TI-30X Pro MathPrint Heinz Klaus Strick Arbeitsblätter für den - Für Sekundarstufe I und Sekundarstufe II Arithmetik und Algebra Analysis ...
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Heinz Klaus Strick Arbeitsblätter für den TI-30X Pro MathPrint ™ Für Sekundarstufe I und Sekundarstufe II Arithmetik und Algebra Analysis Stochastik Analytische Geometrie
Dieses und weiteres Material steht Ihnen auf der TI Materialdatenbank zum Download bereit: www.ti-unterrichtsmaterialien.net © 2018 Texas Instruments Dieses Werk wurde in der Absicht erarbeitet, Lehrerinnen und Lehrern geeignete Materialien für den Unterricht an die Hand zu geben. Die Anfertigung einer notwendigen Anzahl von Fotokopien für den Einsatz in der Klasse, einer Lehrerfortbildung oder einem Seminar ist daher gestattet. Hierbei ist auf das Copyright von Texas Instruments hinzuweisen. Jede Verwertung in anderen als den genannten oder den gesetzlich zugelassenen Fällen ist ohne schriftliche Genehmigung von Texas Instruments nicht zulässig. Alle Warenzeichen sind Eigentum ihrer Inhaber.
Einführung
Diese Sammlung von Arbeitsblättern für den Mathematikunterricht soll dazu anregen, den Schulrechner
TM
TI-30X Pro MathPrint von Texas Instruments und die Möglichkeiten seines Einsatzes kennenzulernen.
Die Auswahl der Blätter erfolgte nach dem Gesichtspunkt, möglichst viele verschiedene Themen des Mathe-
matikunterrichts – vor allem aus Sekundarstufe II – anzusprechen, bei denen Rechnungen erforderlich sind,
die über die bloße Anwendung der Grundrechenarten oder die Berechnung von Funktionswerten der
verschiedenen Funktionstypen hinausgehen.
TM
Zu den besonderen Möglichkeiten des TI-30X Pro MathPrint gehören
- das Erstellen von Wertetabellen gleichzeitig zu zwei Funktionen (die zweite Funktion kann beispiels-
weise die Ableitungsfunktion sein),
- die Möglichkeit, Listen zu erstellen und mit den Werten aus diesen Listen neue Listen zu erstellen,
- die drei Gleichungslöser (für die exakte Lösung von Gleichungen 2. und 3. Grades, für die nume-
rische Lösung beliebiger Gleichungen, für die Lösung von Gleichungssystemen 2. und 3. Ordnung
(auch von unterbestimmten Systemen),
- die Berechnung der numerischen Ableitung und der numerischen Integration,
- die Optionen zur Bildung von Summen- und Produkttermen,
- die Rechenoperationen mit Matrizen und Vektoren,
- die enthaltenen Wahrscheinlichkeitsfunktionen (Binomial-, Normal-, Poissonverteilung),
- die Statistikoptionen (z. B. Quartile, mehrere Regressionsmodelle, Korrelation).
Durch die getroffene Auswahl der Beispiele werden die Stärken dieses Rechnertyps sichtbar; allerdings
werden auch die Grenzen deutlich – insbesondere hinsichtlich der Frage der grafischen Darstellung von
Ergebnissen. Aus diesem Grunde sind auf den entsprechenden Arbeitsblättern verschiedene Grafiken zu
TM
sehen, die mit dem TI-Nspire erstellt werden mussten.
Die Arbeitsblätter können die Verwendung von Schulbüchern nicht ersetzen, da auf die Theorie zu den
angewandten Algorithmen nur teilweise und sicherlich nicht umfassend genug eingegangen werden kann;
aus Gründen des Umfangs musste auch eine Auswahl an Fragestellungen getroffen werden, die nicht alle in
den Lehrplänen enthaltenen Anforderungen abdeckt. Da sehr viele Themen des Mathematikunterrichts
angesprochen werden, werden durch die Vielfalt der Beispiele Anregungen für weitere Einsatzmöglichkeiten
des Schulrechners gegeben.
Es wurde darauf verzichtet, das Eintippen von Tastenfolgen darzustellen (die notwendigen Informationen
entnehme man dem Handbuch); andererseits werden durch die absichtlich große Anzahl von abgebildeten
Screenshots die erforderlichen Einzelschritte zur Lösung eines Problems deutlich gemacht. Insofern können
die Arbeitsblätter auch dazu dienen, bestimmte Funktionen des Schulrechners kennenzulernen. Screenshots
ersetzen an vielen Stellen auch Erklärungen von Rechenvorgängen, da diese aus den Abbildungen ent-
nommen werden können.
Die Arbeitsblätter sind so aufgebaut, dass zunächst ein Problem (Beispiel-Aufgabe) gestellt wird, dessen
TM
Lösung anschließend mithilfe des TI-30X Pro MathPrint erfolgt. Am Ende eines Arbeitsblatts sind weitere
Übungsaufgaben aufgeführt, die ähnlich wie die ausgeführte Lösung bearbeitet werden sollen. Die Lösungen
sind in der Regel so ausführlich, dass die Arbeitsblätter auch zum selbstständigen Lernen eingesetzt werden
können; durch die Übungsaufgaben ist eine Kontrolle des Gelernten möglich. Bei einigen Themen wurden
Doppelseiten angelegt, insbesondere dann, wenn alternative Lösungswege möglich sind.
TM
Viel Freude bei der Arbeit mit dem TI-30X Pro MathPrint !
Leverkusen, im September 2018
Heinz Klaus Strick
© 2018 Texas Instruments Seite 3Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für
für Sekundarstufe
Sekundarstufe II 61
Addieren
Addieren und
und Subtrahieren
Subtrahieren von
von Brüchen
Brüchen 61
Multiplizieren
Multiplizieren und
und Dividieren
Dividieren von
von Brüchen
Brüchen 72
Kennenlernen
Kennenlernen der
der Rechner-Optionen
Rechner-Optionen 83
Kennenlernen der Rechner-Optionen
Kennenlernen der Rechner-Optionen 94
Wie
Wie groß
groß ist
ist die
die Anzahl
Anzahl der
der Primteiler?
Primteiler? (Spiel)
(Spiel) 105
Was
Was ist
ist der
der ggT
ggT von
von zwei
zwei gewürfelten
gewürfelten Augenzahlen?
