Mathematik Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe - Stand: 04.11.2020 - Mathematik SII
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Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe Mathematik am Alexander- von – Humboldt-Gymnasium, Neuss Stand: 04.11.2020 1
Inhaltsverzeichnis 1 Die Fachgruppe Mathematik am Alexander-von-Humboldt-Gymnasium ........ 3 2 Entscheidungen zum Unterricht ..................................................................... 5 2.1 Unterrichtsvorhaben ....................................................................................5 2.2 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit .............56 2.3 Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung ............60 2.4 Lehr- und Lernmittel ..................................................................................63 3 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen ................... 63 4 Qualitätssicherung und Evaluation............................................................... 64 2
1 Die Fachgruppe Mathematik am Alexander-von-Humboldt-Gym- nasium Das Alexander-von-Humboldt-Gymnasium ist ein öffentliches Gymnasien der Stadt Neuss. Es liegt im Schulzentrum in Nachbarschaft zur Sekundarschule und dem Nelly-Sachs-Gym- nasium. Das Alexander-von-Humboldt-Gymnasium hat eine heterogene Schülerschaft, was den sozialen und ethnischen Hintergrund betrifft. Es ist in der Sekundarstufe I vierzü- gig und wird als Ganztagsgymnasium geführt. Als MINT-freundlich ausgezeichnete Schule nimmt die Mathematik im Schulalltag einen großen Stellenwert ein. Die Fachschaft fühlt sich einem alltagsorientierten, anwendungs- bezogenen, anschaulichen und modernen Mathematikunterricht verpflichtet. In der Einführungsphase werden die Kurse in Stammgruppen im Fach Mathematik unter- richtet. Der Mathematikunterricht findet drei – für die Neuaufnahmeklassen aus anderen Schulformen, vierstündig statt. In der Q1 werden in der Regel drei bis vier Grundkurse, die dreistündig, und zwei Leistungskurse, die fünfstündig unterrichtet werden, eingerichtet. Die Kurse können in Kooperation mit dem Nelly-Sachs-Gymnasium gebildet werden. Der Unterricht findet im 45-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht für Grundkurse eine, für Leistungskurse zwei Doppelstunden vor. Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren Begabun- gen und Neigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Orientierung für ihren weiteren Lebensweg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Mathematik in besonderer Weise verpflichtet: Leistungsstarke Schülerinnen und Schüler werden ermutigt an der Kreisrunde der Mathe- matik-Olympiade und dem Bundeswettbewerb Mathematik teilzunehmen. Die Mathema- tikfachschaft empfiehlt weitergehend die Teilnahme am Online-Team-Wettbewerb der Bezirksregierung und am Mathematik-Turnier der Universität Bonn. Als besonderes Angebot versteht sich der Projektkurs Mathematik, der zum zweiten Halb- jahr der Q1 angeboten wird, über zwei Halbjahre läuft und mit einem Vortrag und einer umfangreichen Projektarbeit abgeschlossen wird. Besonders erfolgreichen Absolventen des Projektkurses wird im Rahmen der Abiturprüfung die Möglichkeit angeboten, ein Kol- loquium im Rahmen der besonderen Lernleistung durchzuführen. Weitere Informationen zum Projektkurs erhalten Sie bei der Oberstufenkoordination. Leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler erhalten von den Lehrkräften die Möglich- keit, individuelle Übungs- und Förderangebote wahrzunehmen (zum Beispiel in Form von Internetlinks, Arbeits- und Übungsblättern, Regelheft-Führung, Lerntagebücher, etc.). In der Sekundarstufe I wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner ab Klasse 7 verwendet, dynamische Geometrie-Software und Tabellenkalkulation werden an geeigneten Stellen 3
im Unterricht genutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu stehen in der Schule digitale Möglichkeiten zur Verfügung. In der Sekundarstufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge vertraut sind. Der grafikfähige Taschenrechner wird in der Einführungsphase eingeführt. Es wird voraus- gesetzt, dass alle Schülerinnen und Schüler ein identisches Gerät besitzen. Andere Geräte dürfen in Hinblick auf das Abitur, bei dem alle Schülerinnen und Schüler die gleichen Hilfs- mittel verwenden müssen, weder im Unterricht noch in den Klausuren benutzt werden. Zu Beginn der Qualifikationsphase wird den Schülerinnen und Schülern die Anschaffung einer von der Fachschaft Mathematik vorgegebenen Formelsammlung empfohlen. In den Klausuren darf ebenfalls nur die zugelassene Formelsammlung benutzt werden. Für Schü- lerinnen und Schüler, die keine Formelsammlung besitzen, liegt in den Klausuren eine For- melsammlung aus. 4
2 Entscheidungen zum Unterricht Hinweis: Die nachfolgend dargestellte Umsetzung der verbindlichen Kompe- tenzerwartungen des Kernlehrplans findet auf zwei Ebenen statt. Das Über- sichtsraster gibt den Lehrkräften einen raschen Überblick über die laut Fachkon- ferenz verbindlichen Unterrichtsvorhaben pro Schuljahr. In dem Raster sind, au- ßer dem Thema des jeweiligen Vorhabens, das schwerpunktmäßig damit ver- knüpfte Inhaltsfeld bzw. die Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte des Vorha- bens sowie Schwerpunktkompetenzen ausgewiesen. Die Konkretisierung von Unterrichtsvorhaben führt weitere Kompetenzerwartungen auf und verdeut- licht vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen, z. B. zur Festlegung auf einen Aufgabentyp bei der Lernerfolgsüberprüfung durch eine Klausur. 2.1 Unterrichtsvorhaben Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan besitzt den Anspruch, sämtliche im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen abzudecken. Dies entspricht der Verpflichtung jeder Lehrkraft, Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermögli- chen, so dass alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt werden können. Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichts- und der Konkreti- sierungsebene. Im „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.1) wird die Verteilung der Unter- richtsvorhaben dargestellt. Sie ist laut Beschluss der Fachkonferenz verbindlich für die Un- terrichtsvorhaben I, II und III der Einführungsphase und für die Unterrichtsphasen der Qualifikationsphase. Die zeitliche Abfolge der Unterrichtsvorhaben IV bis VIII der Einfüh- rungsphase ist jeweils auf die Vorgaben zur Vergleichsklausur abzustimmen. Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen Überblick über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahrgangsstufen sowie den im Kernlehrplan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen Schwerpunkten zu verschaffen. Um Klarheit für die Lehrkräfte herzustellen und die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie „Kompetenzen“ an dieser Stelle nur die überge- ordneten Kompetenzerwartungen ausgewiesen, während die konkretisierten Kompe- tenzerwartungen erst auf der Ebene konkretisierter Unterrichtsvorhaben Berücksichti- gung finden. Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich als grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf über- oder unterschritten werden kann. Um Spielraum für Vertiefungen, indi- viduelle Förderung, besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu erhalten, wur- den im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans ca. 75 Prozent der Bruttounterrichtszeit verplant. 5
Während der Fachkonferenzbeschluss zum „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ zur Gewährleistung vergleichbarer Standards sowie zur Absicherung von Kurswechslern und Lehrkraftwechseln für alle Mitglieder der Fachkonferenz Bindekraft entfalten soll, besitzt die Ausweisung „konkretisierter Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.2) empfehlenden Cha- rakter. Referendarinnen und Referendaren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standardbezogenen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutlichung von unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen zu didak- tisch-methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Kooperationen, Lernmitteln und -or- ten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen, die im Einzelnen auch den Kapiteln 2.2 bis 2.4 zu entnehmen sind. Begründete Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorge- hensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorhaben sind im Rahmen der päda- gogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit möglich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen der Umsetzung der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch entsprechende Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten. 6
2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben: Einführungsphase Unterrichtsvorhaben I: Unterrichtsvorhaben II: Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung Thema Testergebnisse richtig interpretieren – von Zufallsprozessen (E-S1) Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • mehrstufige Zufallsexperimente • Bedingte Wahrscheinlichkeiten • Stochastische Unabhängigkeit Unterrichtsvorhaben III: Unterrichtsvorhaben IV: Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Thema: Von der durchschnittlichen zur loka- Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E- len Änderungsrate (E-A2) A1) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • grundlegende Eigenschaften von • Grundverständnis des • Potenz- und Exponentialfunktionen Ableitungsbegriffs • (charakteristische Punkte, Transformatio- nen, Symmetrie, Verhalten im Unendli- chen, ...) Unterrichtsvorhaben V: Unterrichtsvorhaben V: Thema: Von den Potenzfunktionen zu den Thema: Entwicklung und Anwendung von Kri- ganzrationalen Funktionen (E-A3) terien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Differentialrechnung ganzrationaler • Differentialrechnung ganzrationaler • Funktionen, Funktionen im Sachzusammenhang • Extremwertberechnung inkl. Vorzeichen- wechselkriterium Unterrichtsvorhaben VII: Unterrichtsvorhaben VIII: Thema: Unterwegs in 3D – Koordinatisierun- Thema: Vektoren bringen Bewegung in den gen des Raumes (E-G1) Raum (E-G2) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Koordinatisierungen des Raumes • Vektoren und Vektoroperationen Summe Einführungsphase: 84 Stunden 7
Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS Unterrichtsvorhaben Q1-I : Unterrichtsvorhaben Q1-II: Thema: Funktionen beschreiben Formen – Thema: Modellieren von Sachsituationen mit ganzra- Optimierungsprobleme (Q-GK-A1) tionalen Funktionen (Q-GK-A2) Inhaltliche Schwerpunkte: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Funktionen als mathematische Modelle • Funktionen als mathematische Modelle • 2. Ableitung • Lineare Gleichungssysteme • Funktionenscharen • Steckbriefaufgaben • Einfache Extremwertproblem Unterrichtsvorhaben Q1-III: Unterrichtsvorhaben Q1-IV: Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand Thema: Von der Randfunktion zur (Q-GK-A3) Integralfunktion (Q-GK-A4) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Grundverständnis des Integralbegriffs • Integralrechnung (inkl. (kurz gehalten) Flächenberechnungen) Unterrichtsvorhaben Q1-V: Unterrichtsvorhaben Q1-VI: Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q- Thema: Beschreibung von Bewegungen und GK-A5) Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Definition, Ableitung und Stammfunktio- • Darstellung und Untersuchung nen der e-Funktion geometrischer Objekte (Geraden) • Diskussion zusammengesetzter Funktio- • Skalarprodukt nen • weitere Ableitungsregeln Unterrichtsvorhaben Q1-VII: Unterrichtsvorhaben Q1-VIII: Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lö- Thema: Eine Sache der Logik und der sung von geometrischen Problemen (Q-GK- Begriffe: Untersuchung von Lagebeziehungen G2) (Q-GK-G3) Inhaltliche Schwerpunkte: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Darstellung und Untersuchung geometri- • Lagebeziehungen scher Objekte (Ebenen) • Winkel • Lineare Gleichungssysteme • Einfache Abstandsberechnungen Summe Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS 78 Stunden 8
Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS Unterrichtsvorhaben Q2-I: Unterrichtsvorhaben Q2-II: Thema: Von stochastischen Modellen, Zu- Thema: Treffer oder nicht? – fallsgrößen, Wahrscheinlichkeits-verteilungen Bernoulliexperimente und Binomialverteilung und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1) (Q-GK-S2) Inhaltlicher Schwerpunkt: • Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits- Inhaltlicher Schwerpunkt: verteilungen (Erwartungswert, • Binomialverteilung Standardabweichung, Varianz, • Kenngrößen der Binomialverteilung Mittelwerte) Unterrichtsvorhaben Q2-III: Unterrichtsvorhaben Q2-IV : Thema: Modellieren mit Binomialverteilun- Thema: Von Übergängen und Prozessen gen (Q-GK-S3) (Q-GK-S4) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Anwendungen der Binomialverteilung • Stochastische Prozesse (optional) Unterrichtsvorhaben Q2-VI: Unterrichtsvorhaben Q1-VI : Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen- Thema: Räume vermessen – auch mit dem tialfunktionen (Q-GK-A6): Wiederholung und Skalarprodukt Polygone und Polyeder Vertiefung untersuchen (Q-GK-G4): Wiederholung und Vertiefung Inhaltliche Schwerpunkte: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Fortführung der Differentialrechnung • Fortführung der vektoriellen Geometrie • Integralrechnung und Raumanschauung Summe Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS: 54 Stunden 9
Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS Unterrichtsvorhaben Q1-I: Unterrichtsvorhaben Q1-II: Thema: Optimierungsprobleme (Q-LK-A1) Thema: Funktionen beschreiben Formen – Modellieren von Sachsituationen mit Funktionen (Q-LK-A2) Inhaltliche Schwerpunkte: Inhaltliche Schwerpunkte: • Funktionen als mathematische Modelle • Funktionen als mathematische Modelle • 2. Ableitung • Lineare Gleichungssysteme • Fortführung der Differentialrechnung • Steckbriefaufgaben • Funktionenscharen inkl. Ortskurve • Komplexe Extremwertprobleme Unterrichtsvorhaben Q1-IIII Unterrichtsvorhaben Q1-IV: Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand Thema: Von der Randfunktion zur (Q-LK-A3) Integralfunktion (Q-LK-A4) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Grundverständnis des Integralbegriffs • Integralrechnung (inkl. inkl. Herleitung über Ober- und Flächenberechnung, uneigentliche Untersumme Integrale und Rotationskörper) Unterrichtsvorhaben Q1-V: Unterrichtsvorhaben Q1-VI: Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen und Thema: Beschreibung von Bewegungen und Logarithmus (Q-LK-A5) Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Fortführung der Differential- und Integ- • Darstellung und Untersuchung ralrechnung geometrischer Objekte (Geraden) • weitere Ableitungsregeln • weitere Integrationsregeln • asymptotisches Verhalten Unterrichtsvorhaben Q1-VII: Unterrichtsvorhaben Q1-VIII: Thema: Die Welt vermessen – das Skalarpro- Thema: Ebenen als Lösungsmengen von dukt und seine ersten Anwendungen (Q-LK- linearen Gleichungen und ihre Beschreibung G2) durch Parameter (Q-LK-G3) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Skalarprodukt • Darstellung und Untersuchung • Kreuzprodukt geometrischer Objekte (Ebenen) • Winkel Unterrichtsvorhaben Q1-VI: Thema: Lagebeziehungen und Abstands- probleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4) Inhaltlicher Schwerpunkt: • Lagebeziehungen und Abstände von Geraden, Ebenen und Punkten Summe Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS 130 Stunden 10
Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS Unterrichtsvorhaben Q2-I: Unterrichtsvorhaben Q2-II Thema: Von stochastischen Modellen, Zu- Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulli- fallsgrößen, Wahrscheinlichkeits-verteilungen experimente und Binomialverteilungen (Q-LK- und ihren Kenngrößen (Q-LK-S1) S2) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits-ver- • Binomialverteilung teilungen (Erwartungswert, Mittelwerte, • Kenngrößen der Binomialverteilung Varianz, Standardabweichung) Unterrichtsvorhaben Q2-III: Unterrichtsvorhaben Q2-IV: Thema: Untersuchung charakteristischer Thema: Signifikant und relevant? – Testen Größen von Binomial- und Normalverteilun- von Hypothesen (Q-LK-S5) gen (Q-LK-S3) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • Anwendung der Binomialverteilung • ein- und zweiseitiger Hypothesentest • Fehler 1. und 2. Art Unterrichtsvorhaben Q2-V: Unterrichtsvorhaben Q2-VI: Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK-S5) Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q- LK-S6) Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: • von diskreten zu stetigen Verteilungen • Stochastische Prozesse (optional) • Wahrscheinlichkeitsdichte • Normalverteilung Unterrichtsvorhaben Q2-VII: Unterrichtsvorhaben Q2-VIII: Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen- Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q-LK- tialfunktionen (Q-LK-A6): Wiederholen und G5): Wiederholen und Vertiefen Vertiefen Inhaltliche Schwerpunkte: Inhaltliche Schwerpunkte: • Fortführung der Differentialrechnung • Lagebeziehung und Abstände (von Integralrechnung Ebenen) • Lineare Gleichungssysteme Unterrichtsvorhaben Q2-IX: Thema: Strategieentwicklung bei geometri- schen Problemsituationen und Beweisaufga- ben (Q-LK-G6) Inhaltlicher Schwerpunkt: • Verknüpfung aller Kompetenzen Summe Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS: 90 Stunden 11
