Mathematik - Lessing-Gymnasium Köln Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die Sekundarstufe II des Gymnasiums - Lessing-gymnasium.eu
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Lessing-Gymnasium Köln
Schulinterner Lehrplan
zum Kernlehrplan
für die Sekundarstufe II des Gymnasiums
Mathematik
Stand: 1. Mai 2020Inhaltsverzeichnis
1 Rahmenbedingungen der fachlichen Arbeit................................................................................................ 3
2 Entscheidungen zum Unterricht ................................................................................................................. 5
2.1 Unterrichtsvorhaben ................................................................................................................................. 5
2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben der Einführungsphase .................................................... 7
2.2.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben der Qualifikationsphase, LK und GK ............................. 17
2.2.2 Kompetenzentwicklung in den Unterrichtsvorhaben der Qualifikationsphase ............................ 22
2.3 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit ........................................................ 33
2.4 Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung .................................................. 35
2.4.1 Kompetenzbereiche ................................................................................................................... 35
2.4.2 Klausuren .................................................................................................................................. 35
2.4.3 Sonstige Leistungen/Sonstige Mitarbeit ..................................................................................... 37
2.5 Lehr- und Lernmittel ........................................................................................................................... 41
3 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen ............................................................. 42
4 Qualitätssicherung und Evaluation ........................................................................................................... 43
5 Arbeitsstand.................................................................................................................................................. 44
21 Rahmenbedingungen der fachlichen Arbeit
Das Lessing-Gymnasium in Köln hat inzwischen ein weites Einzugsgebiet, das die Stadtteile
und Gemeinden Zündorf, Eil, Ensen, Finkenberg, Gremberghoven, Grengel, Langel, Libur,
Lind, Niederkassel, Urbach, Porz, Wahn und Westhoven umfasst. Das Lessing-Gymnasium
ist dem Standorttyp 3 zugeordnet. Die Schule wird in der Sekundarstufe I vier- oder
fünfzügig und als Halbtagsgymnasium geführt.
Das Lessing-Gymnasium bietet einen NW-Zweig und einen bilingualen Zweig (Englisch) an.
Es besteht die Möglichkeit, die IB-Prüfung (International Baccalaureate) abzulegen.
Die Fachgruppe Mathematik umfasst derzeit 17 Lehrkräfte. Von den Lehrkräften besitzen
15 die Facultas für die Sekundarstufe I und 14 Lehrkräfte zusätzlich die Facultas für die
Sekundarstufe II. Alle Kolleginnen und Kollegen aus der Sekundarstufe II unterrichten
ebenfalls in der Sekundarstufe I.
In die Einführungsphase der Sekundarstufe II gehen durchschnittlich 115 Schülerinnen
und Schüler (bzw. 130 Schülerinnen und Schüler bei Fünfzügigkeit) über, dazu wurden in
den letzten Jahren regelmäßig 10 bis 20 Schülerinnen und Schüler überwiegend aus drei
benachbarten Realschulen neu aufgenommen.
In der Regel werden in der Einführungsphase fünf bis sechs parallele Grundkurse
eingerichtet, aus denen sich für die Q-Phase zwei oder drei Leistungs- und drei bis vier
Grundkurse entwickeln.
Der Unterricht findet im 45-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht grundsätzlich für
Grundkurse eine, für Leistungskurse zwei Doppelstunden vor.
Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren
Begabungen und Neigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Orientierung
für ihren weiteren Lebensweg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Mathematik in
besonderer Weise verpflichtet:
In Ergänzungsstunden in den Jahrgangsstufen 8 und 9 werden insbesondere auch
Schülerinnen und Schüler mit Lernschwierigkeiten intensiv unterstützt und auf die
Anforderungen des Faches Mathematik in der gymnasialen Oberstufe vorbereitet.
Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass, wo immer möglich,
mathematische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden. Für die
Sekundarstufe I gibt es dazu Projekte mit anderen Fachgruppen, wie z. B. Geografie,
Biologie und Sport. Besonders eng ist die Zusammenarbeit mit der Fachgruppe Physik,
was deshalb leichtfällt, da der Anteil der Mathematiklehrer unter den Physiklehrern hoch
ist.
3In der Sekundarstufe II kann verlässlich darauf aufgebaut werden, dass die Verwendung
von Kontexten im Mathematikunterricht bekannt ist.
In der Sekundarstufe I wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner ab Klasse 7 verwendet.
Im Rahmen des Medienkonzepts der Schule werden dynamische Geometrie-Software
und Tabellenkalkulation an geeigneten Stellen im Unterricht genutzt und der Umgang mit
ihnen eingeübt. Dazu steht in der Schule ein Computerraum zur Verfügung. In der
Sekundarstufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und
Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge vertraut sind.
Der grafikfähige Taschenrechner (aktuelles Modell: „Casio CG-50“) wird zu Beginn der
Einführungsphase eingeführt.
Verantwortliche der Fachschaft
Vorsitzende:
Marcel Eschweiler und Jörg Mäß (Stv.)
Pflege der Lehr- und Lernmaterialien:
Jörg Mäß (GTR und Formelsammlung),
Marcel Eschweiler (digitale Medien)
Gustav Muthmann und Ottavio Saviano (Bücher, zentral)
42 Entscheidungen zum Unterricht
Die nachfolgend dargestellte Umsetzung der verbindlichen Kompetenzerwartungen des
Kernlehrplans findet auf zwei Ebenen statt. Das Übersichtsraster gibt den Lehrkräften
einen raschen Überblick über die laut Fachkonferenz verbindlichen Unterrichtsvorhaben
pro Schuljahr. In dem Raster sind, außer dem Thema des jeweiligen Vorhabens, das
schwerpunktmäßig damit verknüpfte Inhaltsfeld bzw. die Inhaltsfelder, inhaltliche
Schwerpunkte des Vorhabens sowie Schwerpunktkompetenzen ausgewiesen. Die
Konkretisierung von Unterrichtsvorhaben führt weitere Kompetenzerwartungen auf und
verdeutlicht vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen, z. B. zur Festlegung auf
einen Aufgabentyp bei der Lernerfolgsüberprüfung durch eine Klausur.
