Schulinterner Lehrplan Mathematik Sekundarstufe II - zuletzt aktualisiert am 24.10.2016 - Leibniz ...
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Schulinterner Lehrplan
Mathematik Sekundarstufe II
zuletzt aktualisiert am 24.10.2016
3Inhaltsverzeichnis
1. Unterrichtsvorhaben .....................................................................................................................3
2. Detailplanung Unterrichtsvorhaben ..............................................................................................4
2.1 Einführungsphase .....................................................................................................................4
2.2 Qualifikationsphase (Q1) Grundkurs .........................................................................................5
2.3 Qualifikationsphase (Q2) Grundkurs .........................................................................................6
2.4 Qualifikationsphase (Q1) Leistungskurs ....................................................................................7
2.5 Qualifikationsphase (Q2) Leistungskurs ....................................................................................9
3. Konkretisierte Unterrichtsvorhaben ............................................................................................10
3.1 Einführungsphase ...................................................................................................................10
3.2 Qualifikationsphase (Q1) Grundkurs .......................................................................................18
3.3 Qualifikationsphase (Q2) Grundkurs ......................................................................................26
3.4 Qualifikationsphase (Q1) Leistungskurs ..................................................................................32
3.5 Qualifikationsphase (Q2) Leistungskurs ..................................................................................49
4. Leistungsbewertung ...................................................................................................................57
4.1 Verbindliche Absprachen.........................................................................................................57
4.2 Überprüfung der sonstigen Leistung .......................................................................................57
4.3 Kriterien für die Überprüfung der sonstigen Leistungen ..........................................................58
3Curriculum Mathematik SII 2014, Leibniz-Gymnasium Remscheid
1. Unterrichtsvorhaben
Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan Während der Fachkonferenzbeschluss zum „Übersichtsraster Unter-
besitzt den Anspruch, sämtliche im Kernlehrplan angeführten Kompe- richtsvorhaben“ zur Gewährleistung vergleichbarer Standards sowie
tenzen abzudecken. Dies entspricht der Verpflichtung jeder Lehrkraft, zur Absicherung von Kurswechslern und Lehrkraftwechseln für alle
Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermöglichen, so Mitglieder der Fachkonferenz Bindekraft entfalten soll, besitzt die
dass alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt Ausweisung „konkretisierter Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.2) emp-
werden können. fehlenden Charakter. Referendarinnen und Referendaren sowie neu-
Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Über- en Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standardbe-
sichts- und der Konkretisierungsebene. zogenen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutli-
Im „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.1) wird die chung von unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen
Verteilung der Unterrichtsvorhaben dargestellt. Sie ist laut Beschluss zu didaktisch-methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Koope-
der Fachkonferenz verbindlich für die Unterrichtsphasen der Quali- rationen, Lernmitteln und -orten sowie vorgesehenen Leistungsüber-
fikationsphase. Die zeitliche Abfolge der Unterrichtsvorhaben prüfungen, die im Einzelnen auch den Kapiteln 2.3 bis 2.5 zu ent-
der Einführungsphase ist jeweils auf die Vorgaben zur Ver- nehmen sind. Begründete Abweichungen von den vorgeschlagenen
gleichsklausur abzustimmen. Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorhaben
Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen sind im Rahmen der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit
schnellen Überblick über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu möglich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen
den einzelnen Jahrgangsstufen sowie den im Kernlehrplan genann- der Umsetzung der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und
ten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen Schwerpunkten zu inhaltsbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung
verschaffen. Um Klarheit für die Lehrkräfte herzustellen und die finden.
Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie „Kompe- Die obligatorischen Vorgaben für die entsprechenden Abiturjahrgän-
tenzen“ an dieser Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwar- ge finden sich auf der Homepage des Schulministeriums unter
tungen ausgewiesen, während die konkretisierten Kompetenzerwar- https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentrala
tungen erst auf der Ebene konkretisierter Unterrichtsvorhaben Be- bitur-gost/faecher/fach.php?fach=2. Diese sind – genau wie die übri-
rücksichtigung finden. Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich als gen Vorgaben, die in diesem Kapitel dargestellt sind, von allen Kolle-
grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf über- oder unterschritten ginnen und Kollegen der Fachkonferenz zur Kenntnis zu nehmen und
werden kann. Um Spielraum für Vertiefungen, individuelle Förderung, durch entsprechende Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz
besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu erhalten, zu gewährleisten.
wurden im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans ca. 75 Prozent
der Bruttounterrichtszeit verplant.
Anmerkung zu den Stundenzahlen in den folgenden Kapiteln: 1 Stunde entspricht 45 Minuten.
