Mathematische Workshops 1 - Prof. Dr. Monika Reimpell Hochschulschriften . Standort Meschede . Nr. 1/2020

Mathematische Workshops 1
Prof. Dr. Monika Reimpell
Hochschulschriften . Standort Meschede . Nr. 1/2020

Impressum

Herausgeber
Der Rektor der Fachhochschule Südwestfalen,
Professor Dr. Claus Schuster

Fachhochschule Südwestfalen
Baarstraße 6
58636 Iserlohn
www.fh-swf.de

Layout, Bildredaktion und Text
Dezernat 5: Hochschulkommunikation

Text
Prof. Dr. Monika Reimpell

Bildnachweis
Titelseite: Christian Klett, FH Südwestfalen

Druck
WIRmachenDRUCK GmbH
Mühlbachstr. 7
71522 Backnang

ISBN (print): 978-3-940956-87-3
ISBN (elektr.): 978-3-940956-88-0

www.fh-swf.de/cms/hochschulschriften

Meschede 2020

Mathematische Workshops 1
 1. Mathe-Tag
 an der FH Südwestfalen in Meschede
 16.01.2020
 Monika Reimpell

Zusammenfassung:

Am 16.01.2020 fand an der Fachhochschule Südwestfalen in Meschede
der 1. Mathe-Tag statt. Er richtete sich an interessierte und leistungs-
starke Schülerinnen und Schüler der Klassen 6-11 der Schulen der Re-
gion. Die Schülerinnen und Schüler haben sich in zwei Workshops à 180
Minuten mit mathematischen Themen außerhalb des normalen Schulun-
terrichts beschäftigt. Als Referenten für die Workshops konnten Lehre-
rinnen und Lehrer der weiterführenden Schulen der Region sowie Mit-
arbeiter der Fachhochschule Südwestfalen gewonnen werden.

Dieser Band gibt einen Überblick über die durchgeführten Workshops.
Zu einigen Workshops werden Arbeitsmaterialien zur Durchführung
vergleichbarer Workshops zur Verfügung gestellt.

Stichwörter: Mathematikdidaktik, Schülerzirkel Mathematik

 Hochschulschriften Standort Meschede

Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort ............................................................................................ 1
 1.1 Einleitung ..................................................................... 1
 1.2 Danksagung ................................................................. 1
2 Mathematische Workshops .............................................................. 3
 2.1 Übersicht der Workshops............................................. 3
 2.2 Das mathematische Geheimnis der Sonnenblume –
 die Fibonacci-Zahlen ................................................... 7
 2.3 Mathematische Basteleien mit dem Soma-Würfel....... 9
 2.4 Graphen...................................................................... 19
 2.5 Das Heron-Verfahren ................................................. 23
 2.6 Färbungsproblem ....................................................... 26
 2.7 Logikrätsel ................................................................. 28
 2.8 Beweistechniken ........................................................ 35
 2.9 Kryptographie ............................................................ 37
 2.10 Mathematik mit seltsamen Zahlen ............................. 46
 2.11 Pascalsches Dreieck – Entdecken von Mustern
 und Beziehungen........................................................ 70

Mathematische Workshops 1 1

1 Vorwort

1.1 Einleitung
 Am 16.01.2020 fand an der FH Südwestfalen in Meschede der
1. Mathe-Tag statt. Er richtete sich an interessierte und leistungsstarke
Schülerinnen und Schüler der Klassen 6-11. Die Schülerinnen und Schü-
ler haben sich in zwei Workshops à 180 Minuten mit mathematischen
Themen außerhalb des normalen Schulunterrichts beschäftigt. Als Re-
ferenten für die Workshops konnten Lehrerinnen und Lehrer der weiter-
führenden Schulen der Region sowie Mitarbeiter der FH Südwestfalen
gewonnen werden.
 In dieser Hochschulschrift findet sich eine Übersicht über die ange-
botenen Workshops. Für einen Teil der Workshops werden detailliertere
Informationen zur Idee des Workshops und zum Ablauf des Workshops
gegeben. Eventuell zur Durchführung des Workshops benötigte Zusatz-
materialien werden unter Materialien aufgelistet. In dieser Rubrik wer-
den zum Teil auch Aufgabenblätter, Handouts und Skripte abgedruckt.
Als Quellen finden sich Verweise auf verwendete oder zusätzliche Ma-
terialien zum Thema des Workshops.
 Es ist ausdrücklich erwünscht, die Workshops und Materialien als
Ausgangspunkt für eigene mathematische Workshops für Schülerinnen
und Schüler zu verwenden. Gerne können dazu auch die Referenten un-
ter den angegebenen Kontaktdaten direkt kontaktiert werden.

1.2 Danksagung
 Mein Dank gilt zunächst der Arconic Foundation, die das Projekt
MatheKIDS im Schuljahr 2019/20 gefördert hat und damit auch den
1. Mathe-Tag ermöglicht hat.
 Mein besonderer Dank gilt den Referenten Ricarda Abel, Chris-
topher Babilon, Marian Bäcker, Melanie Blome, Stefan Burghardt,
Joachim Deckers, Tim Höngesberg, Patricia Körner, David Kruse,
Thomas Langer, Dennis Plett, Selvapriya Selvakumaran, Adriane Som-
mer, Michael Till, Nina Verspohl, Christian Wahle und Alexander We-
ber, die mit der Konzeption und Durchführung ihrer Workshops den
Mathe-Tag erst möglich gemacht haben. Weiterhin danke ich allen
Schulen, die Schülerinnen und Schüler zum Mathe-Tag angemeldet und
diese für den Tag freigestellt haben (Franz-Stock-Gymnasium Arnsberg,

2 Monika Reimpell

Städtisches Gymnasium Laurentianum Arnsberg, Mariengymnasium
Arnsberg, Marienschule Brilon, Gymnasium Petrinum Brilon, Gymna-
sium Antonianum Geseke, Carolus Magnus Gymnasium Marsberg,
Städtische Gesamtschule Menden, Gymnasium der Stadt Meschede,
Gymnasium der Benediktiner Meschede, St. Walburga-Realschule
Meschede, Städtisches Gymnasium Schmallenberg, Städtisches Gym-
nasium Sundern, Europa-Gymnasium Warstein, Uplandschule Willin-
gen).
 Mein Dank gilt auch allen Kollegen der FH Südwestfalen in
Meschede, die ihre Lehrveranstaltungen am Mathe-Tag sehr flexibel in
andere Räumlichkeiten haben verlegen lassen, sowie den Mitarbeitern
der FH Südwestfalen und des zdi Netzwerks Bildungsregion Hochsauer-
landkreis, die den Mathe-Tag organisatorisch begleitet haben.
 Wir freuen uns schon auf den nächsten Mathe-Tag am 04.02.2021.

Mathematische Workshops 1 3

2 Mathematische Workshops

2.1 Übersicht der Workshops
 Zu den folgenden Themen wurden Workshops beim 1. Mathe-Tag
angeboten:

 Workshop Klasse Klasse Klasse
 6/7 8/9 10/11
 Das mathematische Geheimnis der Son- x
 nenblume – Fibonacci-Zahlen
 Mathematische Basteleien mit dem x
 Soma-Würfel
 Platonische Körper x
 Rechnen wie ein Computer x
 Graphen x
 Das Heron-Verfahren x
 Färbungsprobleme (x) x
 Logikrätsel x
 Mathematische Zaubereien x
 Beweistechniken x
 Kryptographie (x) x
 Mathematik mit seltsamen Zahlen x
 Pascalsches Dreieck – Entdecken von (x) x
 Mustern und Beziehungen

 In der initialen Planung waren vier Workshops je Altersklasse vor-
gesehen. Aufgrund der zahlreichen Anmeldungen wurden dann jedoch
einige Workshops gedoppelt und einige Workshops für zwei verschie-
dene Altersgruppen angeboten.
 Den Schülerinnen und Schülern standen vor der Anmeldung die fol-
genden Kurzbeschreibungen zur Verfügung, nach denen sie ihre Präfe-

4 Monika Reimpell

renzen bekunden konnten. Schlussendlich konnte fast allen Schülerin-
nen und Schülern mindestens ein Workshop ihrer Wahl zugeteilt wer-
den.