2.1 Unterrichtsvorhaben
Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan besitzt den Anspruch,
sämtliche im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen abzudecken. Dies entspricht der
Verpflichtung jeder Lehrkraft, Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu
ermöglichen, so dass alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt
werden können.
Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichts- und der
Konkretisierungsebene.
Im „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.1) wird die Verteilung der
Unterrichtsvorhaben dargestellt. Sie ist laut Beschluss der Fachkonferenz verbindlich für
die Unterrichtsvorhaben I, II und III der Einführungsphase und für die Unterrichtsphasen
der Qualifikationsphase. Die zeitliche Abfolge der Unterrichtsvorhaben IV bis VIII der
Einführungsphase ist jeweils auf die Vorgaben zur Zentralen Klausur abzustimmen.
Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen Überblick
über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahrgangsstufen sowie
den im Kernlehrplan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen
Schwerpunkten zu verschaffen. Um Klarheit für die Lehrkräfte herzustellen und die
Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie „Kompetenzen“ an dieser
Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwartungen ausgewiesen, während die
konkretisierten Kompetenzerwartungen erst auf der Ebene konkretisierter
Unterrichtsvorhaben Berücksichtigung finden. Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich
als grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf über- oder unterschritten werden kann.
Um Spielraum für Vertiefungen, individuelle Förderung, besondere Schülerinteressen
oder aktuelle Themen zu erhalten, wurden im Rahmen des schulinternen Lehrplans ca. 75
Prozent der Bruttounterrichtszeit verplant.
5Während der Fachkonferenzbeschluss zum „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ zur
Gewährleistung vergleichbarer Standards sowie zur Absicherung von Kurswechslern und
Lehrkraftwechseln für alle Mitglieder der Fachkonferenz Bindekraft entfalten soll, besitzt
die Ausweisung „konkretisierter Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.2) empfehlenden
Charakter. Referendarinnen und Referendaren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen
dienen diese vor allem zur standardbezogenen Orientierung, aber auch zur
Verdeutlichung von unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen zu
didaktisch-methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Kooperationen, Lernmitteln
und -orten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen. Begründete Abweichungen von
den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten
Unterrichtsvorhaben sind im Rahmen der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit
möglich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen der Umsetzung der
Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen des
Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch entsprechende Kommunikation
innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten.
62.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben der Einführungsphase
Einführungsphase
1) Unterrichtsvorhaben 2) Unterrichtsvorhaben
Thema: Thema:
Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Anknüpfen an Vorwissen aus der SI - Modellierung von mehrstufigen Zufallsexperimenten (E-S1)
Kontext (E-A1)
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen: • Modellieren
• Modellieren • Problemlösen
• Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt: • Mehrstufige Zufallsexperimente
• Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und
Sinusfunktionen
•
Zeitbedarf: 25 Stunden Zeitbedarf: 5 Stunden
3) Unterrichtsvorhaben 4) Unterrichtsvorhaben
Thema: Thema:
Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Grundvorstellungen entwickeln - Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2)
Wahrscheinlichkeiten (E-S2)
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen: • Argumentieren
• Modellieren • Werkzeuge nutzen
• Kommunizieren
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt: • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs
• Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Zeitbedarf: 15 Stunden Zeitbedarf: 15 Stunden5) Unterrichtsvorhaben 6) Unterrichtsvorhaben
Thema: Thema:
Ableitungsfunktionen verstehen und herleiten (E-A3) Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von
Funktionen (E-A4)
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Problemlösen Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Argumentieren • Problemlösen
• Werkzeuge nutzen • Argumentieren
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt:
Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen
Zeitbedarf: 15 Stunden Zeitbedarf: 20 Stunden
7) Unterrichtsvorhaben 8) Unterrichtsvorhaben
Thema: Thema:
Koordinatisierung des Raumes (E-G1) Rechnen mit Vektoren und Nachweis besonderer Eigenschaften (E-G2)
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen: Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Modellieren • Problemlösen
• Kommunizieren
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Algebra (G)
Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt:
• Darstellung von Objekten in dreidimensionalen • Vektoren und Vektoroperationen
Koordinatensystemen
Zeitbedarf: 5 Stunden Zeitbedarf: 10 Stunden
Summe Einführungsphase: 120 Stunden (10 Stunden Reserve Wh. ZKE)
Seite 8 von 442.1.2 Kompetenzentwicklung in den Unterrichtsvorhaben der Einführungsphase
1) Unterrichtsvorhaben: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Modellieren Ganzrationale Funktionen:
• beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen Die Schülerinnen und Schüler Der Funktionsbegriff aus der Mittelstufe soll wiederholt
mit ganzzahligen Exponenten und ganzrationaler • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe werden. Dazu bietet sich etwa der Zusammenhang zwischen
Funktionen sowie quadratischen und kubischen Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Graph und Funktionsgleichung an. (z.B. Lambacher Schweizer,
Wurzelfunktionen Fragestellung (Strukturieren) Erkundung S. 6). Als vertiefende Beispiele können lineare und
quadratische Gleichungen dienen. Ein Bezug auf Sachkontexte
• beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in
sollte fortlaufend gegeben sein, um die Bedeutung von
Funktionen und Exponentialfunktionen mathematische Modelle (Mathematisieren)
Funktionen zu verdeutlichen.
• wenden einfache Transformationen (Streckung, Potenzfunktionen:
Verschiebung, Spiegelung) auf ganzrationale Werkzeuge nutzen
Die Bedeutung des Exponenten einer Potenzfunktion -
Funktionen an und deuten die zugehörigen Parameter Die Schülerinnen und Schüler
insbesondere die Unterscheidungen einerseits zwischen
• nutzen Tabellenkalkulation, Funktionsplotter und geraden und ungeraden, andererseits zwischen positiven und
grafikfähige Taschenrechner negativen Exponenten sowie die unterschiedlichen
• verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Bedeutungen des Faktors - werden grafisch erarbeitet.