32. Detailplanung Unterrichtsvorhaben
2.1 Einführungsphase
Unterrichts- Thema Zentrale Kompe- Inhaltsfeld Inhaltlicher Schwerpunkt Zeitbedarf
vorhaben tenzen
I Den Zufall im Griff - Modellierung Modellieren Mehrstufige Zufallsexperimente 9 Stunden
von Zufallsprozessen (E-S1) Werkzeuge nutzen
Stochastik (S)
II Testergebnisse richtig interpretie- Modellieren Bedingte Wahrscheinlichkeiten 9 Stunden
ren – Umgang mit bedingten Kommunizieren
Wahrscheinlichkeiten (E-S2)
III Beschreibung der Eigenschaften Modellieren Grundlegende Eigenschaften von Po- 15 Stunden
von Funktionen und deren Nut- Werkzeuge nutzen tenz-, Exponential- und Sinusfunktionen
zung im Kontext (E-A1)
IV Von der durchschnittlichen zur Argumentieren Grundverständnis des Ableitungsbe- 12 Stunden
lokalen Änderungsrate (E-A2) Werkzeuge nutzen Funktionen und griffs
V Von den Potenzfunktionen zu den Problemlösen Analysis (A) Differentialrechnung ganzrationaler 12 Stunden
ganzrationalen Funktionen (E-A3) Argumentieren Funktionen
Werkzeuge nutzen
VI Entwicklung und Anwendung von Problemlösen Differentialrechnung ganzrationaler 12 Stunden
Kriterien und Verfahren zur Unter- Argumentieren Funktionen
suchung von Funktionen (E-A4)
VII Unterwegs in 3D – Koordinatisie- Modellieren Koordinatisierungen des Raumes 6 Stunden
Analytische Ge-
rung des Raumes (E-G1) Kommunizieren
ometrie und linea-
VIII Vektoren bringen Bewegung in Problemlösen Vektoren und Vektoroperationen 9 Stunden
re Algebra (G1)
den Raum (E-G2)
Summe Einführungsphase: 84 Stunden
42.2 Qualifikationsphase (Q1) Grundkurs
Unterrichts- Thema Zentrale Kompe- Inhaltsfeld Inhaltlicher Schwerpunkt Zeitbedarf
vorhaben tenzen
GK
I Beschreibung von Bewegungen und Modellieren Darstellung und Untersuchung geo- 9 Stunden
Schattenwurf mit Geraden (Q1-G- Werkzeuge nut- metrischer Objekte (Geraden)
G1) zen
II Lineare Algebra als Schlüssel zur Problemlösen Darstellung und Untersuchung geo- 9 Stunden
Lösung von geometrischen Proble- Werkzeuge nut- metrischer Objekte (Ebenen)
men (Q1-G-G2) zen Analytische Geo- Lineare Gleichungssysteme
metrie und
III Eine Sache der Logik und der Be- Argumentieren Lineare Algebra (G) Lagebeziehungen 6 Stunden
griffe: Untersuchung von Lagebe- Kommunizieren
ziehungen (Q1-G-G3)
IV Räume vermessen – mit dem Ska- Problemlösen Skalarprodukt 9 Stunden
larprodukt Polygone und Polyeder
untersuchen (Q1-G-G4)
V Optimierungsprobleme (Q1-G-A1) Modellieren Funktionen als mathematische Model- 9 Stunden
Problemlösen le
VI Funktionen beschreiben Formen – Modellieren Funktionen als mathematische Model- 15 Stunden
Modellieren von Sachsituationen mit Werkzeuge nut- le
ganzrationalen Funktionen (Q1-G- zen Funktionen und Lineare Gleichungssysteme
A2) Analysis (A)
VII Von der Änderungsrate zum Be- Kommunizieren Grundverständnis des Integralbegriffs 9 Stunden
stand (Q1-G-A3)
VIII Von der Randfunktion zur Integral- Argumentieren Integralrechnung 12 Stunden
funktion (Q-GK-A4) Werkzeuge nut-
zen
Summe Qualifikationsphase (Q1) - GK: 78 Stunden
52.3 Qualifikationsphase (Q2) Grundkurs
Unterrichts- Thema Zentrale Kompe- Inhaltsfeld Inhaltlicher Schwerpunkt Zeitbedarf
vorhaben tenzen
GK
I Von stochastischen Modellen, Zu- Modellieren Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits- 6 Std.
fallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsver- verteilungen
teilungen und ihren Kenngrößen
(Q2-G-S1)
II Treffer oder nicht? – Bernoulliexpe- Modellieren Binomialverteilung 9 Std.
rimente und Binomialverteilung (Q2- Werkzeuge nutzen Stochastik (S)
G-S2)
III Modellieren mit Binomialverteilun- Modellieren Binomialverteilung 9 Std.
gen (Q2-G-S3) Argumentieren
IV Von Übergängen und Prozessen Modellieren Stochastische Prozesse 9 Std.
(Q2-G-S4) Argumentieren
V Natürlich: Exponentialfunktionen Problemlösen Fortführung der Differentialrechnung 9 Std.
(Q2-G-A5) Werkzeuge nutzen Funktionen und
VI Modellieren (nicht nur) mit Exponen- Modellieren Analysis (A) Fortführung der Differentialrechnung 12 Std.
tialfunktionen (Q2-G-A6) und Integralrechnung
Summe Qualifikationsphase (Q2) - GK: 54 Stunden
62.4 Qualifikationsphase (Q1) Leistungskurs
Qualifikationsphase (Q1) Leistungskurs
Unter- Thema Zentrale Inhaltsfeld Inhaltlicher Schwerpunkt Zeitbedarf
richts- Kompetenzen
vorhaben
LK
I Optimierungsprobleme (Q-LK-A1) Modellieren Funktionen als mathematische Mo- 20 Std.
Funktionen und
Problemlösen delle
Analysis (A)
Fortführung der Differentialrechnung
II Funktionen beschreiben Formen – Modellieren Funktionen als mathematische Mo- 20 Std.