Das mathematische Geheimnis der Sonnenblume - die Fibonacci-
Zahlen
Was hat Mathematik mit der Sonnenblume zu tun? Wir lernen die Fibo-
nacci-Zahlen kennen und erkennen Regelmäßigkeiten, die nahezu alle
Sonnenblumen gemeinsam haben.

Mathematische Basteleien mit dem Soma-Würfel
Der Soma-Würfel besteht aus Würfeldrillingen und Würfelvierlingen.
Wir untersuchen, wie man aus Drillingen und Vierlingen einen Würfel
zusammensetzen kann. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Welche ande-
ren Formen können wir finden?

Platonische Körper
Was sind Platonische Körper? Welche Eigenschaften machen sie beson-
ders? Wir lernen die fünf Platonischen Körper kennen und untersuchen
sie auf ihre "Schönheit und Vollkommenheit".

Rechnen wie ein Computer
Wie rechnet eigentlich ein Computer? Im Binärsystem! Wir lernen, da-
rin Zahlen darzustellen, zu rechnen und verschlüsselte Nachrichten zu
übertragen.

Graphen
Wisst ihr wie unser Navigationsgerät den kürzesten Weg nach Hause
findet oder warum es uns manchmal in eine Sackgasse führt? Habt ihr
euch schon mal gefragt, warum der Nachbar in der Spielstraße zuerst die
Post bekommt, obwohl ihr doch auf der Hauptstraße zuerst dran wärt?
Kennt ihr das Haus vom Nikolaus? Und was hat Leonhard Euler damit
zu tun? Im Workshop gibt es Antworten auf diese und weitere Fragen
sowie eine praxisnahe Einführung in die Graphentheorie.

Mathematische Workshops 1 5

Das Heron-Verfahren
Wir lernen das Heron-Verfahren zum Berechnen von Wurzeln kennen.
Es ist ein iteratives Verfahren zur Berechnung von reellen Zahlen - wir
betrachten es aus rechnerischer und geometrischer Sicht.

Färbungsprobleme
Wie viele Farben braucht man, um eine Landkarte so zu färben, dass nie
zwei aneinandergrenzende Länder die gleiche Farbe haben? Braucht
man weniger Farben, wenn die Ländergrenzen durch Geraden in der
Ebene gegeben sind? Und wie kann man beweisen, mit wie wenig Far-
ben man auskommt?

Logikrätsel
"Der Engländer lebt im roten Haus. Der Spanier hat einen Hund. Das
grüne Haus steht direkt neben dem weißen Haus. Wer hat einen Fisch
als Haustier?" Das Einsteinrätsel ist ein berühmtes "Logical", eine Rät-
selart, die mittels logischer Schlussfolgerungen gelöst werden kann. Wir
erstellen eine Lösungsmethode und erfinden eigene Logicals.

Mathematische Zaubereien
"Denke dir eine Zahl zwischen 1 und 100, dann ..." – Hast du dich immer
schon gefragt, wie solche mathematischen Zaubertricks funktionieren
und durch welche mathematischen Gesetzmäßigkeiten sie sich erklären
lassen? Dann bist du hier richtig!

Beweistechniken
Wir lernen Beweistechniken wie den direkten und den indirekten Be-
weis, sowie das Beweisen mittels vollständiger Induktion.

Kryptographie
Schon Caesar verwendete der Überlieferung nach ein Verschlüsselungs-
verfahren, um geheime Botschaften über Boten und damit über unsi-
chere Kanäle zu senden. Dieser Cäsar-Chiffre ist relativ leicht zu kna-

6 Monika Reimpell

cken. Sichere Verfahren, die heute in jedem Computer angewendet wer-
den, gehen zurück auf einige mathematische Besonderheiten. Wir ler-
nen, was Restklassen sind und wie diese helfen, Texte so zu verschlüs-
seln, dass man sie auch an eine öffentliche Pinnwand hängen kann und
trotzdem nur der eigentliche Empfänger sie wieder entschlüsseln kann.

Mathematik mit seltsamen Zahlen
Einfach mal aus -1 die Wurzel ziehen, durch 0 teilen und Teilbarkeit mit
dem Abstand von Zahlen untersuchen. Wir blicken über den Tellerrand
der rationalen und reellen Zahlen, lernen komplexe Zahlen, die projek-
tive Gerade und p-adische Geometrie kennen.

Pascalsches Dreieck - Entdecken von Mustern und Beziehungen
Wir untersuchen das Pascalsche Dreieck, entdecken Muster und Bezie-
hungen und gewinnen dadurch Erkenntnisse zu Binomischen Formeln,
Binomialkoeffizienten, den Fibonacci-Zahlen, Dreieckszahlen und frak-
talen Mustern.

Mathematische Workshops 1 7

2.2 Das mathematische Geheimnis der Sonnenblume – die Fi-
 bonacci-Zahlen
 Referentin: Nina Verspohl, Städtisches Gymnasium Laurentianum
Arnsberg 1

2.2.1 Idee
 Ziel des Workshops war es, dass die Schülerinnen und Schüler die
Fibonacci-Zahlen und über diese den Goldenen Schnitt kennenlernen.

2.2.2 Ablauf des Workshops
 Die Fibonacci-Zahlen kommen an vielen Stellen in der Natur vor. Es
wurden Materialien aus der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler
gezeigt, z. B. eine Sonnenblume, Kiefernzapfen, eine Ananas, ein Ro-
manesco, mit der Frage, was diese Gegenstände gemeinsam haben.
Schnell stellte sich heraus, dass es nicht die Symmetrie sein kann, son-
dern etwas mit den Spiralen der Schuppen, Kerne usw. zu tun haben
muss.
 Die Schülerinnen und Schüler entdeckten im Folgenden Fibonacci-
Zahlen in ganz unterschiedlichen Kontexten. Sie erstellten selbst eine
Goldene Spirale und notierten darin die Längen der Quadratseiten. Sie
lösten das folgende Treppenproblem: „Eine Treppe hat n Stufen. Wie
viele verschiedene Möglichkeiten gibt es die Treppe hoch zu laufen,
wenn man Einzelschritte (1 Stufe) und Doppelschritte (2 Stufen) ma-
chen kann?“ Sie beschäftigten sich mit dem „Kaninchenproblem“, wel-
ches Leonardo Fibonacci schon in sein Werk „Liber abacus“ aufnahm:
„Wie viele Kaninchen entstehen in einem Jahr aus einem einzigen Paar
Kaninchen, wenn diese jeden Monat ein neues Paar zur Welt bringen
und erstmals im zweiten Monat nach ihrer Geburt gebären?“
 An einer exemplarischen Sonnenblume wurde für die Spiralen der
Kerne der Sonnenblume gezeigt, dass die Anzahl der rechts- und links-
drehenden Spiralen zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen sind.
 Hieraus wurde der Goldene Schnitt entwickelt. Mit Hilfe von Excel
wurden am Computer Fibonacci-Zahlen erzeugt, das Verhältnis zweier
aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen bestimmt und „entdeckt“, dass
diese gegen den Goldenen Schnitt konvergieren. Den Abschluss bildete

1
 n.verspohl@laurentianum-arnsberg.de

8 Monika Reimpell

die durch Messen angeleitete Entdeckung, dass auch etliche Verhält-
nisse am Körper eines Menschen (z. B. Bauchnabel zu Körpergröße) den
Goldenen Schnitt bilden.