…Darstellen von Funktionen grafisch und als (Kapitel I.4)
Wertetabelle Symmetrien:
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Übertragung des Symmetrie-Begriffs aus der Mittelstufe auf
Funktionen Funktionen. Unterscheidung der Funktionen nach „nur
gerade“ und „nur ungerade Exponenten“ (Kapitel I.5)
Nullstellen:
Gängige Lösungsverfahren aus der Mittelstufe für
quadratische Funktionen (z.B. p-q-Formel) werden wiederholt
und durch neue Verfahren (Substitution, Ausklammern) und
der Lösung mit dem GTR ergänzt. (Kapitel I.6)
Wachstum und Zerfall:
Die Potenzgesetze und Exponentialfunktionen aus der
Mittelstufe werden wiederholt. Zur Lösung von
Exponentialgleichungen wird der Logarithmus eingeführt.
Sinnstiftende Anwendungsaufgaben (z.B. die C14 Methode)
begleiten den Unterrichtsverlauf.
Transformationen:
Die Transformationen der Parabel werden verallgemeinert auf
ganzrationale Funktionen höheren Grades übertragen und
durch neue Transformationen (Spiegelung an der y-Achse,
Streckung in x-Richtung) ergänzt und auf die Sinusfunktion
angewendet.
Seite 9 von 442) Unterrichtsvorhaben: Anknüpfen an Vorwissen aus der SI - Modellierung von mehrstufigen Zufallsexperimenten (E-S1)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Die Schülerinnen und Schüler Der Einstieg kann mit „Aller guten Dinge sind vier“
• deuten Alltagssituationen als • erfassen und strukturieren zunehmend
erfolgen, bei dem vierstufige Zufallsexperimente
Zufallsexperimente mit verschiedenen Objekten (z.B. Münzen,
komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine
• simulieren Zufallsexperimente Würfeln, Reißnägeln und dem Zufallsgenerator des
konkrete Fragestellung (Modellieren -
• verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung GTR) durchgeführt und
Strukturieren)
von Zufallsprozessen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufgestellt
• erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse werden.
• stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf
und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des
und führen Erwartungswertbetrachtungen
mathematischen Modells (Modellieren – Dabei werden Fachbegriffe wie Ergebnismenge,
durch Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit,
Mathematisieren)
• beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente mehrstufiges Zufallsexperiment,
und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mithilfe • wählen heuristische Hilfsmittel (z.B. Skizze, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Ereignis und
der Pfadregeln informative Figur, Tabelle, experimentelle Gegenereignis wiederholt.
Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen
(Problemlösen – Erkunden) Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden auch
grafisch dargestellt, die Interpretation als
• erläutern mathematische Begriffe in Glücksspiel führt zum Erwartungswert.
theoretischen und in Sachzusammenhängen
(Kommunizieren, Rezipieren) Beispiele zu weiteren Aufgaben zur
Wahrscheinlichkeitsverteilung und zum
• Verwenden den GTR zum Generieren von
Erwartungswert: das Würfelspiel „2 & 12“; Chuck a
Zufallszahlen (Werkzeuge),
luck; Prämienfestlegung bei Versicherungen.
Zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente zum
Ziehen aus Urnen mit und ohne Zurücklegen
bereiten den Begriff der stochastischen
Unabhängigkeit vor und sind Gegenstand für
Überlegungen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen
und Erwartungswert.
Seite 10 von 443) Unterrichtsvorhaben: Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Modellieren Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen
• modellieren Sachverhalte mithilfe von Die Schülerinnen und Schüler Inhaltes kann ein medizinisches Testverfahren
Baumdiagrammen und Vier-oder • erfassen und strukturieren zunehmend dienen.
Mehrfeldertafeln komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine Um die Übertragbarkeit des Verfahrens zu sichern,
• bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten konkrete Fragestellung (Strukturieren) sollen auch Beispiele aus weiteren Kontexten
• prüfen Teilvorgänge mehrstufiger • erarbeiten mithilfe mathematischer betrachtet werden.
Zufallsexperimente auf stochastische Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung
Unabhängigkeit innerhalb des mathematischen Modells Zur Förderung des Verständnisses der
• bearbeiten Problemstellungen im Kontext (Mathematisieren) Wahrscheinlichkeitsaussagen werden parallel
bedingter Wahrscheinlichkeiten. • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten
die Sachsituation (Validieren) verwendet.
Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen
Die Schülerinnen und Schüler verschiedenen Darstellungsformen
• erfassen, strukturieren und formalisieren (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln und
Informationen aus zunehmend komplexen diese zur Berechnung bedingter
mathematikhaltigen Texten […] (Rezipieren) Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von
• wechseln flexibel zwischen mathematischen Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf
Darstellungsformen (Produzieren) unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen
können.
Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge
ist die Unterscheidung von Wahrscheinlichkeiten
des Typs P(A∩B) von bedingten
Wahrscheinlichkeiten – auch sprachlich – von
besonderer Bedeutung.
Seite 11 von 444) Unterrichtsvorhaben: Grundvorstellungen entwickeln - Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Argumentieren (Vermuten) Für den Einstieg in die Thematik wird die Ermittlung
durchschnittlicher Änderungsraten in unterschiedlichen
• berechnen durchschnittliche Änderungsraten Die Schülerinnen und Schüler
Kontexten empfohlen, wobei insbesondere auf die Angabe der
und interpretieren sie im Kontext • stellen Vermutungen auf Einheiten geachtet werden soll. Die Sachkontexte sollten
• berechnen lokale Änderungsraten und • unterstützen Vermutungen beispielgebunden kontinuierlich Beachtung finden. Es bieten sich u.a. an:
interpretieren sie im Kontext • präzisieren Vermutungen mithilfe von Bewegungsabläufe (Weg-Zeit-Funktion), Wachstumsvorgänge
(bspw. Lambacher Schweizer S. 51, Nr. 2), Höhenprofile,
• erläutern qualitativ auf der Grundlage eines Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der
Kosten- und Ertragsentwicklung. Auf dieser Basis kann der
anschaulichen Grenzwertbegriffs an Beispielen logischen Struktur Schritt zur momentanen Änderungsrate vollzogen werden.
den Übergang von der durchschnittlichen zur
lokalen Änderungsrate Werkzeuge nutzen Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur
lokalen Änderungsrate bietet sich z.B. die Fahrt eines Autos
• deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge Die Schülerinnen und Schüler
durch Zündorf an, bei der die Durchschnittsgeschwindigkeit 50
von Sekanten • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge km/h beträgt, die Schüler jedoch am Graphen erkennen
• deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale zum können, dass der Fahrer nicht durchgängig vorschriftsgemäß
Änderungsrate/ Tangentensteigung … Darstellen von Funktionen grafisch und als gefahren ist.