Funktionen und
Modellieren von Sachsituationen Werkzeuge nut- delle
Analysis (A), Line-
mit Funktionen (Q-LK-A2) zen Lineare Gleichungssysteme
are Algebra (G)
III Beschreibung von Bewegungen Modellieren Darstellung und Untersuchung 10 Std.
und Werkzeuge nut- geometrischer Objekte (Geraden)
Schattenwurf mit Geraden (Q-LK- zen
G1)
IV Die Welt vermessen – das Skalar- Problemlösen Skalarprodukt 10 Std.
produkt und seine ersten Anwen-
dungen (Q-LK-G2) Analytische Geo-
V Ebenen als Lösungsmengen von Argumentieren metrie und Lineare Darstellung und Untersuchung 10 Std.
linearen Gleichungen und ihre Be- Kommunizieren Algebra (G) geometrischer Objekte (Ebenen)
schreibung durch Parameter (Q-
LK-G3)
VI Lagebeziehungen und Abstands- Argumentieren Lagebeziehungen und Abstände 10 Std.
probleme bei geradlinig bewegten Kommunizieren (von
Objekten (Q-LK-G4) Geraden)
VII Von der Änderungsrate zum Be- Kommunizieren Grundverständnis des Integralbe- 10 Std.
stand (Q-LK-A3) griffs
Funktionen und
VIII Von der Randfunktion zur Integral- Argumentieren Analysis (A) Integralrechnung 20 Std.
funktion (Q-LK-A4) Werkzeuge nut-
zen
IX Von stochastischen Modellen, Zu- Modellieren Kenngrößen von Wahrscheinlich- 5 Std.
Stochastik (S)
fallsgrößen, Wahrscheinlichkeits- keitsverteilungen
7verteilungen und ihren Kenngrö-
ßen (Q-LK-S1)
X Treffer oder nicht? – Bernoulliex- Modellieren Binomialverteilung 10 Std.
perimente und Binomialverteilun- Werkzeuge nut-
gen (Q-LK-S2) zen
XI Untersuchung charakteristischer Problemlösen Binomialverteilung 5 Std.
Größen von Binomialverteilungen
(Q-LK-S3)
Summe Qualifikationsphase (Q1) - LK: 130 Std.
82.5 Qualifikationsphase (Q2) Leistungskurs
3.
Unter- Thema Zentrale Kompe- Inhaltsfeld Inhaltlicher Schwerpunkt Zeitbedarf
richts- tenzen
vorhaben
LK
I Natürlich: Exponentialfunktionen Problemlösen Fortführung der Differentialrechnung 20 Std.
und Logarithmus (Q-LK-A5) Werkzeuge n. Funktionen und
II Modellieren (nicht nur) mit Expo- Modellieren Analysis (A) Fortführung der Differentialrechnung 20 Std.
nentialfunktionen (Q-LK-A6) Integralrechnung
III Ist die Glocke normal? (Q-LK-S4) Modellieren Normalverteilung 10 Std.
Problemlösen
Werkzeuge n.
IV Signifikant und relevant? – Testen Modellieren Stochastik (S) Testen von Hypothesen 10 Std.
von Hypothesen (Q-LK-S5) Kommunizieren
V Von Übergängen und Prozessen Modellieren Stochastische Prozesse 10 Std.
(QLK-S6) Argumentieren
VI Untersuchungen an Polyedern Problemlösen Lagebeziehung und Abstände (von 10 Std.
(QLK- Werkzeuge nut- Ebenen)
Analytische Geo-
G5) zen Lineare Gleichungssysteme
metrie und Lineare
VII Strategieentwicklung bei geomet- Modellieren Verknüpfung aller Kompetenzen 10 Std.
Algebra (G)
rischen Problemsituationen und Problemlösen
Beweisaufgaben (Q-LK-G6)
Summe Qualifikationsphase (Q2) - LK: 90 td.
93. Konkretisierte Unterrichtsvorhaben
Hinweis: Thema, Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte und Kompetenzen hat die Fachkonferenz des Leibniz-Gymnasiums verbindlich verein-
bart. In allen anderen Bereichen sind Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bei der Konkretisierung der Unterrichtsvorhaben
möglich. Darüber hinaus enthält dieser schulinterne Lehrplan in den Kapiteln 2.3 bis 2.5 übergreifende sowie z. T. auch jahrgangsbezogene Ab-
sprachen zur fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit, zur Leistungsbewertung und zur Leistungsrückmeldung. Je nach internem Steue-
rungsbedarf können solche Absprachen auch vorhabenbezogen vorgenommen werden.
3.1 Einführungsphase
Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfeh-
lungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Beim Einstieg ist eine Beschränkung auf Beispie-
le aus dem Bereich Glücksspiele zu vermeiden.
Die Schülerinnen und Schüler
Einen geeigneten Kontext bietet die Methode der
deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente, simulieren Zufallsexperimente
Zufallsantworten bei sensitiven Umfragen.
verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durch-
stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen gängig Simulationen – auch unter Verwendung
durch von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalku-
beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe lation) – geplant und durchgeführt (Zufallsgene-
der Pfadregeln rator).
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Das Urnenmodell wird auch verwendet, um
grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen
Modellieren mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung
Die Schülerinnen und Schüler der Reihenfolge zu thematisieren.
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsvertei-
(Strukturieren) lung und Erwartungswert werden im Kontext von
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathemati- Glücksspielen erarbeitet und können durch zu-
sieren), erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung inner- nehmende Komplexität der Spielsituationen ver-
halb des mathematischen Modells (Mathematisieren) tieft werden. Digitale Werkzeuge werden zur Vi-
sualisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
(Histogramme) und zur Entlastung von händi-
Werkzeuge nutzen schem Rechnen verwendet.
Die Schülerinnen und Schüler
10 verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
… Generieren von Zufallszahlen
… Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
… Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
… Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert)
Thema: Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlun-
gen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen
Inhaltes könnte das HIV-Testverfahren dienen, eine
Die Schülerinnen und Schüler
Möglichkeit zur Vertiefung böte dann die Betrachtung
modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier- oder Mehrfelderta-
eines Diagnosetests zu einer häufiger auftretenden
feln
Erkrankung (z. B. Grippe). Um die Übertragbarkeit
bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten des Verfahrens zu sichern, sollen insgesamt mindes-
prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit tens zwei Beispiele aus unterschiedlichen Kontexten
bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. betrachtet werden.