2.2.3 Materialien
• Naturgegenstände wie Sonnenblumen, Kiefernzapfen, Ananas, Ro-
 manesco, bei denen die Fibonacci-Zahlen sichtbar werden
• Maßbänder
• Laptops mit Excel

2.2.4 Quellen
• Lehmann, Ingmar [Hrsg.]: Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene
 Schnitt. In: Der Mathematikunterricht Nr. 1/2012.
sowie
• Beutelspacher, Albrecht (2008): Mathematik zum Anfassen: Der
 goldene Schnitt. https://www.youtube.com/watch?v=-
 Pg35JJCUH8&t=530s.
• Beutelspacher, Albrecht (2008): Mathematik zum Anfassen: Die Fi-
 bonacci-Zahlen. https://www.youtube.com/watch?v=iPKUe-
 69PdA.
• InteressanteWelt (2016): Die Fibonacci-Zahlen und ihre Bedeutung
 in der Natur. Besondere Zahlen der Natur (1). https://www.y-
 outube.com/watch?v=R8w4l3f3g58.
• Klein, Gerrit; Krivsky, Stefanie: Rekursive Folgen. http://www.ma-
 theprisma.uni-wuppertal.de/Module/Rekurs/index.htm
• https://de.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci

Mathematische Workshops 1 9

2.3 Mathematische Basteleien mit dem Soma-Würfel
 Referentinnen: Ricarda Abel, Melanie Blome, Gymnasium der Stadt
Meschede 2

2.3.1 Idee
 Die Schülerinnen und Schüler lernten den Soma-Würfel kennen.
Durch das Nachbauen von Figuren aus den Einzelteilen des Soma-Wür-
fels wurden das räumliche Vorstellungsvermögen sowie die Problemlö-
sungskompetenz geschult.

2.3.2 Ablauf des Workshops
 Die Schülerinnen und Schüler erhielten einen Soma-Würfel und ein
Handout mit Figuren.
 Zunächst wurden alle möglichen Würfeldrillinge und Würfelvier-
linge ermittelt. Dies geschah in den meisten Fällen durch Probieren mit-
hilfe vieler kleiner Holzwürfel. Aus den Würfeldrillingen und -vierlin-
gen wurden die sieben Einzelteile eines Soma-Würfels abgeleitet. Bei-
spielhaft bauten die Schülerinnen und Schüler daraus einen 3x3x3-Wür-
fel zusammen. Die Einzellösungen wurden in Gruppen verglichen, es
zeigte sich, dass fast alle Bauweisen verschieden waren. Die Teilnehmer
stellten Vermutungen zur Anzahl verschiedener Lösungsmöglichkeiten
an. Häufig lagen die Schätzungen weit von der korrekten Anzahl (240)
entfernt. Besonders leistungsstarke Kinder könnten sich hier zusätzlich
mit der theoretischen Herleitung der Anzahl der Lösungsmöglichkeiten
beschäftigen.
 Anhand des Handouts bauten die Kinder verschiedene Figuren nach.
Die Schwierigkeitsangaben im Handout ermöglichten eine gute Bin-
nendifferenzierung. Zu besonders komplizierten Figuren wurden Lö-
sungsvideos gezeigt (www.pentoma.de).
 Zum Abschluss wurden „ausbalancierte“ Soma-Würfel gebaut. Da-
bei handelt es sich um stabil und zusammenhängend gebaute Würfellö-
sungen, so dass diese aufgestützt auf dem mittleren Würfelteil nicht aus-
einanderfallen.

2
 ricarda.abel@protonmail.com, m.blome@gymnasium-meschede.de

10 Monika Reimpell

2.3.3 Materialien
• Soma-Würfel für alle Schülerinnen und Schüler
• Handout mit Figuren, die aus den Soma-Würfel-Teilen gebaut wer-
 den können
• Kleine Holzwürfel
• Internetzugang, Laptop und Beamer

2.3.4 Quellen
• https://www.betzold.de
• https://www.pentoma.de

 Die „Sonstigen Figuren“ im Handout sind mit freundlicher Geneh-
migung https://www.pentoma.de entnommen.

Mathematische Workshops 1 11

 Mathematische Basteleien
 mit dem Soma-Würfel

 Dieses Heft gehört

12 Monika Reimpell

Entstehungsgeschichte des Soma-Würfels:

Im Jahre 1936 entwarf der dänische Dichter und Wissenschaftler Piet
Hein (1905 - 1996) den „Soma-Würfel“.
Ausgangspunkt seiner Überlegungen waren die 11 Körper, die sich mit
2, 3 und 4 Würfeln bilden lassen:

Hein stellte fest, dass die sieben „irregulären“ Würfelkörper 3, die aus
insgesamt 27 Würfeln zusammengesetzt waren, sich zu einem 3x3x3-
Würfel zusammenbauen ließen.
Er entnahm den Namen SOMA dem Buch „Schöne neue Welt“ von Al-
dous Huxley. SOMA war eine Droge in einem fiktiven Staat des Jahres
2600.

3
 „Irregulär“ bedeutet, dass es mindestens eine einspringende Kante gibt
 bzw., anders gesagt, dass der Würfelkörper nicht konvex ist.

Mathematische Workshops 1 13

Aufbau des Würfels:
Der Würfel besteht also aus 7 Einzelteilen, wobei keines auch durch
Drehung nicht dem anderen gleicht.

14 Monika Reimpell

Beispiellösung für die Würfelform:

Mathematische Workshops 1 15

Sonstige Figuren (leicht):

 (1289 Lösungen) (1173 Lösungen)

 (916 Lösungen) (760 Lösungen) (335 Lösungen)

 (299 Lösungen) (147 Lösungen) (130 Lösungen)

16 Monika Reimpell

Sonstige Figuren (mittel):

 (82 Lösungen) (79 Lösungen)

 (52 Lösungen) (52 Lösungen)

 (39 Lösungen) (23 Lösungen)

Mathematische Workshops 1 17

Sonstige Figuren (schwer):

 (19 Lösungen) (17 Lösungen) (16 Lösungen)

 (13 Lösungen) (13 Lösungen) (12 Lösungen)

 (10 Lösungen) (8 Lösungen) (7 Lösungen)

18 Monika Reimpell

Sonstige Figuren (sehr schwer):

 (4 Lösungen) (4 Lösungen) (4 Lösungen)

 (3 Lösungen) (7 Lösungen) (3 Lösungen)

 (1 Lösung) (1 Lösung) (1 Lösung)

Mathematische Workshops 1 19

2.4 Graphen
 Referentin: Adriane Sommer, Fachhochschule Südwestfalen 4

2.4.1 Idee
 Ziel des Workshops war es, die Schülerinnen und Schülern in das
Konzept „Graphen“ einzuführen und daran die Fragestellungen „Wie
kann man alle Kanten eines Graphen genau einmal durchlaufen?“ (Haus
vom Nikolaus) und „Wie kann man auf dem kürzesten Weg von einem
Ort zu einem anderen kommen?“ zu diskutieren.

2.4.2 Ablauf des Workshops
 Den Auftakt des Workshops bildeten bekannte Flussüberquerungs-
rätsel wie „Ein Mann möchte zusammen mit einem Wolf, einer Ziege
und einem Kohlkopf einen Fluss überqueren, doch das Boot kann neben
ihm nur einen weiteren Passagier fassen. Weder Wolf und Ziege noch
Ziege und Kohl können unbeaufsichtigt am Ufer zurückgelassen wer-
den. Wie kommen alle mit möglichst wenig Überfahrten ans andere
Ufer?“ Die Schülerinnen und Schüler lösten diese Aufgaben zunächst
ohne die Konzepte der Graphentheorie zu kennen. Später wurde dann
diskutiert, wie man die Probleme als Kürzeste-Wege-Probleme in Gra-
phen auffassen kann, indem man die erlaubten Zustände am Ufer als
Knoten auffasst und diese durch Kanten verbindet, wenn sich die Zu-
stände durch eine Überfahrt ineinander überführen lassen.
 Die Begriffe Graph, Knoten, Kanten, gerichtete Kanten, gewichtete
Kanten, Weg, Zyklus und Kreis wurden eingeführt. Durch eigene Bei-
spiele der Schülerinnen und Schüler wurde erarbeitet, dass „gleiche“
Graphen unterschiedlich aussehen können.
 Am „Haus vom Nikolaus“ wurden die Konzepte Eulerkreis und Eu-
lerweg entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler versuchten, das be-
rühmte „Königsberger Brückenproblem“ zu lösen. Es wurden Kriterien
entwickelt, wann solche Eulerkreise bzw. Eulerwege in einem Graphen
überhaupt existieren (können). Zum Auffinden von Eulerkreisen wurde
der Algorithmus von Hierholzer vorgestellt und von den Schülerinnen
und Schülern am Beispiel angewendet.