Wertetabelle Neben zeitabhängigen Vorgängen soll also auch ein
geometrischer Kontext betrachtet werden.
… grafischen Messen von Steigungen
• nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Tabellenkalkulation und Dynamische-Geometrie-Software
Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, werden zur numerischen und geometrischen Darstellung des
Berechnen und Darstellen Grenzprozesses beim Übergang von der durchschnittlichen zur
lokalen Änderungsrate bzw. der Sekanten zur Tangenten
(Zoomen) eingesetzt.
Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem
Begründen der Eigenschaften eines Funktionsgraphen sollen
die Schülerinnen und Schüler in besonderer Weise zum
Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer Aussagen
angehalten werden.
Die Inhalte finden sich u.a. im Schulbuch Lambacher Schweizer
in Kapitel II, 1-2.
Seite 12 von 445) Unterrichtsvorhaben: Ableitungsfunktionen verstehen und herleiten (E-A3)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Problemlösen Im Anschluss an Unterrichtsvorhaben II (Thema E-A2)
• erläutern rechnerisch auf der Grundlage des Die Schülerinnen und Schüler wird die Frage aufgeworfen, ob sich die lokale
• analysieren und strukturieren die Änderungsrate auch exakt berechnen lässt. Der „h-
Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang
Methode“ wird dazu exemplarisch durchgeführt und
von der durchschnittlichen zur lokalen Problemsituation (Erkunden)
auch zur Festigung algebraischer Fertigkeiten eingeübt.
Änderungsrate • erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden)
• beschreiben und interpretieren • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge Kontexte spielen in diesem Unterrichtsvorhaben eine
Änderungsraten funktional und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) untergeordnete Rolle. Quadratische Funktionen können
(Ableitungsfunktion) aber stets als Weg-Zeit-Funktion bei Fall- und Wurf- und
• leiten Funktionen graphisch ab Argumentieren anderen gleichförmig beschleunigten Bewegungen
• begründen Eigenschaften von Die Schülerinnen und Schüler gedeutet werden.
Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) • präzisieren Vermutungen mithilfe von
Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der Durch gleichzeitiges Visualisieren der
mithilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen
Ableitungsfunktion erklären Lernende die Eigenschaften
• nutzen die Ableitungsregel für logischen Struktur (Vermuten)
von ganzrationalen Funktionen 3. Grades durch die
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und Eigenschaften der ihnen vertrauten quadratischen
• wenden die Summen-, Potenz- und Faktorregel sachlogische Argumente für Begründungen Funktionen. Zur Einübung der Zusammenhänge von
auf ganzrationale Funktionen an (Begründen) Graphen der Funktion und der Ableitungsfunktion bietet
• stellen mithilfe der Ableitungsfunktion • überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und sich ein Funktionendomino an.
Tangentengleichungen auf Regeln verallgemeinert werden können Zugleich entdecken sie die Zusammenhänge zwischen
(Beurteilen) charakteristischen Punkten, woran in
• nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der
Unterrichtsvorhaben VI (Thema E-A4) angeknüpft wird.
Sinusfunktion Durch graphisches Ableiten der Sinusfunktion kann die
Werkzeuge nutzen
Kosinusfunktion als deren Ableitungsfunktion erkannt
Die Schülerinnen und Schüler
werden.
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Lösen von Gleichungen Die Inhalte finden sich u.a. im Schulbuch Lambacher
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Schweizer in Kapitel II, 3-7.
Funktionen
Seite 13 von 446) Unterrichtsvorhaben: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Problemlösen Für ganzrationale Funktionen werden die
Die Schülerinnen und Schüler Zusammenhänge zwischen den Extrempunkten der
• begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen • erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die
(Monotonie, Extrempunkte) mithilfe der Graphen • nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Betrachtung von Monotonieintervallen und des
der Ableitungsfunktionen Zurückführen auf Bekanntes) (Lösen) Vorzeichenverhaltens von f‘ untersucht. Die
• nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Schülerinnen und Schüler üben damit,
mit natürlichem Exponenten Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) vorstellungsbezogen zu argumentieren. (Als Beispiel
bietet der Lambacher Schweizer S. 82, E 2 eine schöne
• wenden die Summen- und Faktorregel auf
Möglichkeit.) Die Untersuchungen auf Symmetrien und
ganzrationale Funktionen an
Globalverhalten werden fortgesetzt.
• lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Argumentieren
Ausklammern oder Substituieren auf lineare und Die Schülerinnen und Schüler
Bezüglich der Lösung von Gleichungen im
quadratische Gleichungen zurückführen lassen, • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen
Zusammenhang mit der Nullstellenbestimmung wird
ohne digitale Hilfsmittel und unter Berücksichtigung der logischen Struktur
durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben von
• verwenden das notwendige Kriterium und das (Vermuten)
Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben.
Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und
Extrempunkten. (Das Kriterium mithilfe der 2. sachlogische Argumente für Begründungen Neben den Fällen, in denen das
Ableitung ist Inhalt der Q1.) (Begründen) Vorzeichenwechselkriterium angewendet wird, werden
• unterscheiden lokale und globale Extrema im • berücksichtigen vermehrt logische Strukturen die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in
Definitionsbereich (notwendige / hinreichende Bedingung, denen sie mit den Eigenschaften des Graphen oder
• verwenden am Graphen oder Term einer Funktion Folgerungen […]) (Begründen) Terms argumentieren. So erzwingt z. B.
ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen • erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und Achsensymmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf
von inner- und außermathematischen Problemen korrigieren sie (Beurteilen) der Symmetrieachse.
Ein Schwerpunkt sollte auf anwendungsbezogenen
Problemstellungen liegen.
Beim Lösen von inner- und außermathematischen
Problemen können auch Tangentengleichungen
bestimmt werden.
Die Inhalte finden sich u.a. im Schulbuch Lambacher
Schweizer in Kapitel III.