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Zur Förderung des Verständnisses der Wahrschein-
lichkeitsaussagen werden parallel Darstellungen mit
Modellieren absoluten Häufigkeiten verwendet.
Die Schülerinnen und Schüler Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen ver-
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine schiedenen Darstellungsformen (Baumdiagramm,
konkrete Fragestellung (Strukturieren) Mehrfeldertafel) wechseln können und diese zur Be-
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb rechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Ver-
des mathematischen Modells (Mathematisieren) tauschen von Merkmal und Bedingung und zum
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkei-
ten nutzen können. Bei der Erfassung stochastischer
Kommunizieren Zusammenhänge ist die Unterscheidung von Wahr-
Die Schülerinnen und Schüler scheinlichkeiten des Typs P(A∩B) von bedingten
erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen Wahrscheinlichkeiten – auch sprachlich – von be-
mathematikhaltigen Texten […] (Rezipieren) sonderer Bedeutung.
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren)
11Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Algebraische Rechentechniken werden grundsätzlich parallel ver-
mittelt und diagnosegestützt geübt (solange in diesem Unterrichts-
Die Schülerinnen und Schüler
vorhaben erforderlich in einer von drei Wochenstunden, ergänzt
beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen
durch differenzierende, individuelle Zusatzangebote aus Aufgaben-
Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen
sammlungen). Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedarf
beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Ex-
von Schulformwechslern wird ebenfalls durch gezielte individuelle
ponentialfunktionen Angebote Rechnung getragen.
wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Hilfreich kann es sein, dabei die Kompetenzen der Mitschülerinnen
Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, und Mitschüler (z. B. durch Kurzvorträge) zu nutzen.
Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhaben
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): auf die Einführung in die elementaren Bedienkompetenzen der
verwendeten Software und des GTR gerichtet werden.
Modellieren
Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können
Die Schülerinnen und Schüler zunächst Ansparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle)
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit betrachtet und mithilfe einer Tabellenkalkulation verglichen werden.
Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) Für kontinuierliche Prozesse und den Übergang zu Exponential-
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische funktionen werden verschiedene Kontexte (z. B. Bakterienwachs-
Modelle (Mathematisieren) tum, Abkühlung) untersucht.
Der entdeckende Einstieg in Transformationen kann etwa über das
Werkzeuge nutzen Beispiel „Sonnenscheindauer“ aus den GTR-Materialien erfolgen,
Die Schülerinnen und Schüler also zunächst über die Sinusfunktion.
nutzen Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Taschen- Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI werden dann quadrati-
rechner sche Funktionen (Scheitelpunktform) und Parabeln unter dem
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Transformationsaspekt betrachtet. Systematisches Erkunden mithil-
… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle fe des GTR eröffnet den Zugang zu Potenzfunktionen.
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
12Thema: Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (E-A2)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Für den Einstieg wird ein Stationenlernen zu durchschnittli-
chen Änderungsraten in unterschiedlichen Sachzusammen-
Die Schülerinnen und Schüler
hängen empfohlen, die auch im weiteren Verlauf immer
berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie
wieder auftauchen (z. B. Bewegungen, Zu- und Abflüsse,
im Kontext
Höhenprofil, Temperaturmessung, Aktienkurse, Entwicklung
erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs
regenerativer Energien, Sonntagsfrage, Wirk- oder Schad-
an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungs- stoffkonzentration, Wachstum, Kosten- und Ertragsentwick-
rate lung).
deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten Der Begriff der lokalen Änderungsrate wird im Sinne eines
deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsra- spiraligen Curriculums qualitativ und heuristisch verwendet.
te/Tangentensteigung Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur
beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion) lokalen Änderungsrate wird die vermeintliche Diskrepanz
leiten Funktionen graphisch ab zwischen der Durchschnittsgeschwindigkeit bei einer länge-
begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) ren Fahrt und der durch ein Messgerät ermittelten Momen-
mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen tangeschwindigkeit genutzt.
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometri-
scher Kontext betrachtet werden.
Argumentieren (Vermuten) Tabellenkalkulation und Dynamische-Geometrie-Software
Die Schülerinnen und Schüler werden zur numerischen und geometrischen Darstellung
stellen Vermutungen auf des Grenzprozesses beim Übergang von der durchschnittli-
unterstützen Vermutungen beispielgebunden chen zur lokalen Änderungsrate bzw. der Sekanten zur
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung Tangenten (Zoomen) eingesetzt.
der logischen Struktur Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem
Begründen der Eigenschaften eines Funktionsgraphen sol-
Werkzeuge nutzen len die Schülerinnen und Schüler in besonderer Weise zum
Die Schülerinnen und Schüler Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer Aussagen an-
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum gehalten werden. Hier ist auch der Ort, den Begriff des Ext-
… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle rempunktes (lokal vs. global) zu präzisieren und dabei auch
… grafischen Messen von Steigungen Sonderfälle, wie eine konstante Funktion, zu betrachten,
während eine Untersuchung der Änderung von Änderungen
nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und
erst zu einem späteren Zeitpunkt des Unterrichts (Q1) vor-
Recherchieren, Berechnen und Darstellen
gesehen ist.
