchen
 3. Zusammenfassung/Wesenszüge der Quantenquantenmechanik:
 4. Formalismus und Wellenfunktion
 5. Superpositionsprinzip
 6. Zwei-Zustand-System
 7. Materiewellen
 8. Unschärferelation

4
 Dieser missverständliche Begriff findet sich in vielen Büchern.
 31

4.3. Einstiegsversuch
 4.3.1. Durchführung:
In der abgedunkelten Klasse wird ein Doppelspalt mit einem Laser beleuchtet. Auf einem
Schirm oder an der Wand beobachtet man ein Interferenzmuster.

 Abbildung 4.1:Interferenzmuster
 Quelle: https://www.uni-bremen.de/physika/versuche/demonstrationsversuche/optik/
 (Universität Bremen, 2022, [7])

 4.3.2. physikalische Erklärung:
Das entstehende Interferenzmuster kann mit der Wellennatur des Lichts erklärt werden.
Wenn das kohärente 5 Laserlicht auf beide Spalten trifft, entstehen davon ausgehend
Elementarwellen, die miteinander interferieren. In der Physik nennt man dies das
Huygenssches Prinzip. Es besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront der Ausganspunkt
einer neuen kugelförmigen Elementarwelle (mit gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit und
Frequenz) ist. Die hellen und schwarzen Stellen entstehen durch konstruktive und
destruktive Interferenz.

Die destruktive und konstruktive Interferenz von Licht kann sehr gut mit klassischen Wellen
(Schallwellen, Wasserwellen) verstanden werden. Dazu empfehle ich folgende Simulation:
https://phet.colorado.edu/de/simulations/wave-interference (Reid (2022, [11])

Mit dieser Simulation kann die Interferenz beim Doppelspalt für Wasserwellen, Schallwellen
und Lichtwellen betrachtet werden. Über geometrische Überlegungen kann auch mit
schulischen Hilfsmitteln die Lage der Maxima beziehungsweise Minima ermittelt werden.

5
 Von Kohärenz (oder auch Phasengleichheit) spricht man bei elektromagnetischen Wellen, wie Licht, wenn
zwischen zwei Wellenfronten eine konstante Phasenbeziehung besteht.
 32

4.4. Doppelspaltexperiment mit einzelnen Teilchen
 4.4.1. Motivation:
Wir möchten uns jetzt nicht mehr mit Lichtwellen beschäftigen, sondern mit einzelnen
Elementarteilchen und verschiedene Quanteneffekte entdecken. Dabei wollen wir
herausfinden, wo die reine Wellenvorstellung an ihre Grenzen stößt.

 4.4.2. Simulationsprogramm

Die SchülerInnen sollen das Arbeitsblatt 2 mit Hilfe einer Simulation in kleinen Gruppen
durcharbeiten. Die Simulation kann von Müller und Wiesner (2000, [8]) unter folgenden Link
heruntergeladen werden: https://www.milq.info/materialien/simulationsprogramme/

 Abbildung 4.2: Simulationsprogramm:
 Quelle: eigene Darstellung

Abbildung 4.2 zeigt den Versuchsaufbau eines Doppelspaltexperiments. Von der Quelle
ganz rechts treffen die Teilchen auf eine Blende (Doppelspalt). Zwischen dem Schirm (links)
und der Blende befindet sich eine Lichtquelle.

Bevor die SchülerInnen mit der Ausarbeitung beginnen, sollte die Simulation grundlegend
erklärt werden.

Mögliche Einstellungen:
 33

Die Quelle kann auf verschiedene Teilchen beziehungsweise Objekte und Energien
eingestellt werden.
Bei der Blende (in Abbildung 4.2 auf einen Doppelspalt eingestellt) können der
Spaltabstand und die Spaltbreite variiert werden. Zusätzlich können die beiden Spalten
einzeln aktiviert werden, eine der beiden Spalten kann sozusagen verschlossen werden.
Am Schirm kann der Zoomfaktor eingestellt werden und der theoretische Verlauf, sowie die
Auswertung aktiviert werden. Mit dem „Fotostreifen“ können drei Messergebnisse archiviert
werden.
Die Lampe kann auf verschiedene Intensitäten und Wellenlängen eingestellt werden.