Seite 14 von 447) Unterrichtsvorhaben: Koordinatisierung des Raumes (E-G1)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Modellieren Zum Einstieg kann „ich sehe was, was, was Du nicht
• wählen geeignete kartesische Die Schülerinnen und Schüler siehst...“ (Darstellung von Punkten im Raum)
Koordinatisierungen für die Bearbeitung • erfassen und strukturieren zunehmend gespielt werden.
eines geometrischen Sachverhalts in der komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine Eine schöne Aufgabe ist in dem Lambacher-
Ebene und im Raum konkrete Fragestellung (Strukturieren) Schweizer dargestellt, bei der ein Raum gezeichnet
• stellen geometrische Objekte in einem • erarbeiten mithilfe mathematischer wurde und man verschiedene Gegenstände mit
räumlichen kartesischen Koordinatensystem Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung dreidimensionalen Koordinaten versieht.
dar innerhalb des mathematischen Modells Elektronisch findet man die Aufgabe unter:
(Mathematisieren) http://ne.lo-
net2.de/selbstlernmaterial/m/ag/pk3/pk3_ab2.pdf
Kommunizieren (Produzieren)
Die Schülerinnen und Schüler In dem Unterrichtsvorhaben wird der Begriff der
• wählen begründet eine geeignete Koordinatenebene eingeführt.
Darstellungsform aus
wechseln flexibel zwischen mathematischen Damit Schülerinnen und Schüler zu geeigneten
Darstellungsformen Koordinatisierungen aufgefordert werden, werden
Körper präsentiert, die in ein dreidimensionales
Koordinatensystem eingefügt werden müssen.
Siehe beispielsweise LS für die Eph., 2014, S. 119
oder S. 131, Nr. 10 und 11 (diese beiden Aufgaben
können im nachfolgenden Unterrichtsvorhaben
aufgegriffen werden).
Seite 15 von 448) Unterrichtsvorhaben: Rechnen mit Vektoren und Nachweis besonderer Eigenschaften (E-G2)
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Schülerinnen und Schüler Problemlösen Ein schöner Einstieg kann im Kontext einer
• deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) Die Schülerinnen und Schüler Heißluftballonaufgabe (LS 2014, S. 119, Nr. 10)
als Verschiebungen und kennzeichnen • entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege erfolgen.
Punkte im Raum durch Ortsvektoren (Lösen) Dieses Beispiel kann aufgegriffen werden zur
• stellen gerichtete Größen (z. B. • setzen ausgewählte Routineverfahren auch Erarbeitung der Addition/Subtraktion von
Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) Vektoren sowie der S-Multiplikation (zeichnerisch
• berechnen Längen von Vektoren und wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und und rechnerisch).
Abstände zwischen Punkten mithilfe des Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Als Deutung von Vektoren zur Darstellung von
Satzes von Pythagoras Kräften und Geschwindigkeiten bieten sich die
• addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren Aufgaben 21 und 22 auf S. 134 (LS 2014), S. 126,
mit einem Skalar und untersuchen Vektoren Nr. 5, S. 127, Nr. 9 und 11 sowie die
auf Kollinearität Tauziehaufgabe auf S. 127, Nr. 12 an.
• weisen Eigenschaften von besonderen
Dreiecken und Vierecken mithilfe von Mit dem Satz des Pythagoras berechnen
Vektoren nach Schülerinnen und Schüler den Betrag eines
Vektors. Die Umkehrung des Satzes wird zum
Nachweis rechtwinkliger Dreiecke verwendet.
Mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus,
Kosinus und Tangens berechnen Schülerinnen und
Schüler Winkel in rechtwinkligen Dreiecken.
Folgende besondere Dreiecke / Vierecke werden
untersucht: Rechtwinkliges, gleichseitiges und
gleichschenkliges Dreieck; Trapez (Kollinearität von
Vektoren), Parallelogramm, Raute, Rechteck und
Quadrat.
Seite 16 von 442.2.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben der Qualifikationsphase, LK und GK
Qualifikationsphase (Grund und Leistungskurse werden gemeinsam dargestellt, zusätzliche Vorhaben des LK werden besonders ausgewiesen. Die Reihenfolge
des GK unterscheidet sich von der im LK und ist am Ende dieses Abschnitts dargestellt.
1) Unterrichtsvorhaben 2) Unterrichtsvorhaben 3) Unterrichtsvorhaben
Thema: Thema: Thema:
Vertiefungen zu ganzrationalen Funktionen: Zweite und dritte Exponentialfunktion (natürlicher Logarithmus, Ableitungen) Untersuchung zusammengesetzter Funktionen, höhere
Ableitung, Steckbriefaufgaben, Parameter) Ableitungsregeln
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen: Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Modellieren
•
• Modellieren, Problemlösen
Argumentieren
• Problemlösen • Modellieren, Problemlösen
• Werkzeuge nutzen
•
• Werkzeuge nutzen
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)
Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltliche Schwerpunkte:
Inhaltlicher Schwerpunkt:
• Fortführung der Differentialrechnung • Funktionen als mathematische Modelle
• Funktionen als mathematische Modelle • Fortführung der Differentialrechnung • Fortführung der Differentialrechnung
• Integralrechnung
Zeitbedarf: GK: 15 Std. – LK: 26 Std. Zeitbedarf: GK: 16 Std. – LK: 33 Std.
Zeitbedarf: GK 29 Std. – LK: 30 Std.
Seite 17 von 444) Unterrichtsvorhaben 5) Unterrichtsvorhaben 6) Unterrichtsvorhaben
Thema: Thema: Thema:
Mit Integralen Flächen und (LK: ) Volumina berechnen und Vektoren, Geraden und Strecken im Raum, Skalarprodukt, Ebenen (Untersuchung geometrischer Objekte)
Bestände rekonstruieren Bewegungsaufgaben
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen: Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Argumentieren
• Modellieren
• Kommunizieren, Argumentieren • Kommunizieren
• Problemlösen
•
• Werkzeuge nutzen
Werkzeuge nutzen
Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltliche Schwerpunkte: Inhaltlicher Schwerpunkt:
• Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte
• Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte
• Grundverständnis des Integralbegriffs (Geraden) • Lineare Gleichungssysteme
• Integralrechnung • Skalarprodukt
Zeitbedarf: GK: 21 Std. – LK: 31 Std. Zeitbedarf: GK: 18 Std. – LK: 19 Std.
Zeitbedarf: GK = LK: 20 Std.
