Von Pythagoras zu MP3 Mathematik in der Musik - Vortrag der IU für die Stadt Bruchsal Thomas Schneider, 23. März 2005
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Von
Pythagoras
zu MP3
Mathematik in der Musik
Vortrag der IU für die Stadt Bruchsal
Thomas Schneider, 23. März 2005
1Überblick
Tonsysteme
Harmonische Analyse
Musik nach Zahlen
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 2Schwingungen
Saiten (Klavier, Violine) oder
Luftsäulen (Orgel, Flöte) haben
verschiedene Eigenschwingungen
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 3Grund- und
Oberschwingungen
Die verschiedenen Schwingungen
unterscheiden sich durch
Wellenlänge bzw. Frequenz
(Schwingungszahl pro Sekunde)
Grundschwingung mit Frequenz f1
Harmonische Oberschwingungen
mit Frequenzen 2 f1, 3 f1, 4 f1, 5 f1,
etc.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 4Die Obertonreihe
Die Folge der Töne mit Frequenzen
f1 , 2 f1 , 3 f1, 4 f1, 5 f1 , etc.
heißt Obertonreihe oder
Naturtonreihe
1 2 3 4 5 6 7 8 9
11.04.2010
10 11 12 13 14 15 16
Von Pythagoras bis MP3 5Intervalle: Oktave
Der zweite Ton und der erste
Ton der Reihe haben ein
Frequenzverhältnis von 2:1
Wir nehmen das Interval dieser
beiden Töne als Oktave wahr.
“Oktavengleichheit”
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 6Intervalle: Quinte
Der dritte und zweite Ton der
Reihe haben ein
Frequenzverhältnis von 3:2
Wir hören eine reine Quinte.
Demonstration am Tongenerator
(http://www.uni-konstanz.de/nielaba/lehre/
mechanik/fourier/fourier.html)
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 7Intervalle: Quarte
Der vierte und dritte Ton der
Reihe haben ein
Frequenzverhältnis von 4:3.
Das Intervall heißt reine Quarte.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 8Quinte und Quarte =
Oktave
Der vierte und zweite Ton haben ein
Verhältnis von 4:2 = 2:1, also
wiederum eine Oktave.
Wir schreiben die Frequenz-
verhältnisse nun als Brüche und
sehen, daß 4/2= 4/3 * 3/2,
d.h. Multiplikation der Frequenz-
verhältnisse von Quinte und Quarte
liefert das Verhältnis der Oktave
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 9Konstruktion einer
Tonleiter aus Quinten
Es sei ein Grundton mit C
bezeichnet.
Durch eine Folge von Quint-
sprüngen aufwärts erhalten wir
nacheinander die Töne G, d, a, e‘
und h‘.
Durch einen Quintsprung abwärts
erhalten wir den Ton F.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 10Pythagoräische Skala
Die Frequenzen sind
F: 2/3
C: 1
G: 3/2
D: 3/2 * 3/2 = (3/2)2
A: (3/2)3
E: (3/2)4
H: (3/2)5
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 11Pythagoräische Tonleiter
Wir verschieben nun alle Töne in
dieselbe Oktavlage und erhalten
C: 1
D: 9/8 = 9/4 * 1/2
E: 81/64 = (3/2)4 * (1/2)2
F: 4/3 = (2/3)*2
G: 3/2
A: 27/16 = (3/2)3 * ½
H: 243/128 = (3/2)5* (1/2)2
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 12Quintenzirkel 11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 13
Quintenzirkel
Ausgehend von dem Grundton C
türmen wir 12 Quinten
aufeinander und erreichen einen
Ton, der näherungsweise
7 Oktaven über dem Grundton
liegt.
Aber der Quintenzirkel schließt
nicht exakt!
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 14Pythagoräisches Komma
12 Quinten: (3/2)12 = 129.7463379
7 Oktaven: 27 = 128
Das Verhältnis
(3/2)12 : 27 =1.0136
heißt „pythagoräisches Komma“.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 15Pythagoräisches Komma
Auf dem el. Klavier in pyth. Stimmung sind
die Oktaven sowie 11 der 12 Quinten rein:
Es-B, B-F, F-C, C-G, G-D, D-A, A-E, E-H, H-
Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
Dagegen kann die nächste Quinte Gis-Dis
wegen des Pyth. Kommas nicht mehr rein
sein, denn Dis wird mit Es identifiziert
(enharmonisch verwechselt) und Es ist
wegen der Forderung nach Oktavenreinheit
bereits festgelegt.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 16“Wolfsquinte”
Das Intervall gis-es hat ein
Frequenzverhältnis von 1.4798
Die Abweichung von der reinen
Quinte (3/2 = 1.5) wird im
Zusammenklang als Schwebung
wahrgenommen.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 17Terzen und
Pythagoräische Stimmung
Der 5. und 4. Ton der Obertonreihe
haben das FV 5:4. Dieses Intervall
wird (reine) große Terz genannt.
In der Pythagoräischen Stimmung
ergibt sich für das Intervall C-E das
FV 81/64=1.266
Die Abweichung der Pythagoräischen
Terz von der reinen Terz wird im
Zusammenklang als Schwebung
wahrgenommen
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 18Diatonische Stimmung
Um reine leitereigene Dreiklänge
zu erhalten, kann man mit der
diatonische Stimmung arbeiten
Frequenzverhältnisse (C Gd-Ton)
C:1 D: 9/8 E: 5/4 F: 4/3
G:3/2 A: 5/3 H: 15/8
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 19Diatonische Stimmung
Damit ergeben sich ein für den
Dreiklang c-e-g das Frequenz-
verhältnis 4:5:6 wie in der
Obertonreihe
Ebenso sind die Dreiklänge f-a-c’
und g-h-d’ in diesem Sinne
harmonisch und klingen rein
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 20Diatonische Stimmung
Dagegen ergibt sich für den Moll-
Dreiklang d-f-a das FV 27:32:40
Der reine Molldreiklang erfordert
aber das FV 10:12:15
Tonbeispiel (diatonische vs. pyth.
vs. gleichstufige Stimmung)
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 21Historische Entwicklung
der Stimmungen
Mitteltönige Stimmung (1550-1750,
gegenüber der pyth. Stimmung
werden die Terzen verbessert, C-Dur-
nahe Tonarten sind beinahe rein)
Wohltemperierte Stimmungen (1700-
1870, Kirnberger, Werckmeister)
Gleichstufige Stimmung (heute):
jeder Halbtonschritt entspricht einem
FV von 12
2
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 22Harmonische Analyse
Zerlegung von Klängen (allg. von
Signalen bzw. Funktionen) in ihre
Bestandteile
Umkehrung: Synthese von
Klängen aus Partialtönen
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 23Klänge und Sinustöne
Klänge bestehen (nach westlichen
Hörgewohnheiten) aus einem
Grundton und aus harmonischen
Obertönen
Grundton – Sinusschwingung
Obertöne – Sinusschwingungen, deren
Frequenzen ganzzahlige Vielfache der
Grundfrequenz sind
Geräusche sind aus nicht
harmonischen Tönen
zusammengesetzt
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 24Fourieranalyse
Jede “anständige” periodische
Funktion läßt sich als
Überlagerung von Sinus-
schwingungen darstellen:
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 25Fourieranalyse
f (t ) = a0 + a1 sin(ωt + ϕ1 )
+ a2 sin(2ω t + ϕ 2 )
+ a3 sin(3ω t + ϕ 3 )
+ a4 sin(4ω t + ϕ 4 )
+ …
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 26Fourieranalyse/synthese
Demonstration am Tongenerator
(http://www.uni-konstanz.de/nielaba/lehre/
mechanik/fourier/fourier.html)
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 27Frequenzspektrum
Jeder Klang hat sein
charakteristisches Frequenz-
spektrum. Im Bild wird das der
Sägezahnschwingung gezeigt:
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 28Analoge Audiotechnik
Konventionelle Aufnahme- und
Abspielgeräte und Speichermedien
müssen mindestens die Frequnzen
erfassen, übertragen bzw. speichern
können, die im Frequenzbereich
menschlichen Hörens liegen
(ca. 16 Hz – 20 kHz)
High Fidelity (Klangtreue)
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 29Digitale Audiotechnik
In der digitalen Audiotechnik
werden kontinuierliche
akustische bzw. elektrische
Signale mit einer bestimmten
Frequenz (Sampling Frequency
fs) abgetastet; man erhält
hierdurch ein sog. zeitdiskretes
Signal
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 30Digitale Audiotechnik
Demonstration
(http://www.nt.e-technik.uni-
erlangen.de/~rabe/SYSTOOL/SYSTOOL2.0
2/HTTP/sampl.htm)
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 31Digitale Audiotechnik
Nach dem Abstasttheorem von
Nyquist und Shannon muß für ein
Signal mit der Maximalfrequenz fmax
gelten
fs > 2 · fmax,
Dann kann aus dem zeitdiskreten
Signal das Ursprungssignal ohne
Informationsverlust und Artefakte
wieder rekonstruieren werden.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 32Digitale Audiotechnik
Bei digitalen Aufnahmen wird
typischerweise eine Abtastrate von
44.1 kHz bzw. 48 kHz verwendet;
deutlich über der mindestens
notwendigen Abtastfrequenz von
2*20 kHz = 40 kHz
Alle über 20 kHz liegenden
Komponenten des analogen
Ursprungssignals werden durch einen
Tiefpassfilter entfernt.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 33MP3
MP3 (eigentlich MPEG-1 Layer III)
ist eine Methode zur Kompression
digitaler Audiodaten
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 34MP3
Prinzip: Das Frequenzspektrum
des Eingangssignals (der Musik)
wird analysiert, Komponenten, die
nach psychoakustischen Gesetzen
zum Höreindruck kaum/nicht
beitragen, werden unterdrückt.
Datenreduktion gegenüber Audio-
CD um Faktor 10 – 11.
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 35Musik nach Zahlen
1.htm
2.htm
3.htm
4.htm
11.04.2010 Von Pythagoras bis MP3 36Sie können auch lesen