Augenzahlen? (Spiel)
(Spiel) 116
Terme
Terme aufstellen
aufstellen –– Berechnen
Berechnen von
von Summen
Summen 127
Vergleich
Vergleich von statistischen Daten mithilfe des
von statistischen Daten mithilfe des Medians
Medians und
und der
der Quartile
Quartile (Doppelseite)
(Doppelseite) 138
Lösen
Lösen eines
eines linearen
linearen Gleichungssystems
Gleichungssystems mit
mit zwei
zwei Gleichungen
Gleichungen und
und zwei
zwei Variablen
Variablen 10
15
Kontrolle
Kontrolle der
der Gleichung
Gleichung einer
einer Geraden
Geraden durch
durch zwei
zwei gegebene
gegebene Punkte
Punkte 11
16
Bestimmen
Bestimmen einer
einer Geradengleichung
Geradengleichung zuzu gegebenen
gegebenen Punkten
Punkten 12
17
Umformung von Wurzeltermen
Umformung von Wurzeltermen 13
18
Erstellen
Erstellen von
von Wertetabellen
Wertetabellen für
für quadratische
quadratische Funktionen
Funktionen 14
19
Kontrolle
Kontrolle der
der Gleichung
Gleichung einer
einer Parabel
Parabel durch
durch drei
drei gegebene
gegebene Punkte
Punkte 15
20
Bestimmen
Bestimmen der
der Nullstellen
Nullstellen // des
des Scheitelpunkts
Scheitelpunkts einer
einer quadratischen
quadratischen Funktion
Funktion 16
21
Numerische Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion
Numerische Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion 17
22
Bestimmen
Bestimmen der
der Lösung
Lösung einer
einer quadratischen
quadratischen Gleichung
Gleichung (mit
(mit Wurzeltermen)
Wurzeltermen) 18
23
Bestimmen
Bestimmen eines
eines Rechtecks
Rechtecks mit
mit mögichst
mögichst großem
großem Flächeninhalt
Flächeninhalt 19
24
Bestimmen
Bestimmen der
der Verdopplungszeit
Verdopplungszeit bei
bei Wachstumsprozessen
Wachstumsprozessen 20
25
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für
für Sekundarstufe
Sekundarstufe IIII 21
26
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter zur
zur Analysis
Analysis 21
26
Berechnen
Berechnen einer
einer Wertetabelle
Wertetabelle –– Darstellung
Darstellung der
der auftretenden Zahlen 21
26
Nullstellenbestimmung
Nullstellenbestimmung für
für ganzrationale
ganzrationale Funktionen
Funktionen 3. Grades (exakte Methode) 22
27
Nullstellenbestimmung
Nullstellenbestimmung für
für ganzrationale
ganzrationale Funktionen
Funktionen 3. Grades (numerische Methode) 23
28
Nullstellenbestimmung
Nullstellenbestimmung für
für ganzrationale
ganzrationale Funktionen
Funktionen 4. Grades 24
29
Einführung
Einführung in
in die
die Differenzialrechnung:
Differenzialrechnung: Untersuchung
Untersuchung von Sekantensteigungen (Doppelseite) 25
30
Bestimmen
Bestimmen vonvon Extrempunkten
Extrempunkten einer
einer Funktion
Funktion (mithilfe
(mithilfe einer Wertetabelle) 27
32
Untersuchung
Untersuchung des
des Monotonieverhaltens
Monotonieverhaltens und
und Bestimmung von Extrempunkten 28
33
Exakte Bestimmung von Extrempunkten (ganzrat.
Exakte Bestimmung von Extrempunkten (ganzrat. Fkt. 4. Grades) 29
34
Bestimmen
Bestimmen von
von Wendepunkten
Wendepunkten eines
eines Graphen
Graphen (mithilfe einer Wertetabelle) 30
35
Einführung
Einführung der
der Integralrechnung
Integralrechnung –– Bestimmen
Bestimmen von
von Ober-
Ober- und
und Untersummen
Untersummen (Doppelseite)
(Doppelseite) 31
36
Integralrechnung:
Integralrechnung: Bestimmen
Bestimmen von
von Flächen
Flächen zwischen
zwischen Graph
Graph und
und x-Achse
x-Achse (Einführung)
(Einführung) 33
38
Numerische Integration: Flächen zwischen Graph und x-Achse (1) – ganzzahlige Nullstellen
Numerische Integration: Flächen zwischen Graph und x-Achse (1) – ganzzahlige Nullstellen 34
39
Numerische
Numerische Integration:
Integration: Flächen
Flächen zwischen
zwischen Graph
Graph und
und x-Achse
x-Achse (2)
(2) –
– nicht-ganzzahlige
nicht-ganzzahlige Nullstellen
Nullstellen 35
40
Numerische
Numerische Integration:
Integration: Flächen
Flächen zwischen
zwischen Graph
Graph und
und x-Achse
x-Achse (3)
(3) –
– ganzrat.
ganzrat. Funktion 4. Grades
Funktion 4. Grades 36
41
Numerische
Numerische Integration:
Integration: Flächen
Flächen zwischen
zwischen Graph
Graph und
und x-Achse
x-Achse (4)
(4) –
– gebrochenrationale Funktionen
gebrochenrationale Funktionen 37
42
Numerische Integration: Flächen zwischen Graph und x-Achse (5) – Exponentialfunktion
Numerische Integration: Flächen zwischen Graph und x-Achse (5) – Exponentialfunktion 38
43
Integralrechnung:
Integralrechnung: Untersuchung
Untersuchung von von Integralfunktionen
Integralfunktionen 39
44
Bestimmung
Bestimmung der
der Nullstellen
Nullstellen einer
einer Integralfunktion
Integralfunktion (Doppelseite)
(Doppelseite) 40
45
Seite 4 © 2018 Texas InstrumentsArbeitsblätter
Arbeitsblätter zur
zur Linearen
Linearen Algebra
Algebra // Analytischen
Analytischen Geometrie
Geometrie // Matrizen
Matrizen 42
47
Lösen
Lösen eines
eines linearen
linearen Gleichungssystems
Gleichungssystems mitmit drei
drei Gleichungen
Gleichungen und
und drei
drei Variablen
Variablen 42
47
Sonderfälle
Sonderfälle bei
bei linearen
linearen Gleichungssystemen
Gleichungssystemen mit
mit drei
drei Variablen
Variablen 43
48
Länge und Orthogonalität von Vektoren
Länge und Orthogonalität von Vektoren 44
49
Winkel
Winkel zwischen
zwischen Vektoren,
Vektoren, Geraden,
Geraden, Ebenen
Ebenen –– die
die ∑–Option
�–Option des des Rechners
Rechners (Doppelseite)
(Doppelseite) 45
50
Anwendung
Anwendung desdes Vektorprodukts:
Vektorprodukts: Bestimmen
Bestimmen eines
eines orthogonalen
orthogonalen Vektors
Vektors 47
52
Darstellung von Ebenen: Von der Parameterdarstellung zur Koordinatengleichung
Darstellung von Ebenen: Von der Parameterdarstellung zur Koordinatengleichung 48
53
Lagebeziehungen
Lagebeziehungen vonvon Geraden
Geraden 49
54
Abstand
Abstand eines
eines Punktes
Punktes von
von einer
einer Geraden
Geraden 50
55
Übergangsmatrizen:
Übergangsmatrizen: Bestimmung
Bestimmung von
von Zustandsvektoren
Zustandsvektoren (1)
(1) 51
56
Übergangsmatrizen:
Übergangsmatrizen: Bestimmung
Bestimmung von
von Zustandsvektoren
Zustandsvektoren (2)
(2) –– Inverse
Inverse Matrix 52
57
Übergangsmatrizen:
Übergangsmatrizen: Bestimmung
Bestimmung von
von Zustandsvektoren
Zustandsvektoren (3)
(3) –– Fixvektor
Fixvektor 53
58
Verflechtungsmatrizen:
Verflechtungsmatrizen: Bedarfsberechnungen
Bedarfsberechnungen 54
59
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter zur
zur Regressions-
Regressions- und
und Korrelationsrechnung
Korrelationsrechnung 55
60
Regressionsrechnung:
Regressionsrechnung: Modellieren
Modellieren durch
durch eine
eine lineare
lineare Funktion
Funktion 55
60
Regressionsrechnung: Modellieren durch eine lineare Funktion
Regressionsrechnung: Modellieren durch eine lineare Funktion (proportionaler
(proportionaler Fall)
Fall) 56
61
Regressionsrechnung:
Regressionsrechnung: Modellieren
Modellieren durch
durch eine
eine quadratische
quadratische Funktion
Funktion 57
62
Regressionsrechnung:
Regressionsrechnung: Modellieren
Modellieren durch
durch eine
eine Exponentialfunktion
Exponentialfunktion 58
63
Regressionsrechnung:
Regressionsrechnung: Modellieren
Modellieren einer
einer antiproportionaler
antiproportionaler Beziehung
Beziehung 59
64
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter zur
zur Stochastik
Stochastik 60
65
Binomialkoeffizienten
Binomialkoeffizienten –– Gewinnwahrscheinlichkeiten
Gewinnwahrscheinlichkeiten beim Lottospiel 66 aus
beim Lottospiel aus 49
49 60
65
Bestimmen
Bestimmen einer
einer Binomialverteilung
Binomialverteilung (vollständige
(vollständige Verteilung)
Verteilung) 61
66
Bestimmen
Bestimmen einer
einer Binomialverteilung
Binomialverteilung (einzelne
(einzelne Werte)
Werte) 62
67
Berechnung
Berechnung des
des Erwartungswerts
Erwartungswerts und
und der
der Varianz
Varianz von
von Binomialverteilungen
Binomialverteilungen (Doppelseite)
(Doppelseite) 63
68
Optimierung der Annahme von Flugbuchungen
Optimierung der Annahme von Flugbuchungen 65
70
Bestimmen
Bestimmen von
von Intervall-Wahrscheinlichkeiten
Intervall-Wahrscheinlichkeiten bei
bei einer
einer Binomialverteilung
Binomialverteilung (Doppelseite)
(Doppelseite) 66
71
Bestimmen
Bestimmen von
von 95
95 %-
%- Umgebungen
Umgebungen umum den
den Erwartungswert
Erwartungswert (sigma-Regel)
(sigma-Regel) 68
73
Bestimmen
Bestimmen von
von sigma-Umgebungen
sigma-Umgebungen um um den
den Erwartungswert
Erwartungswert 69
74
Schluss von
Schluss von der
der Gesamtheit
Gesamtheit auf
auf die
die Stichprobe:
Stichprobe: Punkt-
Punkt- und
und Intervallschätzung
Intervallschätzung 75
70
Testen
Testen von
von Hypothesen
Hypothesen –– Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für
für einen
einen Fehler
Fehler 2.