Seite 18 von 447) Unterrichtsvorhaben (nur LK) 8) Unterrichtsvorhaben 9) Unterrichtsvorhaben
Thema: Thema: Thema:
Ebenen in Koordinaten- und Normalenform; Abstands- und Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Stochastische Prozesse mit Matrizen beschreiben und
Winkelprobleme (nur LK) Binomialverteilung, Sigmaregeln voraussagen
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen: Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Problemlösen • Modellieren
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Modellieren
• Werkzeuge nutzen • Werkzeuge nutzen
• Argumentieren
• Problemlösen
Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltsfeld Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltsfeld: Stochastik (S)
Inhaltlicher Schwerpunkt:
Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt:
• Stochastische Prozesse
• Lagebeziehungen und Abstände • Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Lineare Gleichungssysteme • Binomialverteilung
Zeitbedarf: LK: 25 Std. Zeitbedarf: GK: 22 Std. – LK: 24 Std.
Zeitbedarf: GK: 12 Std. – LK: 14 Std.
Seite 19 von 4410) Unterrichtsvorhaben (nur LK) 11) Unterrichtsvorhaben (nur LK)
Im Grundkurs ist die Reihenfolge der Unterrichtsvorhaben:
1) Vertiefungen zu ganzrationalen Funktionen
Thema: Thema:
Testen von Hypothesen (nur LK) Die Normalverteilung: Verknüpfung von Analysis mit der 2) Mit Integralen Flächen berechnen und Bestände
Wahrscheinlichkeitsrechnung (nur LK) rekonstruieren
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen: 3) Vektoren, Geraden und Strecken im Raum
Zentrale prozessbezogene Kompetenzen:
• Modellieren
• Modellieren 4) Ebenen
• Kommunizieren • Problemlösen 5) Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
Binomialverteilung, Sigmaregeln
• Werkzeuge nutzen
6) Stochastische Prozesse
Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltsfeld: Stochastik (S)
7) Exponentialfunktionen
Inhaltlicher Schwerpunkt: Inhaltlicher Schwerpunkt: 8) Zusammengesetzte Funktionen, höhere Ableitungsregeln
• Testen von Hypothesen • Normalverteilung Die drei nicht genannten Themen entfallen im GK.
Zeitbedarf: LK: 16 Std. Zeitbedarf: LK: 15 Std.
Seite 20 von 44Zeitbedarf
LK GK
Q1 40 Wochen mal 5 Stunden pro Woche = 200 Stunden 40 Wochen mal 3 Stunden pro Wochen = 120 Stunden
Q2 ca. 26 Wochen also 130 Stunden ca. 26 Wochen, also 78 Stunden
330 198
Dauer Unterrichtsvorhaben
LK GK
Name, abgekürzt Dauer Name, abgekürzt Dauer
Vertiefung ganzrationale Funktionen 30 Vertiefung ganzrationale Funktionen 30
Exponentialfunktionen 26 Integralrechnung 25
Q1
Höhere Ableitungsregeln 35 Vektoren und Geraden 20
Integralrechnung 35 Q1 Ebenen 20
Vektoren und Geraden 20 Binomialverteilung 25
Ebenen 20 Prozesse 15
Q2
Koordinatenform und Normalenform 25 Exponentialfunktionen 15
Binomialverteilung 30 Höhere Ableitungsregeln 20
Prozesse 15
Q2
Testen von Hypothesen 20 Summe 170
Normalverteilung 20
Summe 276
Gesamt: GK: 170 von 198 Stunden verplant, 86 %. LK: 276 von 330 Stunden verplant, 83 %.
Seite 21 von 442.2.2 Kompetenzentwicklung in den Unterrichtsvorhaben der Qualifikationsphase
1) Unterrichtsvorhaben: Vertiefungen zu ganzrationalen Funktionen: Zweite und dritte Ableitung, Steckbriefaufgaben, Parameter
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Die Bedeutung der zweiten Ableitung Modellieren Dieses Unterrichtsvorhaben ist das erste in einem neu
das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Strukturieren Annahmen treffen und begründet zusammengesetzten Kurs. Es bietet sich die Wiederholung der ersten
Ableitung beschreiben Vereinfachungen einer realen Situation Ableitung zur Ermittlung von Hoch- und Tiefpunkten an, auch durch
vornehmen, eine Gegenüberstellung des „Originalgraphen“ und der Graphen der
Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in ersten und zweiten Ableitung. Zu Beginn: Kurze Wiederholung erste
mathematische Modelle übersetzen, Ableitung wird die neue hinreichende Bedingung erarbeitet. Hier
Neue hinreichende Kriterien mithilfe mathematischer Kenntnisse und sind zahlreiche Argumentationsanlässe gegeben, insbesondere,
notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des warum f‘(x) = 0 nicht ausreicht, warum aus f‘‘(x) > 0 kein Tiefpunkt
hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und mathematischen Modells erarbeiten, folgt, was aus f‘‘(x) > 0 folgt oder wie man Wendepunkte ermittelt.
Wendepunkten verwenden Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die
Um die Bedeutung der zweiten Ableitung zu verdeutlichen, bieten
Sachsituation beziehen,
die Angemessenheit aufgestellter (ggf.
sich Weg-Zeit-Funktionen an.
konkurrierender) Modelle für die Fragestellung Eine Extremwertaufgabe sollte aus einem geometrischen Kontext
Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Extremalprobleme
beurteilen. entnommen werden, etwa die Volumenmaximierung einer Schachtel
durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer
Variablen zurückführen und diese lösen Problemlösen mit gegebener Ausgangsfläche.
Erkunden Fragen zu einer gegebenen Problemsituation Die Maximierung des Flächeninhalts eines Rechtecks unter einer
finden und stellen, nach unten geöffneten Parabel ist ebenfalls eine typische
Ganzrationale Funktionen bestimmen einfache und komplexe mathematische Probleme Extremwertaufgabe, die insbesondere im LK bei den
analysieren und strukturieren, zusammengesetzten Funktionen aufgegriffen werden kann.
Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus
die Problemsituation erkennen und formulieren,
dem Kontext ergeben, bestimmen („Steckbriefaufgaben“) Anknüpfungspunkte von Funktionenscharen sind die
Lösen Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln,
ausgewählte Routineverfahren auch Transformationen. Hier arbeiten Schülerinnen und Schüler mit den
hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Auswirkungen von Parametervariationen auf die Gestalt von
Funktionenscharen einschränkende Bedingungen berücksichtigen, Funktionsgraphen.
- Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen Um Parameter bei Steckbriefaufgaben zu bestimmen, werden
interpretieren, Argumentieren Gleichungssysteme gelöst. Dies erfolgt in diesem
Begründen mathematische Regeln bzw. Sätze und Unterrichtsvorhaben mit dem Grafikrechner.
- Einfluss von Parametern auf Funktionenscharen untersuchen (LK)
sachlogische Argumente für Begründungen Beispielaufgabenstellung für den GK:
nutzen,
Bestimmen Sie den Parameter a, sodass....
vermehrt logische Strukturen berücksichtigen
(notwendige / hinreichende Bedingung, - der Graph der Funktionenschar durch den Punkt P(x|y) geht
Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder- - die Funktion an der Stelle x den Wert y annimmt.
Verknüpfungen, Negation, All- und
Existenzaussagen), Im LK werden Ortskurven ausgezeichneter Punkte behandelt.
Werkzeuge nutzen
Digitale Werkzeuge nutzen zum
- Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen,
- Darstellen von Funktionen (grafisch und als Wertetabelle),
- zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen,
- grafischen Messen von Steigungen,
- Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Seite 22 von 442) Unterrichtsvorhaben: Exponentialfunktion, natürlicher Logarithmus, Ableitungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Wiederholung aus der Eph. Modellieren
Eigenschaften von Exponentialfunktionen beschreiben Strukturieren Annahmen treffen und begründet Zu Beginn des Unterrichtvorhabens sollte eine Auffrischung der bereits
Vereinfachungen einer realen Situation in der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen stehen
Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung vornehmen (Wachstum und Zerfall).
- die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bilden, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen
- die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion Sachsituation beziehen,
Exponentialfunktion zusammengestellt. Die Klärung der Bedeutung
beschreiben und begründen (begründen: LK), die Angemessenheit aufgestellter (ggf.
konkurrierender) Modelle für die Fragestellung
der verschiedenen Parameter und die Veränderungen durch
- die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare
beurteilen, Transformationen werden durch den GTR unterstützt.
Funktionen deuten (LK)
aufgestellte Modelle mit Blick auf die Die Frage nach der Ableitung an einer Stelle führt zu einer
Natürlicher Logarithmus – Ableitung von Exponentialfunktionen Fragestellung verbessern,
vertiefenden Betrachtung des Übergangs von der durchschnittlichen
- die Ableitung von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis die Abhängigkeit einer Lösung von den
getroffenen An-nahmen reflektieren zur momentanen Änderungsrate. (GTR: bspw. Tabellenkalkulation)
bilden,
- in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen und deren Abschließend wird noch die Basis variiert. Dabei ergibt sich quasi
Ableitung bilden automatisch die Frage, für welche Basis Funktion und
Problemlösen
Ableitungsfunktion übereinstimmen.
Exponentielles Wachstum Erkunden Muster und Beziehungen erkennen,
Wachstums- und Zerfallsvorgänge mithilfe funktionaler Ansätze Informationen recherchieren Umkehrprobleme im Zusammenhang mit der natürlichen
untersuchen Lösen ausgewählte Routineverfahren auch Exponentialfunktion werden genutzt, um den natürlichen Logarithmus
hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, zu definieren und damit auch alle Exponentialfunktionen auf die Basis
Beschränktes Wachstum (LK) Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg e zurückzuführen. Mithilfe der Kettenregel im nachfolgenden
Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und unterstützen, geeignete Begriffe,
Unterrichtsvorhaben können dann auch allgemeine
Zerfallsvorgängen verwenden und die Qualität der Modellierung Zusammenhänge und Verfahren zur
Problemlösung auswählen
Exponentialfunktionen sowie die ln-Funktion abgeleitet werden.
exemplarisch mit begrenztem Wachstum vergleichen
einschränkende Bedingungen berücksichtigen
Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion (LK)
Argumentieren
die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der
natürlichen Exponentialfunktion nutzen Vermuten Vermutungen aufstellen und mithilfe von
Fachbegriffen präzisieren
Begründen math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen
Beurteilen überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und
Regeln verallgemeinert werden können,
Argumentationsketten hinsichtlich ihrer
Reichweite und Übertragbarkeit beurteilen
Werkzeuge nutzen
Digitale Werkzeuge nutzen zum
- Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle),
grafischen Messen von Steigungen,
- berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler
Werkzeuge reflektieren und begründen
Seite 23 von 443) Unterrichtsvorhaben: Untersuchung zusammengesetzter Funktionen, höhere Ableitungsregeln
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
An Beispielen von Prozessen, bei denen das Wachstum erst zu- und
Zusammengesetzte Funktionen Problemlösen dann wieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflanzen), wird eine
- in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen bilden
Lösen heuristische Strategien und Prinzipien nutzen, Modellierung durch Produkte von ganzrationalen Funktionen und
(Summe, Produkt, Verkettung), Exponentialfunktionen einschließlich deren Verhalten für
Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg
- Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe, betragsgroße Argumente erarbeitet.
unterstützen,
Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile
geeignete Begriffe, Zusammenhänge und
zurückführen Weitere Kontexte bieten Anlass zu komplexen Modellierungen mit
Verfahren zur Problemlösung auswählen
Ableitungsregeln, insbesondere bei zusammengesetzten Funktionen anderer Funktionenklassen, insbesondere unter
Argumentieren Berücksichtigung von Parametern, für die Einschränkungen des
Funktionen
- die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Vermuten Vermutungen aufstellen, beispielgebunden Definitionsbereichs oder Fallunterscheidungen vorgenommen werden
Funktionen und Exponentialfunktionen anwenden, unterstützen und mithilfe von Fachbegriffen müssen.