4
 sommer.adriane@fh-swf.de

20 Monika Reimpell

 Zur Lösung des Problems des kürzesten Weges wurde der Dijkstra-
Algorithmus eingeführt und von den Schülerinnen und Schülern an Bei-
spielen angewendet.

2.4.3 Materialien

Mathematische Workshops 1 21

Aufgabe 1:
Gibt es in diesem Graphen einen Eulerweg oder Eulerkreis?
Falls ja, geben Sie diesen an.

Aufgabe 2:
Der folgende Graph ist das Modell eines Straßennetzes, wobei die Kan-
tenbewertung die Länge der entsprechenden Straßen in Längeneinheiten
angibt.
 10
 1 4
 12
 26
 10 8
 8 13
 7
 15 13
 19 14
 P 2 5 10 9

 17 20
 8
 19
 11 21

 33 23

 3 6
 7

Ermitteln Sie den kürzesten Weg vom Postamt P zur Kreuzung 9
mit dem Dijkstra Algorithmus.

22 Monika Reimpell

2.4.4 Quellen
• Domschke, Wolfgang et al (2015): Einführung in Operations Rese-
 arch. Springer Verlag.
• Gritzmann, Peter (2005): Das Geheimnis des kürzesten Weges.
 Springer Verlag.
• Reeken, Michael et al: Das Königsberger Brückenproblem.
 http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Koenigsb/in-
 dex.htm.
• Reimpell, Monika (2015): Grundlagen Operations Research. Wis-
 senschaftliche Genossenschaft Südwestfalen eG.

Mathematische Workshops 1 23

2.5 Das Heron-Verfahren
 Referent: Christopher Babilon, Gymnasium Petrinum Brilon 5

2.5.1 Idee
 Ziel des Workshops war, dass die Schülerinnen und Schüler das He-
ron-Verfahren zum Wurzelziehen aus rechnerischer und geometrischer
Sicht kennenlernen. Das Wurzelziehen wurde als Umkehrung des Po-
tenzierens eingeführt. Es führte zum Zahlenbereich der irrationalen Zah-
len. Die Schülerinnen und Schüler erkundeten, dass es „viel mehr“ irra-
tionale Zahlen als rationale Zahlen gibt.

2.5.2 Ablauf des Workshops
 Zum Einstieg überlegten die Schülerinnen und Schüler, welche Zah-
lenbereiche sie kennen und wie diese miteinander zusammenhängen
(natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen, kom-
plexe Zahlen).
 Das Wurzelziehen wurde als Umkehrung des Potenzierens einge-
führt, speziell die Quadratwurzel als Umkehrung des Quadrierens. In ei-
ner angeleiteten Gruppenarbeit beschäftigten sich die Kinder mit der
Frage „Wer kennt eine nicht rationale Zahl?“. Als Anregung wurde auf
einem Karopapier ein auf der Spitze stehendes Quadrat mit Diagonale 2
cm gezeichnet. Der Flächeninhalt des Quadrats ist offensichtlich
 =
 A a= 2
 2 , aber was ist dann a ? Durch enger werdende Einschachte-
lungen 1, 41 < a < 1, 42 , 1, 414 < a < 1, 415 usw. näherten die Schüle-
rinnen und Schüler den Wert immer weiter an, ohne ihn zu erreichen.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchten, warum die Seitenlänge ei-
nes Quadrats mit Flächeninhalt 2 keine abbrechende Dezimalzahl sein
kann. Dazu untersuchten sie in Gruppen Dezimalbrüche, die mit 1, 2, 3,
4, …, 9 enden, auf gemeinsame Eigenschaften der entsprechenden qua-
drierten Zahlen und fanden Aussagen der Form „Quadrate von Dezimal-
brüchen, die mit x enden, enden mit y.“
 Das Heron-Verfahren wurde am Beispiel = A a= 2
 6 geometrisch
als die Suche nach einem quadratischen Baugrundstück mit vorgegebe-
nem Flächeninhalt eingeführt. Rechnerisch wurde das Heron-Verfahren

5
 christopher.babilon@tu-dortmund.de

24 Monika Reimpell

am gleichen Beispiel algorithmisch ausgehend von A1 = 3 ⋅ 2 = 6 vor-
 3+ 2 2,5 + 2, 4
geführt: A2 = ⋅ b2 = 2,5 ⋅ 2, 4 = 6 , =A3 ⋅ b3
 2 2
≈ 2, 45 ⋅ 2, 449 ≈ 6 .
 Die Schülerinnen und Schüler probierten das Heron-Verfahren an ei-
genen Beispielen, z. B. 3, 10 , 17 . Um herauszufinden, ob das
Heron-Verfahren abbrechen kann, wurde auch 9 betrachtet.
 An einer Lerntheke wurden den Schülerinnen und Schülern weiter-
führende Forschungsfragen angeboten:
 • Station (***): 2 ist keine rationale Zahl
 Der klassische Widerspruchsbeweis wird vorgestellt. Die Schü-
 lerinnen und Schüler können ihn an weiteren Beispielen wie
 3 oder 5 nachvollziehen. Weiterführend kann untersucht
 werden, an welcher Stelle der Beweis der Irrationalität für 4
 nicht funktioniert.

 • Station (**): Lücken auf dem Zahlenstrahl
 Ausgehend von der Frage „Muss eine irrationale Zahl multipli-
 ziert mit einer rationalen Zahl wieder irrational sein?“ werden
 irrationale Zahlen in verschiedenen Intervallen konstruiert.

 • Station (*): Rechengesetze zu Quadratwurzeln
 ?
 Es werden „Rechenregeln“ wie a + b= a+ b,
 ?
 a ⋅ b= a ⋅ b usw. auf ihre Gültigkeit für alle oder für ei-
 nige Werte für a, b untersucht.

 • Station (***): Wie man Mengen mit unendlich vielen Zahlen
 zählt
 Es wird der Begriff „abzählbar unendlich“ eingeführt und vor-
 geführt, dass es genauso viele gerade Zahlen wie natürliche
 Zahlen gibt. Hilbert’s Hotel wird als Denkmodell eingeführt.

Mathematische Workshops 1 25

 Die Schülerinnen und Schüler überlegen, ob alle ungeraden
 Zahlen, alle Quadratzahlen, alle ganzen Zahlen in Hilbert’s Ho-
 tel untergebracht werden können.

 • Station (***): Wie viele ganze Zahlen gibt es?
 Als Fortsetzung der Station „Wie man Mengen mit unendlich
 vielen Zahlen zählt“ wird vorgeführt, wie man in Hilbert’s Hotel
 einen weiteren Gast unterbringt, wenn dieses bereits ganz ge-
 füllt ist. Mit welchem Trick kann der Portier so auch unendlich
 viele weitere Gäste (etwa in Form der negativen ganzen Zahlen)
 unterbringen? Die Frage, wie viele Brüche es gibt, wird darauf
 zurückgeführt, ob man sie in Hilbert’s Hotel unterbringen kann.

 • Station (**): „Quer zählen“ – Cantors Idee
 Als Fortsetzung der Station „Wie viele ganze Zahlen gibt es?“
 wird die Cantorsche Methode zum Abzählen der positiven Brü-
 che vorgestellt.

2.5.3 Materialien
• Arbeitsblätter zu den Stationen wurden aus „Irrationale Zahlen und
 das Monster der Unendlichkeit, RAAbits Mathematik Juni 2004“
 entnommen und können im Internet unter www.meinUnterricht.de
 (kostenloser Gast-Account möglich) heruntergeladen werden.

2.5.4 Quellen
• Irrationale Zahlen und das Monster der Unendlichkeit, RAAbits
 Mathematik Juni 2004. https://www.meinUnterricht.de.
• Elemente der Mathematik Klasse 8 NRW. Westermann Verlag.
sowie
• Bäckel, Hans (2008): Das Verfahren von Heron. https://www.ma-
 thi.uni-heidelberg.de/~thaeter/anasem08/Heron.