 34

4.4.3. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/
 Angabe
Diskutieren Sie bei den folgenden Fragen, welche Ergebnisse Sie erwarten und überprüfen
Sie im Anschluss Ihre Antworten.
Öffnen Sie das vierte Simulationsprogramm zum Doppelspalt zu finden auf:
https://www.milq.info/materialien/simulationsprogramme/

1) Stellen Sie die Teilchenquelle auf Neutronen mit einer Energie von 100 µ ein. Wählen
Sie bei der Blende eine Spaltbreite von 30 µm und einen Spaltabstand von 150 µ . Stellen
Sie einen 1000-fachen Zoom ein

1.1) Schalten Sie die Neutronenquelle für wenige Sekunden ein. Was können Sie nach
wenigen Teilchen beobachten?
1.2) Was können Sie nach einiger Zeit beobachten, wenn immer mehr Neutronen
abgebildet werden?
1.3) Welche Vorhersage können Sie über den Ort eines einzelnen Neutrons am Schirm
treffen?
1.4) Welche Vorhersagen können über das Schirmbild von vielen Neutronen getroffen
werden?
1.5) Untersuchen Sie von welchen Parametern das Interferenzmuster abhängig ist. Es
empfiehlt sich dabei am Schirm die beiden Optionen „theo. Verlauf“ und „Auswertung“ zu
aktivieren.

2a) Setzen Sie den Schirm mit der Taste „Reset“ zurück. Schließen Sie eine der beiden
Spalten. Schalten Sie die Neutronenquelle ein, bis ein Interferenzmuster am Schirm
erkennbar ist. Wählen Sie unter Schirm/ Archiv das erste Kamerasymbol „Streifen 1
belichten“ und fertigen Sie einen Fotostreifen an.
Führen Sie denselben Vorgang mit dem anderen Spalt durch. Wählen Sie „Streifen 2
belichten“.
Öffnen Sie beide Spalten und fertigen Sie einen dritten Streifen an.
Aktivieren Sie unter Archiv den Button „Fotostreifen“, stellen Sie die Ansicht auf „vorn“ und
kopieren Sie die drei Fotostreifen in diese Datei.

2b) Führen Sie dieselbe Versuchsreihe mit den Teilchentyp „Farbspray“ (klassische
Teilchen) durch.
Vergleichen Sie beide Versuchsreihen. Fassen Sie die Unterschiede und die
überraschenden Beobachtungen zusammen.

Bonus: Führen Sie die Versuchsreihe 2a mit eingeschalteter Lampe durch. Wählen Sie als
Teilchen Elektronen. Welche Unterschiede können Sie beobachten? (Hier sollte erwähnt
werden, dass durch Einschalten der Lampe die Elektronen bei einem der beiden Spalten
kurz aufleuchten. Dies kann man leider nur schwer erkennen.)

 35

4.4.4. Arbeitsblatt 2: Doppelspaltversuch mit einzelnen Teilchen/ Lösung
Diskutieren Sie bei den folgenden Fragen, welche Ergebnisse Sie erwarten und überprüfen
Sie im Anschluss Ihre Antworten.
Öffnen Sie das vierte Simulationsprogramm zum Doppelspalt, zu finden auf:
https://www.milq.info/materialien/simulationsprogramme/

1) Stellen Sie die Teilchenquelle auf Neutronen mit einer Energie von 100 µ ein. Wählen
Sie bei der Blende eine Spaltbreite von 30 µm und einen Spaltabstand von 150 µ . Stellen
Sie einen 1000-fachen Zoom ein

1.1) Schalten Sie die Neutronenquelle für wenige Sekunden ein? Was können Sie nach
wenigen Teilchen beobachten?

Jedes Neutron erscheint als Punkt am Schirm. Die Verteilung scheint keinem Muster zu
folgen.

1.2) Was können Sie nach einiger Zeit beobachten, wenn immer mehr Neutronen
abgebildet werden?

 Abbildung 4.3:Interferenzmuster
 Quelle: eigene Darstellung

Mit steigender Anzahl an Teilchen erkennt man den Aufbau eines Interferenzmuster. Dieses
erinnert an das Interferenzmuster eines Lasers (Abbildung 4.1).