- die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen präzisieren,
Exponentialfunktion mit linearen Funktionen anwenden, Im LK werden in diesem Unterrichtsvorhaben Funktionenscharen
Begründen math. Regeln und Sätze für Begründungen aufgegriffen, wiederholt und durch Berücksichtigung einer
- die Ableitungen von Potenzfunktionen mit ganzzahligen
nutzen sowie Argumente zu komplexeren Funktionenklasse vertieft. Dabei lernen Schülerinnen
Exponenten bilden,
Argumentationsketten verknüpfen, und Schüler Parameter insbesondere so zu wählen, dass die
- die Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
verschiedene Argumentationsstrategien entsprechende Funktion über bestimmte, z.B. in einem Text, in
bilden (LK),
nutzen Formeln oder einer Grafik festgelegten, Eigenschaften verfügt. Ein
- die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen
anwenden (LK), Beurteilen lückenhafte Argumentationsketten erkennen schönes Beispiel dafür bietet die Sauerstoffproduktion einer Buche,
- mithilfe der Kettenregel die Ableitungsfunktion allgemeiner und vervollständigen, eine Aufgabe aus dem Haupttermin aus dem Jahr 2007.
Exponentialfunktionen ermitteln (LK), fehlerhafte Argumentationsketten erkennen
- Wh.: notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie und korrigieren
weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und
Wendepunkten verwenden Kommunizieren
Produzieren eigene Überlegungen formulieren und eigene
Parameter
- den Einfluss von Parametern auf Eigenschaften von Lösungswege beschreiben,
Funktionenscharen untersuchen (LK), Fachsprache und fachspezifische Notation
verwenden
- Parameter von Funktionen im Kontext interpretieren
ln-Funktion Werkzeuge nutzen
- mithilfe der Kettenregel die Ableitungsfunktion der ln-Funktion Digitale Werkzeuge nutzen zum
ermitteln (LK), - zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen,
- die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion - grafischen Messen von Steigungen,
der Funktion f(x) = 1/x nutzen (LK) - Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle
Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler
Werkzeuge reflektieren und begründen.
Seite 24 von 444) Unterrichtsvorhaben: Mit Integralen Flächen und Volumina (LK) berechnen und Bestände aus Änderungsraten rekonstruieren
Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
Rekonstruieren einer Größe („Wirkung“) Argumentieren Integrale werden in zwei Zielrichtungen eingesetzt: Zu einer
- Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Vermuten Vermutungen aufstellen, beispielgebunden Rekonstruktion des Gesamtbestandes, wenn eine Änderungsrate
Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe interpretieren, unterstützen und mithilfe von Fachbegriffen vorgegeben ist und zu einer Flächenberechnung.
- die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext deuten, und unter Berücksichtigung der logischen Wenn man von einer Zeit – Geschwindigkeitsfunktion ausgeht, so
- zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Struktur präzisieren, liegt es für Schülerinnen und Schüler nahe, dass man den Weg durch
Flächeninhaltsfunktion skizzieren Begründen Zusammenhänge zwischen Begriffen die Umkehrung der Ableitung, also durch Integrieren, ermitteln
herstellen (Ober-/Unterbegriff) kann. Wenn man den Weg durch Durchschnittsgeschwindigkeiten
Das Integral vorgegebene Argumentationen und verschiedener Intervalle abschätzt, ist der Bezug zur
an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum mathematische Beweise erklären Flächenberechnung gegeben, denn das Produkt aus
Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs
Durchschnittsgeschwindigkeit und vergangener Zeit kann als ein
erläutern und vollziehen Rechteck gedeutet werden. Von dieser Basis aus kann der Hauptsatz
Kommunizieren
Hauptsatz anschaulich begründet werden.
Rezipieren Informationen aus zunehmend komplexen
- geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den
mathematikhaltigen Texten und
Änderungsrate und Integralfunktion erläutern (LK), Schülerinnen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten
Darstellungen, aus authentischen Texten,
- den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter mathematischen Fachtexten sowie aus Ableitungsregeln selbstständig erarbeitet. (z. B. durch ein sog.
Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren Funktionendomino)
begründen (LK) und formalisieren, Die Erläuterungen der Zusammenhänge zwischen Integralfunktion
Beobachtungen, bekannte Lösungswege und und Integrandfunktion bietet schöne Gelegenheiten zur
Stammfunktionen bestimmen
Verfahren beschreiben, Argumentation. Dabei werden Schülerinnen und Schüler für den
- Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen,
mathematische Begriffe in theoretischen und Begriff der Flächenbilanz sensibilisiert.
- die Intervalladditivität und Linearität von Integralen nutzen
in Sachzusammenhängen erläutern.
Integral und Flächeninhalt Produzieren eigene Überlegungen formulieren und eigene
- den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Lösungswege beschreiben, Ein besonderes Augenmerk ist auf die Differenzfunktion zu legen. Sie
Änderungsrate (LK oder der Randfunktion) ermitteln, begründet eine geeignete Darstellungsform spielt bei der Berechnung der Fläche eine Rolle, die von zwei
- Flächeninhalte mithilfe von bestimmten (LK: und uneigentlichen) auswählen, Funktionsgraphen eingeschlossen wird. Sie ist aber auch
Integralen ermitteln, flexibel zwischen mathematischen Ausgangspunkt für ein Extremwertproblem und bietet Gelegenheit
- Integrale mithilfe von gegebenen (LK: oder Nachschlagewerken Darstellungsformen wechseln, zum Begründen.
entnommenen) Stammfunktionen und numerisch bestimmen. Arbeitsschritte nachvollziehbar
dokumentieren, Im LK entdecken Schülerinnen und Schüler die interessante Tatsache,
Integralfunktion Ausarbeitungen erstellen und präsentieren dass eine in Richtung der x- oder in Richtung der y-Achse
den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion unbeschränkte Fläche bezüglich ihres Flächeninhalts beschränkt sein
erläutern kann.
Werkzeuge nutzen
Unbegrenzte Flächen - Uneigentliche Integrale Bei der Berechnung von Rotationskörpern im LK ist eine gute
Digitale Werkzeuge nutzen zum
Gelegenheit gegeben, Funktionsgraphen zu modellieren, etwa um das
Flächeninhalte mithilfe von bestimmten und uneigentlichen - Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und
Abszisse, Volumen eines Glases oder eines Zeppelins zu bestimmen.
Integralen bestimmen (LK)
- Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales,
Integral und Rauminhalt
Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse Mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum
entstehen, mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen
bestimmen (LK)
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