26 Monika Reimpell

2.6 Färbungsproblem
 Referenten: Michael Till, Carolus Magnus Gymnasium Marsberg,
Alexander Weber, Europa-Gymnasium Warstein 6

2.6.1 Idee
 Die Schülerinnen und Schüler sollten das Färbungsproblem durch
aktives Erkunden und angeleitetes Erforschen kennenlernen. Beispiele
aus anderen Lebensbereichen wurden in Gruppenarbeit auf das Fär-
bungsproblem zurückgeführt.

2.6.2 Ablauf des Workshops
 Ausgehend von einer Landkarte Europas versuchten die Schülerin-
nen und Schüler, diese mit möglichst wenigen Farben zu färben, ohne
dass benachbarte Länder die gleiche Farbe besitzen. Aufbauend auf ih-
ren Erfahrungen mit der Europakarte konstruierten die Schülerinnen und
Schüler möglichst einfache Länderkonstellationen, bei denen
 • zwei Farben ausreichen,
 • drei Farben ausreichen, zwei aber nicht,
 • vier Farben notwendig sind,
 • fünf Farben notwendig sind (mit Exklave).
 Die folgenden Anwendungsprobleme wurden in Gruppenarbeit auf
das Färbungsproblem zurückgeführt:
 • Handynetze: Sendemasten für Mobiltelefonieren haben über-
 lappende Sendebereiche. Jeder Mast sendet mit einer ihm zuge-
 teilten Frequenz. Kein Punkt darf von zwei Masten mit der glei-
 chen Frequenz bedient werden. Da Frequenzen rar und teuer
 sind, möchte man so wenig Frequenzen wir möglich verwenden.
 Wie kann man bei einer gegebenen Senderkarte schnell die op-
 timale Zahl von benötigten Frequenzen ermitteln? Wie sehen
 Karten aus, bei denen dies leichter oder schwieriger ist? Für
 welche Karten sind 3, 4, 5 Frequenzen nicht ausreichend? Kann
 man eine allgemeine Aussage über die benötigten Frequenzen
 treffen?

6
 m.till@gymnasium-marsberg.de

Mathematische Workshops 1 27

 • Fischgesellschaften: Fische verschiedener Fischarten sollen in
 Aquarien untergebracht werden. Bestimmte Fischarten vertra-
 gen sich nicht mit bestimmten anderen Fischarten. Wie viele
 Aquarien braucht man bei gegebener Liste von Restriktionen?
 Wie kann man das Problem günstig darstellen? Wie können die
 Restriktionen bei fünf oder weniger Fischarten prinzipiell aus-
 sehen, wann reichen zwei bzw. drei Aquarien? Gibt es einen
 Weg, wie man schnell sieht, wie viele Aquarien gebraucht wer-
 den? Gibt es eine Maximalanzahl von Aquarien, unabhängig
 von der Anzahl Fischarten?
 • Diplomatenkarussell: Für eine Außenhandelskonferenz westaf-
 rikanischer Staaten sollen zunächst bilaterale Gespräche zwi-
 schen direkt benachbarten Staaten anberaumt werden. Wie viele
 Gesprächsrunden werden gebraucht? Wie könnte man das Prob-
 lem geeignet darstellen, um es ähnlich wie das Färbungsprob-
 lem lösen zu können?

2.6.3 Materialien
• Landkarten (z. B. Länder Europas)
• Arbeitsblätter mit den Arbeitsaufträgen „Handynetze“, „Fischge-
 sellschaften“ und „Diplomatenkarussell“

2.6.4 Quellen
• Leuders, Timo: Wenn es Mathematikern zu bunt wird: Färbeprob-
 leme; in Hußmann, Stephan; Lutz-Westphal, Brigitte (2007): Kom-
 binatorische Optimierung erleben. Vieweg-Teubner Verlag.

28 Monika Reimpell

2.7 Logikrätsel
 Referent: Tim Höngesberg, Städtische Gesamtschule Menden 7

2.7.1 Idee
 Ziel des Workshops war es, den Schülerinnen und Schülern verschie-
dene Herangehensweisen und Lösungsstrategien zu Logikrätseln näher-
zubringen.
 Unter Logikrätseln (bzw. Logicals) versteht man Rätsel, die mit lo-
gischem Schlussfolgern gelöst werden. Gegeben sind Gruppen mit
gleich vielen Elementen, jedem Element einer Gruppe muss wider-
spruchsfrei genau ein anderes Element jeder anderen Gruppe zugeordnet
werden. Dazu gibt es eine Reihe von Hinweisen, die direkt oder indirekt
Aussagen darüber enthalten, welche Elemente miteinander verbunden
sind und welche nicht.

2.7.2 Ablauf des Workshops
 Nach Klärung der Vorerfahrungen mit Logicals folgte eine Einfüh-
rung in Logikrätsel und die Vorstellung des Einsteinrätsels 8:

 1. Es gibt fünf Häuser.
 2. Der Engländer wohnt im roten Haus.
 3. Der Spanier hat einen Hund.
 4. Kaffee wird im grünen Haus getrunken.
 5. Der Ukrainer trinkt Tee.
 6. Das grüne Haus ist direkt rechts vom weißen Haus.
 7. Der Raucher von Old-Gold-Zigaretten hält Schnecken als
 Haustiere.
 8. Die Zigaretten der Marke Kools werden im gelben Haus ge-
 raucht.
 9. Milch wird im mittleren Haus getrunken.
 10. Der Norweger wohnt im ersten Haus.
 11. Der Mann, der Chesterfields raucht, wohnt neben dem Mann
 mit dem Fuchs.

7
 tim.hoengesberg@gem-mail.de
8
 https://de.wikipedia.org/wiki/Zebrarätsel

Mathematische Workshops 1 29

 12. Die Marke Kools wird geraucht im Haus neben dem Haus mit
 dem Pferd.
 13. Der Lucky-Strike-Raucher trinkt am liebsten Orangensaft.
 14. Der Japaner raucht Zigaretten der Marke Parliaments.
 15. Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus.

 Wer trinkt Wasser? Wem gehört das Zebra?

 Die Schülerinnen und Schüler lösten zunächst einige Logikrätsel mit
ihren eigenen Ideen und Vorgehensweisen. Sie reflektierten ihre Vorge-
hensweisen und stellten diese im Plenum vor.
 Zusätzlich wurden zwei weitere Lösungsstrategien vorgestellt: Bei
der ersten Strategie werden nur die Informationen in ihrer richtigen
Kombination in einer Tabelle gesammelt. Möglicherweise sind zusätz-
lich Notizen abseits der Tabelle notwendig, um die Kombinationen ein-
deutig zu bestimmen. Bei der zweiten Strategie wird eine größere Ta-
belle angelegt, in der alle Ausprägungen aller Gruppen als Zeilen mit
allen Ausprägungen aller anderen Gruppen als Spalten verglichen wer-
den. Die Lösung kann dann in der fertig mit + und – ausgefüllten Tabelle
direkt abgelesen werden.
 Die Schülerinnen und Schüler diskutierten Vor- und Nachteile der
verschiedenen Lösungswege und überprüften sie an verschiedenen Lo-
gicals.
 Zum Abschluss erstellten die Schülerinnen und Schüler eigene Logi-
cals und lösten sie gegenseitig.

2.7.3 Materialien
• Verschiedene Logicals

30 Monika Reimpell

Das Band-Rätsel

Beschreibung:
Harald, Lara, Olivia, Sara und Udo spielen in einer fünfköpfigen Band.
Sie sind alle unterschiedlich alt (27, 29, 32, 33 und 35 Jahre), spielen
alle ein anderes Instrument (Bass, Gitarre, Keyboard, Schlagzeug und
Violine). Bei einem Auftritt stehen sie alle in einer Reihe nebeneinander
und jede(r) von ihnen hat eine Hose mit einer anderen Farbe (blau, gelb,
grün, pink und rot) an.