1.3) Welche Vorhersage können Sie über den Ort eines einzelnen Neutrons am Schirm
treffen?

 36

Der exakte Ort am Schirm eines Neutrons kann nicht vorhergesagt werden. Die Neutronen
sind jedoch nicht gleichmäßig verteilt. Es gibt Bereiche, wo die Neutronen gehäuft auftreten
beziehungsweise kaum oder gar nicht aufzufinden sind.

1.4) Welche Vorhersagen können über das Schirmbild von vielen Neutronen getroffen
werden?

Bei einer ausreichend großen Anzahl an Neutronen beobachtet man stets ein
streifenförmiges Inferenzmuster. In der Mitte sind die Streifen schmal und dunkel (es treffen
also dort viele Neutronen auf), nach außen werden sie breiter und heller. Die weißen
Streifen dazwischen wurden von keinem Teilchen getroffen.

1.5) Untersuchen Sie, von welchen Parametern das Interferenzmuster abhängig ist. Es
empfiehlt sich dabei am Schirm die beiden Optionen „theo. Verlauf“ und „Auswertung“ zu
aktivieren.

Das Interferenzmuster ist abhängig von der Energie der Neutronen, der Breite und dem
Abstand der Spalten und vom Teilchentyp.

2a) Setzen Sie den Schirm mit der Taste „Reset“ zurück. Schließen Sie eine der beiden
Spalten. Schalten Sie die Neutronenquelle ein, bis ein Interferenzmuster am Schirm
erkennbar ist. Wählen Sie unter Schirm/ Archiv das erste Kamerasymbol „Streifen 1
belichten“ und fertigen Sie einen Fotostreifen an.
Führen Sie denselben Vorgang mit dem anderen Spalt durch. Wählen Sie „Streifen 2
belichten“.
Öffnen Sie beide Spalten und fertigen Sie einen dritten Streifen an.
Aktivieren Sie unter Archiv den Button „Fotostreifen“, stellen Sie die Ansicht auf „vorn“ und
kopieren Sie die drei Fotostreifen in diese Datei.

 Abbildung 4.4: Verteilung der Neutronen: oben: rechte Spalte geöffnet; Mitte: linke
 Spalte geöffnet; unten: beide Spalten geöffnet
 Quelle: eigene Darstellung

 37

Eigentlich würde man erwarten, dass überall mehr Neutronen auftreffen, wenn beide
Spalten offen sind. In den weißen Streifen ist aber ganz klar das Gegenteil der Fall!

2b) Führen Sie dieselbe Versuchsreihe mit den Teilchentyp „Farbspray“ (klassische
Teilchen) durch.

 Abbildung 4.5: Verteilung eines klassischen Teilchens
 Quelle: eigene Darstellung

Um den Unterricht etwas aufzulockern kann mit Papier und einem Farbspray dieser Teil
des Versuchs im Schulunterricht als reales Experiment durchgeführt werden.

Vergleichen Sie beide Versuchsreihen. Fassen Sie die Unterschiede und die
überraschenden Beobachtungen zusammen.

Das Interferenzmuster von klassischen Teilchen beim Doppelspalt deckt sich mit der
Summe Interferenzmuster der einzelnen Spalten. Hier beobachten wir keine
Überraschungen.

Das Interferenzmuster von Neutronen beim Doppelspalt stimmt nicht mit der Summe der
Interferenzmuster der einzelnen Spalten überein. Man beobachtet deutlich mehr Minima
und Maxima. Besonders überraschend sind die Minima in der Mitte, die in der klassischen
Ausbreitungsrichtung des Neutrons zu finden sind. In der Vorstellung, dass sich
mikroskopische Objekte (hier die Neutronen) nicht anders verhalten als die kleinen

 38

Farbpartikel, geht jeweils die Hälfte der Teilchen durch einen Spalt. Das Öffnen oder
Schließen einzelner Spalten sollte keinen Einfluss auf das Interferenzmuster nehmen.