2. Art
Art 71
76
Schluss von
Schluss von der
der Stichprobe
Stichprobe auf
auf die
die Gesamtheit:
Gesamtheit: Konfidenzintervall-Bestimmung
Konfidenzintervall-Bestimmung (Doppelseite)
(Doppelseite) 77
72
Das klassische
Das klassische Geburtstagsproblem
Geburtstagsproblem und
und Variationen
Variationen 79
74
Bestimmen von
Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten bei
bei normalverteilten
normalverteilten Zufallsgrößen
Zufallsgrößen 80
75
Approximation der
Approximation der Binomialverteilung
Binomialverteilung durch
durch die
die Poisson-Verteilung
Poisson-Verteilung 81
76
© 2018 Texas Instruments Seite 5Arbeitsblätter für den TI-30X Pro MathPrint TM
Heinz Klaus Strick
Gebiet: Arithmetik Einsatz ab Stufe 5 (auch zur Wiederholung geeignet)
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Beispiel-Aufgabe:
Notiere die Zwischenschritte, die vom TR bei der folgenden Rechenaufgabe intern vorgenom-
men werden.
Hinweise: Eingabe einer gemischten Zahl mithilfe von ∂, eines Bruchs mithilfe von k
Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch und umgekehrt mithilfe
von Option 1 im t-Menü
Gemischte Zahlen, die als zweiter Summand bzw. als Subtrahend auftreten, werden vom TR
automatisch in Klammern gesetzt.
Erläuterung der Lösung:
Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert).
Daher müssen zunächst die Brüche gleichnamig gemacht werden.
5 11 15 22 37 1 145 5 11 41 11 123 22 145 1
3 + =3+ + =3+ =4 = 3 + = + = + = =4
12 18 36 36 36 36 36 12 18 12 18 36 36 36 36
Übungsaufgaben
Welche Umformungen wurden vorgenommen? Notiere die fehlenden Zwischenschritte.
Wenn das Ergebnis ein unechter Bruch ist, notiere es auch als gemischte Zahl.
Seite 6 © 2018 Texas InstrumentsTM
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für denfür den TI-30X
TI-30X Pro MathPrint
Pro MathPrint TM
HeinzSeite 2
Klaus Strick
Gebiet: Arithmetik Einsatz ab Stufe 5 (auch zur Wiederholung geeignet)
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
Beispiel-Aufgabe
Notiere die fehlenden Zwischenschritte.
Verwendete Optionen des TI-30X Pro MathPrintTM:
• Eingabe der gemischten Zahl mithilfe von ∂, eines Bruchs mithilfe von k
• Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch und umgekehrt ( t-Menü )
Hinweis: Gemischte Zahlen, die als zweiter Faktor auftreten, werden vom TR automatisch in
Klammern gesetzt.
Erläuterung der Lösung: Brüche werden miteinander multipliziert, indem man die Zähler
multipliziert und durch das Produkt der Nenner teilt. Vor dem Ausmultiplizieren ist nach
Möglichkeit zu kürzen.
5 8 5⋅8 1 2 2
⋅ = = ⋅ =
12 15 12 ⋅ 15 3 3 9
Übungsaufgaben
Welche Umformungen wurden vorgenommen? Notiere die fehlenden Zwischenschritte.
Wenn das Ergebnis ein unechter Bruch ist, notiere es auch als gemischte Zahl.
©Texas
© 2018 Texas Instruments
Instruments 2018 Autor: Heinz Klaus Strick
Seite 7TM
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für denfür den TI-30X
TI-30X Pro MathPrint
Pro MathPrint TM
HeinzSeite 3
Klaus Strick
Gebiet: Arithmetik Einsatz ab Stufe 5
Kennenlernen der Rechner-Optionen - Befehle im t-Menü
n/d = numerator/denominator
= Zähler/Nenner
U = unit = ganze Zahl
lcm = kgV
= least common multiple
= kleinstes gemeinsames
Vielfaches
gcd = ggT
= greatest common divisor
= größter gemeinsamer Teiler
Pfactor
= prime factorization
= Primfaktorzerlegung
Der erste und der vierte Befehl verlangt die Eingabe einer Zahl (deshalb steht dort �ans“). Der
zweite und dritte Befehl erwartet die Angabe von zwei natürlichen Zahlen, die durch ein Komma
, voneinander getrennt werden. Auf die abschließende Klammer kann verzichtet werden.
Übungsaufgaben
Bestimme die Lösung
zunächst im Kopf!
Bestimme die Lösung
zunächst im Kopf!
Was hat das mit den voran-
gehenden Aufgaben zu tun?
Welche Gesetzmäßigkeit
steckt dahinter?
Probiere zunächst mit
kleineren Zahlen aus.
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Seite 8
Autor: Heinz Klaus Strick
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Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für denfür den TI-30X
TI-30X Pro MathPrint
Pro MathPrint TM
HeinzSeite 4
Klaus Strick
Gebiet: Arithmetik Einsatz ab Stufe 6
Kennenlernen der Rechner-Optionen - Befehle im t-Menü
round = runden
Wichtig ist die Angabe, auf wie
viele Dezimalstellen gerundet
werden soll.
iPart = integer part
= ganzzahliger Anteil
fPart = fraction part
= Bruch Anteil (nach Abzug
des ganzzahligen Anteils)
min = Minimum
max = Maximum
(jeweils von zwei Zahlen)
Umwandeln eines Bruchs in
eine Dezimalzahl durch die
c-Taste
int = ganzzahliges Ergebnis
mod = Rest bei einer Division
Übungsaufgaben
Bestimme die Lösung
zunächst im Kopf!
Bestimme die Lösung
zunächst im Kopf!
Bestimme die Lösung
zunächst im Kopf!