Frage:
Finde heraus, wer auf welchem Platz steht oder sitzt, wer wie alt ist, wer
welches Instrument spielt und welche Farbe ihre Hosen haben.
Hinweise:

 1. Das zweite Bandmitglied von rechts spielt Violine.
 2. Der/die Bassist(in) hat eine rote Hose an.
 3. Der/die Träger(in) der grünen Hose ist 29 Jahre alt und befin-
 det sich zwei Plätze weiter links als der/die Keyboarder(in).
 4. Udo befindet sich auf dem Platz links außen.
 5. Der/die Schlagzeuger(in) sitzt direkt links neben Lara.
 6. Der/die Gitarrist(in) steht auf einem der äußeren Plätze.
 7. Die älteste Person befindet sich direkt rechts neben der Person,
 die die gelbe Hose an hat.
 8. Lara hat eine blaue Hose an.
 9. Die Person mit der pinken Hose befindet sich weiter rechts als
 Olivia.
 10. Harald, der 32 Jahre alt ist, hat keine rote Hose an.
 11. Der/die Gitarrist(in) steht weiter links als die Person, die die
 blaue Hose an hat.
 12. Die zweite Person von links ist jünger als 30 Jahre.

Mathematische Workshops 1 31

 Platz von 1 2 3 4 5
 Links

 Person

 Alter

 Instrument

 Hosenfarbe

32 Monika Reimpell

Mathematische Workshops 1 33

Das Motorradrätsel

Beschreibung:
Die fünf Personen Felix, Laura, Mark, Fiona und Kurt arbeiten alle in
einer Firma und kommen gelegentlich mit ihren Motorrädern zur Arbeit.
Alle Motorräder haben unterschiedliche Typen (Chopper, Sporttourer,
Supersportler, Naked Bike und Enduro), unterschiedliche Farben (blau,
gelb, grün, rot und schwarz) sowie unterschiedliche Höchstgeschwin-
digkeiten (140 km/h, 160 km/h, 180 km/h, 200 km/h und 220 km/h). In
einer Woche kam jeder der fünf genau einmal mit dem Motorrad zur
Arbeit – jeweils an einem anderen Wochentag.

Frage:
Finde heraus, wer wann mit welchem Motorrad zur Arbeit kam.

Hinweise:

 1. Das grüne Motorrad kann am schnellsten fahren.
 2. Das schwarze Motorrad stand am Mittwoch auf dem Firmen-
 parkplatz.
 3. Kurt kam nicht am Donnerstag mit seinem roten Motorrad zur
 Arbeit.
 4. Der Sporttourer ist blau.
 5. Am Freitag stand ein Motorrad vor der Firma, das schneller
 fahren kann als Lauras Chopper.
 6. Am Dienstag stand eine Enduro mit einer Höchstgeschwindig-
 keit von 160 km/h vor der Firma.
 7. Fionas Motorrad kann nicht so schnell fahren wie der Super-
 sportler. Es ist nicht schwarz.
 8. Felix kam am Montag mit seinem Motorrad zur Arbeit. Es ist
 nicht gelb.
 9. Marks Motorrad hat eine Höchstgeschwindigkeit von 180
 km/h. Es stand einen Tag nach dem Naked Bike auf dem Park-
 platz.

34 Monika Reimpell

2.7.4 Quellen
• https://de.wikipedia.org/wiki/Logicals
• https://de.wikipedia.org/wiki/Zebrarätsel
• Aebischer, Eliane: Selbst ein Logical erstellen. https://content.fri-
 portail.ch/course/view.php?id=288.
• Sandrock, Jonas: Logikrätsel. https://www.logisch-gedacht.de/logi-
 kraetsel.
• Schweigert, Werner: Versuch einer Anleitung zum Lösen eines Lo-
 gicals. https://wernie-de.de/pdfs/Anleitung.pdf.

Mathematische Workshops 1 35

2.8 Beweistechniken
 Referenten: Patricia Körner, Gymnasium der Benediktiner,
Meschede, Dennis Plett, Gymnasium der Stadt Meschede 9

2.8.1 Idee
 Ziel des Workshops war es, den Schülerinnen und Schülern die Be-
weismethoden „direkter Beweis“, „indirekter Beweis“ und „vollstän-
dige Induktion“ zu zeigen und sie damit selbst erste Beweis-Erfahrun-
gen sammeln zu lassen.

2.8.2 Ablauf des Workshops
 Zunächst wurde die Frage „Was ist ein Beweis“ besprochen. Speziell
wurde geklärt, was man unter der Vollständigkeit und der Folgerichtig-
keit von Argumentationen versteht.
 In einem Input-Block wurden Begrifflichkeiten und Notationen ge-
klärt: Aussage, Negation, Implikation, Äquivalenz, Zahlenmengen  ,
 ,  ,  , Summennotation.
 In drei Blöcken wurden die Beweismethoden „direkter Beweis“, „in-
direkter Beweis“ und „vollständige Induktion“ behandelt. Dazu wurde
jeweils die Methode vorgestellt und es wurden einzelne Beispiele an der
Tafel bewiesen. Im Anschluss haben die Schülerinnen und Schüler je-
weils an verschiedenen Tischen verschiedene Sätze mit der vorgestell-
ten Methode in Gruppenarbeit bewiesen.
 Thementisch „direkter Beweis“:
 • ( a + b) ⋅ ( a − b) = a 2 − b 2
 • Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade.
 • Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade.
 • Die Summe dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist
 durch 3 teilbar.
 Thementisch „indirekter Beweis“:
 • Die Summe dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist
 durch 3 teilbar.

9
 dennisplett@web.de

36 Monika Reimpell

 • 2 ist keine rationale Zahl.
 • Für alle n ∈  gilt: Ist n3 durch 2 teilbar, dann ist auch n
 durch 2 teilbar.
 • Es gibt unendlich viele Primzahlen.
 • Das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen
 ist durch 6 teilbar.
 Thementisch „vollständige Induktion“:
 • Für alle n ∈  gilt: n 2 + n ist gerade.
 • Für alle n ∈  , n ≥ 5 gilt: 2n > n 2 .
 • Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2 .
 n
 n(n + 1)
 • Für alle n ∈  gilt: ∑k =
 k =1 2
 n
 n(n + 1)(2n + 1)
 • Für alle n ∈  gilt: ∑k
 k =1
 2
 =
 6
 • Für alle n ∈  , a ∈  , a ≥ −1 gilt: (1 + a ) n ≥ 1 + na

2.8.3 Quellen
• Müller, Rainer: Aufgaben zur vollständigen Induktion.
 https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf.

Mathematische Workshops 1 37

2.9 Kryptographie
 Referent: Joachim Deckers, Gymnasium der Benediktiner,
Meschede 10

2.9.1 Idee
 Die Schülerinnen und Schüler lernten verschiedene kryptographi-
sche Verfahren kennen und probierten diese an Beispielen selbstständig
aus. Ein Fokus lag auf der sicheren Übermittlung von Nachrichten über
eine öffentliche abhörbare Leitung. Mithilfe des Modulo-Rechnens wur-
den insbesondere der Diffie-Hellman-Schlüsseltausch und das RSA-
Kryptosystem zur Nachrichtenübermittlung behandelt.

2.9.2 Ablauf des Workshops
 Nach einer Einführung, was im Workshop unter „geheimen Bot-
schaften“ verstanden werden soll und wo entsprechende Verschlüsse-
lungsverfahren früher und heute zum Einsatz kommen, wurden zunächst
mono- und polyalphabetische Substitutionsverfahren zur Verschlüsse-
lung vorgestellt und ausprobiert. Diese folgen dem Grundsatz „Die
Buchstaben bleiben wo sie sind, aber nicht was sie sind.“ Als monoal-
phabetische Verfahren wurden die Freimaurer-Chiffre und der Caesar-
Code behandelt. Beispielhaft wurde gezeigt, dass monoalphabetische
Verfahren durch Häufigkeitsanalysen (Häufigkeit von Buchstaben,
Kombinationen aus zwei bzw. drei Buchstaben, Analyse bzgl. wieder-
kehrender Texte) oft leicht zu entschlüsseln sind. Bei polyalphabeti-
schen Verfahren verändert sich immer wieder wodurch ein Zeichen er-
setzt wird. Als Beispiele wurden die Enigma-Maschine (hierzu wurde
auch ein Trailer zu The Imitation Game gezeigt) und die Vigenère-Ver-
schlüsselung vorgestellt.
 Die Problematik des geheimen Schlüsselaustauschs über eine öffent-
liche abhörbare Leitung wurde thematisiert. Als Lösungsmöglichkeit
wurde der Diffie-Hellman-Schlüsseltausch erarbeitet. Hierzu wurde zu-
nächst das Konzept des Modulo-Rechnens eingeführt und ohne und mit
Taschenrechner geübt. Die Schülerinnen und Schüler probierten die Dif-
fie-Hellman-Methode in Zweier- bzw. Dreierteams mit konkreten Zah-
len aus.