13Thema: Von den Potenzfunktionen zu den ganzrationalen Funktionen (E-A3)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Im Anschluss an Unterrichtsvorhaben II (Thema E-A2) wird die Fra-
ge aufgeworfen, ob mehr als numerische und qualitative Untersu-
erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenz- chungen in der Differentialr. möglich sind. Für eine quadratische
wertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur Funktion wird der Grenzübergang bei der „h-Methode“ exempla-
lokalen Änderungsrate risch durchgeführt. Empfehlung: Durch Variation im Rahmen eines
beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungs- Gruppenpuzzles vermuten die Lernenden eine Formel für die Ablei-
funktion) tung einer beliebigen quadratischen Fkt.. Dabei vermuten sie auch
leiten Funktionen graphisch ab das Grundprinzip der Linearität (ggf. auch Verhaltens bei Verschie-
begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem- bungen in x-Richtung). Durch Analyse des Rechenweges werden
punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen die Vermutungen erhärtet.
nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Expo- Um die Ableitungsregel für höhere Potenzen zu vermuten, nutzen
nenten die Schüler den GTR und die Möglichkeit, Werte der Ableitungs-
wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an funktionen näherungsweise zu tabellieren und zu plotten. Der Un-
terricht erweitert besonders Kompetenzen aus dem Bereich des
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Vermutens. Kontexte spielen in diesem Unterrichtsvorhaben eine
Problemlösen untergeordnete Rolle. Quadratische Fkt. können aber stets als
Weg-Zeit-Funktion bei Fall- und Wurf- und anderen gleichförmig
analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) erkennen beschleunigten Bewegungen gedeutet werden. Die Motivation zur
Muster und Beziehungen (Erkunden) Beschäftigung mit Polynomfunktionen soll durch eine Optimie-
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob- rungsaufgabe geweckt werden. Die verschiedenen Möglichkeiten,
lemlösung aus (Lösen) eine Schachtel aus einem DIN-A4-Blatt herzustellen, führen insbe-
sondere auf Polynomfunktionen vom Grad 3. Hier können sich alle
Argumentieren bislang erarbeiteten Regeln bewähren.
Ganzrationale Fkt. (Grad 3) werden Gegenstand einer qualitativen
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück- Erkundung m.H. von AniGra, wobei Parameter gezielt variiert wer-
sichtigung der logischen Struktur (Vermuten) den. Bei der Klassifizierung der Formen können die Begriffe aus
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente Unterrichtsvorhaben II (Thema E-A2) eingesetzt werden. Zusätzlich
für Begründungen (Begründen) werden die Symmetrie zum Ursprung und das Globalverhalten un-
überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert tersucht. Die Vorteile einer Darstellung mithilfe von Linearfaktoren
werden können (Beurteilen) und die Bedeutung der Vielfachheit einer Nullstelle werden hier
thematisiert.Durch gleichzeitiges Visualisieren der Ableitungsfunkti-
Werkzeuge nutzen
on erklären Lernende die Eigenschaften von ganzrationalen Funkti-
onen 3. Grades durch die Eigenschaften der ihnen vertrauten quad-
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
ratischen Funktionen. Zugleich entdecken sie die Zusammenhänge
… Lösen von Gleichungen
zwischen charakteristischen Punkten, woran in Unterrichtsvorhaben
… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
VI (Thema E-A4) angeknüpft wird.
14Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfeh-
lungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Ein kurzes Wiederaufgreifen des graphischen Ab-
leitens am Beispiel der Sinusfunktion führt zur Ent-
Die Schülerinnen und Schüler
deckung, dass die Kosinusfunktion deren Ableitung
leiten Funktionen graphisch ab
ist.
nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion
Für ganzrationale Funktionen werden die Zusam-
begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der menhänge zwischen den Extrempunkten der Aus-
Graphen der Ableitungsfunktionen gangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Be-
nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten trachtung von Monotonieintervallen und der vier
wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an möglichen Vorzeichenwechsel an den Nullstellen
lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren der Ableitung untersucht. Die Schülerinnen und
auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu ar-
verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestim- gumentieren. Die Untersuchungen auf Symmetrien
mung von Extrempunkten und Globalverhalten werden fortgesetzt.
unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zu-
verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argu- sammenhang mit der Nullstellenbestimmung wird
mente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): von Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR
gegeben.
Problemlösen Der logische Unterschied zwischen notwendigen
Die Schülerinnen und Schüler und hinreichenden Kriterien kann durch Multiple-
erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) Choice-Aufgaben vertieft werden, die rund um die
Thematik der Funktionsuntersuchung von Poly-
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes) (Lösen)
nomfunktionen Begründungsanlässe und die Mög-
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lö-
lichkeit der Einübung zentraler Begriffe bieten.
sen)
Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwech-
Argumentieren selkriterium angewendet wird, werden die Lernen-
Die Schülerinnen und Schüler den auch mit Situationen konfrontiert, in denen sie
mit den Eigenschaften des Graphen oder Terms
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logi-
argumentieren. So erzwingt z. B. Achsensymmetrie
schen Struktur (Vermuten)
die Existenz eines Extrempunktes auf der Symmet-
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründun-
rieachse.
gen (Begründen)
Beim Lösen von inner- und außermathematischen
berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige /hinreichende Bedingung, Fol- Problemen müssen auch Tangentengleichungen
gerungen […]) (Begründen) bestimmt werden.
erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen)
15Thema: Unterwegs in 3D – Koordinatisierungen des Raumes (E-G1)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Ausgangspunkt ist eine Vergewisserung (z. B. in Form einer Mindmap)
hinsichtlich der den Schülerinnen und Schülern bereits bekannten Koor-
Die Schülerinnen und Schüler
dinatisierungen (GPS, geographische Koordinaten, kartesische Koordi-
wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbei-
naten, Robotersteuerung).
tung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum
Die Auswahl zwischen kartesischen und anderen Koordinaten kann bei
stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Ko-
genügend zur Verfügung stehender Zeit im Kontext der Spidercam ge-
ordinatensystem dar troffen werden: Bewegung der Spidercam in einem kartesischen Koor-
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): dinatensystem, Ausrichtung der Kamera in Kugelkoordinaten. Bei en-
gem Zeitrahmen sollten zumindest Polarkoordinaten (evtl. in Form eines
Modellieren
Schülervortrages) Erwähnung finden. (Hier empfiehlt die Fachkonferenz
Die Schülerinnen und Schüler bewusst, über die Anforderungen des Kernlehrplanes hinauszugehen,
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen damit die künftige Beschränkung auf kartesische Koordinaten in Kennt-
mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) nis anderer, verbreitet üblicher Koordinatisierungen erfolgt.)
