Origami - eine Bereicherung für den Mathematik-Unterricht auf allen Stufen
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Origami – eine Bereicherung für den
Mathematik-Unterricht auf allen Stufen
Caterina Savi, Kantonschule Wettingen, caterina.savi@kanti-wettingen.ch
Origami wird sowohl in der Begabtenförderung, werden, möglichst optimal zu falten und zu ver-
als auch von Mathematikdidaktikern als Bereicherung packen (Eyeglass Teleskop, Robert Lang, vgl.
für den Mathematik-Unterricht empfohlen (z.B. von www.langorgami.com).
„Ms. Math“, Rahel McAnallen, im Rahmen der Con-
fratute Weiterbildungen an der University of Connec-
∙ In der modernen Architektur finden sich Formen,
die auch in Origami-Figuren zu finden sind.
ticut oder von Norbert Hungerbühler (2011), dem
neuen Mathematik-Didaktik-Professor der ETH Zü-
rich). Interessierte Lehrpersonen fragen sich an-
schliessend: „Was kann ich in meinen Mathematik-
Grundlagenunterricht im Sinne einer Bereicherung für
alle Schülerinnen und Schüler einbauen? Was eig-
net sich als Bereicherung für begabte Mathematik-
Schülerinnen und -Schüler?“
Abb. 2: Vancouver Science Museum
∙ Mathematische Forschung führte dazu, dass
komplexere Origami-Figuren gebaut werden
können (Lang, 2010).
∙ Wie jede Hausfrau weiss, ist das Falten eines
Hemdes nach dem Bügeln nicht ganz einfach.
Abb. 1: TUVWXYZ Stern nach Mukerji (2009) Während viele Vorgänge im Haushalt durch ent-
sprechende Apparaturen (z.B. Waschmaschine,
Eine Google Suche nach „Origami“ lieferte im Au- Staubsauger) vereinfacht worden sind, ist das
gust 2012 mehr als 63 Millionen Einträge. Schränkt automatische Falten von Kleidungsstücken noch
man die Suche auf „Origami math“ ein, bleiben noch immer so komplex, dass es von Hand durchge-
immer mehr als sieben Millionen Einträge. „Origami führt und derzeit wissenschaftlich erforscht wird
Geometrie Unterricht“ schränkt immerhin auf 167’000 (Miller et al., 2011).
Links ein. Auch die Anzahl Bücher zum Thema „Origa-
mi“ ist überwältigend, bei www.amazon.de gibt es zur Das klassische Origami beschränkt sich auf das
Zeit mehr als 800 Bücher dazu, in den Schweizer Bi- Falten von Papier ohne Hilfsmittel wie Massstab, Sche-
bliotheken, die im NEBIS Verbund zusammengefasst re oder Leim. Für den Mathematik-Unterricht eignen
sind, sind es lediglich 67. Der folgende Artikel gibt ei- sich aber auch Faltanwendungen mit weniger restrik-
ne kleine (und unvollständige) Auswahl von Aktivitäten, tiven Bedingungen. Wir beginnen mit einem Überblick
Büchern und Links, die sich im Mathematik-Unterricht über das Papierfalten, bevor wir zum eigentlichen Ori-
auf verschiedenen Schulstufen konkret einsetzen las- gami übergehen.
sen.
Anwendungen
Origami wurde in den letzten zwei Jahrzehnten nicht
nur von Mathematikern entdeckt, sondern auch von
anderen Wissenschaftlern. Man kann mit Origami den
Schülerinnen und Schülern moderne, echte und at-
traktive Beispiele von Anwendungen der Mathematik
zeigen:
∙ Origami-Techniken werden angewandt, um rie-
sige Teleskope, die in den Weltraum geschickt Abb. 3: Fröbelstern
SwissGifted, Vol. 5, Nr. 1, September 2012 11
Papierfalten und besticht auch fast hundert Jahre nach dem ersten
Erscheinen durch die liebevoll präsentierten schwarz-
Falten mit Papierstreifen
weiss Photos von gefalteten Papieren.