Bestimme die Lösung
zunächst im Kopf!
© Texas Instruments 2018
© 2018 Texas Instruments
Autor: Heinz Klaus Strick
Seite 9TM
Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für denfür den TI-30X
TI-30X Pro MathPrint
Pro MathPrint TM
HeinzSeite 5
Klaus Strick
Gebiet: Stochastik Einsatz ab Stufe 5
Wie groß ist die Anzahl der Primteiler? (Spiel)
Beispiel-Aufgabe
Mithilfe des Zufallszahlengenerators des TI-Schulrechners werde eine natürliche Zahl aus der
Menge {1, 2, …, 1000} gewählt. Wie viele Primteiler enthält diese Zahl?
Erläuterung der Lösung
Eine solche ganzzahlige Zufallszahl erzeugt der Taschenrechner mithilfe des randint-Befehls
im ‡-Menü; dabei wird durch die erste Eingabe (1) die kleinst-mögliche der zu erzeugenden
Zahlen festgelegt, durch die zweite Eingabe (1000) die größt-mögliche natürliche Zahl.
Durch den Pfactor-Befehl im t-Menü wird die Zerlegung der Zahl in Primfaktoren veranlasst;
dabei weist �ans“ (= answer) darauf hin, dass der Pfactor-Befehl das Ergebnis des vorangehen-
den Befehls verarbeitet.
An den Antworten lesen wir ab, dass die Zahl 977 eine Primzahl ist, die Zahl 561 drei Primteiler
besitzt und die Zahl 272 nur zwei Primteiler, nämlich die beiden Primzahlen 2 und 17.
Übungsaufgaben
1. Mache ein Spiel mit einem Partner: Jeder von euch erzeugt eine Zufallszahl und bestimmt mit
dem TI-Schulrechner die Anzahl der Primfaktoren. Gewonnen hat, wer die größere [kleinere]
Anzahl von Primteilern hat. Wenn die Anzahl gleich ist, muss die Spielrunde wiederholt werden.
Welche der beiden Spielregeln ist günstiger?
Protokolliere, wie oft die Anzahl der Primfaktoren 1, 2, 3, 4 beträgt. (Warum kann die Anzahl
der Primteiler nicht größer als 4 sein?)
Anzahl Primfaktoren 1 2 3 4
absolute Häufigkeit Eintragung der Strichliste
2. Der TI-Schulrechner kann natürliche Zahlen bis 999999 in Primfaktoren zerlegen. Führt in der
Klasse den o. a. Zufallsversuch mit dem Befehl randInt(1,999999) oft durch und protokolliert, wie
oft welcher Fall auftritt. (Warum kann die Anzahl der Primteiler nicht größer als 7 sein?)
Anzahl Primfaktoren 1 2 3 4 5 6 7
absolute Häufigkeit
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Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für denfür den TI-30X
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Klaus Strick
Gebiet: Stochastik Einsatz ab Stufe 5
Was ist der ggT von zwei gewürfelten Augenzahlen? (Spiel)
Beispiel-Aufgabe
Mithilfe des Zufallszahlengenerators des TI-Schulrechners werden zwei natürliche Zahlen aus
der Menge {1, 2, …, 6} erzeugt – das sind die beiden Augenzahlen.
Von diesen beiden Augenzahlen muss dann schnell der größte gemeinsame Teiler bestimmt
werden. Das geht im Kopf, kann aber auch vom TI-Schulrechner erledigt werden.
Erläuterung der Lösung
Mithilfe des Zufallszahlengenerators im ‡-Menü des
TI-Schulrechners kann das Würfeln simuliert werden.
Durch Wiederholung des Befehls sind im Beispiel rechts
nacheinander die Augenzahlen 4 und 3 gewürfelt worden.
Der ggT-Befehl im t-Menü erwartet die Eingabe von zwei natürlichen Zahlen. Um zwei
Zufallszahlen einzugeben, muss man also den randInt-Befehl zweifach eintippen.
Durch Drücken der n-Taste wird der Befehl gcd(randint(1,6),randint(1,6)) wiederholt, sodass
man sehr schnell viele Spielrunden durchführen kann.
Übungsaufgaben
(1) Führe das Spiel sehr oft durch und fertige eine Strichliste an.
ggT der Augenzahlen 1 2 3 4 5 6
absolute Häufigkeit
(2) Der TI-Schulrechner zeigt die beiden Augenzahlen nicht an, sondern bestimmt direkt den
ggT der beiden Augenzahlen und zeigt diesen Wert an.
Bei welchen Werten des ggT kann man darauf zurückschließen, welche beiden Zahlen der TI-
Schulrechner erzeugt hatte?
(3) Man kann das Spiel auch als Wettspiel durchführen. Abwechselnd werden die Ergebnisse
als Punktwerte für die beiden Spieler eingetragen. Wer hat nach 10 Runden die größere Ge-
samtpunktzahl erreicht?
ggT der Augenzahlen 1 2 3 4 5 6 ges.
Spieler 1
Spieler 2
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Arbeitsblätter
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Klaus Strick
Gebiet: Arithmetik Einsatz ab Stufe 7
Terme aufstellen – Berechnen von Summen
Beispiel-Aufgabe
Die Zahlen der Folge 2, 4, 6, 8, … von natürlichen Zahlen lassen sich mithilfe eines einfachen
Terms beschreiben: a(x) = 2 ∙ x, also a(1) = 2 ∙ 1 = 2, a(2) = 2 ∙ 2 = 4, …, a(100) = 200
Auftrag: Berechne die Summe der ersten 100 Glieder dieser Folge, also 2 + 4 + 6 + … + 200
Verwendete Optionen des TI-30X Pro MathPrintTM:
Die Berechnung von Summen von Zahlenfolgen kann mithilfe des sum-Befehls im t-Menü
erfolgen. In die Leerstelle in runden Klammern muss der Term eingesetzt werden; die Variable x
(oder auch y, z, t, a, b, c, d) gibt man über die z-Taste ein. Unter bzw. über das Summen-
zeichen () wird die Nummer des kleinsten und des größten Folgenglieds eingegeben.
Übungsaufgaben
Welche Summe hat der TR berechnet? Welche Zahlen wurden addiert? Notiere jeweils die
ersten drei und die letzten beiden Summanden dieser Summe.
(1) Gib einen Term für die Glieder der Zahlenfolge an mit a(1) = 5, a(2) = 10, a(3) = 15, …
Berechne die Summe der ersten 20 Glieder dieser Folge.
(2) Gib einen Term für die Glieder der Zahlenfolge an mit a(1) = 1, a(2) = 5, a(3) = 9, …
Berechne die Summe der ersten 25 Glieder dieser Folge.
(3) Gib einen Term für die Glieder der Zahlenfolge an mit a(1) = 2, a(2) = 5, a(3) = 8, …
Berechne die Summe der ersten 40 Glieder dieser Folge.
(4) Welche Summe ist größer: die Summe der ersten 20 Quadratzahlen von natürlichen Zahlen
oder die Summe der ersten 75 natürlichen Zahlen?
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Seite 12
Autor: Heinz Klaus Strick
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Arbeitsblätter
Arbeitsblätter für denfür den TI-30X
TI-30X Pro MathPrint
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HeinzSeite 8
Klaus Strick
Gebiet: Beschreibende Statistik Einsatz ab Stufe 6
Vergleich von statistischen Daten mithilfe des Medians und der Quartile
Beispiel-Aufgabe
Um einen Leistungsvergleich herzustellen, wurde in zwei Parallelklassen (a und b) ein Test
durchgeführt. Dabei ergab sich bei den erreichten Punktzahlen folgende Häufigkeitsverteilung.
Vergleiche die beiden Verteilungen. Bestimme dazu den Median und die Quartile.
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
a 1 0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 2 4 0 0 2 3 2 2 1 2 0 1 1
b 0 0 0 0 0 1 1 0 3 1 6 0 5 3 2 2 1 1 0 0 0 0 1 0
Erläuterung der Lösung
Die Daten werden mithilfe des y-Befehls in die zur Verfügung stehenden Listen L1, L2 und L3
eingegeben: in Liste L1 die von den Schülern/innen erreichten Punktzahlen von 16 bis 39
(einschl.) sowie in Liste L2 bzw. Liste L3 die Häufigkeiten, mit denen diese Punktzahlen in den
beiden Klassen vorkamen.
Hinweis: Die Eingabe erfolgt am besten listenweise, d. h., nacheinander die Daten von L1, L2
und dann L3, weil nach Drücken der n-Taste der Cursor jeweils ins nächst-untere und nicht in
das nebenstehende Feld springt.
Die Eingabe der Daten in Liste L1 kann einfacher mithilfe der Option �Sequence“ (= Zahlenfolge)
erfolgen, weil es sich hier um die Folge der natürlichen Zahlen von 16 bis 39 handelt.
Setzt man in den Term 16 + x nacheinander die natürlichen Zahlen 0 bis 23 ein, so ergeben sich
die gewünschten Eintragungen 16, 17, …, 39 in Liste L1.
Wählt man dann die 1-Variablen-Statistik im †-Menü, dann fragt der Rechner noch ab,
welche Listen ausgewertet werden sollen. Um die Leistungen der Klasse a zu bewerten, müssen
die Daten aus Liste L1 (= Punktzahlen) mit den Häufigkeiten (FRQ = frequency) aus Liste L2
untersucht werden
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Autor: Heinz Klaus Strick
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Klaus Strick
Gebiet: Beschreibende Statistik Einsatz ab Stufe 6
Vergleich von statistischen Daten mithilfe des Medians und der Quartile (Forts.)
Gemäß Aufgabenstellung werden die folgenden Daten benötigt:
Minimum = 16 ; unteres Quartil Q1 = 24,5 ; Median = 29,5 ; oberes Quartil 33,5 ; Maximum = 39
Entsprechend untersucht man die Daten aus Klasse b. Hier ergibt sich:
Minimum = 21 ; unteres Quartil Q1 = 26 ; Median = 28 ; oberes Quartil 30 ; Maximum = 38
Der Vergleich der beiden Klassen zeigt: Mithilfe der Daten kann man Boxplots zeichnen,
durch die die Eigenschaften noch deutlicher werden:
Der Median liegt in Klasse a oberhalb
des Medians von Klasse b.
Die Daten der Klasse a streuen jedoch
stärker als die von Klasse b, wie man an
den Quartilen ablesen kann:
50% der Punktwerte liegen in Klasse a
zwischen 24,5 und 33,5, in Klasse b
zwischen 26 und 30.
Außerdem liegen Maximum und
Minimum in Klasse a weiter vom Median
entfernt als in Klasse b.
Hinweis: Auch der Vergleich der Mittelwerte x (= arithmetisches Mittel) zeigt:
Der Mittelwert der Leistungen in Klasse a ist höher als in Klasse b.
Das Streuverhalten um den Mittelwert kann man ebenfalls aus der 1-Variablen-Statistik ablesen:
Die sog. mittlere quadratische Abweichung σX ist in Klasse b deutlich kleiner als in Klasse a.
Hinweis: Eine 1-Variablen-Statistik kann vom TI-Schulrechner
auch für den Fall ermittelt werden, wenn die Daten als ungeord-
nete Liste eingegeben werden (also die Punktwerte der
einzelnen Schüler/innen in beliebiger Reihenfolge).
Für die Auswertung muss dann als Häufigkeit 1 gewählt werden
(also Frequenz ONE).
Übungsaufgabe
Vergleiche die erreichten Punktzahlen der Klasse c mit denen aus Klasse a und b.
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
c 0 1 0 1 1 2 1 0 1 1 3 1 3 2 3 2 1 3 1 1 0 0 0 1
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Heinz Klaus10
Strick
Gebiet: Algebra Einsatz ab Stufe 8
Lösen eines linearen Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Variablen
Beispiel-Aufgabe
Gesucht sind zwei Zahlen x und y, für die gilt:
• Addiert man das Doppelte von x zum Dreifachen von y, so erhält man -5. Subtrahiert man
das Doppelte von y vom Dreifachen von x, so erhält man 12.
Zu lösen ist also das Gleichungssystem: 2x + 3y = -5 und 3x – 2y = 12
Erläuterung der Lösung
Die ›-Option �2x2 LIN EQs“ (linear equations) des TI-Schulrechners erwartet zunächst die
Eingabe der in den beiden Gleichungen auftretenden Zahlen (die sog. Koeffizienten), außerdem
das Rechenzeichen zwischen dem ersten und zweiten Summanden der linken Seite der Glei-
chung (das Rechenzeichen + muss ggf. noch in – abgeändert werden).
Diese gibt man nacheinander ein; nach Drücken der n-Taste springt der Cursor jeweils zum
nächsten einzugebenden Zeichen.
Hat man alle Koeffizienten und das Rechenzeichens eingegeben, erhält man nach Drücken der
n-Taste die Lösung des Gleichungssystems, das ist ein Paar von Zahlen, die gemeinsam die
beiden Gleichungen erfüllen. In der Beispielaufgabe ergibt sich ( 2 | -3 ) als Lösung.
Übungsaufgaben
(1) Löse mithilfe des TI-30X Pro MathPrintTM das Gleichungssystem
2x − 5y = 7 0,3 x − 0,7 y = −0,9
(a) (c)
3 x + 1y = 5 − 0,1x + 0,9 y = 2,3
2 1 3
− 1x + 6 y = 1 x− y =
(b) (d) 3 6 2
5 x − 2y = 2 1 3 3
x+ y =−
2 4 4
(2) Gib auch die nachfolgenden beiden Gleichungssysteme ein. Überlege, was die Rück-
meldung des Rechners bedeutet, und gib eine Begründung hierfür an:
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 8
Kontrolle der Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte
Beispiel-Aufgabe
Zeige: Die Gerade durch die beiden Punkte P (2 | 4) und Q (7 | 6) lässt sich mithilfe der
Gleichung y = 52 x + 165 beschreiben.
Kontrolliere das Ergebnis der Rechnung mithilfe einer linearen Regression.
Erläuterung der Lösung
Mithilfe der Methode der linearen Regression, über die der Schulrechner als Option 4 (LinReg)
im †-Menü verfügt, findet man eine Gerade, die am besten zu einer Messreihe von
Punkten passt. Wenn die Messreihe nur aus zwei Punkten besteht, verläuft die Regressions-
gerade genau durch die beiden Punkte.
Man gibt also die Koordinaten der beiden Punkte als Liste L1 (x-Koordinaten der Punkte) und
L2 (y-Koordinaten) über das y-Menü ein und ruft über das †-Menü die Option
�LinReg“ auf. Der Schulrechner fragt noch einmal ab, ob die x-Koordinaten tatsächlich in L1
abgespeichert sind und die y-Koordinaten in L2 und ob diese Punkte einfach gewichtet werden
(ONE). Dann wird unter der Option RegEQ die Möglichkeit angeboten, die Gleichung der
Geraden als Funktionsgleichung unter f(x) abzuspeichern.
Im nächsten Schritt wird dann angezeigt, welche Werte die beiden Koeffizienten a und b in der
linearen Gleichung y = ax + b haben. (Die Angabe r² = 1 bestätigt, dass die Gerade tatsächlich
durch die beiden Punkte verläuft: �100 % richtig“.) Die Koeffizienten a und b werden als
Dezimalzahlen angezeigt. Da die Werte automatisch unter �a“ und �b“ abgespeichert werden,
kann man diese über z aufrufen und mithilfe des c-Befehls als Bruch darstellen.
Um weitere Punkte auf der Geraden zu bestimmen, ruft man die im a-Menü abgespeicherte
Funktion f(x) auf (freie Wahl der Schrittweite ∆x im TABLE SETUP).
Übungsaufgaben
Kontrolliere weitere selbst berechnete Geradengleichungen mithilfe der vorgestellten Methode.
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 8
Bestimmen einer Geradengleichung zu gegebenen Punkten
Beispiel-Aufgabe
Gegeben sind die Punkte P (2 | 4) und Q (7 | 6). Bestimme die Gleichung y = m ∙ x + b der
Geraden, die durch die beiden Punkte verläuft, und bestimme weitere Punkte auf der Geraden,
Dies kann mithilfe eines Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen erfolgen.
Erläuterung der Lösung
Liegt ein Punkt auf einer Geraden, dann erfüllen seine Koordinaten die Geradengleichung
y = m ∙ x + b, hier also: 4 = m · 2 + b und 6 = m · 7 + b.
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, das wir übli-
2m + 1b = 4
cherweise wie folgt notieren: .
7m + 1b = 6
Ein solches Gleichungssystem kann man mithilfe der ›-Option des TI-30X Pro MathPrintTM
lösen - beachte: Die Variablen im Schulrechner heißen aber grundsätzlich x und y (und nicht m
und b). Daher lautet auch die �Lösung“:
Die Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q ist: y = 2 x + 16 .
5 5
Um weitere Punkte auf der Geraden zu bestimmen, muss man den Funktionsterm für die
Gerade erst noch in a eingeben.
Übungsaufgaben
Bestimme die Gleichung der Geraden y = mx + b durch die Punkte P und Q
(a) P (3 | 5) ; Q (-2 | 4) (d) P (3 | 0) ; Q (7 | -3)
(b) P (1 | -3) ; Q (5 | 5) (e) P (6 | 1) ; Q (-4 | -1)
(c) P (-2 | 1) ; Q (4 | 1) (f) P (-1 | -1) ; Q (5 | -2)
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Gebiet: Algebra Einsatz ab Stufe 8 (auch zur Wiederholung geeignet)
Umformung von Wurzeltermen
Beispiel-Aufgabe
Der TI-30X Pro MathPrintTM kann einfache algebraische
Umformungen von Wurzeltermen vornehmen.
Notiere die fehlenden Zwischenschritte.
Erläuterung der Lösung
(1 + 2 ) = 1² + 2
2
2 + ( 2 )² = 1 + 2 2 + 2 = 2 2 + 3 (Anwendung einer binomischen Formel)
Übungsaufgaben
Welche Umformungen wurden vorgenommen? Notiere die fehlenden Zwischenschritte.
3− 5
Beim Umformen des Bruchterms gibt der Schulrechner
2+ 3
nur eine Dezimalzahl als Näherungswert an, vgl. rechts. Den
Schulrechner kannst du trotzdem nutzen, um einen Term ohne
Nenner zu notieren.
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 8
Erstellen von Wertetabellen für quadratische Funktionen
Beispiel-Aufgabe
Gegeben sind die Funktionsgleichungen f ( x ) = x ² − 21 x + 3
4
und g ( x ) = x ² + 2 x − 3 .
Zeichne die beiden Normalparabeln mithilfe der zugehörigen Wertetabellen.
Erläuterung der Lösung
Man gibt die beiden Funktionsterme über das y-Menü ein. Um die beiden Wertetabellen auf-
zustellen, legt man den Startwert fest (hier: x = 0) und wählt eine Schrittweite (hier: Step = 0.5).
In der Wertetabelle kann man mithilfe der Pfeiltasten nach oben/unten oder rechts/links laufen.
In der Wertetabelle fällt auf, dass einige Werte als Dezimalzahlen, andere als Brüche notiert
sind. Dies ist eine Besonderheit des Schulrechners im MathPrint-Mode. Bei Funktionstermen,
in denen Brüche (in Bruchschreibweise) auftreten, werden die Funktionswerte bei ganzzahligen
x-Werten auch als Brüche angegeben, bei anderen x-Werten als Dezimalzahlen.
x-Werte und Funktionswerte können i. A. wahlweise als Brüche oder als Dezimalzahlen ange-
zeigt werden; man muss diese Zahlen markieren und dann die c-Taste drücken. Im Display
erscheint dann in der Zeile unter der Tabelle jeweils der Bruch (0.75 = 3/4) oder umgekehrt,
dann erscheint unten die Dezimaldarstellung einer Bruchzahl (15/4 = 3.75).
An der Wertetabelle von f(x) kann man ablesen, dass die zu f(x) gehörende Parabel achsen-
symmetrisch ist zu x = 0,25, denn links und rechts davon treten genau die gleichen Funktions-
werte auf.
Den Scheitelpunkt S (0,25 | 0,6825) dieser Parabel ermittelt man durch Verringerung der
Schrittweite auf ∆x = 0,25, oder indem man – nach Rückkehr auf die Rechenebene ( – ) –
den Funktionswert f(0,25) mithilfe von Option 2 des a-Menüs berechnet.
Übungsaufgaben
Bestimme den Scheitelpunkt der zu g(x) gehörenden Parabel mithilfe einer Wertetabelle.
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 8
Kontrolle der Gleichung einer Parabel durch drei gegebene Punkte
Beispiel-Aufgabe
Zeige: Die Normalparabel durch die drei Punkte P (-1 | 2), Q (2 | 4) und R (5 | 24) lässt sich
mithilfe der Gleichung y = x ² − 31 x + 23 beschreiben.
Kontrolliere das Ergebnis der Rechnung mithilfe einer quadratischen Regression.
Erläuterung der Lösung
Mithilfe der Methode der quadratischen Regression, über die der Schulrechner als Option 7
(QuadraticReg) im †-Menü verfügt, findet man eine Parabel, die am besten zu einer
Messreihe von Punkten passt. Wenn die Messreihe nur aus drei Punkten besteht, verläuft die
Regressionskurve genau durch die drei Punkte.
Man gibt also die Koordinaten der drei Punkte als Liste L1 (x-Koordinaten der Punkte) und
L2 (y-Koordinaten) über das y-Menü ein und ruft über das †-Menü die Option 7
auf. Der Schulrechner hat die Voreinstellung, bei der die x-Koordinaten in L1 abgespeichert
sind und die y-Koordinaten in L2 und dass diese Punkte einfach gewichtet werden (ONE); dies
wird durch n bestätigt. Schließlich wird noch die Möglichkeit angeboten, die Gleichung der
Geraden als Funktionsgleichung unter f(x) abzuspeichern.
Im nächsten Schritt wird angezeigt, welche Werte die drei Koeffizienten a, b und c in der
quadratischen Gleichung y = ax² + bx + c haben. (Die Angabe r² = 1 = 100 % bestätigt, dass die
Kurve tatsächlich durch die drei Punkte verläuft.) Die Koeffizienten a, b und c werden als Dezi-
malzahlen angezeigt. Da die Werte automatisch unter �a“, �b“ und �c“ abgespeichert werden,
kann man diese über z aufrufen und mithilfe des c-Befehls als Bruch darstellen.
Um weitere Punkte auf der Parabel zu bestimmen, ruft man die im a-Menü abgespeicherte
Funktion f(x) auf (freie Wahl der Schrittweite ∆x im TABLE SETUP).
Wenn die Werte in der Wertetabelle nicht ganzzahlig sind,
kann man diese i. A. durch Drücken der c-Taste in einen
Bruch verwandeln, vgl. Beispiel links.
Übungsaufgaben
Kontrolliere weitere selbst berechnete Parabelgleichungen mithilfe der vorgestellten Methode.
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 8
Bestimmen der Nullstellen / des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion
Beispiel-Aufgabe
Gegeben ist die quadratische Funktion f mit f(x) = x² – 4x + 2.
a) Bestimme die beiden Nullstellen von f, d. h. löse die quadratische Gleichung x² – 4x + 2 = 0.
b) Bestimme den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion.
Erläuterung der Lösung
Wählt man die Option ‹ des TI-30X Pro MathPrintTM, dann erwartet der Rechner zunächst
die Eingabe der Koeffizienten a, b und c. Dann werden die Lösungen exakt (also gemäß der
Lösungsformel) bestimmt.
Um die Lösungen als Dezimalzahlen auszugeben, muss die c-Taste getippt werden. Mit dem
Pfeil > werden weitere zwei Dezimalstellen angezeigt.
Man kann sowohl die Lösungen als auch den Funktionsterm unter f(x) oder unter g(x) speichern
(QuadEG f(x) oder g(x)). Mit diesem Speicherbefehl wird gleichzeitig die algebraische Um-
formung des Funktionsterms vorgenommen und der Rechner bestimmt die Scheitelpunktsform
der Funktionsgleichung – hier: f(x) = a·(x – h)² + k mit a = 1, h = 2 und k = -2.
An der Scheitelpunktsform lesen wir ab, dass die quadratische Funktion den Scheitelpunkt
S (2 | -2) hat. Diesen Punkt kann man auch mithilfe der Wertetabelle (a-Option) finden.
Übungsaufgaben
(1) Bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f mit
(a) f(x) = x² – 5x + 1 (b) f(x) = -x² – 4x + 7 (c) f(x) = -3x² + 2x + 5
(2) Die folgende quadratische Funktion f hat keine reellen Nullstellen. Welche Lösungen gibt der
TI-30X Pro MathPrintTM an? Welchen Scheitelpunkt hat die quadratische Parabel?
(a) f(x) = x² + 3x + 3 (b) f(x) = -x² + 4x – 6 (c) f(x) = 2x² – 5x + 4
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Heinz Klaus17
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 8
Numerische Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion
Beispiel-Aufgabe
Gegeben ist die quadratische Funktion f mit f(x) = x² – 4x + 2.
Bestimme die beiden Nullstellen von f, d. h., löse die quadratische Gleichung x² – 4x + 2 = 0.
Erläuterung der Lösung
Um eine Gleichung numerisch zu lösen, benutzt man die Option ‰. Nach Eingabe der
Gleichung wird auf dem Display der aktuelle Wert der Variablen x angezeigt. (Hat man vorher
den Speicherinhalt mithilfe des Befehls ≠ gelöscht, dann hat die Variable den Wert 0.)
Man kann den Bereich einschränken, in dem der Schulrechner eine Lösung finden soll,
ansonsten wird im Intervall zwischen -1099 und +1099 gesucht. Der Rechner findet zunächst die
kleinere der beiden Lösungen x ≈ 0,586; für diese gilt: left = right (die linke Seite der Gleichung
hat den gleichen Wert wie die rechte Seite). Nach Bestätigen des solve again-Befehls muss man
den Suchbereich einschränken, damit auch die zweite Nullstelle gefunden werden kann.
Alternative Vorgehensweise: Statt die Gleichung x² – 4x + 2 = 0 direkt einzugeben, kann man
zunächst den Funktionsterm f(x) über das a-Menü definieren und dann im ‰-Menü
die Gleichung f(x) = 0. Diese Möglichkeit ist zu bevorzugen, wenn man dann auch auf die
Wertetabelle der Funktion zurückgreifen kann. (Es bestände dann auch die Möglichkeit nach-
zuschauen, wo die Funktion einen Vorzeichenwechsel hat.)
Übungsaufgaben
(1) Welche Rückmeldung erfolgt durch den Schulrechner, wenn ein Such-Intervall angegeben
wird, in dem keine Lösung liegt? (z. B. lower = 4)
(2) Bestimme numerisch die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
(a) f(x) = x² – 6x + 1 (b) f(x) = 2x² + 5x – 2 (c) f(x) = -x² – 3x + 8
(3) Die folgende quadratische Funktion f mit f(x) = x² + 4x + 5 hat keine reellen Nullstellen.
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Heinz Klaus18
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Gebiet: Algebra Einsatz ab Stufe 8
Bestimmen der Lösung einer quadratischen Gleichung (mit Wurzeltermen)
Beispiel-Aufgabe
Gegeben ist die quadratische Gleichung x² + bx + c = 0.
Bestimmt werden soll ein Term für die allgemeine Lösung, sodass bei Einsetzen der Koeffizien-
ten die Lösungen – sofern sie existieren – als Wurzelterme ausgegeben werden.
Löse hiermit dann die Gleichungen (1) x² + 4x – 7 = 0 (2) x² + 4x + 7 = 0.
Erläuterung der Lösung
Der TI-30X Pro MathPrintTM verfügt über die Option, eine bestimmte Abfolge von Operationen
abzuspeichern; dabei können unterschiedliche Variablen verwendet werden.
Einen solchen allgemeinen Term kennt man beispielsweise vom Lösungsverfahren für
quadratische Gleichungen: b b² .
x=− ± −c
2 4
Hier geht es nun darum, einen solchen Lösungsterm auf dem Schulrechner einzugeben. Dies ist
allerdings nur für einen Term möglich, beispielsweise für die erste Lösung einer quadratischen
Gleichung; für die zweite Lösung muss entsprechend das Vorzeichen im allgemeinen Term
geändert werden.
Die Eingabe der Operation erfolgt mithilfe des ∑-Befehls, bei dem man auf der rechten Seite
des Gleichheitszeichens den Term eingibt. Dann speichert man mithilfe des x-Befehls die
Werte für die Variablen. Wenn man dann auf die ∏-Taste drückt, erscheint sofort der Wert
dieses Terms, also für die Variablenwerte b = 4 und c = -7 der Term-Wert − 2 + 11 .
Durch Drücken der c-Taste erhält man eine Dezimalzahl
als Näherungswert.
Die Lösungen der Gleichung x² + 4x – 7 = 0 sind
x1 = −2 + 11 und x 2 = −2 − 11
(2) Da die Gleichung x² + 4x + 7 = 0 keine reelle Lösung hat, erfolgt nach dem Betätigen der
∏-Taste die Fehlermeldung (Domain = Definitionsbereich).
Übungsaufgaben
(1) Erweitere die Lösungsformel für eine allgemeine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0.
(2) Bestimme wie oben auch die Lösungen von
(a) x² + 6x – 3 = 0 (b) 3x² – 2x – 1 = 0 (c) x² + 4x + 3 = 0
(d) 3x² – 12x + 8 = 0 (e) x² – 4x + 2 = 0 (f) 2x² + 4x + 5 = 0
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Instruments 2018 Autor: Heinz Klaus Strick
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Heinz Klaus19
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 8
Bestimmen eines Rechtecks mit möglichst großem Flächeninhalt
Beispiel-Aufgabe
Ein Tiergehege in rechteckiger Form soll längs einer vorhandenden Mauer angelegt werden.
Zur Verfügung steht hierfür ein Maschendrahtzaun von insgesamt 20 m [18 m] Länge.
Wie können die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Flächeninhalt möglichst groß ist?
Erläuterung der Lösung
Bezeichnet man die Seitenlängen des Rechtecks
mit x und y, dann gilt: 2x + y = 20, also y = 20 – 2x.
Der Flächeninhalt des Rechtecks berechnet sich also
mithilfe des Terms einer quadratischen Funktion
f(x) = x ∙ y = x ∙ (20 – 2x)
Dieser Funktionsterm kann im
a-Menü eingegeben wer-
den. Der Schulrechner erstellt
automatisch eine Wertetabelle.
Der Tabelle kann man entnehmen, dass der Flächeninhalt für x = 5 m (also y = 10 m) am
größten ist. Da die Funktionswerte symmetrisch zum Funktionswert bei x = 5 sind, liegt dort
tatsächlich der größte Wert vor (d. h., wegen der Symmetrie kann ausgeschlossen werden, dass
es links oder rechts von x = 5 einen größeren Funktionswert gibt).
Analog ergibt sich für die Zaunlänge von 18 m der Funktionsterm f(x) = x ∙ (18 – 2x) mit
Betrachtet man nur die ganzzahligen Werte, dann liegt ein maximaler Flächeninhalt bei x = 5
vor, aber die Funktionswerte links und rechts von dieser Stelle sind nicht symmetrisch gleich.
Eine Verfeinerung der Schrittweite in der Wertetabelle auf ∆x = 0,5 ergibt eine Tabelle mit
Funktionswerten, die symmetrisch zum Maximum bei x = 4,5 m liegen (also y = 9 m).
Übungsaufgaben
Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt für eine Zaunlänge von 19 m [19,5 m].
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Heinz Klaus20
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 9
Bestimmen der Verdopplungszeit bei Wachstumsprozessen
Beispiel-Aufgabe
Ein Kapital von 1000 € werde mit einen jährlichen Zinssatz verzinst; die Zinsen werden jeweils
zum Kapital hinzugefügt. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?
Der Zinssatz p beträgt (1) 1 % (2) 2 % (3) 2,5 % (4) 3 % .
Durch die Rechenbeispiele ergibt sich eine einfache Merkregel: Zwischen dem Zinssatz p und
der Verdopplungszeit d besteht ein einfacher Zusammenhang: p · d ≈ 70.
Erläuterung der Lösung
Zu lösen ist die Gleichung: 2000 = 1000 · qn , wobei q = 1 + p (p = Zinssatz).
1. Lösungsweg: Suche in der Wertetabelle der Funktion f mit f(x) = 1000 · qx nach demjenigen
Wert von x, bei dem der Funktionswert 2000 überschritten wird.
Das Kapital hat sich nach n ≈ 70
Jahren verdoppelt.
Es gilt n ∙ p ≈ 70 ∙ 1 = 70.
Das Kapital hat sich nach n ≈ 36
Jahren verdoppelt.
Es gilt n ∙ p ≈ 35 ∙ 2 = 70.
2. Lösungsweg: Das Problem lässt sich auch so formulieren: Gesucht sind die Lösungen der
Gleichung qn = 2. Durch Logarithmieren der beiden Seiten der Gleichung erhält man hieraus:
log( 2)
n ⋅ log( q ) = log( 2) , also n = (Hinweis: Die Logarithmen-Basis spielt keine Rolle.)
log(q )
Im Teilaufgabe c), also p = 2,5 %, verdoppelt sich das Kapital nach n ≈ 28 Jahren. Auch hier gilt:
n ∙ p ≈ 28 ∙ 2,5 = 70.
3. Lösungsweg: Numerische Lösung der Gleichung qn = 2.
Im Fall p = 3 % verdoppelt sich das Kapital nach n ≈ 23,4 Jahren. Es gilt n ∙ p ≈ 23,4 ∙ 3 ≈ 70.
Übungsaufgaben
(1) Untersuche die Gültigkeit der p · d ≈ 70 -Regel auch für andere Prozentsätze.
(2) Suche auch eine Regel für die Verdreifachung eines Kapitals.
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Gebiet: Funktionen Einsatz ab Stufe 10
Berechnung einer Wertetabelle – Darstellung der auftretenden Zahlen
Beispiel-Aufgabe
Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f ( x ) = (x + 21 ) ⋅ (x − 31 )
Erläuterung der Lösung
Der Funktionsterm kann (ohne auszumultiplizieren) im a-Menü eingegeben werden. Der
Schulrechner erstellt automatisch eine Wertetabelle.
In der Wertetabelle fällt auf, dass einige Werte als Dezimalzahlen, andere als Brüche notiert
sind. Dies ist eine Besonderheit des Schulrechners im MathPrint-Mode. Bei dem betrachteten
Funktionsterm, in dem Brüche (in Bruchschreibweise) auftreten, werden die Funktionswerte bei
ganzzahligen x-Werten auch als Brüche angegeben, bei anderen x-Werten als Dezimalzahlen.
x-Werte und Funktionswerte können aber als Brüche
angezeigt werden; man muss diese Zahlen markieren und
dann die c-Taste drücken.
Im Display erscheint dann in der Zeile unter der Tabelle der Bruch (-2.5 = -5/2) oder im umge-
kehrten Fall erscheint unten die Dezimaldarstellung einer Bruchzahl (5.666667 = 17/3).
Wenn man mithilfe der Option 2 des a-Menüs Funktionswerte direkt abruft, dann kommt es
darauf an, in welcher Form man den x-Wert eingibt:
Übungsaufgaben
Erstellen Sie eine Wertetabelle mit Schrittweite ∆x = 0,5 für die Funktion f mit
(1) f ( x ) = (x + 5
6
) ⋅ (x − 23 ) (2) f ( x ) = 32 ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 2)
und wandeln Sie ggf. Brüche in Dezimalzahlen um und umgekehrt.
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26 Texas Instruments 2018 Autor: Heinz Klaus
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Strick
Gebiet: Analysis Einsatz ab Stufe 10
Nullstellenbestimmung für ganzrationale Funktionen 3. Grades (exakte Methode)
Beispiel-Aufgabe
Gegeben sind die ganzrationalen Funktionen f mit
(1) f1(x) = x³ – 5x² + 4x + 4
(2) f2(x) = x³ – 5x² + 4x + 8
Gesucht sind die Nullstellen der Funktionen.
Die Grafik rechts wurde mithilfe
TM
eines TI Nspire erstellt.
Erläuterung der Lösung
Für die Bestimmung von Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades stehen im TI-30X
Pro MathPrintTM die Optionen ‹(exakte algebraische Lösung) und ‰ (numerische
Lösung) zur Verfügung. Hier soll die exakte Lösungsmethode angewandt werden.
Exakte Lösung: Nach Eingabe der Koeffizienten werden die Lösungen angegeben.
Die Funktion hat drei reelle Nullstellen: x ≈ + 3,562 ; x = + 2 ; x ≈ - 0,562; das Polynom kann
(anschließend) auch als Funktionsterm unter f(x) gespeichert werden.
(2) Die Funktion hat nur eine reelle Nullstelle: x1 ≈ - 0,875, außerdem die beiden komplexen Null-
stellen x2 ≈ 2,938 – 0,716 i sowie x3 ≈ 2,938 + 0,716 i (wie man durch Scrollen nach rechts
sieht).
Übungsaufgaben
Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrat. Funktion 3. Grades. Skizzieren Sie den Graphen.
(1) f(x) = 2x³ – 8x² + 5x + 2 (2) f(x) = -2x³ + 8x² – 6x + 1
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Instruments 2018 Autor: Heinz Klaus Strick
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