2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Hinweis: Thema, Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte und Kompetenzen hat die Fachkonferenz verbindlich vereinbart. In allen anderen Bereichen sind Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bei der Konkretisierung der Unterrichtsvorhaben möglich. Vorhabenbezogene Konkretisierung: Einführungsphase Stochastik (S) Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Beim Einstieg ist eine Beschränkung auf Beispiele aus dem Bereich Glücksspiele zu Die Schülerinnen und Schüler vermeiden (anders als LS). Einen geeigneten Kontext bietet die Methode der Zu- • deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente fallsantworten bei sensitiven Umfragen (z.B. Umfrage im Kurs, Geschmackstest • simulieren Zufallsexperimente mit Cola oder Schokolade, …). Außerdem soll der mathematische Zufallsbegriff bezüglich seiner Aussagekraft überprüft werden. • verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen • stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbe- Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durchgängig Simulationen – auch unter trachtungen durch Verwendung von digitalen Werkzeugen inkl. GTR – geplant und durchgeführt. • beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlich- keiten mit Hilfe der Pfadregeln Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen zu thematisieren. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert werden Die Schülerinnen und Schüler im Kontext von Glücksspielen erarbeitet und können durch zunehmende Komplexi- • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Si- tät der Spielsituationen vertieft werden. tuation vor (Strukturieren) Digitale Werkzeuge werden zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilun- • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Mo- gen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnen verwendet. delle (Mathematisieren) Trotzdem sollten auch in diesem Bereich „hilfsmittelfreie“ Aufgabentypen trainiert • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung werden. innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) 12
Werkzeuge nutzen Die Schülerinnen und Schüler • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum … Generieren von Zufallszahlen (z.B. Simulation mit GTR) … Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen … Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen … Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert) Thema: Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Ein problemorientierter Einstieg soll die inhaltliche Arbeit motivieren (z.B. Zusam- Die Schülerinnen und Schüler menhang zwischen Handy und Geschlecht, Rauchen und Gewicht, HIV-Testverfah- • modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vierfelderta- ren). feln Um die Übertragbarkeit des Verfahrens zu sichern, sollen insgesamt mindestens • bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten zwei Beispiele aus unterschiedlichen Kontexten betrachtet werden. • prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Un- abhängigkeit Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen werden paral- • bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. lel Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstellungsformen Die Schülerinnen und Schüler (Baumdiagramm, Vierfeldertafel) wechseln können und diese zur Berechnung be- • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick dingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen können (Inhalt- • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung lich Anwendung des Satz von Bayes). innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidung von • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A∩B) von bedingten Wahrscheinlichkeiten – auch sprachlich – von besonderer Bedeutung. 13
Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler • erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten (Rezipiere und Modellieren) • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzie- ren) Einführungsphase Funktionen und Analysis (A) Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Algebraische Rechentechniken werden grundsätzlich parallel vermittelt und diag- Die Schülerinnen und Schüler nosegestützt geübt. Die Polynomdivision, sowie die Linearfaktorzerlegung, sind • wiederholen individuell anhand einer Checkliste grundlegendes Wissen zu li- nicht mehr verpflichtend. nearen und quadratischen Funktionen Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedarf von Schulformwechslern wird • beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Expo- ebenfalls durch gezielte individuelle Angebote Rechnung getragen. nenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen Hilfreich kann es sein, dabei die Kompetenzen der Mitschülerinnen und Mitschüler • beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponen- (z. B. durch Kurzvorträge) zu nutzen. tialfunktionen • wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktio- Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhaben auf die Einfüh- nen (quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an rung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten Software und des und deuten die zugehörigen Parameter GTR gerichtet werden. (Grundlegende Eingabebefehle, Orientierung in den Unter- menüs, Wertetabellen, Graphen plotten und die Fenstereinstellungen) Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können zunächst An- Die Schülerinnen und Schüler sparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle) betrachtet und mithilfe ei- • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick ner Tabellenkalkulation verglichen werden. Für kontinuierliche Prozesse und den auf eine konkrete Fragestellung(Strukturieren) Übergang zu Exponentialfunktionen werden verschiedene Kontexte (z. B. Bakteri- enwachstum, Abkühlung) untersucht. 14
• übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Mo- Der entdeckende Einstieg in Transformationen kann etwa über das Beispiel „Son- delle (Mathematisieren) nenscheindauer“ aus den GTR-Materialien erfolgen, also zunächst über die Sinus- funktion. Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI werden dann quadratische Werkzeuge nutzen Funktionen (Scheitelpunktform) und Parabeln unter dem Transformationsaspekt Die Schülerinnen und Schüler betrachtet. • nutzen des grafikfähigen Taschenrechners: Tabellenkalkulation, Funktionen- plotter • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum … Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Für den Einstieg wird ein Stationenlernen zu durchschnittlichen Änderungsraten in Die Schülerinnen und Schüler unterschiedlichen Sachzusammenhängen empfohlen, die auch im weiteren Verlauf • berechnen durchschnittliche/ mittlere und lokale/ momentane Änderungsra- immer wieder auftauchen (z. B. Bewegungen, Zu- und Abflüsse, Höhenprofil, Tem- ten und interpretieren sie im Kontext peraturmessung, Aktienkurse, Entwicklung regenerativer Energien, Sonntags- frage, Wirk- oder Schadstoffkonzentration, Wachstum, Kosten- und Ertragsent- • erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbe- wicklung). griffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Än- Der Begriff der lokalen Änderungsrate wird im Sinne eines spiraligen Curriculums derungsrate qualitativ und heuristisch verwendet. • deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten • deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentenstei- Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungs- gung rate wird die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durchschnittsgeschwindig- • beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunk- keit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Messgerät ermittelten Momentan- tion) geschwindigkeit genutzt. • leiten Funktionen graphisch ab Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometrischer Kontext betrachtet • begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) werden. mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen Tabellenkalkulation und Dynamische-Geometrie-Software (Geogebra) werden zur numerischen und geometrischen Darstellung des Grenzprozesses beim Übergang 15
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate bzw. der Sekanten zur Tan- Argumentieren (Vermuten) genten (Zoomen) eingesetzt. Die Schülerinnen und Schüler • stellen Vermutungen auf Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem Begründen der Eigen- • unterstützen Vermutungen beispielgebunden schaften eines Funktionsgraphen sollen die Schülerinnen und Schüler in besonde- • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichti- rer Weise zum Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer Aussagen angehalten werden. Hier ist auch der Ort, den Begriff des Extrempunktes (lokal vs. global) zu gung der logischen Struktur präzisieren und dabei auch Sonderfälle, wie eine konstante Funktion, zu betrach- ten, während eine Untersuchung der Änderung von Änderungen erst zu einem Werkzeuge nutzen späteren Zeitpunkt des Unterrichts (Q1) vorgesehen ist. Die Schülerinnen und Schüler • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum … Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle … grafischen Messen von Steigungen • nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzrationalen Funktionen (E-A3) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Im Anschluss an Unterrichtsvorhaben II (Thema E-A2) wird die Frage aufgeworfen, Die Schülerinnen und Schüler ob mehr als numerische und qualitative Untersuchungen in der Differentialrech- nung möglich sind. Für eine quadratische Funktion wird der Grenzübergang bei • nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten der „h-Methode“ exemplarisch durchgeführt. • wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an Empfehlung: Durch Variation im Rahmen eines Gruppenpuzzles vermuten die Ler- • begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) nenden eine Formel für die Ableitung einer beliebigen quadratischen Funktion. Da- mit Hilfe berechneter Werte des Graphen der Ableitungsfunktion bei vermuten sie auch das Grundprinzip der Linearität (ggf. auch des Verhaltens • berechnen Extrempunkte, identifiziere sie als Hoch- und Tiefpunkte und bei Verschiebungen in x-Richtung). Durch Analyse des Rechenweges werden die grenzen Sie zu Sattelpunkten ab. Vermutungen erhärtet. Um die Ableitungsregel für höhere Potenzen zu vermuten, nutzen die Schüler den GTR und die Möglichkeit, Werte der Ableitungsfunktionen näherungsweise zu ta- bellieren und zu plotten. Eine Beweisidee kann optional erarbeitet werden. Der Unterricht erweitert besonders Kompetenzen aus dem Bereich des Vermutens. 16
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Auch hier sollten im Hinblick auf die „hilfsmittelfreien“ Aufgabentypen das Ablei- Problemlösen ten und das Berechnen von Werten per Hand eingeübt werden. Die Schülerinnen und Schüler Kontexte spielen in diesem Unterrichtsvorhaben eine untergeordnete Rolle. Quad- ratische Funktionen können aber stets als Weg-Zeit-Funktion bei Fall- und Wurf- • analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) und anderen gleichförmig beschleunigten Bewegungen gedeutet werden. • erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) Die Motivation zur Beschäftigung mit Polynomfunktionen soll durch eine Optimie- • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlö- rungsaufgabe geweckt werden. Die verschiedenen Möglichkeiten, eine Schachtel sung aus (Lösen) aus einem DIN-A4-Blatt herzustellen, führen insbesondere auf Polynomfunktionen vom Grad 3. Hier können sich alle bislang erarbeiteten Regeln bewähren. Argumentieren Die Schülerinnen und Schüler Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 werden Gegenstand einer qualitativen Er- • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichti- kundung mit dem GTR, wobei Parameter gezielt variiert werden. Bei der Klassifi- gung der logischen Struktur (Vermuten) zierung der Formen können die Begriffe aus Unterrichtsvorhaben II (Thema E-A2) • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für eingesetzt werden. Zusätzlich werden die Symmetrie zum Ursprung und das Glo- Begründungen (Begründen) balverhalten untersucht. Die Vorteile einer Darstellung mithilfe von Linearfaktoren und die Bedeutung der Vielfachheit einer Nullstelle werden hier thematisiert. • überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert wer- den können (Beurteilen) Durch gleichzeitiges Visualisieren der Graphen einer Funktion und der zugehöri- gen Ableitungsfunktion entdecken und erläutern die SuS Eigenschaften von ganz- Werkzeuge nutzen rationalen Funktionen 3. Grades, indem sie diese mit den ihnen schon vertrauten Die Schülerinnen und Schüler quadratischen Funktionen quadratischen Funktionen abgleichen. Ein Schwer- • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum punkt liegt auf dem Erkennen und Erklären von Zusammenhängen von charakte- … Lösen von Gleichungen ristischen Punkten einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Ein kurzes Wiederaufgreifen des graphischen Ableitens am Beispiel der Sinusfunk- Die Schülerinnen und Schüler tion führt zur Entdeckung, dass die Kosinusfunktion deren Ableitung ist. • leiten Funktionen graphisch ab • nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion 17
• begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen den Extrem- mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen punkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Betrachtung von Mo- • nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponen- notonieintervallen und der vier möglichen Vorzeichenwechsel an den Nullstellen ten der Ableitung untersucht. Die Schülerinnen und Schüler üben damit, vorstellungs- • wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an bezogen zu argumentieren. Die Untersuchungen auf Symmetrien und Globalver- halten werden fortgesetzt. • lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Sub- stituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Nullstellenbe- stimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben von Lösungsver- • verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium fahren ohne Verwendung des GTR gegeben. zur Bestimmung von Extrempunkten • unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich Der logische Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Kriterien kann • verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften durch Multiple-Choice-Aufgaben vertieft werden, die rund um die Thematik der als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen Funktionsuntersuchung von Polynomfunktionen Begründungsanlässe und die Möglichkeit der Einübung zentraler Begriffe bieten. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendet wird, Problemlösen werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen sie mit den Ei- Die Schülerinnen und Schüler genschaften des Graphen oder Terms argumentieren. So erzwingt z. B. Achsen- • erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) symmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf der Symmetrieachse. • nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Be- kanntes) (Lösen) Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen werden wesentliche • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlö- Aspekte einer Funktionsuntersuchung (ausgenommen Wendepunkte) behandelt. sung aus (Lösen) Dabei können auch Tangentengleichungen bestimmt werden. Argumentieren Die Schülerinnen und Schüler • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichti- gung der logischen Struktur (Vermuten) • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen) • berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen […]) (Begründen) • erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen) 18
Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Thema: Unterwegs in 3D – Koordinatisierungen des Raumes (E-G1) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Ein alltagsbezogener, anwendungsbezogener Einstieg zum Thema „Koordina- Die Schülerinnen und Schüler ten“ soll gewählt werden (z.B. Koordinaten im Klassenraum, verschiedene Koordi- natisierungen (GPS, geographische Koordinaten, Polarkoordinaten: hier besteht • wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines die Möglichkeit von Schülervorträgen)). geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum • stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinaten- system dar An geeigneten, nicht zu komplexen geometrischen Modellen (z. B. „unvollständi- Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): gen“ Holzquadern) lernen die Schülerinnen und Schüler, ohne Verwendung einer Modellieren DGS zwischen (verschiedenen) Schrägbildern einerseits und der Kombination aus Die Schülerinnen und Schüler Grund-, Auf- und Seitenriss andererseits zu wechseln, um ihr räumliches Vorstel- • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick lungsvermögen zu entwickeln. Hierbei sollen auch die Grenzen der zeichnerischen auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) Darstellung betrachtet werden. • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Mithilfe einer DGS werden unterschiedliche Möglichkeiten ein Schrägbild zu zeich- • nutzen Vectoris 3D zur Problemlösung mathematischer Fragestellungen nen untersucht und hinsichtlich ihrer Wirkung beurteilt. Hier wird besonders auf (Werkzeug nutzen) die dem LS beiliegende CD verwiesen, die einen digitalen Lernzirkel zu Punkten und Vektoren im Raum mit Vectoris 3D enthält. Kommunizieren (Produzieren) Die Schülerinnen und Schüler • wählen begründet eine geeignete Darstellungsform (Zeichnung oder Rech- nung) aus • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen 19
Thema: Vektoren bringen Bewegung in den Raum (E-G2) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Durch Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrische Prob- Die Schülerinnen und Schüler lemstellungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesondere zur Charakte- risierung von Viereckstypen), Auffinden von Mittelpunkten (ggf. auch Schwer- • deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kenn- punkten), Untersuchung auf Parallelität. zeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren • stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar • berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras • addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersu- chen Vektoren auf Kollinearität • weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen Die Schülerinnen und Schüler • entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) • setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lö- sen) • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlö- sung aus (Lösen) 20
Q-Phase Grundkurs Funktionen und Analysis (A) Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Anknüpfend an die Einführungsphase (vgl. Thema E-A1) werden an einem Beispiel Die Schülerinnen und Schüler in einem geeigneten Kontext (z.B. Fotos von Brücken, Flugbahnen) die Parameter • bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion angepasst. Anschließend dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“) werden aus gegebenen Punkten Gleichungssysteme für die Parameter der Nor- • beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe malform aufgestellt. der 2. Ableitung • verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie wei- Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Stei- tere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten gung führt zu einer geometrischen Deutung der zweiten Ableitung einer Funktion • beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Glei- als „Krümmung“ des Graphen und zur Betrachtung von Wendepunkten. chungssysteme • wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssys- Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines weite- teme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand ren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funktion mit Sat- lösbar sind telpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vor- und • untersuchen ganzrationale Funktionenscharen. Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschließend von den Ler- nenden kritisch bewertet. Designobjekte oder architektonische Formen können zum Anlass genommen wer- Prozessbezogene Kompetenzen: den, die Funktionsklassen zur Modellierung auf ganzrationale Funktionen 3. oder Modellieren 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte, Symmetrieüberlegungen und Die Schülerinnen und Schüler Bedingungen an die Ableitung Gleichungen zur Bestimmung der Parameter aufzu- • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick stellen. Hier bietet es sich an, nach einer gemeinsamen Einführung weiterführende auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) Beispiele mithilfe offener Unterrichtsformen (z.B. Lerntheke, Gruppenpuzzle ) zu • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Si- behandeln. tuation vor (Strukturieren) • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Mo- In diesem Zusammenhang erhalten die Schülerinnen und Schüler Gelegenheit, delle (Mathematisieren) über Grundannahmen der Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung Koordinatensystem, Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) reflektieren und ggf. Veränderungen vorzunehmen. • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) 21
• beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle Das algebraische Lösen der Gleichungssysteme soll nicht den zentralen Schwer- für die Fragestellung (Validieren) punkt der Modellierung überlagern. Daher wird der GTR als Werkzeug zum Lösen • verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) von Gleichungssystemen und zur graphischen Darstellung der erhaltenen Funktio- • reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen nen im Zusammenhang mit der Validierung verwendet. Ebenso wird das Gaußver- (Validieren) fahren thematisiert, um einige gut überschaubare Systeme mit drei Unbekannten • reflektieren den Einfluss von Parametern auf die Eigenschaften ganzrationa- auch ohne digitale Werkzeuge lösen zu können. ler Funktionenscharen (Validieren) Vertiefend werden im zentrale Eigenschaften ganzrationaler Funktionen an Funk- Werkzeuge nutzen tionenscharen untersucht und der Einfluss von Parametern kritisch reflektiert. Die Schülerinnen und Schüler • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum … Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen • nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden […], Berechnen und Darstellen Thema: Optimierungsprobleme (Q-GK-A1) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“ • führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Zur Festigung und Sicherung der Grundvorstellung sollte mit einer kurzen Wieder- Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese holungseinheit zum Ableitungsbegriff und den aus der EF bekannten Regeln ein- • verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien […] zur Be- gestiegen werden. stimmung von Extrem- und Wendepunkten Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien. Es wird deshalb empfohlen, den Lernenden hinreichend Zeit zu geben, u.a. mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu kommen. Prozessbezogene Kompetenzen: An Problemen, die auf quadratische Zielfunktionen führen, sollten auch unter- Modellieren schiedliche Lösungswege aufgezeigt und verglichen werden. Hier bietet es sich au- Die Schülerinnen und Schüler ßerdem an, Lösungsverfahren auch ohne digitale Hilfsmittel einzuüben. • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Si- tuation vor.(Strukturieren) An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schüler die Not- • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Mo- wendigkeit, Randextrema zu betrachten (z.B. verschiedene Varianten des „Hüh- delle (Mathematisieren) nerhofs“). 22
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt der Mo- innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) dellvalidierung/Modellkritik untersucht. • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) Außerdem sollte ein Beispiel zur Gewinnoptimierung behandelt werden. Auch • beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle hier bietet es sich an, Grenzen der Modellierung kritisch zu diskutieren. für die Fragestellung (Validieren) Abschließend kann ein komplexes Problem behandeln werden, das die Schülerin- nen und Schüler nur durch systematisches Probieren oder anhand des Funktions- Problemlösen graphen lösen können (GTR als Werkzeug). Die Schülerinnen und Schüler • finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Erkunden) Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen geeigne- • wählen heuristische Hilfsmittel (z.B. Skizze, informative Figur, Tabelle …) aus, ter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besucherströme in einen um die Situation zu erfassen (Erkunden) Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Personaleinsatz) thematisiert und • nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahme- Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, rate der Änderungsrate der Funktion verliehen. Die Bestimmung der extremalen Verallgemeinern …) (Lösen) Steigung erfolgt zunächst über das Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstel- • setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lö- len der zweiten Ableitung). Das Aufstellen von Tangentengleichungen bzw. Wen- sen) detangenten wird ergänzend behandelt. • berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) • führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen) • vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Ge- meinsamkeiten (Reflektieren) Hinweis: Es liegt im Ermessen der unterrichtenden Fachlehrer der Q1.1, die Wiederholung der Bedeutung der ersten Ableitung vorzuziehen (u.a gra- fisches Ableiten) und die Bedeutung der zweiten Ableitung inkl. hinreichendem Kriterium für Extrema vor die Behandlung der Optimierungsprobleme zu stellen. Dieser Teil würde dann aus dem Themenblock Q-GK-A2 entfallen (s. Folgeseite). 23
Thema: Von der Änderungsrate zum Bestand (Q-GK-A3) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb sollten Die Schülerinnen und Schüler hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen werden (Ge- • interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbe- schwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge). standes oder Gesamteffektes einer Größe • deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext Der Einstieg kann über ein Stationenlernen oder eine arbeitsteilige Gruppenarbeit • skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhalts- erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine Breite an Kon- funktion texten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand geschlossen wird, erar- beitet (Vorschlag Buch, S. 50). Dabei entwickeln und vergleichen die Schülerinnen und Schüler eigenständig erste Prozessbezogene Kompetenzen: Strategien zur genauen bzw. näherungsweisen Berechnung des Bestandes. Die Kommunizieren entstehenden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte Die Schülerinnen und Schüler interpretiert. • erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus […] mathematik- Anschließend erfolgt die Optimierung der Näherungen mithilfe der Schachtelung haltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie durch Ober- und Untersummen (kurz!). aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren) So können die Schülerinnen und Schüler aus eine vorgegebenen Randfunktions- • formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege graphen Eigenschaften der zugehörigen Flächenbilanzfunktion ablesen und deren (Produzieren) Graphen grob skizzieren. • wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren) Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrprozess auf • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzie- die Funktionsgleichung der „Bilanzfunktion“ hat, kann dies zur Überleitung in das ren) folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden. • dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren) • erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren) Die Ergebnisse der Gruppenarbeit können auf Plakaten festgehalten und in einem Museumsgang präsentiert werden. Schülervorträge über bestimmte Kontexte sind hier wünschenswert. 24
Thema: Von der Randfunktion zur Integralfunktion (Q-GK-A4) Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Schülerinnen und Schüler sollen hier entdecken, dass die Bestandsfunktion eine Die Schülerinnen und Schüler Stammfunktion der Änderungsrate ist. Dazu kann das im vorhergehenden Unter- • erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der richtsvorhaben (vgl. Thema Q-GK-A3) entwickelte numerische Näherungsverfah- Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen ren auf den Fall angewendet werden, dass für die Änderungsrate ein Funktions- Grenzwertbegriffs term gegeben ist. • erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Ände- Die Graphen der Änderungsrate und der Bestandsfunktion können die Schülerin- rungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrech- nen und Schüler mit Hilfe des GTR gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwi- nung) schen diesen herstellen. Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, geben Anlass zu • nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen anschaulichen Grenzwertüberlegungen (optional). • bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen Da der Rekonstruktionsprozess auch bei einer abstrakt gegebenen Randfunktion • bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und nume- möglich ist, wird für Bestandsfunktionen der Fachbegriff Integralfunktion einge- risch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge führt und der Zusammenhang zwischen Rand- und Integralfunktion im Hauptsatz • ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Ände- formuliert (ggf. auch im Lehrervortrag). rungsrate • bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Schülerinnen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungsregeln selbststän- Prozessbezogene Kompetenzen: dig erarbeitet. (z.B. durch ein sog. Funktionendomino) Argumentieren Die Schülerinnen und Schüler In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen Verfah- • stellen Vermutungen auf (Vermuten) ren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Gesamtbeständen zur Verfü- • unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten) gung. • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichti- gung der logischen Struktur (Vermuten) Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch Inter- • stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) valladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwischen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen Werkzeuge nutzen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem GTR bestimmt. Die Schülerinnen und Schüler • nutzen […] digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulation und Funktionenplotter] zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Dar- stellen 25
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