10
 j.deckers@gymn-benedictinum.de

38 Monika Reimpell

 Das asymmetrische kryptographische Verschlüsselungsverfahren
RSA wurde an einem konkreten Beispiel ausführlich vorgestellt. In Ex-
kursionen wurden der Euklidische Algorithmus und der erweiterte Euk-
lidische Algorithmus erarbeitet, die bei der Ermittlung des privaten
Schlüsselteils benötigt werden. Die Schülerinnen und Schüler erprobten
das Verfahren, indem sie sich gegenseitig verschlüsselte Nachrichten
(konkret: verschlüsselte Zahlen) zuschickten.

2.9.3 Materialien
• Caesar-Code-Scheiben (z. B. aus CD-Hüllen, siehe SpionCamp)
• Trailer zu The Imitation Game, https://www.y-
 outube.com/watch?v=VxvY4rI15sM
• Rotor-Code-Scheiben (z. B. aus CD-Hüllen, siehe SpionCamp)
• Taschenrechner (GTR)
• Internetzugang: https://t1p.de/primzahlen
• Internetzugang: https://t1p.de/modinv
• Übungsblätter

Mathematische Workshops 1 39

Übung 1: Freimaurer-Chiffre

Schreibt euch paarweise eine (nicht mehr als einzeilige) Nachricht im
Freimaurer-Chiffre.

Übung 2: Caesar-Chiffre
Bearbeite mit einer Caesar-Chiffrierscheibe:
Entschlüsselt mit der Chiffrierscheibe die folgenden Nachrichten. Mög-
liche Schlüssel sind: 2, 7, 10, 13. Einer ist jeweils der richtige Schlüssel.
Das heißt, dass man bei Verschiebung um diese Zahl die Nachricht er-
hält.
a) SPLIL RSLVWHAYH, AYLMMLU DPY BUZ ILP KLU
WFYHTPKLU?
b) YVRORE PNRFNE, VPU JREQR QN FRVA.

Übung 3: Rotor-Chiffre
3.1 Arbeitet zu zweit: Verschlüsselt jeweils ein Wort mit dem Schlüs-
selbuchstaben G. Tauscht die Nachrichten aus, und versucht, den Text
wieder zu entschlüsseln.
3.2 Entschlüssele folgende Texte:
a) SOVLZUFTCNKGRVR (Verwende Rotor I mit dem Schlüssel-
buchstaben C.)
b) IJMJQEHVY (Verwende Rotor II und stelle den Schlüsselbuchsta-
ben L ein.)
3.3 Was passiert, wenn man z. B. die Nachricht AAAA verschlüsselt?
Schaffst du es, eine Nachricht zu schreiben, die verschlüsselt XXXX
ergibt?

40 Monika Reimpell

Übung 4: Vigenère-Verschlüsselung
4.1 Verschlüssle deinen Namen mit dem Schlüsselwort HUT.
4.2 Entschlüssle folgenden Text. Das Schlüsselwort ist ROT:
XIM XSFRQAK
4.3 Beschreibe ähnlich zum Verschlüsseln, wie das Entschlüsseln funk-
tioniert.

Mathematische Workshops 1 41

Übung 5: Modulo-Rechnung ohne GTR

Übung 6: Modulo-Berechnung mit dem GTR 11

Übung 7: Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch
Bildet eine Zweier- oder Dreiergruppe und spielt den Diffie-Hellman-
Algorithmus durch. Eine/r von euch ist Alice, eine/r Bob und der oder
die Dritte ist ggf. Charlie. Alice und Bob tauschen den Schlüssel aus und
Charlie versucht den Schlüssel (K) herauszufinden, um die geheime
Nachricht lesen zu können.

Führt den Algorithmus mit p = 11 und g = 3 ein- bis zweimal mit ver-
schiedenen Rollen aus. Die untenstehende Tabelle ist euch beim Rech-
nen behilflich. Notiert euer Ergebnis. Hat Charlie den Schlüssel heraus-
gefunden?

11
 Hinweis zum Casio-GTR: Die Funktionen MOD und MOD_Exp findest du
 über Shift-4 (Catalog) und anschließenden Druck der Taste M (=7). Ein-
 gabe: MOD(a, b) für a mod b, MOD_Exp(a, b, c) für ab mod c.

42 Monika Reimpell

Ihr könnt auch einmal mit größeren Werten und dem GTR arbeiten! Grö-
ßere Primzahlen findet ihr schnell unter https://t1p.de/primzahlen.

Folien zum Diffie-Hellman-Schlüsseltausch:

Mathematische Workshops 1 43

Übung 8: RSA-Kryptosystem
Sucht euch Primzahlen aus der Liste unter https://t1p.de/primzahlen aus
und erstellt euch jeweils ein Schlüsselpaar (privater / öffentlicher
Schlüssel). Die Bestimmung von d könnt ihr dabei statt über den erwei-
terten euklidischen Algorithmus leichter über die folgende Seite vorneh-
men: https://t1p.de/modinv - ihr müsst nur e und φ(N) eingeben!

Tauscht eure öffentlichen Schlüssel aus. Sendet euch gegenseitig eine
Nachricht, d. h. eine mit dem öffentlichen Schlüssel des Empfängers
verschlüsselte Zahl, und entschlüsselt sie dann jeweils mit eurem priva-
ten Schlüssel.

Folien zu RSA:

44 Monika Reimpell

Mathematische Workshops 1 45

2.9.4 Lösungshinweise
• Übung 2: a) Schlüssel 7: LIEBE KLEOPATRA, TREFFEN WIR
 UNS BEI DEN PYRAMIDEN?, b) Schlüssel 13: LIEBER CAE-
 SAR, ICH WERDE DA SEIN.
• Übung 3.2: a) UM SIEBEN AM FLUSS, b) AB INS BETT
• Übung 3.3: a) Jedes Mal wird ein anderer Buchstabe ausgegeben, b)
 Rotor II, Schlüsselbuchstabe A: Klartext PVBZ ergibt XXXX.
 Man benötigt zunächst einen langen Geheimtext. Bei bekanntem
 Rotoraufbau kann man jeden 26. Buchstaben zu einem Text zusam-
 menfassen und darüber eine Häufigkeitsanalyse durchführen. Ein
 Rotor ist also eine Ansammlung von Caesar-Verschlüsselungen.
• Übung 4.2 GUT GEMACHT

2.9.5 Quellen
• Aust, Anne-Katrin; Gabriel, Peter; Müller, Dorothee (2011): Spion-
 Camp der Bergischen Universität Wuppertal. https://ddi.uni-wup-
 pertal.de/www-madin/material/spioncamp/dl/Alle-Stationen-hinter-
 einander.pdf.
• Prokop, Lukas (2013): Emailverschlüsselung mit GnuPG. https://lu-
 kas-prokop.at/talks/gnupg/cpg1_slides.

46 Monika Reimpell

2.10 Mathematik mit seltsamen Zahlen
 Referent: Christian Wahle, Städtisches Gymnasium Sundern 12

2.10.1 Idee
 Die Schülerinnen und Schüler sollten mit Zahlenbereichen in Kon-
takt gebracht werden, mit denen sie sonst in ihrer Schullaufbahn nicht
in Kontakt kommen. Hierzu zählen die komplexen Zahlen, die projek-
tive Gerade, Restklassenringe  / n und p -adische Zahlen.