3) Führen Sie die Versuchsreihe 2a mit eingeschalteter Lampe durch. Wählen Sie als
Teilchen Elektronen. Welche Unterschiede können Sie beobachten? (Hier sollte erwähnt
werden, dass durch Einschalten der Lampe die Elektronen bei einem der beiden Spalten
kurz aufleuchten. Dies kann man leider nur schwer erkennen.)

 Abbildung 4.6: Versuchsreihe mit eingeschalteter Lampe
 Quelle: eigene Darstellung

Wenn die Lampe eingeschaltet ist, stimmt das Interferenzmuster beim Doppelspalt mit der
Summe der einzelnen Spalten überein. Elektronen sind aber noch deutlich kleiner als
Neutronen: Warum verhalten sich diese wie die Farbteilchen?

 39

4.5. Zusammenfassung/Wesenszüge der
 Quantenquantenmechanik:

Nach Küblbeck und Müller (2002, [12]) können die „Wesenszüge der Quantenmechanik“
auf vier Wesenszüge reduziert werden. Jeder Wesenszug wird im Folgenden mit Hilfe der
Beobachtungen des Arbeitsblatts 2 erklärt.

Wesenszug 1: Statistisches Verhalten

Für jedes Neutron erhalten wir exakt einen Punkt am Schirm. Eine Vorherrage des exakten
Orts am Schirm für ein einzelnes Teilchen ist nicht möglich. Eine Vorhersage für das
Messergebnis von viele Neutronen ist über statistische Gesetzmäßigkeiten möglich. Für
einzelne Ereignisse müssen wir uns mit Wahrscheinlichkeiten begnügen.

Wesenszug 2: Fähigkeit zur Interferenz

Einzelne Teilchen, in unserem Fall Neutronen oder Elektronen, tragen unter den richtigen
Versuchsbedingungen zu einem Interferenzmuster bei. Die Voraussetzung für
Interferenzmuster ist, dass es mehr als eine klassische Möglichkeit gibt, hier zwei Spalten.
Ein einzelnes Neutron interferiert sozusagen mit sich selbst. Die klassische Eigenschaft
„Ort“ wird bei quantenmechanischen Teilchen ersetzt durch
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Wie können nicht sagen, durch welche der beiden
Spalten ein Neutron gegangen ist.

Wesenszug 3: Eindeutige Messergebnisse

Jedes Neutron wird an einem exakten Ort gefunden. Der Ort eines quantenmechanischen
Teilchens ist vor der Messung unbestimmt. Bei der Messung „entscheidet“ sich das
Teilchen sozusagen für einen bestimmten Ort.

Wesenszug 4: Komplementarität

Durch die Lampe beobachten wir, welchen Spalt das Elektron wählt. Diese Ortmessung
bewirkt das Verschwinden des Interferenzmuster. Interferenzmuster und die Information,
welche Spalte gewählt wurde („Welcher-Weg-Information“), schließen einander aus.

 40

4.6. Formalismus und Wellenfunktion
 4.6.1. Wahrscheinlichkeitsdichte:
Mit dem Doppelspaltversuch wird die Wellennatur von Neutronen, Photonen, Elektronen
oder anderen Quantenteilchen ersichtlich. Zusätzlich wissen wir, dass wir nur
Wahrscheinlichkeitsaussagen zu Einzelereignisse treffen können. Doch wie können wir die
„Materiewellen“ formal beschreiben?

Bei den Simulationsversuchen können wir die Intensitätsverteilung der einzelnen
Quantenobjekte beobachten. Die Größe ( ) bezeichnet Wahrscheinlichkeitsdichte 6
beziehungsweise Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.

 Abbildung 4.7: Wahrscheilichkeitsdichte ( ) beim Doppelspaltversuch
 Quelle: Müller (2000, S. 47, [9])

Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann mit dem Simulationsprogramm mit dem Button „theor.
Verlauf“ gut veranschaulicht werden.

Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der ein Quantenteilchen bei einer
Messung im Intervall ∆ nachgewiesen wird. Mit der Rechnung ( ) ∙ ∆ kann diese
Wahrscheinlichkeit bestimmt werden.

Verständnisfrage:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen am Ort zu finden?

6
 Anmerkung: Stoff in der 5. Klasse HAK
 41