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine An geeigneten, nicht zu komplexen geometrischen Modellen (z. B. „un-
Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) vollständigen“ Holzquadern) lernen die Schülerinnen und Schüler, ohne
Verwendung einer DGS zwischen (verschiedenen) Schrägbildern einer-
Kommunizieren (Produzieren)
seits und der Kombination aus Grund-, Auf- und Seitenriss andererseits
Die Schülerinnen und Schüler zu wechseln, um ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu entwickeln.
wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus Mithilfe einer DGS werden unterschiedliche Möglichkeiten ein
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen Schrägbild zu zeichnen untersucht und hinsichtlich ihrer Wirkung beur-
teilt.
16Thema: Vektoren bringen Bewegung in den Raum (E-G2)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen
und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Neben anderen Kontexten kann
auch hier die Spidercam verwendet
Die Schülerinnen und Schüler
werden, und zwar um Kräfte und
deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum
ihre Addition in Anlehnung an die
durch Ortsvektoren
Kenntnisse aus dem Physikunter-
stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar richt der SI als Beispiel für vektoriel-
berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras le Größen zu nutzen.
addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität
weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach Durch Operieren mit Verschie-
Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): bungspfeilen werden einfache geo-
metrische Problemstellungen gelöst:
Problemlösen Beschreibung von Diagonalen (ins-
Die Schülerinnen und Schüler besondere zur Charakterisierung
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) von Viereckstypen), Auffinden von
setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) Mittelpunkten (ggf. auch Schwer-
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) punkten), Untersuchung auf Paralle-
lität.
173.2 Qualifikationsphase (Q1) Grundkurs
Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q1-G-G1)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbah-
nen (Kondensstreifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und
Die Schülerinnen und Schüler
Geschwindigkeitsvektor beschrieben und dynamisch mit
stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar
DGS dargestellt. Dabei sollten Modellierungsfragen (reale
interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext Geschwindigkeiten, Größe der Flugobjekte, Flugebenen)
Prozessbezogene Kompetenzen: einbezogen werden.
Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Ge-
Modellieren
schwindigkeit zu variieren. In jedem Fall soll der Unterschied
Die Schülerinnen und Schüler
zwischen einer Geraden als Punktmenge (z. B. die Flug-
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf
bahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge als
eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
Funktion (von der Parametermenge in den Raum) heraus-
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situa- gearbeitet werden.
tion vor (Strukturieren) Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geomet-
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle rische Frage aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei
(Mathematisieren) Punkte zu beschreiben ist. Hierbei wird herausgearbeitet,
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung dass zwischen unterschiedlichen Parametrisierungen einer
innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Geraden gewechselt werden kann. Punktproben sowie die
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen sol-
die Fragestellung (Validieren) len auch hilfsmittelfrei durchgeführt werden. Die Darstellung
verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) in räumlichen Koordinatensystemen sollte hinreichend geübt
Werkzeuge nutzen werden.
Die Schülerinnen und Schüler Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Ge-
nutzen Geodreiecke […] geometrische Modelle und Dynamische- Geometrie- bäuden in Parallel- und Zentralprojektion auf eine der
Software Grundebenen berechnet und zeichnerisch dargestellt wer-
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum den. Der Einsatz der DGS bietet hier die zusätzliche Mög-
… grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden lichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden
… Darstellen von Objekten im Raum kann. Inhaltlich schließt die Behandlung von Schrägbildern
an das Thema E-G1 an.
18Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q1-G-G2)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Als Einstiegskontext für die Parametrisierung einer Ebene
kann eine Dachkonstruktion mit Sparren und Querlatten
Die Schülerinnen und Schüler
dienen. Diese bildet ein schiefwinkliges Koordinatensys-
stellen Ebenen in Parameterform dar
tem in der Ebene. Damit wird die Idee der Koordinatisie-
untersuchen Lagebeziehungen […] zwischen Geraden und Ebenen rung aus dem Thema E-G2 wieder aufgegriffen.
berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Wenn genügend Zeit zur Verfügung steht, können durch
Ebenen und deuten sie im Sachkontext Einschränkung des Definitionsbereichs Parallelogramme
stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar und Dreiecke beschrieben und auch anspruchsvollere
beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungs- Modellierungsaufgaben gestellt werden, die über die
systeme Kompetenzerwartungen des KLP hinausgehen.
interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen In diesem Unterrichtsvorhaben werden Problemlösekom-
Prozessbezogene Kompetenzen: petenzen erworben, indem sich heuristische Strategien
bewusst gemacht werden (eine planerische Skizze anfer-
Problemlösen tigen, die gegebenen geometrischen Objekte abstrakt be-
Die Schülerinnen und Schüler schreiben, geometrische Hilfsobjekte einführen, bekannte
wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experi- Verfahren zielgerichtet einsetzen und in komplexeren Ab-
mentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden) läufen kombinieren und unterschiedliche Lösungswege
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) kriteriengestützt
wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen) vergleichen).
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...] Darstellungswechsel, Zer- Punktproben sowie die Berechnung von Spurgeraden in
legen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen den Grundebenen und von Schnittpunkten mit den Koor-
auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und dinatenachsen führen zunächst noch zu einfachen Glei-
Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen) chungssystemen. Die Achsenabschnitte erlauben eine
Darstellung in einem räumlichen Koordinatensystem.
führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
Die Untersuchung von Schattenwürfen eines Mastes auf
vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemein-
eine Dachfläche z. B. motiviert eine Fortführung der sys-
samkeiten (Reflektieren)
tematischen Auseinandersetzung (Q-GK-A2) mit linearen
beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz Gleichungssystemen, mit der Matrix-Vektor- Schreibweise
(Reflektieren) und mit dem Gauß-Verfahren.
analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern (Reflektieren) Die Lösungsmengen werden mit dem GTR bestimmt,
Werkzeuge nutzen zentrale Werkzeugkompetenz in diesem Unterrichtsvorha-
ben ist die Interpretation des angezeigten Lösungsvektors
Die Schülerinnen und Schüler
bzw. der reduzierten Matrix. Die Vernetzung der geometri-
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum schen Vorstellung (Lagebeziehung) und der algebraischen
… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Formalisierung sollte stets deutlich werden.
19Thema: Eine Sache der Logik und der Begriffe: Untersuchung von Lagebeziehungen (Q1-G-G3)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Hinweis: Bei zweidimensionalen Abbildungen (z. B. Fotografien)
räumlicher Situationen geht in der Regel die Information über
Die Schülerinnen und Schüler
die Lagebeziehung von Objekten verloren. Verfeinerte Darstel-
untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden […]
lungsweisen (z. B. unterbrochene Linien, schraffierte Flächen,
Prozessbezogene Kompetenzen: gedrehtes Koordinatensystem) helfen, dies zu vermeiden und
Argumentieren Lagebeziehungen systematisch zu untersuchen.
Der Fokus der Untersuchung von Lagebeziehungen liegt auf
Die Schülerinnen und Schüler dem logischen Aspekt einer vollständigen Klassifizierung sowie
präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichti- einer präzisen Begriffsbildung (z. B. Trennung der Begriffe „pa-
gung der logischen Struktur (Vermuten) rallel“, „echt parallel“, „identisch“). Flussdiagramme und Tabel-
stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Ober- / Unterbegriff) (Be- len sind ein geeignetes Mittel, solche Algorithmen darzustellen.
gründen) Es werden möglichst selbstständig solche Darstellungen entwi-
nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für ckelt, die auf Lernplakaten dokumentiert, präsentiert, verglichen
Begründungen (Begründen) und hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit beurteilt werden können. In
berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende diesem Teil des Unterrichtsvorhabens sollen nicht nur logische
Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder- Verknüpfungen, Negati- Strukturen reflektiert, sondern auch Unterrichtsformen gewählt
on, All- und Existenzaussagen) (Begründen) werden, bei denen Kommunikationsprozesse im Team unter
überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert wer- Verwendung der Fachsprache angeregt werden. Eine analoge
den können (Beurteilen) Bearbeitung der in QGK-G2 erarbeiteten Beziehungen zwischen
Geraden und Ebenen bietet sich an.
Kommunizieren Als Kontext kann dazu die Modellierung von Flugbahnen (Kon-
Die Schülerinnen und Schüler densstreifen) aus Q-GK-G1 wieder aufgegriffen werden. Dabei
erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammen- wird evtl. die Frage des Abstandes zwischen Flugobjekten rele-
hängen (Rezipieren) vant. Bei genügend zur Verfügung stehender Zeit oder binnen-
verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemesse- differenziert könnte (über den Kernlehrplan hinausgehend) das
nem Umfang (Produzieren) Abstandsminimum numerisch, grafisch oder algebraisch mit den
wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzie- Verfahren der Analysis ermittelt werden. Begrifflich davon ab-
ren) gegrenzt wird der Abstand zwischen den Flugbahnen. Dies mo-
erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren) tiviert die Beschäftigung mit orthogonalen Hilfsgeraden (Q-
vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Ver- GKG4).
ständlichkeit und fachsprachlichen Qualität (Diskutieren)
20Thema: Räume vermessen – mit dem Skalarprodukt Polygone und Polyeder untersuchen (Q1-G-G4)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Das Skalarprodukt wird zunächst als Indikator für Orthogonalität aus
einer Anwendung des Satzes von Pythagoras entwickelt. Durch eine
Die Schülerinnen und Schüler
Zerlegung in parallele und orthogonale Komponenten wird der geo-
deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es
metrische Aspekt der Projektion betont. Dies wird zur Einführung des
untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Winkels über den Kosinus genutzt (alternativ zu einer Herleitung aus
Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) dem Kosinussatz). Eine weitere Bedeutung des Skalarproduktes
Prozessbezogene Kompetenzen: kann mit den gleichen Überlegungen am Beispiel der physikalischen
Arbeit erschlossen werden.
Problemlösen
Bei hinreichend zur Verfügung stehender Zeit kann in Anwendungs-
Die Schülerinnen und Schüler kontexten (z. B. Vorbeiflug eines Flugzeugs an einem Hindernis unter
erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematische Einhaltung eines Sicherheitsabstandes, vgl. Q-GK-G3) entdeckt wer-
Probleme (Erkunden) den, wie der Abstand eines Punktes von einer Geraden u. a. als Stre-
analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) ckenlänge über die Bestimmung eines Lotfußpunktes ermittelt wer-
entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) den kann. Bei dieser Problemstellung sollten unterschiedliche Lö-
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. […] Darstellungs- sungswege zugelassen und verglichen werden.
wechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten Tetraeder, Pyramiden, Würfel, Prismen und Oktaeder bieten vielfälti-
finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallun- ge Anlässe für (im Sinne des Problemlösens offen angelegte) exemp-
terscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen) larische geometrische Untersuchungen und können auf reale Objekte
wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob- (z. B. Gebäude) bezogen werden.
lemlösung aus (Lösen) Dabei kann z. B. der Nachweis von Dreiecks- bzw. Viereckstypen
beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und (anknüpfend an das Thema E-G2) wieder aufgenommen werden. Wo
Effizienz (Reflektieren) möglich, werden auch elementargeometrische Lösungswege als Al-
ternative aufgezeigt.
21Thema: Optimierungsprobleme (Q1-G-A1)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlun-
gen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsglei-
chungen?“
Die Schülerinnen und Schüler
Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert
führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen
Problemlösestrategien. Es wird deshalb empfohlen,
einer Variablen zurück und lösen diese
den Lernenden hinreichend Zeit zu geben, u. a. mit
verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien […] zur Bestimmung Methoden des kooperativen Lernens selbstständig
von Extrem- und Wendepunkten zu Zielfunktionen zu kommen.
Prozessbezogene Kompetenzen: An Problemen, die auf quadratische Zielfunktionen
führen, sollten auch unterschiedliche Lösungswege
Modellieren
aufgezeigt und verglichen werden. Hier bietet es sich
Die Schülerinnen und Schüler außerdem an, Lösungsverfahren auch ohne digitale
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation Hilfsmittel einzuüben.
vor.(Strukturieren) An mindestens einem Problem entdecken die Schü-
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathe- lerinnen und Schüler die Notwendigkeit, Randext-
matisieren) rema zu betrachten (z. B. „Glasscheibe[Ro13]“ oder
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb verschiedene Varianten des „Hühnerhofs“). Ein Ver-
des mathematischen Modells (Mathematisieren) packungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) dem Aspekt der Modellvalidierung/Modellkritik unter-
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fra- sucht. Abschließend empfiehlt es sich, ein Problem
gestellung (Validieren) zu behandeln, das die Schülerinnen und Schüler nur
durch systematisches Probieren oder anhand des
Problemlösen Funktionsgraphen lösen können: Aufgabe zum
Die Schülerinnen und Schüler „schnellsten Weg“.
finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Erkunden) Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen
wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle …) aus, um die werden im Rahmen geeigneter Kontexte (z. B. Neu-
Situation zu erfassen (Erkunden) verschuldung und Schulden oder Besucherströme in
nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstel- einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher
lungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Verallgemeinern Personaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten
…) (Lösen) Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und
setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) Abnahmerate der Änderungsrate der Funktion ver-
berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) liehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung
erfolgt zunächst über das Vorzeichenwechselkriteri-
führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)
um (an den Nullstellen der zweiten Ableitung).
vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkei-
ten (Reflektieren)
22Thema: Funktionen beschreiben Formen - Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q1-G-
A2)
Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Leitfrage: „Woher kommen die Funktionsgleichungen?“
Anknüpfend an die Einführungsphase (vgl. Thema E-A1)
Die Schülerinnen und Schüler
werden an einem Beispiel in einem geeigneten Kontext (z.
bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus
B. Fotos von Brücken, Gebäuden, Flugbahnen) die Parame-
dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)
ter der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion an-
beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der gepasst. Anschließend werden aus gegebenen Punkten
2. Ableitung Gleichungssysteme für die Parameter der Normalform auf-
verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere gestellt.
hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu-
beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Glei- und Abnahme der Steigung führt zu einer geometrischen
chungssysteme Deutung der zweiten Ableitung einer Funktion als „Krüm-
wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssyste- mung“ des Graphen und zur Betrachtung von Wendepunk-
me mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar ten. Als Kontext hierzu können z. B. Trassierungsprobleme
sind gewählt werden.
Prozessbezogene Kompetenzen: Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Ent-
deckung eines weiteren hinreichenden Kriteriums für Ext-
Modellieren rempunkte. Anhand einer Funktion mit Sattelpunkt wird die
Die Schülerinnen und Schüler Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vor- und
erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden ab-
eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) schließend von den Lernenden kritisch bewertet.
treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situa- Designobjekte oder architektonische Formen können zum
tion vor (Strukturieren) Anlass genommen werden, die Funktionsklassen zur Model-
übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle lierung auf ganzrationale Funktionen 3. oder 4. Grades zu
(Mathematisieren) erweitern und über gegebene Punkte, Symmetrieüberlegun-
erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung gen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungen zur
innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Bestimmung der Parameter aufzustellen. Hier bieten sich
beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) nach einem einführenden Beispiel offene Unterrichtsformen
(z. B. Lerntheke) an.
beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für
Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über
die Fragestellung (Validieren)
Grundannahmen der Modellierung (Grad der Funktion,
verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren)
Symmetrie, Lage im Koordinatensystem, Ausschnitt) selbst
reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Va- zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren und
lidieren) ggf. Veränderungen vorzunehmen.
Damit nicht bereits zu Beginn algebraische Schwierigkeiten
Werkzeuge nutzen den zentralen Aspekt der Modellierung überlagern, wird
empfohlen, den GTR zunächst als Blackbox zum Lösen von
Die Schülerinnen und Schüler
Gleichungssystemen und zur graphischen Darstellung der
verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
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