Das Papierfalten hat in Kindergärten eine lange Tradi- „In paper-folding several important geo-
tion. Friedrich Fröbel (1782-1852), der Begründer der metric processes can be effected much mo-
Kindergärten, betonte den pädagogischen Wert von re easily than with a pair of compasses
Flecht- und Faltarbeiten mit Papier (vgl. Abb. 3). and ruler, the only instruments the use of
which is sanctioned in Euclidean geometry
Hilton und Pedersen (2010) zeigen in ihrem Buch . . . “ (Sundara Row, 1917)
sehr schön, wie man mit Papierstreifen regelmässige
Vielecke falten kann (vgl. Abb. 4). Verblüffend einfach In der Primarschule kann der Geometrie-Unterricht
ist es, mit einem Papierstreifen ein Fünfeck zu falten, durch Faltaktivitäten ergänzt werden, z.B. kann das
indem man einen Streifen verknotet und den Knoten Zeichnen von Parallelen ergänzt werden durch das
ganz langsam zusammenzieht, bis sich ein Fünfeck Falten von Parallelen. Bei der Einführung der Winkel
gebildet hat. Für die Umsetzung der verblüffenden Falt- kann man mit Falten sehr einfach zeigen, dass die
anleitungen braucht man sehr lange Papierstreifen, es Winkelsumme im Dreieck immer 180◦ beträgt, indem
empfiehlt sich, in einer Papeterie schmale Papierrol- man ein Dreieck ausschneidet und die Ecken auf die
len zu kaufen. Als Alternative lässt sich A3 Papier mit Grundseite faltet (vgl. Abb. 5).
einer Papierschneidemaschine in Streifen schneiden,
die anschliessend zusammengeleimt werden müssen,
was bei den benötigten Längen ziemlich mühsam ist.
Abb. 5: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180◦
In der Sekundarstufe kann man bei der Be-
handlung des Höhenschnittpunkts, des Schnittpunkts
der Mittelsenkrechten und des Schwerpunktes diese
Punkte mit Zirkel und Lineal konstruieren. Als Ergän-
zung dazu lassen sich die Punkte auch einfach falten.
Schneidet man ein genügend grosses Dreieck aus,
kann man die Höhen, Schwerlinien und Mittelsenk-
rechten mit ihren Schnittpunkten falten. Markiert man
Abb. 4: Falten mit Papierstreifen zu regelmässigen die entsprechenden Punkte, so kann man sehen, dass
Vielecken nach einer Anleitung von Hilton und Pedersen sie auf einer Geraden liegen, der Euler’schen Gera-
(2010) den.
Die Vielecke kann man mit Primarschülern falten
und bestaunen. Gymnasiasten können die regelmässi-
gen n-Ecke im Rahmen des Trigonometrie-Unterrichts
untersuchen. Papiermodelle können insbesondere
schwächeren Schülern helfen, geometrische Objek-
te im wahrsten Sinne zu „begreifen“.
Die verschiedenen Faltalgorithmen für n-Ecke, die
bei Hilton und Pedersen (2010) präsentiert werden, Abb. 6: Die Eulergerade
können im Gymnasium im Rahmen des Themas „Fol-
gen und Reihen“ mathematisch untersucht werden. Abwicklungen von Körpern
Man kann z.B. zeigen, dass man bei einem beliebigen
Startwinkel mit wenigen Faltungen eines Papierstrei- Das Buch von Adam und Wyss (1984) ist noch immer
fens zu einer erstaunlich guten Approximation eines eines der schönsten Mathematik-Bücher über plato-
gleichseitigen Dreiecks kommt (Henn (2003) gibt ei- nische und archimedische Körper. Man findet Kopier-
ne kurze deutsche Erklärung für die Faltung von Fünf- vorlagen mit den Netzen der Körper, die von jüngeren
und Siebenecken mit Papierstreifen nach Hilton & Pe- Schülerinnen und Schülern ausgeschnitten und zu-
dersen, 2010). sammengeklebt werden können. Daneben gibt es eine
reiche Fülle von mathematischen Informationen, die in
der Regel mit Kenntnissen des Satzes von Pythago-
Dreiecke falten
ras und Ähnlichkeit verstanden werden können. Mit
Das älteste Buch, das über geometrische Übungen den Abwicklungen lassen sich dreidimensionale Mo-
zum Papierfalten geschrieben wurde, stammt von delle von verschiedenen Körpern zusammenkleben.
Sundara Row (1917). Es ist in pdf-Form frei verfügbar Die Beispiele zur Durchdringung von verschiedenen
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mathematischen Körpern bieten auch Gymnasiasten rühmte Statistiker George Box hat 1992 beschrieben,
eine Herausforderung. wie man mit Hilfe eines sehr einfachen Papierhelikop-
ters Ingenieuren beibringen kann, wie man statistische
Im Schweizer Zahlenbuch 6 (Balmer, 2010) dür- Experimente durchführt.
fen die Kinder als Weihnachtsaktivität eine Sternblu-
me falten und zusammenkleben. Leider wird das Ob-
jekt nach dem Falten mathematisch nicht weiter unter-
sucht.
Kaleidozyklen
Faszinierend sind die geometrischen Objekte, die sich
aus den Faltbögen von Walker und Schattschneider
(2007) zusammenfalten und kleben lassen. Die Kalei-
dozyklen bestehen aus Tetraedern, die zu einer ge-
schlossenen Kette zusammengefügt werden. Die Falt-
bögen haben einen besonderen Reiz, da sie mit farbi- Abb. 8: Papierhelikopter
gen Bildern des Künstlers M.C. Escher illustriert sind.
Die Bögen können bereits in der Primarschule einge- Die Grundidee lässt sich bereits in der Primarschu-
setzt werden. Sobald die Schüler mit Dreieck und Li- le einsetzen. Man konstruiert Helikopter (vgl. Abb. 8
neal umgehen können, können sie auch selbst Faltvor- und 9) aus verschiedenen Papiersorten und variiert die
lagen für Kaleidozyklen nach demselben Prinzip kon- Längen der Propeller und die Länge des unteren Teils.
struieren und anschliessend bemalen. Im Rahmen des Anschliessend lässt man die Helikopter aus der selben
Trigonometrie-Unterrichts auf der Sek-II Stufe können Höhe starten und misst, wie lange sie in der Luft blei-
die zugrundeliegenden Dreiecke und Tetraeder genau- ben. Man kann anhand dieses einfachen Experiments
er untersucht werden. statistische Kennzahlen (z.B. Mittelwert und Median)
einführen, Gymnasiasten können z.B. Flugdauer als
Chemie-Modelle Funktion der Propellerlänge untersuchen.
Im Buch von Hanson (1996) findet man Kopiervorla-
gen für Papiermodelle von chemischen Molekülen. Der
Titel des Buches „Molecular Origami“ ist etwas irre-
führend, es handelt sich nicht um Origami Modelle im
klassischen Sinn, sondern um Abwicklungen, die aus-
geschnitten, gefaltet und zusammengeklebt werden. Abb. 9: Anleitung zum Falten eines Papierhelikopters
Die Modelle sind trotzdem sehr interessant und vor nach Box (1992) und Botermans (1984). Man schneidet ent-
allem viel günstiger als die üblichen Plastik-Bausätze, lang der ausgezogenen Linien und faltet entlang der gestri-
die im Chemie-Unterricht eingesetzt werden. Die Mo- chelten Linien. Die kurzen Streifen ergeben zwei Propeller,
leküle sind im Massstab 1:300’000’000 massstabsge- die langen Streifen faltet man aufeinander und fixiert sie mit
treu gezeichnet, damit wird die geometrische Anord- etwas Klebstoff oder Klebband.
nung der chemischen Elemente und die echte Grösse
der Moleküle begreifbar. Man könnte die Modelle mit Der Papierhelikopter eignet sich besonders gut,
Hilfe der Vektorgeometrie genauer untersuchen, Infor- weil er so einfach zusammengebaut ist und genügend
mationen zu den Längen und Winkel sind in den Falt- Zeit für statistische Auswertungen und mathematische
bögen vorhanden. Überlegungen bleibt. Analoge Aktivitäten lassen sich
auch mit Papierfliegern durchführen, allenfalls in Zu-
sammenarbeit mit einem Physiklehrer, der aerodyna-
mische Aspekte thematisieren könnte. Faltanleitungen
für sehr schöne und weit fliegende Papierflieger findet
man z.B. bei Pavarin und Spaggiari (1996).
Denksportaufgaben
Geretschläger (2010) hat eine Sammlung mathemati-
scher Faltprobleme zusammengestellt, die im Rahmen
Abb. 7: Zusammengesetzte Papiermodelle von Ammonium von verschiedenen mathematischen Wettbewerben
und Methan aus Hanson (1996) (z.B. Känguru Wettberb der Mathematik, Mathematik-
Olympiaden) gestellt worden sind. Die Sammlung ent-
hält Aufgaben, bei denen das geometrische Vorstel-
Flugobjekte
lungsvermögen geprüft wird, Berechnungen z.B. mit
Besonders geeignet für MINT-Aktivitäten sind Papier- dem Satz von Pythagoras oder mit Trigonometrie und
helikopter, die gross und klein faszinieren. Der be- Beweisaufgaben.
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Origami das grösstmögliche gleichseitige Dreieck ist, welches
man in ein Quadrat hineinfalten kann. Für die Beant-
Neben dem traditionellen Falten von Papierobjekten
wortung dieser Frage können die Schülerinnen und
wie z.B. Blumen und Tieren kann man mit Origami
Schüler ihre Kenntnisse der Differentialrechnung an-
auch mathematische Objekte falten. Lucio und Spütz
wenden.
(1998) geben eine gute Einführung in das Falten von
verschiedenen Objekten. Fortgeschrittene finden bei
Lang (2010) Anleitungen für Origami-Meisterwerke,
die z.T. mehr als hundert einzelne Faltschritte benöti-
gen.
Faltaktivitäten findet man vereinzelt in Mathema-
tiklehrmitteln, im Geometriebuch von Treutlein (1911) Abb. 11: Falten eines gleichseitigen Dreiecks
heisst es: „Hier dürfte es sich empfehlen, (zumindest
Bei derartigen Aktivitäten muss die Lehrperson im-
gewandtere Schüler) das Anfertigen eines gleichseiti-
mer wieder abwägen, wo der Schwerpunkt der Lektion
gen Dreiecks ohne Zeichnen, allein durch Papierfalten
liegen soll. Wenn der Schwerpunkt bei der Anwendung
zu lehren . . . und zwar sogar auf zwei verschiedene
der Ableitung liegen soll, dann muss die Lehrperson
Weisen . . . “.
in der ersten Phase des Faltens des Dreiecks die
Schülerinnen und Schüler mit genügend Tipps und
Speziell für den Einsatz im Schulunterricht ist das
Hinweisen auf die Spur bringen, damit nicht die ganze
Buch von Betsy Franco (1999) geeignet. Sie zeigt u.a.,
Lektion mit dem Suchen des Faltprozesses verbraucht
wie man nach einer Idee von Kunihiko Kasahara mit
wird.
vier einfachen Falten aus einem quadratischen Blatt
Papier ein Winkelmessinstrument falten kann. Damit
Man findet in Hull’s Buch Aktivitäten zur Dreiteilung
lassen sich neun verschiedene Winkel messen (15◦ ,
eines Winkels mit Origami, einer Aktion, die mit Zirkel
30◦ , 45◦ , 60◦ , 75◦ , 90◦ , 105◦ , 120◦ und 150◦ ). Für
und Lineal nicht möglich ist. Andere Themen, die be-
die Berechnung der Winkel genügen Kenntnisse des
handelt werden, sind u.a. Haga’s Theorem, Origami
Satzes von Pythagoras. Franco beschreibt jeweils aus-
Buckyballs mit PHiZZ Elementen und das Lösen von
führlich, welche Lernziele mit einer Aktivität erreicht
kubischen Gleichungen mit Origami (vgl. auch Hull,
werden können, welches Material gebraucht wird, wie
2011, 1994). Die mathematischen Gebiete reichen
viel Zeit man für eine Aktivität einplanen muss und
von Geometrie, Differentialrechnung, Zahlentheorie,
welche zusätzlichen Informationen die Lehrpersonen
Kombinatorik, lineare Algebra, Topologie, Beweisfüh-
haben müssen.
rung bis zur mathematischen Modellierung.
In deutscher Sprache gibt es fertige Arbeits- und
Lösungsblätter zum Thema „Papierfalten und Algebra“
von Geretschläger (2009a) für die Sekundarstufe I und
II. Zum Teil wurden sie speziell für den Unterricht für
Hochbegabte geschrieben (Geretschläger, 2009b).
Material
Ausgangspunkt ist in der Regel ein quadratisches Pa-
pier. Für das Nachfalten komplizierter Figuren wie z.B.
aus Lang (2010) ist es von Vorteil, Origami-Papier zu
verwenden, bei dem die Vorder- und Rückseite eine
unterschiedliche Farbe haben. Für einfache Figuren
eignet sich normales Drucker- oder Fotokopierpapier
Abb. 10: Verschiedenen mathematischen Körper gefaltet
(80 g) gut für Origami. Eine Papierschneidemaschine
aus Sonobe-Elementen
erleichtert das Schneiden von Quadraten. Es ist wich-
Empfehlenswert für den Einsatz im Gymnasium tig, dass die Quadrate präzis geschnitten sind, damit
sind die Origami Aktivitäten von Thomas Hull (2006), die Origami-Objekte gut gelingen. Es lohnt sich vor al-
die im Buch „Project Origami“ zusammengefasst sind. lem für Anfänger, quadratisches Papier nicht mühsam
Zu den Aktivitäten gibt es Arbeitsblätter, hinzu kommen selbst zu schneiden, sondern schon zugeschnitten zu
mathematische und didaktische Anmerkungen. Tho- kaufen. Bei Grossverteilern findet man für wenig Geld
mas Hull ermutigt die Leser, die Arbeitsblätter den Be- Zettelboxen mit quadratischem Papier in verschiede-
dürfnissen ihrer Schülerinnen und Schüler anzupas- nen Farben im Format 9x9 cm. Farbige Faltblätter im
sen. In der ersten Aktivität soll aus einem quadrati- Format 15x15 cm, 18x18 cm und 20x20 cm (z.B. von
schen Stück Papier ein gleichseitiges Dreieck gefaltet folia) findet man in guten Papeterien oder in speziali-
werden. Dabei müssen die Schülerinnen und Schüler sierten Spielwarengeschäften wie z.B. Pastorini in Zü-
mathematisch begründen, wieso ihr Dreieck tatsäch- rich. Nützlich sind Büroklammern und Miniaturwäsche-
lich gleichseitig ist. Anschliessend wird gefragt, ob dies klammern für das provisorische Fixieren von Modellen.
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Modulares Origami
. . . modular origami is an inspiring exam-
ple of how mathematics, art, and beauty all co-
me together in a wonderful cross-pollination of
disciplines that all can understand and appre-
ciate without the rigors of a proof. It perfectly
demonstrates the balance and symmetry often
found in mathematics in a hands-on intuitively
Abb. 13: Würfel aus sechs Sonobe-Elementen
gripping way and can be compelling to mathe-
maticians and artists alike“ (Mukerji, 2009).
Man kann sogar einen Buckyball (vgl. Abb. 10 und
14) zusammensetzen, wenn man genügend Geduld
Für den Einsatz im Mathematik-Unterricht ist mo-
und etwa zwei Tage Zeit hat. Dabei bilden jeweils fünf
dulares Origami sehr gut geeignet (Canadas, Molina,
Pyramiden eine Art Fünfeck (weiss in Abb. 14), sechs
Gallardo, Martinez-Santoalalla & Penas, 2010). Dabei
Pyramiden ein Sechseck (farbig in Abb. 14). Man be-
werden mehrere Exemplare des gleichen Moduls ge-
ginnt mit einem Fünfeck und umgibt es mit fünf Sechs-
faltet und anschliessend zusammengesteckt.
ecken. Insgesamt besteht die Figur aus 12 Fünfecken,
die jeweils von Sechsecken umgeben sind (analog wie
Viele Schülerinnen und Schüler haben Mühe bei
bei einem Fussball). Die Stabilität lässt sich verbes-
der Einführung von dreidimensionalen Koordinaten.
sern, wenn man die einzelnen Elemente (nicht ganz
Für das Basteln eines Modells eines dreidimensio-
Origami gemäss) leicht verleimt und den Buckyball mit
nalen Koordinatensystem eignet sich das „Octahedral
Seidenpapier leicht ausstopft.
Cross“ von Tung Ken Lam. Man kann die Koordina-
tenachsen mit einem dicken Filzstift einzeichnen. Fügt
man die Einheiten jeweils von -2 bis 2 hinzu, so lassen
sich die dreidimensionalen Koordinaten von verschie-
denen Punkten visualisieren.
Abb. 12: Visualisierung eines dreidimensionalen
Koordinatensystem (Octahedral Cross nach Tung Ken Lam)
Obwohl im klassischen Origami weder Leim noch
Klebstreifen verwendet werden, kann es nützlich sein, Abb. 14: Buckyball aus Sonobe-Elementen. Die fünfecki-
mathematische Modelle mit wenig Leim leicht zu fixie- gen Teile sind aus weissem, die sechseckigen Teile aus farbi-
ren, damit man sie nicht nur auf dem Pult aufstellen, gem Papier gefaltet. Das Modell ist nicht verleimt, daher hat
sondern auch in die Hand nehmen und damit arbeiten es zum Teil grössere Löcher zwischen den einzelnen Ele-
kann. menten.
Mathematiker finden im Buch von Demaine und
Man kann mit modularem Origami sehr schön pla- O’Rourke (2010) einen Überblick über den aktuellen
tonische Körper bauen. Einfach faltbare Modelle findet Stand der mathematischen Forschung zu Origami. Die
man im Buch von Gurkewitz und Arnstein (2006). entsprechenden Vorlesungen sind im Internet frei zu-
gänglich (erikdemaine.org).
Sonobe-Modelle
Das Grundelement von Misunobu Sonobe (Gurkewitz
Pädagogische Aspekte
& Arnstein, 2006; Franco, 1999; Lucio & Spütz, 1998)
eignet sich sehr gut für den Unterricht. Es ist leicht Lehrpersonen, die Origami-Aktiviäten in ihren
zu falten und kann zu vielen verschiedenen Körpern Mathematik-Unterricht einbauen, müssen Aufwand
zusammengebaut werden. Aus drei Elementen gibt es und Ertrag genau im Auge behalten. Die Faltaktivi-
eine Doppelpyramide, aus sechs Elementen lässt sich täten brauchen eine gute Vorbereitung. Lehrpersonen,
ein Würfel zusammenstecken (vgl. Abb. 14), mit zwölf die keine grosse Übung im Falten haben, können sehr
Elementen gibt es einen Oktaederstern, mit 30 einen viel (manchmal zu viel) Zeit dafür investieren.
Ikosaederstern (vgl. Abb. 10).
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Im Unterricht kann man mit Origami Schülerin- Botermans, J. (1984). Paper flight. Complete, easy-to-follow instruc-
nen und Schüler ansprechen, die vielleicht nicht be- tions for making 48 different models that fly. New York: Hen-
ry Holt and Company.
sonders gut in Mathematik sind, aber sehr gut Fal-
Box, G. E. (1992). Teaching engineers experimental design with a
ten können. Andererseits gibt es immer wieder sehr paper helicopter. Quality Engineering, 4 (3), 453-459.
gute Mathematik-Schülerinnen und -Schüler, die fein- Canadas, M., Molina, M., Gallardo, S., Martinez-Santoalalla & Pen-
motorisch weniger begabt und bei den praktischen as, M. (2010). Let’s teach geometry. Mathematics Teaching
(218), 32-37.
Faltarbeiten eher überfordert sind. Sie lassen sich mit Demaine, E. D. & O’Rourke, J. (2010). Geometric folding algorithms.
theoretischen Aspekten von Origami (Berechnungen Linkages, Origami, polyhedra. Cambridge University Press.
von Längen, Winkeln, etc.) eher ansprechen. Franco, B. (1999). Unfolding mathematics with unit origami. Eme-
ryville: Key Curriculum Press.
Geretschläger, R. (2009a). Arbeitsblätter zum Thema „Falten regel-
Für die Faltarbeit im Unterricht muss genügend mässiger Vielecke“ für den Unterricht ab der Sekundarstufe
Zeit eingeplant werden. Die Lehrperson muss sich I. Graz. (geretschlaeger.brgkepler.at [31.8.12])
genau überlegen, wie sie die Faltanleitungen weiter- Geretschläger, R. (2009b). Arbeitsblätter zum Thema „Papierfal-
ten und Algebra“ für den Unterricht Hochbegabter in der Se-
geben will, nicht alle Schülerinnen und Schüler sind
kundarstufe II. Graz. (geretschlaeger.brgkepler.at
fähig, Origami Diagramme zu lesen. Beim Vorzeigen [31.8.12])
muss die Lehrperson genügend grosse Modelle falten, Geretschläger, R. (2010). Folding questions – A paper about
damit sie auch von den hinteren Plätzen klar sicht- problems about paper. (Presented at WFNMC-6, Riga,
Latvia, July 27, 2010, geretschlaeger.brgkepler.at
bar sind. Hinzu kommt, dass die Anleitungen nicht
[31.8.12])
spiegelverkehrt gezeigt werden sollten. Eine Projek- Gurkewitz, R. & Arnstein, B. (2006). Beginner’s book of modular
tion kann nützlich sein. Als Variante kann eine kleine origami polyhedra. The Platonic solids. Mineola, New York:
Gruppe von Schülerinnen und Schülern am Lehrer- Dover Publications.
Hanson, R. M. (1996). Molecular origami: Precision scale models
pult instruiert werden. Sie können anschliessend als from paper. University Science Books.
Hilfslehrpersonen selber wieder eine Gruppe an einem Henn, H.-W. (2003). Origamics. Papierfalten mit mathema-
Tisch unterrichten. tischem Spürsinn. http://www.mathematik-uni
-dortmund.de/ieem/_personelles/people/henn/
origa_hd.pdf [25.8.2012]. (Erweiterte Version des
Findet Origami im Mathematik-Unterricht statt, gleichnamigen Vortrags vom 3.12.03 an der Pädagogischen
muss darauf geachtet werden, dass die Mathematik Hochschule Weingarten)
nicht zu kurz kommt, allzu leicht lässt sich im Unter- Hilton, P. & Pedersen, J. (2010). A mathematical tapestry. De-
monstrating the beautiful unity of mathematics. Cambridge:
richt zu viel Zeit mit Falten verbringen. Dadurch bleibt
Cambridge University Press.
oft zu wenig Zeit für die mathematische Untersuchung Hull, T. (1994). On the mathematics of flat origamis. Con-
der Objekte. Im Rahmen von Projektwochen ist der gressus Numerantium, 100, 215-224. (http://
Zeitaspekt weniger kritisch. Wenn viel Zeit investiert citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=
10.1.1.28.2679&rep=rep1&type=pdf [27.7.2012])
wird, stellt sich die Frage, wie man die Arbeit mit No-
Hull, T. (2006). Project origami. Activities for exploring mathematics.
ten bewerten kann. Ideen dazu findet man bei Franco Wellesley: A K Peters, Ltd.
(1999), sie schlägt vor, sowohl die gefalteten Model- Hull, T. (2011). Solving cubics with creases: The work of Beloch
le, als auch die theoretischen Überlegungen dazu mit and Lill. American Mathematical Monthly , 118 (4), 307-
315. (http://mars.wne.edu/~thull/papers/amer
einem Raster zu bewerten.
.math.monthly.118.04.307-hull.pdf [27.7.2012])
Hungerbühler, N. (2011). Origami – von der Kunst und
der Wissenschaft des Papierfaltens. (http://
Zusammenfassung www.multimedia.ethz.ch/speakers/lecture/
?doi=10.3930/ETHZ/AV-9847618a-f387-491e
Mit Origami lassen sich sehr spannende mathemati- -b819-c6b2b58b39f3&autostart=false [24.7.2012])
sche Aktivitäten in den Mathematikunterricht einbau- Lang, R. J. (2010). Origami and geometric constructi-
ons. http://www.langorigami.com/science/math/
en. Mathematische Modelle können Geometrie be-
hja/origami_constructions.pdf [23.7.2010].
greifbar machen. Der Faltprozess kann aber auch vom Lucio, R. & Spütz, J. (1998). Das grosse Origamibuch.
mathematischen Denkprozess ablenken, für grosse Christophorus-Verlag.
Objekte müssen viele Elemente nach dem gleichen Miller, S., Berg, J. van den, Fritz, M., Darrell, T., Goldberg, K. & Ab-
beel, P. (2011). A geometric approach to robotic laundry fol-
Schema gefaltet werden. Für die Lehrperson ist es
ding. The International Journal of Robotics Research, 1-19.
wichtig, dass Aufwand und Ertrag für die Vorbereitung, (http://www.cs.berkeley.edu/~pabbeel/papers/
die Faltarbeit und die mathematischen Erkenntnisse MillervandenBergFritzDarrellGoldbergAbbeel
sowohl für sich selbst, als auch für die Schülerinnen _IJRR2011.pdf [27.7.2012])
Mukerji, M. (2009). Ornamental origami. Exploring 3D geometric
und Schüler stimmen. In diesem Fall lohnt sich der designs. Boca Raton: CRC Press.
Einsatz von Origami auf alle Fälle! Pavarin, F. & Spaggiari, L. (1996). Aerei e navi di carta. Milano:
Fabbri Editori.
Sundara Row, T. (1917). Geometric exercises in pa-
per folding. Chicago: The Open Court Publis-
hing Company. (http://ia700201.us.archive
Literatur .org/9/items/tsundararowsgeo00rowrich/
tsundararowsgeo00rowrich.pdf [27.7.2012])
Adam, P. & Wyss, A. (1984). Platonische und archimedische Kör- Treutlein, P. (1911). Der geometrische Anschauungsunterricht als
per, ihre Sternformen und polaren Gebilde. Stuttgart: Haupt Unterstufe eines zweistufigen geometrischen Unterrichtes
Verlag Freies Geistesleben. an unseren höheren Schulen. Leipzig: B. G. Teubner.
Balmer, K. und (Hrsg.). (2010). Schweizer Zahlenbuch 6 (2. Aufl.). Walker, W. & Schattschneider, D. (2007). Escher Kaleidozyklen.
Zug: Klett und Balmer. Taschen Deutschland.
16 SwissGifted, Vol. 5, Nr. 1, September 2012
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