2.10.2 Ablauf des Workshops
 Im Unterrichtsgespräch wurden die Konzepte der komplexen Zahlen,
der projektiven Gerade sowie – aufgrund des zeitlichen Rahmens weni-
ger ausführlich – der Restklassenringe  / n und der p -adischen
Zahlen an der Tafel entwickelt und anhand von Beispielen untersucht.
 Zur Abgrenzung wurden zunächst die aus der Schule bekannten
„nicht komischen“ Zahlenbereiche gesammelt und überlegt, welche Re-
chenoperationen jeweils in der Zahlenbereichserweiterung durchführbar
sind, die vorher nicht lösbar waren.
 Ausgangspunkt für die Einführung der komplexen Zahlen war die
Frage nach der Lösungsmenge der Gleichung x 2 = 1 . Die komplexe
Zahl i wurde als i= −1 eingeführt und in Form der komplexen Ebene
veranschaulicht.
 Überlegungen zur projektiven Gerade starteten mit der Frage, warum
man nicht durch Null teilen darf und was passiert, wenn man „fast durch
Null“ teilt. Die projektive Gerade wurde sowohl durch Verkleben als
auch durch homogene Koordinaten eingeführt.
 Für die Einführung der p -adischen Zahlen sollte zunächst rekapitu-
liert werden, wie die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstru-
iert werden. Hier gibt es einige Zwischenschritte, die den Schülerinnen
und Schülern in der Regel nicht geläufig sind:

12
 wahl@sgscloud.de

Mathematische Workshops 1 47

 • 2 ist keine rationale Zahl.
 • Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar.
 • Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
 • Die reellen Zahlen werden als Vervollständigung der rationalen
 Zahlen konstruiert. Die reellen Zahlen sind „Folgen rationaler
 Zahlen, die sich einem bestimmten Wert annähern“. Mathema-
 tisch: Die reellen Zahlen werden als Äquivalenzklassen von rati-
 onalen Cauchy-Folgen konstruiert. Für das Messen der Annähe-
 rung wird der euklidische Abstand verwendet.
 • Eine analoge Konstruktion kann man für Primzahlen p auch mit
 a 1 a a
 dem p -adischen Betrag = k für = 1 ⋅ p k , a1 , b1 nicht
 bp p b b1
 durch p teilbar, durchführen. Man erhält dann die p -adischen
 Zahlen  p .

2.10.3 Materialien
• Wahle, Christian (2020): Mathematik mit komischen Zahlen
 (Skript).

48 Monika Reimpell

Mathematik mit komischen Zahlen
Autor: Christian Wahle, Städtisches Gymnasium Sundern

Was ist 1 + 1 ? Nach allem, was wir seit der ersten Klasse gelernt haben,
müsste die korrekte Antwort auf diese Frage „ 2 “ lauten. Unter gewissen
Umständen lautet aber die Antwort auch „ 0 “ – wenn man mit Zahlen
rechnet, die nicht den bekannten Zahlenbereichen entsprechen. Genauso
sieht es mit den Fragestellungen „Kann man aus durch 0 teilen?“ oder
auch „Gibt es die Wurzel aus −1 ?“ aus. Mit den passenden Zahlenbe-
reichen lässt sich hier eine Antwort geben, die nicht im Widerspruch zu
den bisher bekannten Rechenregeln steht.

„Unkomische Zahlen“
Aus der Schulmathematik sind die folgenden Zahlenbereiche bekannt:
 • die natürlichen Zahlen  = {0,1, 2,...} ,

 • die ganzen Zahlen = {..., −2, −1, 0,1, 2,...} ,
 p 
 • die rationalen Zahlen =
   ; p, q ∈ ; q ≠ 0  ,
 q 
 • die reellen Zahlen  .
Die Zahlenbereiche stellen allesamt jeweils eine bestimmte Erweiterung
des vorherigen Zahlenbereichs dar. Man schreibt dies so:
 ⊂⊂⊂.
Jede Erweiterung ermöglicht es dabei, neue Rechenoperationen durch-
zuführen, die mit dem kleineren Zahlenbereich nicht möglich waren.

Beispiel 1: Innerhalb der natürlichen Zahlen lässt sich die Rechnung
5 − 7 nicht durchführen. Erweitert man den Zahlenbereich von  zu
 , lässt sich das Ergebnis als −2 bestimmen.

Aufgabe 1: Überlege dir zu jeder Zahlenbereichserweiterung Rechen-

Mathematische Workshops 1 49

aufgaben, deren Ergebnis innerhalb des Zahlenbereichs nicht bestimm-
bar ist, aber im erweiterten Zahlenbereich existiert.

Zusammengefasst: In jedem Zahlenbereich stehen uns gewisse Rechen-
operationen zur Verfügung. Nicht bei jedem Zahlenbereich ist jede
Rechnung ohne weiteres möglich. Durch Erweiterung der Zahlenberei-
che kann dieses Problem gelöst werden.
Dies ist in der Folge häufig ein Grund, warum man sich mit weiteren (in
der Schule weniger bis gar nicht bekannten) Zahlenbereichen beschäf-
tigt. Wir werden heute auf die folgenden Zahlenbereiche eingehen:
 • die komplexen Zahlen  ,
 • die projektive Gerade Ρ1 ,
 • die Restklassenringe  / n ,
 • die p -adischen Zahlen  p (zu einer Primzahl p ).
Sämtliche Zahlenbereiche betrachtet man hierbei grundsätzlich aus der
Motivation, bestimmte rechnerische Phänomene in einem verallgemei-
nerten Zahlenbereich lösen zu können.

Die komplexen Zahlen 
Motivation
Was ist die Lösungsmenge der Gleichung x 2 = 1 ?
Genauer gesagt müsste die Frage lauten: Was ist die Menge der reellen
Zahlen, die die Gleichung x 2 = 1 erfüllt? Die Antwort ist (hoffentlich!)
bekannt. L = {−1,1} als Teilmenge der reellen Zahlen enthält sämtliche
Lösungen der angegebenen Gleichungen.
Was ist die Lösungsmenge der Gleichung x 2 = −1 ? Hier müssen wir
etwas genauer hinschauen: Sucht man die möglichen Lösungen in der
Menge der reellen Zahlen, so lautet hier die Antwort: Es gibt keine reelle
Zahl, deren Quadrat −1 ergibt. Normalerweise würde man zu einer
Gleichung der Form x 2 = a mit einer reellen Zahl a ∈  durch Wur-

zelziehen eine mögliche Lösung suchen: x0 = a . Hieraus ergibt sich

50 Monika Reimpell

die zweite Lösung, indem man das Vorzeichen der (positiven) Wurzel
ändert: x0 = − a . Dieses Verfahren ist nur möglich, wenn der Radi-
kant a nicht-negativ ist, d. h. a ≥ 0 muss gelten, damit der Wert der
Wurzel a definiert ist.
Möchte man nun auch mit Lösungen der Gleichung x 2 = −1 arbeiten,
muss der Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert werden. Man defi-
niert die imaginäre Zahl i als eine Zahl, die die Eigenschaft i 2 = −1
hat. Mit dieser Zahl lässt sich nun die Gleichung x 2 = −1 lösen. Diese
hat nun die Lösungsmenge {−i, i} . Man kann also −1 =i schreiben.

Genau so lässt sich nun auch die Gleichung x 2 = −4 lösen, nämlich
x =± −4 =± 4 ⋅ −1 =±2 ⋅ i .
Es lässt sich so der Zahlenbereich der komplexen Zahlen definieren:
 = {a + b ⋅ i; a, b ∈ } .
Eine komplexe Zahl a + b ⋅ i gliedert sich also in zwei Bestandteile:
Den Realteil a und den sogenannten Imaginärteil b ⋅ i . Mit der Zahl i
lässt sich genauso rechnen wie mit reellen Zahlen, mit dem Unterschied,
dass eine Vereinfachung der Addition oder Multiplikation einer reellen
Zahl und der imaginären Zahl i nicht mehr möglich ist.

Beispiel 2: Es gelten die üblichen Rechenregeln, wie sie auch für die
reellen Zahlen bekannt sind (mit der zusätzlichen Bedingung i 2 = −1 ).
 1. (2 + 3 ⋅ i ) + (4 + 5 ⋅ i ) = 6 + 8 ⋅ i

 2. i ⋅ (4 + 5 ⋅ i ) =4 ⋅ i + 5 ⋅ i ⋅ i =5 ⋅ i 2 + 4 ⋅ i =−5 + 4 ⋅ i

 3. (i + 1) ⋅ (i − 1) =i 2 − 1 =−1 − 1 =−2

Aufgabe 2: Berechne die folgenden Terme: