Material für Lehrerinnen und Lehrer - Erarbeitet von: Julia Hacker Dieter Klöpfer Matthias Kramer
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Material
für Lehrerinnen und Lehrer
Erarbeitet von:
Julia Hacker
Dieter Klöpfer
Matthias Kramer
Bearbeitet von:
Elisabeth Landsgesell
Sabine Artlieb
Eva Neuwirth2 Inhaltsverzeichnis
1. Zur Konzeption von 6. Unterrichten in heterogenen Klassen mit
DENKEN UND RECHNEN 4............................ 3 DENKEN UND RECHNEN ............................... 75
1.1 Grundüberlegungen zum Kompetenzerwerb 6.1 Die Lernwege der Kinder ................................... 75
im Fach Mathematik ........................................... 3 6.1.1 Individuelle Lernwege ........................................ 75
1.2 Die Kultur der Aufgaben ................................... 5 6.1.2 Lernwege in Lerngruppen .................................. 75
1.3 Die allgemeinen mathematischen 6.1.3 Lernschritte im Klassenverband ......................... 75
Kompetenzen ....................................................... 6 6.1.4 Lernschritte mit Paten ........................................ 75
1.3.1 Modellieren (AK 1) ............................................... 6 6.2 Der Denk- und Rechenplan ................................ 75
1.3.2 Operieren – Darstellungen verwenden (AK 2) ... 6 6.3 Die Denk- und Rechentheke und Kopiervorlagen... 76
1.3.3 Kommunizieren (AK 3) ......................................... 6
1.3.4 Problemlösen (AK 4) ........................................... 6 7. Inklusion in DENKEN UND RECHNEN ........ 98
1.4 Die Kompetenzbereiche innerhalb der ............... 7.1 Was ist Inklusion? .............................................. 98
inhaltlichen mathematischen Kompetenzen ....... 7 7.1.1 Was bedeutet Inklusion für den Unterricht in
1.4.1 Muster und Strukturen ....................................... 7 der Volksschule? ............................................... 98
1.4.2 Arbeiten mit Zahlen und Operationen ................ 7 7.1.2 Welche Förderbereiche kann es geben? ........... 98
1.4.3 Ebene und Raum ................................................ 11 7.1.3 Sonderpädagogischer Förderbedarf .................. 99
1.4.4 Größen ................................................................ 12 7.1.4 Allgemeine Tipps zur Unterrichtsgestaltung
1.4.5 Daten und Zufall ................................................. 12 und -organisation ............................................... 100
1.4.6 Mit Sachsituationen umgehen ............................ 13 7.2 Was bedeutet Inklusion für die Unterrichts-
1.5 Anforderungsbereiche ........................................ 14 planung? ............................................................ 100
1.6 Anordnung der Inhalte und Gestaltung 7.2.1 Diagnostik mit DENKEN UND RECHNEN ......... 100
der Arbeitsbuchseiten ........................................ 14 7.2.2 Förderung mit DENKEN UND RECHNEN ......... 101
1.7 Leitfiguren im Lehrgang – Nick und Gunda ...... 14 7.2.3 Forderung mit DENKEN UND RECHNEN ......... 102
1.8 Auswahl der Arbeitsmittel .................................. 14 7.3 Literaturtipps zu Inklusion ................................. 103
1.9 Wortspeicher ........................................................ 15 7.4 Verwendete und weiterführende Literatur........... 104
1.10 Forschungsheft ................................................... 15
1.11 Zur Struktur der Materialien für Lehrerinnen 8. Erläuterungen zu den Seiten im Arbeitsbuch . 107
und Lehrer........................................................... 15 Inhaltsverzeichnis Arbeitsbuch .......................... 108
1.12 Weitere Zusatzmaterialien (Bestellnummern) ..... 16 Erläuterungsseiten ............................................. 110
2. Jahresplanung .................................................. 17 9. Differenzierte Erfolgskontrollen ...................... 275
9.1 Zielsetzung ......................................................... 275
3. Aufgaben zu den Kompetenzerwartungen am 9.2 Differenzierung ................................................... 275
Ende der 4. Klasse .......................................... 31 9.3 Auswertung/Auswertungsbogen ......................... 275
3.1 Aufgabenbeispiele .............................................. 31 9.4 Einsatz ............................................................... 275
3.2 Auswertungsbogen ............................................ 31 9.5 Beobachtungsbogen zur Lernentwicklung ......... 276
20 Stationen ....................................................... 32
1 Auswertungsbogen ......................................... 52 10. Erfolgskontrollen ............................................. 277
4. Individuelle Förderung ....................................... 53 11.
Kopiervorlagen ................................................. 377
4.1 Mindmaps zu den Fähigkeiten der Kinder ......... 53 Zahlenkarten ...................................................... 377
4.1.1 Kinder mit besonderen Schwierigkeiten Kleine Ziffernkärtchen (0 bis 9) .......................... 379
in Mathematik ..................................................... 53 Hunderterfeld ..................................................... 381
4.1.2 Kinder mit besonderen Begabungen Zahlenstrahl (2 Stück) ........................................ 382
in Mathematik ..................................................... 53 Zahlen finden am Zahlenstrahl .......................... 383
4.2 Hinweise zur Erstellung individueller Stellenwerttabelle 1 ........................................... 384
Förderpläne ........................................................ 56 Stellenwerttabelle 2 ........................................... 385
4.2.1 Individuelles Fördern und Fordern .................... 56 Stellenwerttabelle 3 (Zahlwörter bis 100) .......... 386
4.2.2 Materialien zur Diagnose, Förderung Stellenwerttabelle 4 (Zahlwörter bis 1000) ........ 387
und Forderung .................................................... 56 Tausenderstreifen ............................................... 388
4.2.3 Förderplan als Leerformat ................................ 57 Tausenderstreifen (Blanko)................................. 389
4.2.4 Beobachtungsgrundlagen für den Förderplan .... 58 Einmaleins-Reihen mit Zehnerzahlen ................ 390
4.3 Beobachtungsbogen zur Lernentwicklung ......... 60
4.4 Das kann ich schon! ......................................... 64
5. Kooperatives Lernen ......................................... 67
5.1 Allgemeine mathematische Kompetenzen ........ 67
5.2 Kooperative Lernformen .................................... 67
5.2.1 Partnerarbeit ....................................................... 67
5.2.2 Gruppenarbeit ....................................................... 67
5.2.3 Rechenkonferenz ................................................. 67
5.2.4 Gruppenbildung und Zusammensetzung ................ 67
5.2.5 Integration der Gruppenergebnisse und
Metakommunikation .............................................. 68
5.3 Jobkarten für kooperatives Lernen .................... 69
5.4 Gesichter ............................................................ 70
5.5 Zielscheibe ......................................................... 73Konzeption 3
1. Zur Konzeption von Auch wird dabei das Forschen und Hinterfragen in
DENKEN UND RECHNEN 4 Zusammenhang mit dem angemessenen Dokumentieren
und Versprachlichen gefördert.
Das Unterrichtswerk DENKEN UND RECHNEN 4 wurde Mit den Inhalten aus allen Lernbereichen können elemen-
aus dem bisherigen bayerischen Schulbuch gleichen tare mathematisch-naturwissenschaftliche Kompetenzen
Namens weiterentwickelt. Die Neubearbeitung entspricht gefördert werden. Zudem wird durch diese Vorgehens-
den Anforderungen des österreichischen Volksschullehr- weise den Schülerinnen und Schülern ein Bild von Mathe-
plans und jenen der österreichischen Bildungsstandards matik vermittelt, welches von einer aktiv-entdeckenden
und orientiert sich an der aktuellen fachdidaktischen und Grundhaltung geprägt ist sowie eine positive Einstellung
pädagogischen Diskussion sowie an den Erfahrungen von zum Mathematiklernen fördert.
vielen Lehrerinnen und Lehrern aus der Schulpraxis.
Dies zeigt sich 1.1 Grundüberlegungen zum Kompetenzerwerb im
• in der Umsetzung der Vorstellungen des Volksschullehr- Fach Mathematik
plans zum Selbstverständnis des Faches Mathematik
und dessen Beitrag zur Bildung, Weiterlernen auf Basis der verbindlichen Anforderungen
• in der Kompetenzorientierung entsprechend dem nach der dritten Schulstufe (Bildungsstandards)
Lehrplan und den Bildungsstandards, DENKEN UND RECHNEN 4 fordert – meist zu Beginn
• in den vielseitigen Angeboten ergiebiger Lernaufgaben, einer unterrichtlichen Erarbeitung – die Kinder auf, ihre
• in der Auswahl der Inhalte für die vierte Schulstufe als eigenen Rechenwege und das Vorwissen einzubringen.
Grundlage für die Jahresplanung der Lehrerin bzw. des Mathematiklernen schließt in der vierten Schulstufe an die
Lehrers, verbindlichen Mindestforderungen der vorangegangenen
• in der Berücksichtigung des individuellen Lernens, Schuljahre, entsprechend dem Lehrplan sowie den Kom-
• in den Angeboten zum anwendungsbezogenen und petenzerwartungen der dritten Schulstufe, an. Es werden
kooperativen Arbeiten, aber die Ergebnisse der jeweils individuellen Lernprozesse
• in der Stärkung des eigenverantwortlichen Lernens, der Kinder miteinbezogen. Diese individuellen Vorerfah-
• in der Gestaltung des Buches, die einen einfachen, rungen gilt es zu nutzen und zu erweitern, um einen
weitgehend durch die Selbstständigkeit der Schülerinnen bestmöglichen Lernerfolg und -zuwachs zu erzielen.
und Schüler geprägten Einsatz ermöglicht. Es gibt Schülerinnen und Schüler, bei denen die mathe-
matischen Vorerfahrungen nur zu einem Teil ausgeprägt
DENKEN UND RECHNEN 4 geht von den unterschied- sind. Für diese Kinder bietet DENKEN UND RECHNEN 4
lichen Vorkenntnissen und Vorerfahrungen der Kinder so- besondere zusätzliche Fördermöglichkeiten an. In einer
wie den individuellen Lernprozessen im außerschulischen Fortführung der Förderpläne aus der dritten Schulstufe
und schulischen Bereich aus. können im Wiederholungsteil zu Beginn des Arbeitsbuches
Dies geschieht durch die punktuelle Anknüpfung an die und Arbeitsheftes Förderbereiche gefunden werden.
Welt des Kindes und die Zielsetzung einer Erweiterung
und Systematisierung der bisherigen Erfahrungen des Kin- Mit den DENKEN UND RECHNEN Förderheften 3 und 4
des. DENKEN UND RECHNEN 4 ist darauf ausgerichtet, sowie mit den Kopiervorlagen können dann spezifizierte
allgemeine und inhaltliche mathematische Kompetenzen Förderpläne für den Beginn der vierten Schulstufe
gleichermaßen zu fördern. erstellt werden. Damit können auch langsamer lernende
Auf dieser Grundlage wird im Schulbuch weiter intensiv Schülerinnen und Schüler sowohl die Voraussetzungen
am Kompetenzaufbau im Bereich des Zahlverständnisses für die mathematischen Kompetenzen der vierten Schul-
gearbeitet. Dieses ist als Fundament für das Rechnen in stufe als auch die mathematischen Kompetenzen selbst
Bezug auf die vier Grundrechenarten zu verstehen. Dabei erwerben.
werden die schriftlichen Normalverfahren der Addition, der Andere Schülerinnen und Schüler verfügen bereits zu
Subtraktion, der Multiplikation und der Division weiterge- Beginn der vierten Schulstufe über einen Wissensfundus,
führt, um das Verständnis für Algorithmen zu erweitern. der deutlich über die Inhalte der vorausgehenden Schul-
Ergänzend zum arithmetischen Bereich wird das Raumvor- stufen hinausgeht. Diese Kinder verfügen schon über
stellungsvermögen geschult, was ebenfalls zu einer be- arithmetische und andere Kompetenzen auch in Bezug auf
wussteren und strukturierteren Wahrnehmung der Umwelt Teile des Inhalts der vierten Schulstufe. Für diese Kinder
verhilft. Der nun auch in der vierten Schulstufe anspruchs- ist es von fundamentaler Bedeutung, dass die Lehrperson
vollere und weiterführende Umgang mit Sachsituationen vorhandenes Wissen erkennt und darauf aufbaut. Nur so
und mit Größen ist wesentlicher Inhalt des Arbeitsbuches wird Motivation und Freude an der Mathematik erhalten
sowie der begleitenden Materialien. Dabei wird besonderer und ausgebaut. Auch diese Kinder werden in DENKEN
Wert darauf gelegt, ein fundiertes Basiswissen aufzubau- UND RECHNEN 4 besonders berücksichtigt. Sie finden
en, welches die Lernprozesse der bisherigen Schuljahre im Arbeitsbuch Aufgaben mit höherem Anspruch (gekenn-
im Sinne des Spiralcurriculums erweitert und vertieft. zeichnet durch einen Delfin) und können außerdem im
Darüber hinaus werden durch die Aufgabenstellungen Forderheft 4 die Inhalte der vierten Schulstufe auf einem
auch das Forschen, das Hinterfragen und die Über- höheren Niveau bearbeiten.
legungen zur Plausibilität in Zusammenhang mit dem Es steht außerdem „Denken und Rechnen, Fördern
angemessenen Dokumentieren und Versprachlichen ge- inklusiv“ (ASO-Ausgabe) zur Verfügung, die durch ein
übt. Dies wird ergänzt durch die nicht im Lehrplan explizit noch kleinschrittigeres Vorgehen Basiskompetenzen für
ausgewiesenen Inhalte des Lernbereichs „Daten und Zu- die Kinder vermitteln, die einen besonderen Förderbedarf
fall“. Dabei wird innerhalb des Operierens die Kompetenz, haben (vgl. dazu Kapitel 7). Bis jetzt sind Band 1 und
Daten zu erfassen und strukturiert darzustellen sowie Zu- Band 2 erhältlich. Band 3 erscheint 2022/23, Band 4
fallsexperimente durchzuführen und Wahrscheinlichkeiten erscheint 2023/24.
zu vergleichen, angebahnt.4 Konzeption
DENKEN UND RECHNEN 4 bietet neben der übersicht- Die Erfolgskontrollen ermöglichen auch in der vierten
lichen und leicht praktikablen Differenzierung im Arbeits- Schulstufe eine differenzierte Leistungsbewertung.
buch ein fundiertes und dem individuellen Lernstand Auswertungsbögen für die Erfolgskontrollen unterstützen
angemessenes Lernen auf mehreren Ebenen (Arbeitsheft, die Erfassung individueller Lernprozesse, die differenzierte
Förderheft, Forderheft und Fördern inklusiv). Mit dieser Planung des Unterrichts und das Schreiben von Lernent-
Grundlage und der Lernbegleitung durch die Lehrperson wicklungsberichten bzw. Förderplänen.
können die Schülerinnen und Schüler auf ihrem Niveau
selbstständig arbeiten. Selbsteinschätzung des Lernfortschritts
Wie schon in der vorhergehenden Schulstufe wird am
Entdeckendes, aktives und selbst gesteuertes Lernen Ende jeweils einer thematischen Einheit den Schülerinnen
Ohne eine produktive Auseinandersetzung mit dem Lern- und Schüler angeboten, ihren Lernerfolg einzuschätzen.
stoff findet kein Mathematiklernen statt. Dabei bilden das Dafür ist ein symbolischer Lernweg am Ende der Seite
Denken und das Rechnen eine Einheit. Planen, Erproben, gegeben, bei dem der eigene Lernfortschritt durch Kenn-
Bewerten, Überprüfen und Verwerfen bzw. das als plau- zeichnen der erreichten Lernschritte durch die Kinder
sibel Erfahren von Rechen- und Lösungswegen gehören eingeschätzt wird.
in den mathematischen Lernprozess von Schülerinnen Dies führt die Kinder zu einer zunehmend realistischeren
und Schülern. Deshalb fordert und fördert DENKEN UND Einschätzung ihrer Kompetenzen und ihrer Defizite.
RECHNEN 4 verstärkt selbstgesteuerte Lösungsver-
suche und die kommunikative Auseinandersetzung (z. B. Kompetenzerwartungen nach der vierten Schulstufe
in der Rechenkonferenz, in der Partnerarbeit oder beim Der Lehrplan legt verbindliche Kompetenzen/Anforderungen
Forschungsauftrag). Auf der Basis des Vorwissens der für das Lernen in der Volksschule fest.
Schülerinnen und Schüler wird so an geeigneten Auf Am Ende der 4. Schulstufe soll jedes Kind die Grund
gabenformaten das entdeckende Lernen angeregt. Grund- lagen erworben haben, die ein erfolgreiches Weiterlernen
legende Einsichten in Zahlen, Strukturen und Umwelt in den weiterführenden Schulen ermöglichen. Dafür bietet
werden dadurch gewonnen und vernetzt. DENKEN UND RECHNEN 4 in Kapitel 3 die entsprechen
den Aufgaben an. Dabei ist zu berücksichtigen, dass sich
Individualisierendes und differenziertes, intensives Üben die verbindlichen Kompetenzerwartungen nicht allein auf
Die neu erlangten oder vertieften Einsichten und Erkennt- Kenntnisse und Fertigkeiten beschränken dürfen. Gleicher
nisse in Zahlen, Strukturen und Umwelt dürfen nicht verlo- maßen muss das Erreichen der allgemeinen mathe
ren gehen, da sie Grundlage für jegliches mathematisches matischen Kompetenzen wie „Modellieren, Problemlösen,
Weiterlernen sind. Deshalb werden sie als Grundfähig- Kommunizieren und Operieren“ durch Langzeitbeobach-
keiten und -fertigkeiten kontinuierlich geübt und gesichert. tungen überprüft werden.
Das durchgängig implementierte Wiederholungssystem
gewährleistet den fundierten Aufbau nachhaltigen Soziales Lernen – Einstellungen
Wissens. Das Buch fordert durch die Gestaltung und Aufgaben-
DENKEN UND RECHNEN 4 schließt individualisierendes stellungen häufig soziales Lernen heraus. Dies ist eine
und differenzierendes Üben mit ein, denn Schülerinnen Grundlage für ein „gutes Lernklima“, für eine positive
und Schüler der vierten Schulstufe haben bereits ausge- Einstellung zum Mathematikunterricht und für das erfolg
prägte schulische Erfahrungen mit dem Denken, Rechnen reiche Bearbeiten von Problemaufgaben. Auf diese Weise
und Lernen und müssen deshalb unterschiedlich gefördert bauen die Schülerinnen und Schüler im Lernprozess das
werden. Vertrauen in ihre Lernfähigkeit aus, die Freude am Denken
wird geweckt und Erfolgserlebnisse werden vermittelt. Das
Differenzierungen ergeben sich in der Arbeit mit DENKEN geschieht vor allem dann, wenn Fehler nicht als Fehl
UND RECHNEN 4: leistung, sondern als Lernanlass gewertet werden. Die
• durch die Möglichkeit zum Beschreiten individueller Kommunikation über Fehler und Lösungsmöglichkeiten
Lösungswege, bezieht die soziale Dimension des Lernens ein. Deshalb
• durch Differenzierungshinweise in den Aufgaben, in den werden z. B. Aufgaben eingefügt, bei denen Fehler ge-
Fußnoten und in den Materialien für Lehrerinnen und funden werden müssen. Auch das Aufgabenformat „Kann
Lehrer, das stimmen?“ regt an, sich gemeinsam über Aussagen
• qualitativ durch höhere Anforderungsniveaus der argumentativ auseinanderzusetzen. So werden durch die
Aufgaben (gekennzeichnet durch einen Delfin), Nutzung kooperativer Lernformen insbesondere die allge-
• durch das Ermöglichen kooperativen Lernens, meinen mathematischen Kompetenzen gefördert.
• durch offene Aufgaben, die den Schülerinnen und Viele Aufgaben sind so gestaltet, dass sie Partner- oder
Schülern ermöglichen, Lösungen auf der Ebene ihrer Gruppenarbeit erfordern oder dafür geeignet sind. Dies
bisher erworbenen Kompetenzen bzw. auf der nächst ist am Symbol für kooperatives Lernen erkennbar. Durch
höheren Anforderungsstufe zu finden, diese Aufgaben werden zusätzliche Möglichkeiten der
• durch die vielfältigen zusätzlichen Materialien, mit Differenzierung geschaffen sowie die Selbstständigkeit,
denen der Verschiedenheit der Schülerinnen und Selbstorganisation und Selbstverantwortung geübt und
Schüler Rechnung getragen wird (vgl. 1.11). gefördert.
Das strukturiert gestaltete Inhaltsverzeichnis des Arbeits-
buches hilft, die Arbeit mit dem Lehrgang im Blick auf das 1.2 Die Kultur der Aufgaben
Üben zu strukturieren. Es verweist auf die zusätzlichen
Übungsmöglichkeiten im Arbeitsheft, Förderheft und DENKEN UND RECHNEN 4 versucht, bei der Umsetzung
Forderheft. des österreichischen Volksschullehrplans eine motivie-
rende und lerneffektive Aufgabenkultur zu verwenden.
Die Anordnung der thematisch wechselnden Lernein-Konzeption 5
heiten folgt einem didaktisch sinnvollen Aufbau, der durch oder über allgemeine Feststellungen begründet werden.
motivierende Abwechslung und der Arbeit mit vertrauten Diese Aufgabenstellungen helfen, bei den Kindern die
Aufgabenformaten geprägt ist. allgemeine Kompetenz „Argumentieren“ zu fördern.
Dieser Aufbau hat empfehlenden Charakter und lässt – Darüber hinaus werden die Fragestellungen zur Plausi
soweit die jeweils notwendigen Voraussetzungen beachtet bilität von Ergebnissen, die auch für das Beweisen in
werden – auf die spezielle Klassensituation bezogene späteren Schulstufen wichtig sind, häufig im Zusammen-
Umstellungen und eine eigene Lehrgangsgestaltung durch hang mit der Bearbeitung von Sachsituationen aufge
die Lehrperson zu. griffen.
Dabei ist für die ausgewählten Aufgaben in DENKEN UND
RECHNEN 4 charakteristisch: Aufgabenstellungen zur Fehlersuche, Fehlerbeschreibung
und Fehlerkorrektur
Rechenkonferenz Im Sinne des österreichischen Lehrplans werden im
Häufig sind zu Beginn von Inhaltssequenzen oder an Lehrgang auch immer wieder Aufgaben aufgenommen, bei
Eckpunkten des Unterrichts Aufgaben mit dem Symbol denen sowohl beim Ergebnis als auch beim Lösungsweg
Rechenkonferenz eingefügt. Dies bedeutet, dass die Auf- Fehler auftreten. Diese sollen von den Kindern gefunden
gaben – ausgehend von den individuellen Vorerfahrungen und beschrieben werden. Dies wird weitergeführt, indem
– in sozialen Gruppierungen (Partnerarbeit, Gruppenarbeit, auch nach eigenen Fehlern der Kinder gefragt wird und
Unterrichtsgespräch) erarbeitet werden und für die Klasse die Kinder diese beschreiben sollen. Damit werden Fehler
gemeinsame Vorgehensweisen ausgewählt werden. als Inhalt dafür in den Blick genommen, wie in Mathema-
Eine besondere Vorgehensweise ist dabei das Prinzip tik weitergelernt werden kann. Dieser andere Blickwinkel
„Ich – Du – Wir“. auf Fehler der Kinder entspannt die Lernatmosphäre
Damit ist gemeint: und hilft, weiterführende Ideen zur Fehlervermeidung zu
• Die Aufgabenstellung wird zunächst individuell in finden.
Einzelarbeit bearbeitet (Ich). Auch in diesem Bereich wird das Kommunizieren und
• Die Ergebnisse der Einzelarbeit werden in Partnerarbeit Argumentieren dadurch zu einer zentralen Kompetenz.
ausgetauscht (Du) und ein gemeinsames Ergebnis
formuliert (z. B. auf Plakaten). Wenige Aufgabenformate, aber eine große Anzahl an
• Die Ergebnisse der Partnerarbeit werden in der Klasse Aufgaben für ein differenziertes, ausgiebiges Üben
präsentiert und besprochen (Wir). Daraus werden all- Jedes Anschauungsmittel und jedes Aufgabenformat muss
gemeine Schlussfolgerungen gezogen, mit denen die von den Kindern neu gelernt werden und erfordert den
Kinder dann weiterarbeiten können (das können festge- Einsatz der Lehrperson. Damit Kinder möglichst selbst-
legte oder auch individuell gefundene Rechenstrategien, ständig lernen und eigenständig Erfolg haben können,
Erkenntnisse oder Kompetenzen sein). finden sich in DENKEN UND RECHNEN 4 weiterhin
Andere Formen der Rechenkoferenz sprechen natürlich wenige Aufgabenformate (z. B. Zahlenmauern, Rechendrei-
ebenfalls die soziale Dimension des Lernens an. ecke, Fortsetzungsaufgaben auf Tapetenrollen – starke
Päckchen, Fehlersuche bei Termen zu vorgegebenen
Offene Aufgaben für das Anknüpfen an das Vorwissen Ergebnissen, Zahlenfolgen), die großteils schon in den
und die Fähigkeiten der Kinder vorhergehenden Schulstufen eingeführt wurden und immer
In offenen Aufgaben bietet sich die Gelegenheit zum wiederkehren. Auf diese Weise können die Schülerinnen
Anknüpfen, zum Anwenden und zum Vernetzen der kind- und Schüler an bekannten Formaten immer wieder neue,
lichen Fähigkeiten. Dies beinhaltet auch Aufgaben, die herausfordernde und problemorientierte Fragestellungen
Spielräume für die Vielzahl von Vorkenntnissen und für bearbeiten oder selbst finden. Hierzu steht ein großes
die kindliche Kreativität lassen (z. B. „Wie rechnest du?“), Angebot verschiedener Aufgaben zur Verfügung.
sowie Aufgaben, die unterschiedliches Denken und pro-
duktives Handeln ermöglichen (z. B. „Findet verschiedene Ein fundiertes und effektives Wiederholungssystem
Möglichkeiten!“; „Sucht Aufgaben mit dem Rest 3!“). Auch Mit dem Wiederholungssystem von DENKEN UND
sind regelmäßig Aufgaben formuliert, durch die die Kinder RECHNEN 4 kommen die Kinder sicher ans Ziel. Zur
die neu gelernten Inhalte im eigenen Lebensfeld anwen- Festigung erarbeiteter und zur Vorbereitung neuer Lern
den und erproben können. inhalte sind zahlreiche Wiederholungen nach lernpsycho-
logischen Regeln (aktiv und in genau dosierten Abstän-
Herausfordernde Aufgabenstellungen für entdeckendes, den) eingebaut.
aktives und selbst gesteuertes Lernen Das Wiederholungssystem findet sich sowohl im Arbeits-
Aufgabenstellungen, die mathematische Probleme buch, als auch im Arbeitsheft und Förderheft wieder und
beinhalten und die Kinder auffordern, selbst aktiv zu wird im Material für Lehrerinnen und Lehrer beschrieben
werden, bilden die Basis für entdeckendes Lernen. „Starke und zusätzlich ergänzt (Kapitel 8).
Päckchen?“ und „Was fällt dir auf?“ sind typische Frage-
stellungen im Arbeitsbuch von DENKEN UND RECHNEN Lernumgebungen
4, die auf solche Aufgaben hinweisen. In den Verlauf des Lehrgangs sind Lernumgebungen
eingebettet (z. B. Rechendreiecke, Zahlenfolgen, Auf
Aufgabenstellungen zum Abschätzen von Plausibilitäten gabenmuster, kombinatorische Aufgabenstellungen, Zahl-
Im Arbeitsbuch sind häufig Aufgaben eingestreut, bei de- beziehungen, ANNA-Zahlen usw.), die es ermöglichen,
nen die Plausibilität von mathematischen Aussagen oder durch ergiebige Aufgaben, mathematische Strukturen
Ergebnissen eingeschätzt werden soll. Meist sind sie mit und Zusammenhänge zu entdecken. Die immer wieder-
dem Symbol „Kann das stimmen?“ gekennzeichnet. Dabei kehrenden Aufgaben zu Lernumgebungen fördern die
geht es immer darum, argumentativ zu begründen, ob allgemeinen Kompetenzen sowie das flexible Umgehen
eine Aussage stimmt. Je nach sprachlicher Formulierung mit Zahlen und Strukturen.
kann das über zutreffende Beispiele, über Gegenbeispiele6 Konzeption
1.3 Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit Dienes-Material, Notation in der Stellenwerttabelle,
Ziffernschreibweise), andererseits aber auch auf die
Das grundlegende Ziel des Mathematiklernens in der fundierte Arbeit mit Tabellen und Diagrammen. Auch im
Volksschule ist die Entwicklung eines gesicherten Ver- Rahmen des Erarbeitens von Lösungsskizzen vertiefen
ständnisses mathematischer Inhalte. Hierzu tragen die Kinder ihre Fähigkeit, Lösungswege und Ergebnisse ange-
allgemeinen mathematischen Kompetenzen wesentlich bei messen darzustellen.
(oft werden sie auch als prozessbezogene Kompetenzen
beschrieben). Ihre Entwicklung hängt nicht nur davon ab, 1.3.3 Kommunizieren (AK 3)
welche Inhalte unterrichtet werden, sondern in mindestens
gleichem Maße davon, wie sie unterrichtet werden (z. B. Im Rahmen des Kommunizierens geht es darum, an
inwieweit den Kindern Gelegenheit gegeben wird, selbst kooperativen und interaktiven Unterrichtsprozessen teil-
Probleme zu lösen, über Mathematik zu kommunizieren zunehmen. Dabei sollen eigene Vorgehensweisen nach-
oder Fehler kommunikativ aufzugreifen). Die allgemeinen vollziehbar beschrieben und Lösungswege anderer Kinder
mathematischen Kompetenzen sind außerdem entschei- aufgenommen und verstanden werden. Anschließend ist
dend für den Aufbau einer positiven Einstellung und für es wichtig, sich darüber gemeinsam auszutauschen. Dies
die Grundhaltung zum Fach. In einem Mathematikunter- kann gefördert werden, indem Aufgaben zur gemeinsamen
richt, der diese Kompetenzen in den Mittelpunkt des unter- Bearbeitung gestellt werden. DENKEN UND RECHNEN 4
richtlichen Geschehens rückt, kann es besser gelingen, fördert die Kommunikationsfähigkeit u. a. durch regelmäßig
die Freude an der Mathematik und die Entdeckerhaltung wiederkehrende Partneraufgaben und Vorschläge zu
der Kinder zu fördern und auszubauen. Die allgemeinen Rechenkonferenzen.
mathematischen Kompetenzen sind: Das Argumentieren und das Kommunizieren gehören
inhaltlich eng zusammen, wobei das Argumentieren als
1.3.1 Modellieren (AK 1) eine Weiterführung verstanden werden kann, die das
Begründen und Beweisen vorbereitet. Vorrangig sollen die
Die Fähigkeit des Modellierens hilft Kindern dabei, aus Kinder ihre Fähigkeit schulen, mathematische Aussagen
Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirk- zu hinterfragen und auf Korrektheit zu überprüfen, mathe-
lichkeit die mathematisch relevanten Informationen zu matische Zusammenhänge zu erkennen und Vermutungen
entnehmen. Dazu müssen sie lernen, Situationen wahrzu- zu entwickeln.
nehmen, darin Muster zu erkennen und daraus Fragen zu Wichtig ist die Fähigkeit, dafür allein oder gemeinsam mit
entwickeln. Im nächsten Schritt muss ein Modell entwi- anderen situationsangemessene Begründungen zu finden
ckelt werden, welches die Realität mit der Mathematik ver- und sie zu erläutern. Insbesondere Forschungsaufträge,
knüpft. In diesem Modell müssen dann die Informationen Rechenkonferenzen, das Aufgabenformat „Kann das
verarbeitet, d. h. innermathematisch eine Lösung erarbeitet stimmen?“ sowie z. B. auch die Arbeit mit Zahlenmauern,
werden. Im Weiteren muss die gewonnene Modelllösung Rechendreiecken oder den starken Päckchen dienen in
auf die Ausgangssituation bezogen und die Plausibilität DENKEN UND RECHNEN 4 dem Aufbau des Argumentie-
der Lösung geprüft werden. Dabei spielt die mathe rens. Aber auch Aufgabenformulierungen (wie „Überlege!“,
matische Fachsprache eine wesentliche Rolle. DENKEN „Erkläre!“, „Begründe!“, „Beschreibe!“ regen immer wieder
UND RECHNEN 4 bietet in Fortsetzung der Lernangebote dazu an, Begründungen zu suchen und Rechenwege
der vorhergehenden Schulstufen Anknüpfungspunkte für anderer nachzuvollziehen. Solche Impulse sollten von
Modellierungsprozesse an, z. B. indem durch bildhafte der Lehrerin bzw. vom Lehrer auch häufig im Lernprozess
Darstellungen weiterhin das Erkennen von Additions-, eingebracht werden. Wichtig ist es, auch ungewöhnliche
Subtraktions-, Multiplikations- sowie Divisionssituationen Rechenwege und fehlerhafte Denkweisen aufzugreifen
geschult wird. Der Erwerb dieser Fähigkeit ist elementar und darüber nachzudenken und zu sprechen. Dies sind
für das Lösen mathematischer Probleme und wird kon- wesentliche Herausforderungen zur Förderung der
sequent von DENKEN UND RECHNEN 4 für alle Gegen- Argumentationsfähigkeit.
standsbereiche des Lehrplans der Volksschule gefördert.
Darüber hinaus werden Teilkompetenzen für Modellie- 1.3.4 Probleme lösen (AK 4)
rungsprozesse wie „Fragen stellen“, „Antworten formu-
lieren“, „passende Operationen zu verbal beschriebenen Bei der allgemeinen mathematischen Kompetenz
Sachsituationen finden“ sowie „Tipps für den Umgang mit „Probleme lösen“ geht es darum, bereits vorhandene
Sachsituationen“ geübt. Ein weiterer Zugang zu eigen- mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten
ständigem Zugreifen auf Sachsituationen geschieht über bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anzu
die FERMI-Aufgaben. Dabei erproben die Schülerinnen wenden.
und Schüler wie komplexe Aufgabenstellungen durch das
eigene Beschaffen von Informationen und die Verarbeitung Für die Problemlösefähigkeit schult DENKEN UND
dieser zu einer mathematisch befriedigenden (aber nicht RECHNEN 4 folgende Bereiche:
unbedingt exakten) Lösung bearbeitet werden können. • alltagsnahe Lösungsstrategien entwickeln und nutzen
(z. B. systematisch probieren),
1.3.2 Operieren – Darstellungen verwenden (AK 2) • relevante Informationen aus verschiedenen Quellen
zielgerichtet verarbeiten,
Für das Bearbeiten und Präsentieren mathematischer • Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche
Probleme ist es von grundlegender Bedeutung, geeignete Sachverhalte übertragen und
Rechenwege und Darstellungen zu entwickeln, auszu- • Lösungen plausibel darstellen.
wählen und zu nutzen. Außerdem sollen Darstellungen
ineinander übertragen und miteinander verglichen werden. In DENKEN UND RECHNEN 4 werden die Kinder z. B.
In DENKEN UND RECHNEN 4 bezieht sich dies einerseits durch Knobelaufgaben, aber auch in vielen anderen pro-
auf unterschiedliche Zahldarstellungen (z. B. Darstellung blemhaltigen Aufgaben an das Problemlösen herangeführt.Konzeption 7
1.4 Die Gegenstandsbereiche und die inhaltlichen + 30 + 5. Diese Einsicht lässt sich sehr eindrucksvoll mit
mathematischen Kompetenzen Hilfe von Zahlenkarten gewinnen. 4 235 wird dabei aus
den Karten für 4 000, 200, 30 und 5 durch Aufeinander-
Die Lerninhalte in DENKEN UND RECHNEN 4 sind dem legen dargestellt. Wenn die Karte für 200 auf die Nullen
Volksschullehrplan sowie den vom BMUKK festgelegten von 4 000, die für 30 auf die Nullen von 200 und die für 5
Bildungsstandards für inhaltliche mathematische Kom- auf die Nullen von 30 gelegt werden, sind zwar alle diese
petenzen zugeordnet. Das Verständnis von Mathematik Nullen verdeckt, die Karten erinnern aber deutlich daran,
als Wissenschaft der Muster und Strukturen liegt allen dass die sichtbar gebliebene 4 eigentlich für 4 000, die 2
Kompetenzen zugrunde und ist somit immer wesentlicher eigentlich für 200 und die 3 für 30 stehen.
Bestandteil.
5
Die verschiedenen Gegenstandsbereiche werden nicht Zahlenkärtchen: 4 0 0 0 2 0 0 3 0 5 ⮕ 4 2 3
losgelöst voneinander behandelt. Vielmehr dienen bei-
spielsweise Zahlen als Instrumente für den Umgang mit Den Gedanken der positionellen Zahldarstellung, dem
Sachsituationen aus der Lebenswelt von Kindern. Über- zufolge im Zahlzeichen 4 235 die Ziffern 3, 2 und 4 ihren
dies lassen sich Sachsituationen häufig auch geometrisch Zahlwert ändern, weil sie im Zahlzeichen auf dem zweiten
erschließen und auch in den Größen lassen sich immer bzw. auf dem dritten und vierten Platz von rechts stehen,
wieder strukturelle Eigenschaften von Zahlen finden. versucht die Stellenwerttabelle auszudrücken, wo die
Ziffern in Spalten mit den Überschriften T für Tausender,
1.4.1 Muster und Strukturen H für Hunderter, Z für Zehner und E für Einer eingetragen
werden.
Zum Schulen der Wahrnehmung oder zum Erkennen von Die Kinder sollen die relative Bedeutung der Stellenwerte
Gesetzmäßigkeiten ist es von elementarer Wichtigkeit, kennen und verstehen lernen. Dazu eignet sich ein Spiel,
Muster und Strukturen zu erkennen, beschreiben zu bei dem sie die Ziffern für einzelne Stellenwerte nach
können und selbst aufzubauen. Dies wird in DENKEN einander durch Würfeln ermitteln und sofort entscheiden
UND RECHNEN 4, wie auch durch den Lehrplan vorge müssen, in welche Spalte sie diese jeweils eintragen wol-
geben, als grundlegendes Prinzip miteinbezogen und in len, um am Ende eine möglichst große Zahl zu erreichen.
allen mathematischen Inhaltsbereichen immer wieder Dieses Spiel führt auch unmittelbar zum Größenvergleich
aufgegriffen und geübt. Die wiederkehrende Behandlung der Zahlen bzw. zum Wissen über ihre Ordnung. Zu die-
unterstützt die Aufmerksamkeit der Kinder für Muster sem Verständnis trägt wesentlich die lineare Darstellung
und Strukturen, fördert die bewusste, unter strukturellen, am Zahlenstrahl bei. Auf ihm ist von zwei Zahlen in der
visuellen und arithmetischen Gesichtspunkten geschärfte Normaldarstellung die weiter rechts stehende die größere,
Wahrnehmung und wird damit zur Orientierungshilfe beim die weiter links stehende die kleinere. Die Kinder legen
Lösen von Aufgaben und Problemen. Dabei spielen die Position von Zahlen auf dem Zahlenstrahl fest und
Parkettierungen, Ornamente, Zahlenfolgen und Symbol entnehmen umgekehrt der Position den Zahlwert. Sie
folgen sowie der strukturierte Umgang mit Sachsituationen bilden Zahlfolgen („Zählen in Schritten“), ordnen Zahl-
eine wesentliche Rolle. Sie werden in verschiedenen mengen und notieren das Ergebnis von Zahlvergleichen
Zusammenhängen bearbeitet. mithilfe der Zeichen oder = . Wichtig für das
spätere Runden von Zahlen ist das Aufsuchen der
1.4.2 Arbeiten mit Zahlen und Operationen beiden einer Zahl benachbarten Tausender-, Hunderter-
und Zehnerzahlen. Die Einführung in den Bereich der
Zahlverständnis natürlichen Zahlen bis 100 000 und dann bis 1 000 000
In der vierten Schulstufe soll der den Kindern vertraute (Arbeitsbuch-Seiten 30 bis 38) folgt dem gleichen metho
Zahlenraum von 1 000 auf eine Million erweitert werden. dischen Konzept und sieht Aktivitäten vor, die den soeben
DENKEN UND RECHNEN 4 vollzieht diese Erweiterung beschriebenen entsprechen. Noch einmal wird mit Hilfe
in drei Schritten, zuerst bis 10 000, dann bis 100 000 und abgebildeter Systemblöcke versucht, von der Anzahl
schließlich bis 1 000 000, wobei allerdings die beiden 100 000 auch eine anschauliche Vorstellung zu gewinnen.
letzten Schritte unmittelbar aufeinander folgen, während Bei den Zahlenkarten wiederholen sich die für die Einer-,
sich an die Einführung in den Zahlenraum bis 10 000 Zehner- und Hunderterzahlen verwendeten Farben bei den
rechnerische, geometrische und sachrechnerische Karten für die Eintausender, Zehntausender und Hundert-
Aktivitäten anschließen. tausenderzahlen. Im Grunde geht es beim Zahlaufbau
Für den Bereich bis 10 000 (Arbeitsbuch-Seiten 12 bis 22) immer wieder darum, den Transfer bzw. die wechsel
werden den Kindern zunächst anschauliche Vorstellungen seitige „Übersetzung“ zwischen den verschiedenen
über entsprechende Anzahlen vermittelt. Dies geschieht Darstellungen der gleichen Zahl – anschaulich, mit
mithilfe von Bildern der Systemblöcke, mit denen sich Zahlenkarten, als Summe von Stufenzahlen, in der
größere Anzahlen als Summe aus Tausenderblöcken, Stellenwerttabelle, im Zahlzeichen und im Zahlwort –
Hunderterplatten, Zehnerstangen und einzelnen Würfeln einzuüben.Der Zahlenstrahl kann bei mehr als vierstelligen
darstellen lassen. Wenn die Kinder bezogen auf dieses Zahlen nur noch der ungefähren Orientierung dienen, was
Material Zahlwörter bilden, wird es ihnen leichter fallen, aber auch eine grundlegende Kompetenz vor allem im
deren systematischen Aufbau zu verstehen und den Hinblick auf den Umgang mit Sachsituationen ist.
Wortteil für die Tausender vom Wortteil der Hunderter, An die Einführung der Zahlen bis zur Million schließt sich
Zehner und Einer zu trennen. Die anschauliche Vorstellung ein kurzes Kapitel zum Runden großer Zahlen und, in
hilft ihnen auch, Folgen von auf- und absteigenden Verbindung damit, zum Darstellen von Anzahlen in Schau-
Systemzahlen zu bilden. Wichtig ist dann das Verstehen bildern an (Arbeitsbuch-Seite 42, vgl. auch 1.4.6). Beim
vierstelliger Zahlzeichen. Ein Zahlzeichen wie 4 235 muss Runden wird genau unterschieden, auf welche Systemzahl
von den Schülerinnen und Schülern als Summe gedeutet gerundet werden soll, auf eine (reine) Tausender-, Zehn-
werden, und zwar nicht, wie man beim Kopfrechnen tausender oder Hunderttausenderzahl. Die Schülerinnen
erleben kann, als 4 + 2 + 3 + 5, sondern als 4 000 + 200 und Schüler können dann die Position auswählen, von8 Konzeption
der aus nach der Rundung nur noch Nullen folgen sollen. wird vorerst das Multiplizieren mit den Stufenzahlen 10,
Steht an der folgenden Stelle eine Ziffer kleiner als fünf, 100 und 1 000 behandelt. Dies müssen die Schülerinnen
so bleibt die Ziffer dieser Position unverändert und alle und Schüler nach einer einleuchtenden Erklärung anhand
folgenden Ziffern werden durch 0 ersetzt (Abrunden). der Stellenwerttabelle im Kopf ausführen.
Stellt die folgende Ziffer 5 oder mehr dar, so wird die DENKEN UND RECHNEN 4 leitet das schriftliche Multi
Ziffer an dieser Stelle um eins vergrößert und alle plizieren mit zweistelligen Zahlen mit dem Multiplizieren
folgenden Ziffern durch 0 ersetzt (Aufrunden). mit reinen Zehnerzahlen ein (Arbeitsbuch-Seite 45), aufge-
fasst als ein Multiplizieren mit der Ziffer auf der Zehner-
Rechnen im Zahlenraum und Strukturen nutzen position und einer anschließenden Multiplikation mit 10
Der Inhaltsbereich Rechnen ist in der vierten Schulstufe in (oft verkürzt beschrieben als Anhängen einer Null an das
drei große Themenkomplexe untergliedert, nämlich in das Ergebnis). Wenn der zweite Faktor dann eine gemischte
mündliche und schriftliche Addieren und Subtrahieren im Zehnerzahl ist, wie etwa im Beispiel 176 · 36 (Arbeits-
Zahlenraum bis 10 000 bzw. bis zur Million, in die Einfüh- buch-Seite 46), nimmt das Verfahren vier Schritte an:
rung des schriftlichen Normalverfahrens der Multiplikation
mit vorausgehendem mündlichen Multiplizieren und in die 1. Multiplikation mit der Ziffer auf der Zehnerstelle,
Einführung des schriftlichen Normalverfahrens der Division im Beispiel mit 3;
mit vorausgehendem mündlichen Dividieren. 2. Multiplikation des dabei erzielten Ergebnisses mit 10;
3. Multiplikation mit der Ziffer der Einerstelle,
Mündliches und schriftliches Addieren und Subtrahieren im Beispiel 6;
Beim mündlichen Addieren und Subtrahieren im Bereich 4. Addition der Ergebnisse aus dem zweiten und dritten
der Zahlen bis 10 000 bzw. bis 1 000 000 beschränkt sich Schritt.
DENKEN UND RECHNEN 4 bewusst auf Aufgaben, die
von den Schülerinnen und Schülern leicht zu bewältigen Es erweist sich als hilfreich, die Ergebnisse des ersten
sind bzw. bei denen man mit Kopfrechnen sicherlich und dritten Schritts so unter die Aufgabe zu schreiben,
rascher zum Ziel kommt als mit den schriftlichen Normal- dass die Einerstelle jeweils genau unter der Ziffer steht,
verfahren. mit der gerade multipliziert wird. Dann steht die Ziffer Null
Vielfach wird es den Kindern aber auch freigestellt, aus dem zweiten Schritt unter dem Malpunkt und über
die Aufgabe nur im Kopf, eventuell mit selbst gewählter der Einerstelle des Ergebnisses aus dem dritten Schritt,
Notation („halbschriftlich“) oder schriftlich zu rechnen. dem Rechnen mit den Einern. Manche Kinder werden
Am Anfang stehen Aufgaben, bei denen eine größere dann erkennen, dass die Ziffer Null eigentlich überflüssig
Zehner- bzw. Hunderterzahl auf den nächsten Tausender ist und die richtige Positionierung der Teilergebnisse für
zu ergänzen ist bzw. bei denen man von einer reinen die Addition auch durch bloßes „Ausrücken“ erreicht
Tausender- bzw. Zehntausenderzahl eine Hunderter-, werden könnte. Diese minimale Kürzung sollte aber den
Zehner- oder Einerzahl subtrahieren muss (Arbeitsbuch- Schülerinnen und Schülern nicht zu früh nahegelegt
Seite 26). Dann sollen zur gleichen vier- bzw. fünfstelligen werden, denn sie gefährdet durch Überspringen des
Zahl oder auch zu unterschiedlich großen „verwandten“ zweiten Verfahrensschritts das Verständnis und erhöht die
Zahlen einstellige sowie (reine) Zehner-, Hunderter oder Fehleranfälligkeit des Verfahrens.
Tausenderzahlen addiert bzw. subtrahiert werden (Arbeits-
buch-Seite 40–41). Hinsichtlich des schriftlichen Addierens Einführung in das schriftliche zweistellige Dividieren
und Subtrahierens wird auf einführende Schritte verzichtet Nach einer sehr ausführlichen Wiederholung des schrift-
und davon ausgegangen, dass die Schülerinnen und lichen Dividierens mit einstelligem Divisor (Arbeitsbuch-
Schüler die für dreistellige Zahlen erlernten Verfahren Seite 13, 19, 29 und 37) wird ergänzend zur Langversion
ohne Schwierigkeit auch auf vier- oder fünfstellige nun auch die kurze Version der schriftlichen Division
übertragen können. Das Bemühen geht hier eher auf behandelt (Arbeitsbuch-Seite 53). Dabei wird die schrift-
die Bereitstellung eines anregenden formalen Aufgaben liche Subtraktion nicht mehr angeschrieben, sondern es
materials und die Anwendung der Verfahren in Aufgaben wird im Kopf mit Hilfe einer Probemultiplikation und an-
des Sachrechnens (Arbeitsbuch-Seiten 27–28). schließendem Ergänzen auf die zu teilende Zahl der Rest
Bei Zahlenfolgen in diesem Zahlenraum kann jeweils die ermittelt und unter die zu teilende Zahl angeschrieben.
Beziehung zwischen den Ziffern der Zahlen als Beispiel Anschließend wird der nächste Stellenwert zum Rest „her-
von Zahlenmustern bei der Lösung helfen, andererseits untergeschrieben“ und bildet somit die nächste zu teilende
können mündliche und schriftliche Verfahren zur Lösung Zahl. Es wird bewusst erst in DENKEN UND RECHNEN 4
genutzt werden. Die Aufgaben dazu helfen deshalb, die die kurze Version der schriftlichen Division angeboten, da
Kompetenz für die Auswahl der verwendeten Rechen- die Schülerinnen und Schüler zuerst die Langversion
strategien zu fördern. Ein weiteres Nutzen der Zahlbezie- festigen müssen. Erst danach können geübte Schülerinnen
hungen ist das kombinatorische Bilden von Zahlen aus und Schüler freiwillig auf die Kurzversion übergehen.
Ziffernkarten unter Beachtung von Zahleigenschaften und Im Rahmen der formalen Übung des schriftlichen
Ergebnissen von Zahloperationen (Arbeitsbuch-Seite 41 Dividierens ist es gut, noch erklärend auf einige Sonder
und 71). fälle einzugehen, die den Schülerinnen und Schülern
DENKEN UND RECHNEN 4 hat das mündliche und halb- erfahrungsgemäß Schwierigkeiten bereiten (Arbeitsbuch-
schriftliche Rechnen etwas reduziert, um mehr Aufgaben Seite 54). Das sind Aufgaben, bei denen in der Folge der
einzusetzen, bei denen Strukturen und Zahlbeziehungen Teildivisionen eine den Rest 0 hat oder die zu teilende
genutzt werden können. Zahl auch nach dem „Herunterholen“ noch kleiner ist als
der Divisor. Die zugehörige Teildivision hat in diesem Fall
Einführung in das schriftliche Multiplizieren mit das Ergebnis 0 mit der zu teilenden Zahl als Rest und
zweistelligem zweiten Faktor (Multiplikator) darf keinesfalls übergangen werden, sonst würde das
Nach dem Wiederholen des schriftlichen Multiplizierens Verfahren einen Stellenwert überspringen, im Zahlzeichen
mit einstelligem zweiten Faktor (Arbeitsbuch-Seite 12), für das Gesamtergebnis eine 0 fehlen und dieses damitKonzeption 9
falsch sein. Das ist anders im Fall der ersten Teildivision. ebenen und räumlichen Beziehungen, Formen und Größen.
Ist hier die Zahl auf der höchsten Position des Dividenden Aus diesem Grunde räumt DENKEN UND RECHNEN 4,
kleiner als der Divisor, so hätte man auch das Ergebnis dem Lehrplan entsprechend, dem geometrischen Lern
0 mit der Zahl als Rest. Da die Null vor dem Zahlzeichen bereich eine exponierte Stellung ein.
des Gesamtergebnisses jedoch dieses nicht verändern Zu den in den vorausgehenden Schulstufen erlernten
würde, überspringen wir diese Position und fassen die ebenen geometrischen Figuren werden keine neuen
entsprechende Zahl gleich mit der auf der folgenden hinzugefügt. Kreis, Dreieck, Quadrat und Rechteck können
Position zusammen (Bogen). Dabei ist es sinnvoll, gleich im Zusammenhang mit dem Zerlegen und Zusammen-
die Stellen des Ergebnisses zu ermitteln und gegebenen setzen von komplexen Figuren sowie im Rahmen der
falls zu kennzeichnen. Große Schwierigkeiten bereitet Kopfgeometrie die Auseinandersetzung mit Faltschnitten
den Schülerinnen und Schülern meist das Dividieren mit weiter erfahrbar gemacht werden (Arbeitsbuch-Seiten 15,
zweistelligem Divisor. DENKEN UND RECHNEN 4 bietet 23 und 24).
hier neben dem herkömmlichen „Enthaltensein“ auch das Erweitert werden indes die Themen rechter Winkel und
Erarbeiten der Lösung über die Multiplikation an (Arbeits- die Parallelität (Arbeitsbuch-Seite 116). Die Schülerinnen
buch-Seite 64). Beim Dividieren mit zweistelligem Divisor und Schüler zeichnen rechte Winkel und rechtwinkelige
muss diese zuerst gerundet werden, um anschließend das Figuren vor allem mithilfe des Geo-Dreiecks und sie
Enthaltensein im Dividenden zu überlegen. Dabei achtet benutzen dieses Gerät auch zum Aufsuchen und Nach
DENKEN UND RECHNEN 4 darauf, dass zuerst nur Divi- prüfen rechter Winkel in vorgegebenen Figuren (Seiten 93
soren angeboten werden, die leicht auf- oder abzurunden und 94).
sind, wie z.B. 21 oder 29. Wichtig ist auch, dass die An- Neu hinzu kommt das Thema, einen Kreis zu erzeugen.
zahl der Ergebnisstellen vor dem eigentlichen Dividieren Dies wird im Umgang mit dem Zirkel anhand von Muster-
festgelegt werden. zeichnungen spielerisch eingeübt. Der Lehrplan sieht nicht
vor, die Begriffe Radius, Durchmesser und Mittelpunkt
Kombinatorik anzusprechen, dennoch werden die Begriffe Radius und
Gegenüber den Vorjahren machen die Schülerinnen und Mittelpunkt thematisiert. (Arbeitsbuch-Seite 124).
Schüler auch in DENKEN UND RECHNEN 4 weiter Im fächerverbindenden, motivierenden Sinn wird das
führende Erfahrungen mit kombinatorischen Aufgaben- Angebot des Arbeitsbuches durch eine Seite zum Thema
stellungen. Dies geschieht über das Finden verschiedener Mathematik und Kunst (Arbeitsbuch-Seite 125) abgerundet,
Kombinationsmöglichkeiten von Ziffernkarten, aber auch das die Thematik Kreise an einem Kunstwerk von Wassily
beim Üben von arithmetischen Aufgabenstellungen in der Kandinsky aufgreift.
Kombination von Ziffernkärtchen und daraus resultierend
verschiedene Aufgaben zu finden. Das systematische Einen weiteren Schwerpunkt unter den geometrischen
Lösen von kombinatorischen Aufgabenstellungen wird vor Themen bildet, als Fortführung des in der dritten Schul-
allem nochmals über das Baumdiagramm aufgegriffen stufe Gelernten, der Umgang mit Würfel und Quader.
(Arbeitsbuch-Seite 70) und das Finden aller Möglichkeiten Als Faltübung kann ein Würfel nach Anleitung erstellt
von Dominosteinen (fachmathematisch: Kombinationen mit werden, mit dem weitere Erfahrungen zu Eigenschaften
Wiederholung; Arbeitsbuch-Seite 87). Auch beim Lösen des Würfels gemacht werden können. Im weiteren Verlauf
von Sachsituationen werden kombinatorische Vorgehens- des Lehrgangs wird das Bauen von Würfelgebäuden und
weisen aufgezeigt (Arbeitsbuch-Seite 115). Dabei bleibt der Umgang mit den zugehörigen Bauplänen aufgegriffen.
immer als Forderung, kombinatorische Aufgaben zunächst Aufgabenstellungen mit dem Soma-Würfel schließen sich
durch Probieren, aber auch zunehmend durch systema- an, die zum einen motivierend sind, zum anderen das
tisches Vorgehen zu lösen. Raumvorstellungsvermögen schulen.
Die eher analytische geometrische Sichtweise wird mit
Sachbezogene Mathematik dem Thema Würfel- und Quadernetze aufgegriffen
Da Sachsituationen fast in allen Lernbereichen des Lehr- (Arbeitsbuch-Seiten 82 und 83). Diese Aufgaben sollten
plans gefordert werden, integriert das Lehrwerk DENKEN stets handelnd angegangen werden, können in der vierten
UND RECHNEN 4 die Behandlung von Sachsituationen. Schulstufe aber auch schon von vielen Kindern mit
Deshalb wird in einem späteren Abschnitt das sachbezo- gedanklichem Operieren gelöst werden. Den Abschluss
gene Rechnen aufgegriffen (vgl. 1.4.7 Mit Sachsituationen der Behandlung von Körpern bildet eine funktionelle
umgehen). Betrachtungsweise: das Kippen von Quadern. In der
Weiterführung der Geometrie werden nochmals die
Überschlagsrechnen ebenen Flächen aufgegriffen. Die Gliederung ebener
Das Überschlagen bei Additionen und Subtraktionen Flächen durch Parkettierung führt zum eher anwendungs
wurde in der dritten Schulstufe sorgfältig erarbeitet und orientierten Flächeninhaltsvergleich, der durch Auslegen
wird im Arbeitsbuch 4 fortlaufend wiederholt. Das Über- mit Einheitsquadraten hinführt zum Berechnen des
schlagen bei Multiplikationen und Divisionen wird jetzt Flächeninhaltes. Das Bestimmen des Rauminhalts
neu eingeführt. Wie in Band 3 werden dabei Lösungs- erfolgt durch Ausfüllen eines Körpers mit Einheitswürfeln
vorschläge der Kinder aufgegriffen, reflektiert und be- (Arbeitsbuch-Seiten 116).
wertet. Dabei sollte auch immer wieder die Sinnhaftigkeit
des genauen Rechnens gegenüber dem Rechnen mit Maßstab und Grundriss
Plausibilitätsüberlegungen reflektiert und bewertet werden. Die Zentrische Streckung begegnet den Kindern als
maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern. Sie schätzen
1.4.3 Ebene und Raum ab, um wie viel, d. h. in welchem Maßstab eine Zeichnung
vergrößert oder verkleinert wurde, und sie vergrößern und
Mindestens genauso wichtig wie eine quantitative Er- verkleinern selbst vorgegebene Figuren oder Strecken
schließung der Welt mittels der Zahlen und des Rechnens nach einem gegebenen Maßstab (Arbeitsbuch-Seiten 100
ist für die Kinder eine bewusste Auseinandersetzung mit bis 103).10 Konzeption
Das Verständnis für Maßstäbe ermöglicht dann, aus Gewichte
Grundrisszeichnungen reale Längen herauszulesen und Der nunmehr bis zur Million erweiterte Zahlenraum
selbst maßstabsgetreue Grundrisse zu zeichnen. Die lässt nun zu, Tonne, Kilogramm und Gramm vertiefend
Schülerinnen und Schüler können sogar in dem durch in Beziehung zu setzen und auch Umrechnungen über
einen Maßstab gegebenen Verhältnis wirkliche Längen in ein Kilogramm hinaus vorzunehmen. Dies sollte aber
Zeichnungslängen umrechnen und umgekehrt (Arbeits- schwerpunktmäßig nur dann gemacht werden, wenn es
buch-Seite 102). aus Sachgründen nötig wird (z. B. Höchstgewicht für ein
Der interpretative Umgang mit Plänen stellt schließlich Päckchen 2 kg, Gewichtsangaben für Inhalte in Gramm).
eine enge Querverbindung zum Sachunterricht her Von der dritten Schulstufe her werden auch weiterhin
(Arbeitsbuch-Seite 103). Gewichtsangaben umgerechnet. Nach dem Einführen
Dieser Umgang mit dem Maßstab, insbesondere bezogen der Brüche und Bruchzahlen werden diese mit im Alltag
auf Grundrisse, ist ein Schnittpunkt von Geometrie und gebräuchlichen einfachen Bruchzahlen (Abschnitt 1.4.4)
Sachrechnen. Das Vergrößern und Verkleinern bereitet aufgegriffen und umgerechnet.
für die weiterführenden Schulen besondere Formen der Wichtig bleibt, sowohl für reine Gewichtsangaben (z. B.
linearen Zuordnung im Zusammenhang mit Umrechnung 100 g, 50 dag, 2 kg, 7 t ...) als auch für Gewichtsangaben
von Größeneinheiten vor. Die Anwendung auf Grundrisse mit Bruchzahlen (z. B. 1/4 kg, 1/2 kg, 2 1/2 kg, ...) Be-
und Pläne schult das räumliche Vorstellungsvermögen, zugsgrößen aus der Erfahrungswelt zu kennen und diese
insbesondere auch mit der Entwicklung von Größen dann zum Schätzen von Gewichten nutzen zu können.
vorstellungen.
Ergänzend wird im Lernbereich Ebene und Raum das Längenmaße
Thema Ansichten behandelt (Arbeitsbuch-Seite 81), das Der Größenbereich Längen mit den Einheiten Millimeter,
die Orientierung aus verschiedenen Perspektiven schult. Zentimeter, Dezimeter, Meter und Kilometer wird ent-
sprechend der zunehmenden Differenzierungsfähigkeit
1.4.4 Brüche der Schülerinnen und Schüler weiter vertieft. Von der
dritten Schulstufe her werden auch weiterhin Längenan-
Der aktuelle Lehrplan legt fest, dass in der vierten gaben umgerechnet. Nach dem Einführen der Brüche und
Schulstufe „Einsicht in das Wesen der Bruchzahlen“ Bruchzahlen werden diese mit im Alltag gebräuchlichen
vermittelt werden soll. DENKEN UND RECHNEN 4 bezieht einfachen Bruchzahlen (Abschnitt 1.4.4) aufgegriffen und
sich jedoch nicht nur auf die Bruchzahl an sich, sondern umgerechnet.
ausführlich auf den Bruch als Anteil eines Ganzen. Auch bei den Längenmaßen bleibt es wichtig, dass
Dabei werden unter anderem geometrische Figuren wie sowohl für reine Längenangaben (z. B. 10 mm, 30 cm,
Rechtecke, Quadrate oder Kreise als Repräsentanten 4 dm, 1 m, 9 km, ...) als auch für Längenangaben mit
von Brüchen angeboten. Der Einstieg in das Arbeiten mit Bruchzahlen (z. B. 1/2 m, 1/8 km, 5 1/4 cm, ...) Bezugs-
Brüchen als Anteil eines Ganzen verläuft in DENKEN größen aus der Erfahrungswelt zu kennen sind, um
UND RECHNEN 4 jedoch über eine Alltagssituation (Seite diese dann zum Schätzen von Längen nutzen zu können.
56), indem ein länglicher Kuchen in vier gleich große Teile Im Zusammenhang mit den Längenmaßen wird das in
zerlegt werden soll. Als Hilfsmittel wird ein rechteckiger Band 3 angebahnte Verständnis für das Berechnen des
Papierstreifen angeboten, der durch entsprechendes Umfanges ausgebaut und auch mit dem Flächeninhalt in
Falten in vier gleich große Teile unterteilt wird. Der Lehr- Verbindung gebracht.
plan schreibt vor, dass in der vierten Schulstufe Ganze,
Halbe, Viertel und Achtel als Anteil eines Ganzen Flächenmaße
behandelt werden. Dies geschieht in DENKEN UND In DENKEN UND RECHNEN 1 bis 3 wurde das Berech-
RECHNEN 4, wie bereits erwähnt, über Alltagssituationen, nen von Flächeninhalten ausführlich angebahnt, indem Er-
geometrische Formen, aber auch über das Geobrett durch fahrungen mit dem Auslegen von größeren Flächen durch
das Spannen von Teilfiguren, die als Anteile des gesamten kleinere Flächen aufgebaut wurden. Unterstützend wurde
Geobrettes zu sehen sind. dabei das Geobrett eingesetzt, indem Einheitsquadrate
Natürliche Zahlen verfügen im Wesentlichen über eine auf die gespannten Figuren gelegt wurden. Diese soge-
eindeutige Schreibweise, was bei Bruchzahlen nicht zu- nannten „Einheitsquadrate“ werden nun in Band 4 mit
trifft. Ein Viertel kann neben dem geschriebenen Zahlwort genauen Seitenlängen angeboten. Ein Millimeterquadrat
z. B. auch als ¼, als 0,25, als 1 : 25 000, als 25 %, als hat eine Seitenlänge von einem Millimeter, ein Zentimeter-
1 : 4 usw. angeboten werden. DENKEN UND RECHNEN 4 quadrat hat eine Seitenlänge von 1 cm, .... . Der Flächen-
bezieht sich jedoch nur auf die Schreibweise von gemeinen inhalt dieser Quadrate beträgt einen Quadratmillimeter,
Brüchen in Form geschriebener Zahlzeichen (z. B. ¼, …) einen Quadratzentimeter, .... . So wird auf die neue Größe
und gesprochener und geschriebener Zahlworte (z. B. ein der Flächenmaße mm2, cm2, dm2, m2, a, ha, km2 hinge-
Viertel, ...). Die Schreibweise als Maßstab wird jedoch führt. Um den Schülerinnen und Schülern die einzelnen
angeboten (Abschnitt 1.4.3), jedoch nicht mit den Brüchen Flächenmaße anschaulich nahezubringen, wird immer ein
in Verbindung gebracht, da dies den weiterführenden Bezug zur Umwelt hergestellt. Das Herstellen des Zusam-
Schulen zuzuordnen ist. menhanges zwischen den einzelnen Flächenmaßen soll
von den Kindern erarbeitet werden, indem sie erforschen,
1.4.5 Größen wie oft ein kleineres Quadrat in einem größeren Platz fin-
det. Es wird dabei, so wie auch bei allen anderen Größen,
Die Größen sind Schnittpunkt von Mathematik und bewusst auf Umwandlungstabellen verzichtet, da damit
täglicher Lebenswirklichkeit. Deshalb gehören sie zum der tatsächliche Zusammenhang zwischen den Maßen
mathematischen Grundwissen. Das Arbeiten mit Größen, verloren geht.
das Vermitteln von Grundwissen zu Größen und die Das Berechnen des Flächeninhaltes erfolgt über das Aus-
Fähigkeit zu messen werden in der vierten Schulstufe für legen und „Zählen“ der z. B. Meterquadrate. Um vom Ab-
verschiedene Größenbereiche weitergeführt und vertieft. zählen der z. B. Meterquadrate wegzukommen, werden dieSie können auch lesen
